Tổng quan về giáo trình

Giáo trình Đại số và Số học (Dành cho Sinh viên CNTT), mang mã số GT.20, do TS. Ngô Quốc Hoàn (Chủ biên) cùng TS. Nguyễn Thị Thu Hằng biên soạn tại Khoa Toán - Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Hải Phòng (xuất bản tháng 4/2021). Tài liệu được xây dựng trực tiếp phục vụ học phần Đại số và Số học với thời lượng 2 tín chỉ, thuộc khối kiến thức cơ sở ngành trong chương trình đào tạo của Khoa Công nghệ thông tin.

Mục tiêu học tập của giáo trình là trang bị cho sinh viên hệ thống kiến thức toán học đại số và lý thuyết số ứng dụng trực tiếp trong Khoa học máy tính và Lý thuyết mật mã. Người học được hình thành kỹ năng nhận diện, phân tích cấu trúc toán học trừu tượng và chuyển đổi các quy trình toán học thành thuật toán xử lý trên máy tính.

Cấu trúc giáo trình bao gồm phần quy ước ký hiệu toán học chuẩn ($\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{R}, \mathbb{C}, M_{m \times n}(K), I_n, |A|, rank(A), A^{-1}, \mathbb{Z}_p, S_n$), 3 chương nội dung chính, danh mục tài liệu tham khảo và 6 phụ lục chuyên đề. Điểm tiếp cận đặc trưng của tài liệu là tinh gọn các chứng minh trừu tượng, ưu tiên giới thiệu nội dung theo hướng "thuật toán hóa" gắn liền với cú pháp lập trình cụ thể (như Pascal, C, Java, Python), kết hợp hệ thống bài tập tính toán và bài tập lập trình ở cuối mỗi chương.

Nội dung kiến thức cốt lõi

Các chương/chủ đề chính

Cấu trúc nội dung giáo trình được triển khai qua 3 chương chính và 6 phụ lục mở rộng:

  • Chương 1: Ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính (Trang 9–38): Cung cấp các khái niệm ma trận trên trường số $K$ ($\mathbb{R}$ hoặc $\mathbb{C}$), ma trận vuông cấp $n$, đường chéo, ma trận đơn vị $I_n$, ma trận đối xứng, ma trận phụ hợp $M_{ij}$. Trình bày các phép toán cộng, nhân vô hướng, nhân ma trận, lũy thừa ma trận ($A^k$), ma trận lũy linh, ma trận lũy đẳng và ma trận chuyển vị $A^T$. Định nghĩa định thức theo phương pháp quy nạp qua phần phụ đại số $A_{ij} = (-1)^{i+j}|M_{ij}|$, các tính chất định thức và cách tính bằng biến đổi sơ cấp dòng. Thiết lập điều kiện khả nghịch của ma trận ($|A| \neq 0$), công thức ma trận nghịch đảo $A^{-1} = \frac{1}{|A|}(A^*)^T$ và phương pháp tìm nghịch đảo bằng thuật toán biến đổi sơ cấp trên ma trận khối $[A|I_n]$. Khảo sát hạng ma trận ($rank(A)$) qua ma trận bậc thang dòng. Trình bày dạng tổng quát của hệ phương trình tuyến tính $AX=B$, Định lý Cramer cho hệ có nghiệm duy nhất $x_j = \frac{|A_j|}{|A|}$, Định lý Kronecker - Capelli và phương pháp khử Gauss. Phân tích ứng dụng ma trận trong mật mã hóa dữ liệu với ma trận chìa khóa $F$, ma trận giải mã $G = F^{-1}$ trên bảng chữ cái tiếng Việt.
  • Chương 2: Nhóm, Vành, Trường (Trang 39–57): Nghiên cứu quan hệ hai ngôi $R \subseteq A \times B$, phương pháp biểu diễn quan hệ bằng ma trận logic $M_R$ và đồ thị có hướng; phép toán hai ngôi và đại số Boole ($\vee, \wedge$, tích Boole ma trận-(0,1)). Khảo sát các cấu trúc đại số: nửa nhóm, vị nhóm, nhóm, nhóm giao hoán (nhóm phép thế $S_n$, nhóm $(\mathbb{Z}_m, +)$, nhóm $({0, 1}, \oplus)$) và điều kiện nhóm con. Định nghĩa vành, miền nguyên, ước của 0, ideal (ideal trái, ideal phải, ideal nguyên tố, ideal tối đại $p\mathbb{Z}$) và vành thương $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} = \mathbb{Z}_p$. Khảo sát vành đa thức một ẩn $A[x]$, thuật toán chia có dư Euclid, nghiệm đa thức, định lý Bézout, công thức Viète, đa thức bất khả quy và tiêu chuẩn Eisenstein.
  • Chương 3: Lý thuyết đồng dư (Trang 58–84): Nghiên cứu số nguyên tố, hợp số, Định lý cơ bản của số học, quan hệ đồng dư modulo $m$, các tính chất của đồng dư thức và ứng dụng. Khảo sát phương pháp giải phương trình đồng dư một ẩn, hệ phương trình đồng dư một ẩn, phương trình đồng dư bậc nhất một ẩn và hệ phương trình đồng dư bậc nhất. Giới thiệu các hàm số học rời rạc gồm hàm số các ước $\tau(n)$, hàm tổng các ước $\sigma(n)$ và hàm phi Euler $\phi(n)$.
  • Hệ thống 6 Phụ lục (Trang 91–113): Bổ trợ chuyên sâu gồm Phụ lục 1 (Một số bài toán thao tác trên ma trận với ngôn ngữ lập trình Pascal); Phụ lục 2 (Nhóm $S_n$, định thức và định lý Burnside); Phụ lục 3 (Vành $\mathbb{Z}_m$); Phụ lục 4 (Hàm phần nguyên $[x], {x}$); Phụ lục 5 (Đại số Boole); Phụ lục 6 (Một số đề thi mẫu).

