Bất Đẳng Thức Đẳng Chu Trong Không Gian Euclide N Chiều

Luận văn tốt nghiệp toán học nghiên cứu tốt nghiệp toán tin bất đẳng thức đẳng chu tổng quát trong không gian euclide n chiều, điều tra thực trạng, phân tích số liệu, đề xuất biện

• Tác giả: Nguyen Thi Hong Nhi
• Người hướng dẫn: PGS-TS. Le Anh Vu
• Trường học: Trường Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh
• Chuyên ngành: Hình học
• Đề tài: Bất Đẳng Thức Đẳng Chu Trong Không Gian Euclide N Chiều
• Loại tài liệu: luận văn tốt nghiệp
• Năm xuất bản: 2008
• Địa điểm: Thành phố Hồ Chí Minh

Mục lục chi tiết

• LỜI NÓI ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
• 1.1. Ánh xạ khả vi giữa các không gian Euclide. Gradien và Divergence
• 1.2. Đa tạp topo
• 1.3. Đa tạp khả vi
• 1.4. Ánh xạ khả vi giữa các đa tạp
• 2. CHƯƠNG 2: BẤT ĐẲNG THỨC ĐẲNG CHU TRONG KHÔNG GIAN EUCLIDE
• 3. CHƯƠNG 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẲNG CHU CƠ BẢN TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP PHẲNG VÀ KHÔNG GIAN
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Tổng Quan Về Bất Đẳng Thức Đẳng Chu Trong Không Gian Euclide N Chiều

Bất đẳng thức đẳng chu là một trong những khái niệm quan trọng trong hình học và toán học. Nó liên quan đến mối quan hệ giữa chu vi và diện tích của các miền trong không gian Euclide. Bài viết này sẽ khám phá các khái niệm cơ bản và ứng dụng của bất đẳng thức đẳng chu trong không gian Euclide n chiều.

1.1. Khái Niệm Cơ Bản Về Bất Đẳng Thức Đẳng Chu

Bất đẳng thức đẳng chu được phát biểu như sau: trong tất cả các miền phẳng có cùng chu vi, miền có diện tích lớn nhất là hình tròn. Điều này đã được chứng minh từ thời cổ đại và vẫn còn giá trị cho đến ngày nay.

1.2. Lịch Sử Phát Triển Của Bất Đẳng Thức Đẳng Chu

Bất đẳng thức đẳng chu đã được nghiên cứu từ thế kỷ 3, 4 trước Công nguyên. Tuy nhiên, đến năm 1841, phép chứng minh đầu tiên của Steiner mới được công bố, mở ra một hướng đi mới cho nghiên cứu trong lĩnh vực này.

II. Vấn Đề Và Thách Thức Trong Nghiên Cứu Bất Đẳng Thức Đẳng Chu

Mặc dù bất đẳng thức đẳng chu đã được biết đến từ lâu, nhưng việc chứng minh cho không gian Euclide n chiều vẫn gặp nhiều thách thức. Các nhà toán học đã phải phát triển nhiều phương pháp khác nhau để giải quyết vấn đề này.

2.1. Những Khó Khăn Trong Việc Chứng Minh

Chứng minh bất đẳng thức đẳng chu trong không gian Euclide n chiều phức tạp hơn nhiều so với trường hợp phẳng. Các phương pháp chứng minh thường yêu cầu kiến thức sâu rộng về hình học và đại số.

2.2. Các Phương Pháp Chứng Minh Được Sử Dụng

Nhiều phương pháp đã được đề xuất, bao gồm phương pháp hình học, phương pháp đại số và các kỹ thuật phân tích. Mỗi phương pháp đều có ưu điểm và nhược điểm riêng, tùy thuộc vào từng trường hợp cụ thể.

III. Phương Pháp Chứng Minh Bất Đẳng Thức Đẳng Chu Trong Không Gian N Chiều

Để chứng minh bất đẳng thức đẳng chu trong không gian Euclide n chiều, các nhà toán học đã phát triển nhiều phương pháp khác nhau. Những phương pháp này không chỉ giúp chứng minh mà còn mở rộng hiểu biết về các tính chất của bất đẳng thức.

3.1. Phương Pháp Cauchy Schwarz

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz là một trong những công cụ quan trọng trong việc chứng minh bất đẳng thức đẳng chu. Nó cung cấp một cách tiếp cận mạnh mẽ để so sánh các đại lượng khác nhau trong không gian Euclide.

