Giáo Trình Toàn Diện Về Đại Số và Số Học

• Tác giả: Ts. Ngô Quốc Hoàn
• Trường học: Đại học Hải Phòng
• Chuyên ngành: Toán - Khoa học Tự nhiên
• Đề tài: Đại Số và Số Học
• Loại tài liệu: giáo trình
• Năm xuất bản: 2021
• Địa điểm: Hải Phòng

• LỜI NÓI ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: MA TRẬN, ĐỊNH THỨC, HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
• 1.1. Một số quy ước và kí hiệu
• 1.2. Khái niệm ma trận
• 1.3. Các phép toán trên ma trận
• 1.4. Định thức của ma trận
• 1.5. Tính chất của định thức
• 1.6. Cách tính định thức bằng biến đổi sơ cấp
• 1.7. Ma trận nghịch đảo
• 1.8. Ma trận khả nghịch và ma trận nghịch đảo
• 1.9. Cách tính ma trận nghịch đảo bằng biến đổi sơ cấp trên dòng
• 1.10. Hạng của ma trận
• 1.11. Phương pháp tính hạng của ma trận bằng biến đổi sơ cấp dòng
• 1.12. Hệ phương trình tuyến tính
• 1.13. Dạng tổng quát
• 1.14. Hệ phương trình Cramer
• 1.15. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss
• 1.16. Ma trận và mật mã
• 1.17. Bài tập ôn tập
• 2. CHƯƠNG 2: NHÓM, VÀNH, TRƯỜNG
• 2.1. Nhóm, Vành, Trường
• 2.2. Quan hệ n−ngôi
• 2.3. Phép toán hai ngôi
• 2.4. Vành và miền nguyên
• 2.5. Vành con và ideal
• 2.6. Vành đa thức một ẩn
• 2.7. Bậc của đa thức
• 2.8. Nghiệm của đa thức
• 2.9. Đa thức bất khả quy
• 2.10. Trường con
• 2.11. Bài tập ôn tập
• 3. CHƯƠNG 3: LÝ THUYẾT ĐỒNG DƯ
• 3.1. Số nguyên tố
• 3.2. Số nguyên tố và hợp số
• 3.3. Định lý cơ bản của số học
• 3.4. Quan hệ đồng dư
• 3.5. Tính chất của đồng dư thức
• 3.6. Một số ứng dụng của đồng dư
• 3.7. Phương trình đồng dư. Các khái niệm chung
• 3.8. Phương trình đồng dư tương đương
• 3.9. Hệ phương trình đồng dư một ẩn
• 3.10. Phương trình đồng dư bậc nhất một ẩn
• 3.11. Hệ phương trình đồng dư bậc nhất một ẩn
• 3.12. Một số hàm số số học
• 3.12.1. Khái niệm mở đầu
• 3.12.2. Hàm số τ và hàm số σ
• 3.13. Bài tập ôn tập
• TÀI LIỆU THAM KHẢO
• PHỤ LỤC 1: Một số bài toán thao tác trên ma trận với ngôn ngữ lập trình Pascal
• PHỤ LỤC 2: Nhóm Sn, định thức và định lý Burnside
• PHỤ LỤC 3: Vành Zm
• PHỤ LỤC 4: Hàm phần nguyên
• PHỤ LỤC 5: Đại số Boole
• PHỤ LỤC 6: Một số đề thi mẫu

I. Đại số và Số học Khái niệm và Phương pháp

Đại số và Số học là hai lĩnh vực cơ bản trong toán học, có ứng dụng rộng rãi trong khoa học máy tính và lý thuyết mật mã. Khái niệm đại số bao gồm các cấu trúc như ma trận, định thức, và hệ phương trình tuyến tính. Khái niệm số học tập trung vào các vấn đề như số nguyên tố, đồng dư thức, và phương trình đồng dư. Phương pháp đại số và phương pháp số học được sử dụng để giải quyết các bài toán phức tạp thông qua các thuật toán và biến đổi sơ cấp.

1.1. Hướng dẫn đại số

Hướng dẫn đại số bao gồm các bước cơ bản để giải các bài toán liên quan đến ma trận, định thức, và hệ phương trình tuyến tính. Các phương pháp như biến đổi sơ cấp, tính định thức, và tìm ma trận nghịch đảo được trình bày chi tiết. Ví dụ, để tính định thức của ma trận, ta có thể sử dụng phương pháp khai triển Laplace hoặc biến đổi sơ cấp để đưa ma trận về dạng tam giác.

1.2. Hướng dẫn số học

Hướng dẫn số học tập trung vào các vấn đề như số nguyên tố, đồng dư thức, và phương trình đồng dư. Các phương pháp giải phương trình đồng dư bậc nhất và hệ phương trình đồng dư được trình bày chi tiết. Ví dụ, để giải phương trình đồng dư bậc nhất, ta có thể sử dụng thuật toán Euclid mở rộng để tìm nghiệm.

II. Bài tập và Ứng dụng

Bài tập đại số và bài tập số học được thiết kế để giúp sinh viên nắm vững các khái niệm và phương pháp đã học. Các bài tập này thường yêu cầu sinh viên áp dụng các thuật toán để giải quyết các vấn đề cụ thể. Ứng dụng đại số và ứng dụng số học trong thực tế bao gồm việc sử dụng ma trận trong mật mã, giải các bài toán tối ưu hóa, và xử lý dữ liệu.

2.1. Bài tập đại số

Các bài tập đại số bao gồm các bài toán về ma trận, định thức, và hệ phương trình tuyến tính. Ví dụ, sinh viên có thể được yêu cầu tính định thức của một ma trận cụ thể hoặc giải một hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss. Các bài tập này giúp sinh viên hiểu rõ hơn về các phương pháp và thuật toán trong đại số.

2.2. Bài tập số học

Các bài tập số học tập trung vào các vấn đề như số nguyên tố, đồng dư thức, và phương trình đồng dư. Ví dụ, sinh viên có thể được yêu cầu tìm nghiệm của một phương trình đồng dư bậc nhất hoặc giải một hệ phương trình đồng dư. Các bài tập này giúp sinh viên nắm vững các khái niệm và phương pháp trong số học.

III. Giải phương trình và Bài toán số học

Giải phương trình đại số và giải bài toán số học là hai kỹ năng quan trọng trong toán học. Các phương pháp giải phương trình đại số bao gồm phương pháp khử Gauss, phương pháp ma trận nghịch đảo, và phương pháp định thức. Các phương pháp giải bài toán số học bao gồm thuật toán Euclid, phương pháp đồng dư, và phương pháp phân tích số nguyên tố.

3.1. Giải phương trình đại số

Giải phương trình đại số bao gồm các bước để giải các hệ phương trình tuyến tính bằng các phương pháp như khử Gauss, ma trận nghịch đảo, và định thức. Ví dụ, để giải một hệ phương trình tuyến tính, ta có thể sử dụng phương pháp Gauss để đưa hệ phương trình về dạng tam giác và từ đó tìm nghiệm.

3.2. Giải bài toán số học

Giải bài toán số học bao gồm các bước để giải các phương trình đồng dư và hệ phương trình đồng dư. Ví dụ, để giải một phương trình đồng dư bậc nhất, ta có thể sử dụng thuật toán Euclid mở rộng để tìm nghiệm. Các bài toán số học thường liên quan đến các vấn đề như số nguyên tố, đồng dư thức, và phân tích số nguyên tố.