Kiến thức nền tảng được xây dựng

Giáo trình xây dựng 3 khối lý thuyết cơ bản:

  • Đại số tuyến tính ma trận: Không gian ma trận $M_{m \times n}(K)$, các phép toán tuyến tính, tính chất định thức, mối liên hệ giữa hạng ma trận và tính khả nghịch, tiêu chuẩn nghiệm Kronecker - Capelli.
  • Cấu trúc đại số trừu tượng: Hệ thống phân cấp từ nửa nhóm, vị nhóm đến nhóm, vành, miền nguyên, trường, cấu trúc ideal và vành thương.
  • Số học đồng dư rời rạc: Hệ thống thặng dư modulo $m$, nghiệm đồng dư số học và các hàm số học giải tích rời rạc.

Kỹ năng phát triển

  • Kỹ năng tính toán và phân tích: Khả năng biến đổi sơ cấp ma trận để tính định thức, xác định hạng, tìm ma trận nghịch đảo, giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát hoặc có tham số.
  • Kỹ năng thuật toán hóa: Biểu diễn các quan hệ logic bằng ma trận $(0,1)$ và đồ thị có hướng; chuyển đổi định nghĩa toán học (nhập ma trận, nhân ma trận, khai báo ma trận phụ hợp) thành mã giải thuật.
  • Kỹ năng ứng dụng công nghệ thông tin: Vận dụng ma trận khả nghịch trong mã hóa - giải mã dữ liệu văn bản; áp dụng lý thuyết đồng dư và cấu trúc đại số trong an toàn thông tin và xử lý dữ liệu.

Phương pháp giảng dạy và học tập

Giáo trình được biên soạn theo phương pháp sư phạm diễn dịch kết hợp ứng dụng: Định nghĩa toán học $\rightarrow$ Mệnh đề/Định lý $\rightarrow$ Chứng minh $\rightarrow$ Ví dụ giải mẫu $\rightarrow$ Thuật toán lập trình. Khái niệm định thức được tiếp cận theo phương pháp quy nạp qua định nghĩa khai triển dòng/cột (thay vì định nghĩa hoán vị phức tạp trên nhóm $S_n$ vốn được chuyển vào Phụ lục 2) nhằm phù hợp với tư duy lập trình đệ quy của sinh viên công nghệ thông tin.

Phần thực hành trong giáo trình gồm các bài toán số học tường minh (như giải hệ phương trình Cramer, khử Gauss ma trận cấp $4 \times 5$, tính định thức cấp 4) kết hợp ví dụ tình huống mã hóa dữ liệu văn bản tiếng Việt "CHÀO MỪNG KỶ NIỆM SÁU MƯƠI NĂM TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG" qua ma trận khóa cấp 7.

Hệ thống đánh giá được chuẩn hóa qua các bài tập ôn tập cuối mỗi chương và 6 bộ đề thi mẫu trong Phụ lục 6, bao gồm cả bài tập toán thuần túy và bài tập yêu cầu xây dựng chương trình máy tính. Sinh viên tự học theo quy trình: nghiên cứu định nghĩa toán học, thực hiện giải tích tay các bài tập mẫu, đối chiếu với thuật toán mã nguồn Pascal trong Phụ lục 1, sau đó tự viết chương trình trên máy tính bằng ngôn ngữ lập trình tùy chọn.

