CHƯƠNG 1: Cơ SỞ LÝ LUẬN VỀ DẠY HỌC THEO HƯỚNG PHÁT TRIÉN NÀNG Lực MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC TRONG CHỦ ĐÈ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT 1.1 Một sổ khái niệm 1.1 Năng lực Năng lực (competency) có nguồn gốc tiếng La tinh “competentia”. Theo từ điển Cambridge, “Năng lực” được sử dụng với nghĩa miêu tả một kĩ năng quan trọng để hoàn thành một công việc, nhiệm vụ. Nhìn chung, khái niệm năng lực được hiểu theo nhiều nghĩa khác nhau. Theo Nach Klieme (2003): “Năng lực thể hiện qua khả năng thực hiện thành công các nhiệm vụ, giải quyết các vấn đề, hay các tình huống này sinh, trên cơ sở vận dụng các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính tâm lí khác như động cơ, ý chí, quan niệm giá trị, suy nghĩ thấu đáo và sự sẵn sàng hành động.
Trong tiếng Việt, theo Vũ Xuân Thái (1999), Năng lực là một từ Hán-Việt, trong đó “Năng là làm nối việc, lực là sức mạnh; Năng lực là sức mạnh làm nối việc nào đó”. Nhìn chung, năng lực chỉ khả năng của con người có thể thực hiện một số việc nào đó. Như vậy, tuy rằng khó có thể thống nhất định nghĩa chung về năng lực, các nhà nghiên cứu tại Việt Nam và thế giới, nhưng cũng có những điểm tương đồng trong định nghĩa năng lực: năng lực là tổng hợp các tri thức, kĩ năng của con người nhằm thực hiện có hiệu quả một công việc nhất định. Trong luận văn này, tác giả sử dụng khái niệm năng lực dựa trên Chương trình giáo dục phổ thông tống thể 2018: “Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác 5 như hứng thú, niêm tin, ý chí,.
thực hiện thành công một loại hoạt động nhât định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể.2 Mô hình Theo từ điển Việt, mô hình không chỉ là một khái niệm giới hạn vào việc mô tả hình dạng của vật thề một cách thu nhỏ. Nó mở rộng ra nhiều lĩnh vực khác nhau, từ mô hình máy bay đến mô hình triển lãm nhà, đều là những biếu hiện của sự sáng tạo và nghiên cứu, mô phỏng cấu tạo và hoạt động của đối tượng một cách chi tiết. Ngôn ngữ cũng không giữ lại mô hình chỉ trong phạm vi hình ảnh vật thế. Trong ngôn ngữ, mô hình trở thành một khái niệm trừu tượng, biểu tượng hóa tiêu chuẩn hay mẫu mực của một hệ thống ngôn ngữ, từ hệ thống âm vị đến ngừ pháp.
Trên lĩnh vực khoa học dừ liệu và trí tuệ nhân tạo, mô hình không chỉ là sản phẩm của sự sáng tạo, mà còn là kết quả của việc xử lý dữ liệu thông qua các kỷ thuật học máy và học sâu. Nó giúp chúng ta khám phá ra các quy luật, mối quan hệ giữa các đặc trưng của dữ liệu đầu vào và đầu ra, mở ra những cánh cửa mới trong lĩnh vực này. Bên cạnh đó, quan điếm của Gilbert và đồng nghiệp (2000) mở rộng thêm sự đa chiều của mô hình. Họ xem xét mô hình như một bản đồ phức tạp hoặc biểu diễn đơn giản hóa của một đối tượng, có thể xuất phát từ trí tưởng tượng và hình dung ý tưởng.