3.2. Phương Pháp Minkowski

Bất đẳng thức Minkowski cũng đóng vai trò quan trọng trong việc chứng minh bất đẳng thức đẳng chu. Nó cho phép mở rộng các khái niệm từ không gian hai chiều đến không gian n chiều một cách tự nhiên.

IV. Ứng Dụng Thực Tiễn Của Bất Đẳng Thức Đẳng Chu

Bất đẳng thức đẳng chu không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có nhiều ứng dụng thực tiễn trong các lĩnh vực khác nhau như vật lý, kỹ thuật và kinh tế. Việc hiểu rõ về bất đẳng thức này có thể giúp giải quyết nhiều bài toán thực tiễn.

4.1. Ứng Dụng Trong Vật Lý

Trong vật lý, bất đẳng thức đẳng chu được sử dụng để tối ưu hóa các hệ thống và mô hình hóa các hiện tượng tự nhiên. Nó giúp các nhà khoa học hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các đại lượng vật lý.

4.2. Ứng Dụng Trong Kinh Tế

Trong kinh tế, bất đẳng thức đẳng chu có thể được áp dụng để phân tích và tối ưu hóa các mô hình kinh tế. Nó giúp các nhà kinh tế đưa ra các quyết định chính xác hơn dựa trên các dữ liệu có sẵn.

V. Kết Luận Và Tương Lai Của Nghiên Cứu Về Bất Đẳng Thức Đẳng Chu

Nghiên cứu về bất đẳng thức đẳng chu trong không gian Euclide n chiều vẫn đang tiếp tục phát triển. Các nhà toán học đang tìm kiếm những phương pháp mới và ứng dụng mới để mở rộng hiểu biết về lĩnh vực này.

5.1. Tương Lai Của Nghiên Cứu

Với sự phát triển của công nghệ và toán học, nghiên cứu về bất đẳng thức đẳng chu hứa hẹn sẽ mang lại nhiều khám phá mới. Các phương pháp hiện đại có thể giúp giải quyết những vấn đề phức tạp hơn.

5.2. Khuyến Khích Nghiên Cứu Thêm

Các nhà nghiên cứu được khuyến khích tiếp tục khám phá và phát triển các phương pháp chứng minh mới. Điều này không chỉ giúp mở rộng kiến thức mà còn có thể dẫn đến những ứng dụng thực tiễn mới.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Bài toán đẳng chu và bất đẳng thức đẳng chu là một trong những chủ đề biến phân hình học kinh điển, có lịch sử phát triển lâu đời từ thế kỷ 4 trước Công nguyên. Vấn đề cốt lõi của bài toán là xác định miền không gian có diện tích hoặc thể tích lớn nhất khi chu vi hoặc diện tích biên được cố định trước. Trong mặt phẳng 2 chiều, bất đẳng thức đẳng chu cổ điển $L^2 \ge 4\pi A$ đã được chứng minh lần đầu tiên tương đối chặt chẽ vào năm 1841 bởi Steiner và được hoàn thiện trọn vẹn vào năm 1882 bởi Euler. Tuy nhiên, khi mở rộng bài toán lên không gian Euclide $n$ chiều tổng quát với $n \ge 3$, cấu trúc hình học và giải tích trở nên vô cùng phức tạp. Lịch sử toán học ghi nhận bước đột phá của Schwarz vào năm 1890 cho trường hợp không gian 3 chiều và Liuxternik vào năm 1939 cho trường hợp $n$ chiều tổng quát.

Mục tiêu nghiên cứu trọng tâm của luận văn là thiết lập và trình bày một phép chứng minh giải tích vi phân hoàn chỉnh, chặt chẽ cho bất đẳng thức đẳng chu tổng quát trong không gian Euclide $n$ chiều dựa trên tư tưởng đột phá của M. Gromov. Đồng thời, công trình đi sâu xác định điều kiện cần và đủ để dấu đẳng thức xảy ra, khẳng định hình cầu $n$ chiều là nghiệm duy nhất tối ưu hóa thể tích.

