I. Phép Biến Hình Hàm Số Khái Quát và Lịch Sử
Phần này giới thiệu phép biến hình hàm số, một khái niệm quan trọng trong toán học. Phép biến hình được định nghĩa là một quy tắc ánh xạ mỗi điểm M trong mặt phẳng thành một điểm duy nhất M' trong mặt phẳng đó. Lịch sử phép biến hình gắn liền với sự phát triển của hình học. Ban đầu, phép biến hình chỉ được sử dụng như một công cụ ngầm để chuyển các tính chất hình học (bất biến) từ hình này sang hình khác. Đến cuối thế kỷ XVIII, phép biến hình trở thành một đối tượng nghiên cứu hệ thống trong toán học. Bellavitis (1803-1880) đã có đóng góp quan trọng với lý thuyết về phép biến hình, được nhiều nhà toán học khác bổ sung, phát triển. Giai đoạn này liên quan đến việc xem hình như một tập hợp điểm. Hình học giải tích đóng vai trò quan trọng trong việc hình thành quan niệm này. Các phương pháp do các nhà toán học phát minh ra đã mang lại sự thay đổi quan trọng về cách nhìn nhận hình, cho phép chuyển từ cách nhìn tổng thể sang cách nhìn từng điểm. Cuối thế kỷ XIX, phép biến hình không chỉ được sử dụng để nghiên cứu hình hay tính chất của hình nữa. Khái niệm về phép biến hình mở rộng ra đến việc nghiên cứu các tính chất bất biến của phép biến hình.
1.1 Phép Dịch Hình và Phép Đồng Dạng
Phép dịch hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. Phép dịch hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng, bảo toàn thứ tự của ba điểm đó. Phép đồng dạng tỷ số k (k > 0) là phép biến hình sao cho với hai điểm M, N bất kỳ và ảnh M', N' của chúng, ta luôn có M'N' = kMN. Mỗi phép đồng dạng tỷ số k (k > 0) là hợp thành của phép vị tự tỷ số k và một phép dời hình. Phép đồng dạng tỷ số k biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng, không làm thay đổi thứ tự ba điểm thẳng hàng đó. Phép đồng dạng biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng tỷ lệ k. Hai hình được gọi là đồng dạng nếu tồn tại phép đồng dạng biến hình này thành hình kia. Phép biến đổi đồ thị hàm số thường liên quan đến phép dịch hình và phép đồng dạng để tạo ra đồ thị mới từ đồ thị ban đầu. Hiểu rõ phép dịch hình và phép đồng dạng là nền tảng để hiểu các phép biến hình phức tạp hơn.
1.2 Ứng dụng của Phép Biến Hình
Phép biến hình có nhiều ứng dụng trong giải toán và thực tiễn cuộc sống. Trong giải toán, phép biến hình là công cụ hữu hiệu cho các bài toán hình học, giúp giải quyết các bài toán tìm tập hợp điểm. Trong thực tiễn, phép biến hình có ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vực như: xây dựng (thiết kế cầu, đường, nhà, v.v…), nghệ thuật (họa tiết trang trí, tạo sản phẩm thủ công mỹ nghệ, v.v…), cơ khí (tạo ra các chi tiết máy, phóng to thu nhỏ các vật thể, v.v…). Việc hiểu và áp dụng phép biến hình giúp giải quyết vấn đề một cách hiệu quả và sáng tạo trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Phép biến hình đóng vai trò quan trọng trong thiết kế đồ họa, kiến trúc, kỹ thuật và nhiều ngành nghề khác. Sự hiểu biết về phép biến hình giúp tạo ra các sản phẩm có tính thẩm mỹ cao và đáp ứng các yêu cầu kỹ thuật chính xác. Phép biến hình là một phần không thể thiếu trong giáo dục toán học ở bậc trung học phổ thông và đại học.
II. Phép Tịnh Tiến Lý Thuyết và Bài Tập
Phần này tập trung vào phép tịnh tiến, một loại phép biến hình cơ bản. Phép tịnh tiến theo vectơ v biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho MM' = v. Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho. Phép tịnh tiến biến tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho. Phép tịnh tiến biến tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho. Phép tịnh tiến còn được ứng dụng trong biến đổi đồ thị hàm số. Phép tịnh tiến lên trên/xuống dưới q đơn vị tương ứng với việc cộng/trừ q vào hàm số. Phép tịnh tiến sang trái/phải p đơn vị tương ứng với việc thay x bởi x+p/ x-p trong hàm số. Phép tịnh tiến tổng quát theo vectơ v=(a;b) được biểu diễn bằng công thức y = f(x-a) + b.
2.1 Phương trình đồ thị hàm số sau phép tịnh tiến
Việc tìm phương trình đồ thị hàm số sau phép tịnh tiến là một ứng dụng quan trọng của phép tịnh tiến trong toán học. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Nếu ta thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ v = (a, b), ta thu được đồ thị (C') với phương trình y = f(x - a) + b. Điều này có nghĩa là mỗi điểm (x, y) trên (C) sẽ được chuyển thành điểm (x + a, y + b) trên (C'). Việc xác định phương trình của đồ thị mới sau phép tịnh tiến giúp ta hiểu rõ hơn về sự biến đổi hình dạng và vị trí của đồ thị. Các bài tập minh họa sẽ giúp củng cố kiến thức về việc tìm phương trình đồ thị mới sau khi thực hiện phép tịnh tiến. Các ví dụ cụ thể với các hàm số khác nhau như hàm bậc hai, hàm bậc ba, v.v., sẽ giúp người học nắm bắt được cách áp dụng công thức một cách chính xác. Hiểu rõ cách tìm phương trình đồ thị sau phép tịnh tiến là nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn liên quan đến phép biến hình.
2.2 Bài tập vận dụng phép tịnh tiến
Phần này trình bày các bài tập minh họa về phép tịnh tiến. Các bài tập được thiết kế với độ khó tăng dần, từ cơ bản đến nâng cao. Mỗi bài tập đều đi kèm với lời giải chi tiết, giúp người học dễ dàng hiểu và nắm bắt được phương pháp giải. Các bài tập bao gồm việc xác định ảnh của một điểm, một đường thẳng, hoặc một hình sau khi thực hiện phép tịnh tiến. Một số bài tập liên quan đến việc tìm phương trình của đồ thị hàm số sau khi thực hiện phép tịnh tiến. Thông qua việc giải các bài tập, người học sẽ củng cố được kiến thức lý thuyết về phép tịnh tiến và rèn luyện kỹ năng giải toán. Các bài tập đa dạng về dạng toán giúp người học linh hoạt trong việc áp dụng kiến thức vào thực tiễn. Bài tập đóng vai trò quan trọng trong quá trình học tập, giúp người học củng cố kiến thức và phát triển khả năng tư duy logic.