Điều này làm nổi bật khía cạnh sáng tạo của mô hình, biểu hiện bên ngoài của cấu trúc tồn tại ngoài đời thực, và thậm chí cả tình huống thực tế bên trong tâm trí con người. Nhìn chung, mô hình không chỉ là một khái niệm mô tả đơn thuần về hình dạng hay cấu trúc, mà còn là công cụ mạnh mẽ của sự sáng tạo và hiếu biết. Từ các mô hình đơn giản trong cuộc sống hàng ngày đến những khái niệm trim tượng trong ngôn ngữ và sức mạnh của nó trong lĩnh vực khoa học dữ liệu, mô hình là một phần quan trọng của quá trình nghiên cứu và sáng tạo. Như vậy, việc hiểu rõ về mô hình không chỉ giúp chúng ta mở rộng kiến thức, mà còn mở ra những cánh cửa mới của tri thức và sự sáng tạo.3 Mô hình toán học Theo Kai Velten (2009), mô hình toán học có thể được mô tả bởi một bộ ba (S,Q,M), trong đó: s (System) đại diện cho một hệ thống; Q (Question) một câu hỏi liên quan đến hệ thống S; M (Set of mathematical statement) là một tập họp các câu lệnh toán học có thế được sử dụng để trả lời câu hỏi.
Kí hiệu bộ ba (S,Q,M) nhấn mạnh về thứ tự thời gian mà các phần của mô hình hóa toán học thường xuất hiện. Thông thường, ta có một hệ thống được đưa ra trước tiên, sau đó có một câu hởi liên quan đến hệ thống đó, và sau đó một mô hình toán học được phát triền. Mồi thành phần trong bộ ba (S, Q, M) đều là một phần không thể thiết của toàn bộ. M hiển nhiên là rất quan trọng.
Nếu không có S, ta sẽ không đưa ra được câu hỏi Q. Nếu không có câu hởi Q thì sẽ không có gì để làm ra một mô hình toán học. Nam (2016) mở rộng định nghĩa về mô hình toán học, tập trung vào khái niệm mô hình Toán học - mô hình hóa toán học. Đối với ông, mô hình Toán học không chỉ là một biếu diễn trừu tượng, mà là một cấu trúc toán học đặc biệt, bao gồm ký hiệu, mối quan hệ toán học và mô tà chi tiết về các thuộc tính của đối tượng nghiên cứu.
Mô hình toán học được xây dựng dựa trên quy tắc toán học, tạo nên một cơ sở vững chắc cho việc nghiên cứu và mô tả các hiện tượng phức tạp. Tóm lại, mô hình toán học không chỉ là một khái niệm trừu tượng, mà là một công cụ hữu ích trong việc hiếu và phân tích các hệ thống phức tạp. Định nghĩa của Kai Velten và N. Nam làm nối bật tính đa chiều và đa dạng của mô hình toán học, từ sự tương tác thời gian đến cấu trúc toán học chi tiết.
Sự hiểu biết sâu sắc về mô hình không chì mờ ra những hướng nghiên cứu mới mà còn là chìa khóa để giải quyết những thách thức phức tạp trong thế giới toán học và khoa học tự nhiên.4 Mô hình hóa toán học Theo Swetz & Hartzer (1991) Mô hình hóa toán học có thể định nghĩa là một quá trình bao gồm các dự đoán về các mối quan hệ, quan sát hiện tượng, thực hiện phân tích toán học, xử lý kết quả toán học và giải thích lại các mô hình. Blum and Niss (1991) miêu tả mô hình hóa toán học như một chuỗi tiến trình giải thích các vấn đề trong đời sống thực. Trong mô hình hóa toán học, một chủ đề được thảo luận chi tiết và được biểu diễn dưới hình thức toán học khác nhau. Theo nghĩa này, mô hình toán học là một quy trình giải quyết vấn đề đa chiều.