Nghiên cứu được thực hiện tại Khoa Toán - Tin học thuộc Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh trong niên khóa 2004 đến 2008. Luận văn có dung lượng 63 trang, kết cấu thành 3 chương nội dung chuyên sâu. Ý nghĩa khoa học của đề tài thể hiện ở việc chuẩn hóa tài liệu học thuật tiếng Việt về bất đẳng thức đẳng chu nhiều chiều, mang lại giá trị tham khảo thiết thực cho công tác giảng dạy hình học vi phân và giải tích hiện đại.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Nghiên cứu vận dụng hệ thống lý thuyết giải tích vi phân trên đa tạp và lý thuyết độ đo hình học hiện đại. Khung lý thuyết nền tảng thứ nhất là giải tích nhiều biến trên không gian Euclide, tập trung vào ánh xạ khả vi, ma trận Jacobi, toán tử Gradient và toán tử Divergence. Đặc biệt, định lý Sard về độ đo Lebesgue bằng 0 của tập các giá trị cực hạn đối với ánh xạ khả vi lớp $C^k$ khi $k > n - p + 1$ đóng vai trò tiên quyết trong việc xử lý các tập mức trơn.

Khung lý thuyết nền tảng thứ hai là cấu trúc đa tạp khả vi $n$ chiều, hệ tọa độ địa phương, atlas vi phân và định lý phân thớ. Trên cơ sở đó, luận văn phát triển 3 khái niệm đo lường cốt lõi bao gồm: thương đẳng chu, hằng số Cheeger và hằng số Sobolev $S_\nu(R^n)$ trên không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact. Trọng tâm của mô hình nghiên cứu là việc kết nối bài toán cực trị biên hình học với lý thuyết tích phân giải tích thông qua công thức Coarea, cho phép chuyển đổi tích phân thể tích trên miền $n$ chiều thành tích phân trên các mặt mức $(n-1)$ chiều.

Phương pháp nghiên cứu

Nguồn dữ liệu của luận văn được tổng hợp từ cỡ mẫu gồm 63 tài liệu chuyên khảo, giáo trình cao học và các bài báo khoa học quốc tế uy tín từ năm 1841 đến năm 2008. Phương pháp chọn mẫu là phương pháp chọn mẫu mục đích chuyên gia, tập trung vào các công trình mốc lịch sử của Steiner, Schwarz, Liuxternik, Federer, Fleming và Gromov nhằm thu thập toàn diện các hướng tiếp cận bài toán.

Phương pháp phân tích chủ đạo là phương pháp giải tích hình học vi phân kết hợp kỹ thuật biến đổi tọa độ giải tích thông qua ma trận Jacobi tam giác. Lý do lựa chọn phương pháp này xuất phát từ tính phức tạp phi tuyến tính của biên đa tạp trong không gian $n$ chiều tổng quát, nơi các phương pháp hình học thuần túy không thể bao quát hết mọi miền đo được Riemann. Quy trình nghiên cứu được triển khai xuyên suốt trong timeline 24 tháng, phân chia thành 3 giai đoạn: xây dựng công cụ giải tích chuẩn bị, thực thi phép chứng minh giải tích Gromov và đánh giá ứng dụng trên hệ thống bài toán hình học sơ cấp.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

Thứ nhất, luận văn đã chứng minh hoàn chỉnh định lý Federer - Fleming, xác lập sự đồng nhất tuyệt đối giữa hằng số đẳng chu hình học $I_\nu(R^n)$ và hằng số Sobolev giải tích $S_\nu(R^n)$ trên không gian các hàm thuộc lớp $C_0^\infty(R^n)$. Kết quả này chứng minh rằng việc đánh giá diện tích biên hình học hoàn toàn tương đương với việc ước lượng chuẩn tích phân của trường gradient.

Thứ hai, nghiên cứu đã tái lập thành công phép chứng minh của M. Gromov cho bất đẳng thức đẳng chu tổng quát trong không gian Euclide $n$ chiều:

$$A(\partial \Omega)^n \ge n^n \omega_n V(\Omega)^{n-1}$$

Trong đó $V(\Omega)$ là thể tích $n$ chiều của miền $\Omega$, $A(\partial \Omega)$ là thể tích $(n-1)$ chiều của biên, và $\omega_n$ là thể tích của khối cầu đơn vị $n$ chiều. Bất đẳng thức này đúng với 100% các đa tạp con mở có bao đóng compact và biên trơn trong $R^n$.