Điểm nổi bật và cập nhật

  • Định hướng chuyên biệt cho khối ngành Công nghệ thông tin: Giáo trình được thiết kế nhằm đáp ứng yêu cầu tài liệu học phần Đại số và Số học tiếng Việt dành riêng cho sinh viên ngành Khoa học máy tính, phù hợp với khung chương trình 2 tín chỉ của Trường Đại học Hải Phòng (2021).
  • Tích hợp giải thuật lập trình trực tiếp: Đi kèm các định nghĩa toán học là các đoạn mã nguồn thuật toán (bằng ngôn ngữ Pascal) như thuật toán nhập ma trận, thuật toán cộng ma trận, thuật toán nhân ma trận, thuật toán tách ma trận phụ hợp $M_{ij}$ phục vụ trực tiếp việc cài đặt chương trình.
  • Gắn kết chặt chẽ với mật mã học và xử lý thông tin: Giáo trình tích hợp các ứng dụng mật mã sử dụng ma trận nghịch đảo, biểu diễn quan hệ hai ngôi qua ma trận logic $(0,1)$ và đồ thị định hướng, sử dụng cấu trúc ideal nguyên tố thay thế cho số nguyên tố trong các mô hình mật mã hiện đại.
  • Hệ thống phụ lục phân loại chuyên sâu: Cung cấp 6 phụ lục chuyên đề từ ngôn ngữ Pascal, nhóm $S_n$, định lý Burnside, vành $\mathbb{Z}_m$, hàm phần nguyên đến đại số Boole, tạo điều kiện cho người học đào sâu kiến thức mở rộng mà không gây quá tải cho khung thời lượng chính khóa.

Đối tượng sử dụng giáo trình

  • Sinh viên chuyên ngành: Phục vụ trực tiếp cho sinh viên năm thứ nhất và năm thứ hai theo học các ngành Công nghệ thông tin, Kỹ thuật phần mềm, Khoa học máy tính và Hệ thống thông tin.
  • Kiến thức tiên quyết (Prerequisites): Người học cần nắm vững đại số sơ cấp phổ thông (tập hợp số, hàm số, phương trình) và kỹ năng lập trình cơ bản (cấu trúc rẽ nhánh if...then, cấu trúc lặp for...do, mảng hai chiều).
  • Giảng viên giảng dạy: Sử dụng làm tài liệu giảng dạy chính khóa cho học phần Đại số và Số học (2 tín chỉ), làm căn cứ xây dựng đề cương bài giảng, ngân hàng bài tập ôn tập và đề thi kết thúc học phần.
  • Tự học và tham khảo: Dành cho người học công nghệ thông tin cần tài liệu toán học rời rạc ứng dụng để phục vụ nghiên cứu các lĩnh vực giải thuật, đồ họa máy tính, an toàn thông tin và lý thuyết mật mã.

Câu hỏi thường gặp

1. Giáo trình này phù hợp với đối tượng nào? Giáo trình phù hợp với sinh viên theo học khối ngành Công nghệ thông tin, Kỹ thuật máy tính, Khoa học dữ liệu và người học cần bổ trợ nền tảng toán rời rạc phục vụ lập trình.

2. Cần trang bị kiến thức nền tảng nào trước khi học giáo trình? Người học cần kiến thức toán học trung học phổ thông về tập hợp số, phương trình và kiến thức cơ bản về một ngôn ngữ lập trình bất kỳ (như Pascal, C, C++, Python) để đọc hiểu các mã thuật toán.

3. Giáo trình này có điểm gì khác biệt so với các giáo trình Đại số tuyến tính truyền thống? Giáo trình tập trung chọn lọc các nội dung có ứng dụng trực tiếp trong tin học, ưu tiên tiếp cận toán học theo hướng thuật toán hóa, tích hợp mã nguồn lập trình và ứng dụng ma trận vào lý thuyết mật mã.

4. Phương pháp tự học giáo trình như thế nào để đạt hiệu quả? Người học nên kết hợp giải các bài tập tính toán định thức, hạng, hệ phương trình ở phần bài tập ôn tập, sau đó cài đặt các thuật toán ma trận và đồng dư thành các chương trình chạy thực tế trên máy tính.

5. Giáo trình có cung cấp tài liệu bổ trợ hoặc đề thi mẫu không? Giáo trình có sẵn 6 phụ lục chuyên đề, bao gồm hướng dẫn lập trình thao tác ma trận trên ngôn ngữ Pascal và hệ thống các đề thi mẫu học phần ở Phụ lục 6.

Kết luận

Giáo trình Đại số và Số học (Dành cho Sinh viên CNTT) (Mã số: GT.20) của Trường Đại học Hải Phòng cung cấp hệ thống kiến thức chuẩn mực về Đại số tuyến tính, Cấu trúc đại số trừu tượng và Lý thuyết đồng dư số học. Lộ trình học tập được thiết kế mạch lạc từ các phép toán ma trận, định thức (Chương 1), chuyển tiếp sang cấu trúc nhóm, vành, trường, vành đa thức (Chương 2) đến số học đồng dư và hàm số học (Chương 3). Nguồn tài liệu thực hành gồm hệ thống bài tập ôn tập cuối chương, danh mục tài liệu tham khảo học thuật và 6 phụ lục chuyên đề, hỗ trợ sinh viên hoàn thiện kiến thức toán ứng dụng trong khoa học máy tính.