Nguyễn Danh Nam (2016), đã dựa vào quan điểm cùa Edwards và Hamson (2001) để đưa ra khái niệm mô hình hóa toán học là quá trình chuyển đổi một vấn đề thực tế sang một vấn đề toán học thông qua việc thiết lập và giải quyết các mô hình toán học, thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không thể chấp nhận. Berry và Hauston (1995) cũng chỉ ra rằng mô hình hóa Toán học có thể được biểu diễn đơn giản như một sự tương tác giữa cuộc sống đời thường và thế giới Toán học.1 dưới đây miêu tả chi tiết cho điều này.1 Sơ đồ đơn giản biểu diễn MHH (Berry & Houston, 1995, tr.24) Vậy, mô hình hóa Toán học là quá trình sử dụng ngôn ngữ Toán học đế chuyền đổi một bài toán thực tế sang một bài toán thuần túy, kết quả được viết dưới dạng công thức. Ngược lại; sử dụng kết quả của bài toán dưới dạng công thức ấy để giải quyết các vấn đề trong thực tiễn.2 Quy trình của mô hình hóa toán học MHHTH thường được mô tả như một quá trình băt đâu từ một vân đê trong tình huống thực tế. Sau đó, vấn đề được trừu tượng hóa thành biểu diễn toán học và được giải quyết bằng cách sử dụng các quy trình toán học.
Người thực hiện MHHTH sẽ dựa vào kết quả toán học để đưa ra phương pháp giải quyết vấn đề ban đầu. Tuy nhiên, không tồn tại một quá trình nghiêm ngặt nào để thực hiện MHHTH và tìm ra giải pháp cho vấn đề được đưa ra. Sau đây, tác giả sẽ đưa ra một số sơ đồ MHH tiêu biểu. Vào năm 1979, Polkak là người đưa ra một trong những sơ đồ về quá trình MHH đầu tiên biểu diễn sự chuyển đổi giữa toán học và thực tế.2 Quy trình MHH (Polkak, 1979) Trong sơ đồ này ta thấy từ một mô hình trong thực tế, người MHH thực hiện “phiên dịch” sang ngôn ngữ toán học hay tạo ra một mô hình toán, rồi giải bài toán trong mô hình đó và áp dụng kết quả đối với tình huống ban đầu.
Chiều của các mũi tên biểu diễn một vòng lặp, cho phép đi quanh sơ đồ giữa thế giới thực và thế giới toán học nhiều lần. Lesh and Doerr (2003) nêu ra bốn bước để mô hình hóa toán học, được miêu tả rõ trong sơ đồ 1.3 Bôn bước trong MHH (Lesh & Doerr, 2003, tr.17) Dựa vào vào so đồ trên, bước đều tiên của MHH là “Mô tả”, là quá trình chuyển từ tình huống hàng ngày được cung cấp từ cuộc sống thực sang mô hình. Ở bước thứ hai, “sửa đồi”, các hoạt động liên quan tới tình huống vấn đề được tiến hành và các giả định được đưa về mô hình dựa trên quá trình mô tả. Bước thứ ba là bước “dự đoán”, liên quan đến ước tính và chuyển đổi.
Ở giai đoạn này, giải pháp hiệu quả nhất cho vấn đề được lựa chọn sau khi đánh giá các kết quả có thể có và được áp dụng vào cuộc sống thực. Trong giai đoạn kiểm chứng cuối cùng, độ chính xác, hữu ích của mô hình được kiểm tra. Chu trình mô hình toán học (xem hình 1.2) có thể lặp lại nhiều lần trong quá trình mô hình hóa. Khác với việc giải các bài toán theo cách truyền thống, quá trình MHHTH không phải là tuyến tính (Lesh & Harel, 2003).
Trong quá trình lặp lại chu trình, HS có thế hiểu nhiều khía cạnh khác nhau của tình huống vấn đề tạo ra các cách suy nghĩ khác nhau và quyết định mô hình phù hợp nhất. Nói cách khác, học sinh đang trong quá trình MHH hình thành các kết quả với các sửa đổi cần thiết, kiểm tra tính phù hợp của chúng và điều chỉnh chúng để tìm ra kết quả phù hợp nhất.