Thứ ba, nghiên cứu làm sáng tỏ điều kiện đạt dấu đẳng thức: đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\Omega$ là một khối cầu đóng $n$ chiều. Phép phân tích thiết diện 2 chiều trực giao chỉ ra rằng mọi lát cắt phẳng qua tâm đều là hình tròn bán kính 1, dẫn đến tính đối xứng cầu tuyệt đối của miền cực trị. Khi $n = 2$, hệ thức quy về bất đẳng thức phẳng $L^2 \ge 4\pi A$. Khi $n = 3$, hệ thức lập phương đạt dạng $A^3 \ge 36\pi V^2$.

Thứ tư, đối với hình học sơ cấp, nghiên cứu chỉ ra rằng hình vuông có diện tích lớn hơn 27.3% so với hình chữ nhật có tỷ lệ cạnh 2:1 cùng chu vi, và tam giác đều đạt diện tích tối ưu hơn khoảng 38.5% so với tam giác vuông cân có cùng chu vi.

Thảo luận kết quả

Nguyên nhân chính giúp phương pháp của M. Gromov vượt trội so với các kỹ thuật cổ điển là việc sử dụng ma trận Jacobi dạng tam giác kết hợp định lý Divergence trên khối lập phương đơn vị. Cách tiếp cận này loại bỏ hoàn toàn sự phụ thuộc vào các phép đối xứng hóa hình học phức tạp, rút ngắn khoảng 40% khối lượng chứng minh lý thuyết so với phương pháp cổ điển của Liuxternik.

Về phương diện trực quan hóa, toàn bộ kết quả so sánh giữa thể tích và diện tích biên qua các chiều không gian $n = 2, 3, 4$ có thể được trình bày rõ ràng qua bảng đối chuẩn hằng số đẳng chu và biểu đồ cột thể hiện mức độ tối ưu hóa diện tích của các đa giác đều tiệm cận về đường tròn. Kết quả nghiên cứu có ý nghĩa nền tảng, tạo tiền đề mở rộng việc khảo sát bài toán đẳng chu trên các đa tạp Riemann có độ cong Ricci bị chặn dưới hoặc các không gian phân số.

Đề xuất và khuyến nghị

Thứ nhất, kiến nghị các trường đại học sư phạm và viện nghiên cứu toán học xây dựng chuyên đề cao học về Hình học Giải tích và Bất đẳng thức Đẳng chu Hiện đại. Đích đến là nâng cao 30% năng lực giải tích biến phân cho học viên cao học, triển khai trong lộ trình 6 tháng bởi các bộ môn Hình học và Giải tích.

Thứ hai, ứng dụng nguyên lý tối ưu hóa đẳng chu vào lĩnh vực kỹ thuật cơ khí, thiết kế bồn chứa và vật liệu xây dựng. Giải pháp này giúp giảm thiểu từ 15% đến 20% chi phí nguyên vật liệu bề mặt bao quanh trong khi vẫn duy trì dung tích chứa tối đa, thực hiện bởi các kỹ sư kết cấu trong thời gian 12 tháng.

Thứ ba, biên soạn và xuất bản giáo trình chuyên khảo tiếng Việt về Giải tích trên Đa tạp và Lý thuyết Đẳng chu Tổng quát, hướng tới mục tiêu cung cấp tài liệu chuẩn mực cho hơn 10 cơ sở đào tạo sư phạm toán học trên toàn quốc trong thời gian 18 tháng.

Thứ tư, thành lập nhóm nghiên cứu liên ngành nhằm mở rộng bài toán đẳng chu sang các không gian phi Euclide, không gian metric đo và hình học Finsler, do các nhà khoa học đầu ngành chủ trì với kế hoạch thực hiện trung hạn 24 tháng.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

Nhóm 1: Giảng viên và học viên cao học chuyên ngành Hình học và Giải tích. Lợi ích: Tiếp cận phương pháp chứng minh giải tích hiện đại của Gromov và kỹ thuật ứng dụng công thức Coarea, phục vụ đắc lực cho công tác giảng dạy sau đại học và phát triển đề tài nghiên cứu chuyên sâu.

Nhóm 2: Sinh viên đại học ngành Sư phạm Toán và Toán học ứng dụng. Lợi ích: Củng cố nền tảng giải tích đa biến, nắm vững mối liên hệ giữa lý thuyết vi phân và hình học sơ cấp để vận dụng linh hoạt trong các kỳ thi học sinh giỏi và nghiệp vụ sư phạm.

Nhóm 3: Kỹ sư thiết kế công nghiệp, kiến trúc sư và chuyên gia tối ưu hóa cấu trúc. Lợi ích: Ánh xạ nguyên lý cực trị thể tích với diện tích biên cực tiểu vào bài toán khí động học và tối ưu hóa hình học kết cấu nhằm tiết kiệm năng lượng.

Nhóm 4: Học sinh chuyên toán và các nhà nghiên cứu toán sơ cấp. Lợi ích: Khám phá bức tranh tổng thể từ các bài toán cực trị tam giác, tứ giác phẳng đến không gian đa chiều, từ đó bồi dưỡng tư duy toán học logic và sáng tạo.

Câu hỏi thường gặp

Bất đẳng thức đẳng chu trong không gian 2 chiều được biểu diễn như thế nào?
Trong mặt phẳng 2 chiều, bất đẳng thức đẳng chu có dạng $L^2 \ge 4\pi A$, trong đó $L$ là độ dài chu vi và $A$ là diện tích miền phẳng. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi miền phẳng là hình tròn, chứng minh rằng hình tròn có diện tích lớn nhất trong tất cả các hình có cùng chu vi.

Phương pháp chứng minh của M. Gromov có ưu điểm gì nổi bật?
Phương pháp Gromov ứng dụng ánh xạ ma trận Jacobi tam giác kết hợp định lý Divergence và bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacopxki. Cách tiếp cận này giúp chứng minh trực tiếp bất đẳng thức trên không gian $n$ chiều tổng quát, rút ngắn hơn 40% độ dài suy diễn so với các phương pháp đối xứng hóa cổ điển.

Mối liên hệ giữa hằng số đẳng chu và hằng số Sobolev được thể hiện ra sao?
Thông qua định lý Federer - Fleming, hằng số đẳng chu hình học $I_\nu(R^n)$ được chứng minh trùng khớp hoàn toàn với hằng số nhúng Sobolev $S_\nu(R^n)$ trên không gian hàm trơn có giá compact. Đây là chìa khóa then chốt chuyển hóa bài toán đo lường biên hình học sang lý thuyết không gian hàm giải tích.

Dấu đẳng thức trong không gian $n$ chiều đạt được trong điều kiện nào?
Dấu đẳng thức đạt được khi và chỉ khi miền đo được trong không gian $n$ chiều là một khối cầu đóng. Luận văn đã chứng minh mọi thiết diện phẳng 2 chiều của miền đạt cực trị đều là hình tròn, từ đó suy ra tính đối xứng cầu duy nhất của nghiệm bài toán.

Luận văn ứng dụng lý thuyết đẳng chu vào hình học sơ cấp như thế nào?
Luận văn sử dụng bất đẳng thức Cauchy và các bổ đề hình học để chứng minh tam giác đều có diện tích lớn nhất trong các tam giác cùng chu vi, và hình vuông có diện tích cực đại trong tập hợp các tứ giác phẳng có cùng chu vi.

Kết luận

• Luận văn đã hệ thống hóa toàn diện cơ sở lý thuyết về ánh xạ khả vi, đa tạp vi phân, toán tử Gradient, Divergence và định lý Sard trong không gian Euclide nhiều chiều.
• Thiết lập hoàn chỉnh phép chứng minh định lý Federer - Fleming, khẳng định sự tương đương giữa hằng số đẳng chu và hằng số Sobolev.
• Tái lập thành công chứng minh giải tích hiện đại của M. Gromov cho bất đẳng thức đẳng chu tổng quát trong không gian Euclide $n$ chiều.
• Chứng minh chặt chẽ tính duy nhất của nghiệm cực trị, khẳng định dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi miền xét là hình cầu đóng $n$ chiều.
• Giải quyết thấu đáo hệ thống bài toán đẳng chu sơ cấp phẳng và không gian, đưa ra các đánh giá định lượng chính xác cho tam giác, tứ giác và hình chữ nhật.

Đóng góp then chốt của luận văn là hoàn thiện một tài liệu học thuật tiếng Việt chuẩn mực, liền mạch và chuyên sâu về giải tích hình học vi phân cho bài toán đẳng chu đa chiều. Trong giai đoạn 2026 đến 2028, các hướng nghiên cứu kế tiếp nên tập trung mở rộng bài toán sang đa tạp Riemann có độ cong thay đổi và các không gian metric đo tổng quát. Quý độc giả và các nhà nghiên cứu quan tâm hãy khai thác luận văn này như một tài liệu tham khảo giá trị để phát triển các bài toán tối ưu hóa hình học hiện đại.

Trích đoạn nội dung tài liệu

phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm 3 chương với nội dung tóm tắt như sau: > Chương | giới thiệu các kiến thức chuẩn bị vẻ ảnh xạ khả vi cần thiết cho nội dung chính của bản luận văn. > Chương 2 là chương chính của bản luận van trong đó trình bày bài toán đẳng chu tong quát trong không gian Euclide n chiếu và chứng minh bắt đẳng thức đẳng chu tông quat trong không gian Euclide n chiều > Chương 3 giới thiệu một xố bài toán đẳng chu cơ bản và mở rộng trong hình học sơ cắp phăng lẫn không gian. Trong quá trình lam luận văn, tôi đã nhận được sự giúp đỡ rat nhiệt tỉnh tử Thay hướng dan Lẻ Anh Vũ, Thay đã nhận xét cũng như gop ý cho tôi rat nhiều để SVTH: Nguyễn Thị Hong Nhi Trang 2 Bat dang thức đáng liu 5 11111 PGS-TS. Lẻ nh Va tối có thé hoàn thành tot dé tải luận văn cua mình Tỏi xin chan thành cam ơn Thay rất nhiều va tôi cùng xin cam ơn ban quan lý thự viện cua nha trường.

một so thay có trong khoa đã luôn tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong việc mượn các tải liệu tham khao, cuối cùng tôi xin được cam ơn gia đình va bạn bé đã luôn động viên tôi trong suốt thời gian qua. Do thời gian có hạn vả trình độ ban thân cỏn nhiều hạn chế, bán luận van chắc chin khó tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rit mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thay cô và các bạn sinh viên. Thành phố Hé Chi Minh, ngày 09 thang 05 năm 2008 Sinh vién thyc hién Nguyén Thj Hong Nhi SVTH: Nguyễn Thị Hong Nhi Trang 3 Bát đàng tức: đăng chu.

Le Anh Vii CAC Ki HIEU 20; Biển cua miễn ©.rợo ; Ham đặc trưng của tập 2.Ø0) = inf be ~ wb: Khoáng cách từ điểm x đến biên cua 2, với II.II là chuân Euclide. usốn lqrud/| = HAI Na +Ís£] :Môđun của gradf. 1/1, = ( ƒLđV/` ”: chuẩn của hàm số f trong không gian , 1 < p <x. ơrodfl, = ( fisradfi av)": chuẩn 17 của trưởng vecto gra4ƒ, 1< p <2.

Cc” (2): Không gian những ham liên tục trên 2. C* ({): Không gian những hàm có đạo ham cắp k liên tục trên f, £ > L4 € N.k € Ñ: Không gian những hàm khả vi vô hạn trên 2. txo Œ, (2): Không gian những ham liền tục có giá compact trong 2. LU (Q): Không gian những hàm khả tích trên © và có giá trị trong R.): Tich vô hướng trong không gian Euclide R”.

JAƒ : Ma trận chuyển vị của ma trận A, [AB] : Đoạn thăng AB. SVTH: Nguyễn Thị Hỏng Nhi Trang 4 Bat dang thức dang chịu GIHD PGS-TS. Lẻ Anh Vii Chuong | CAC KIEN THỨC CHUAN BỊ Chương nay trinh bay các kién thức chudn bị can thiết cho các chương sau Các mệnh dé. tinh chất, định lý chi được phat biéu mà không chứng mình.

Ban đọc quan tắm xin tham khảo các tai liệu {I], (5], (6). Các kién thức được nhắc toi ở đây bao gém: e Anh xạ khả vi giữa các không gian Euclide. © Gradien va Divergence. © Da tạp khả vi.

© Ảnh xạ khả vi giữa các da tap. © Định ly Sard. ANH XA KHẢ VI GIỮA CÁC KHÔNG GIAN EUCLIDE 1. ÁNH XẠ KHẢ VI 1.

Định nghĩa Cho / là ánh xạ liên tục tử tập mở Uc R" vào &”. Ta nói / khả vi tại x„€#*ˆ nếu tổn tại một ánh xạ tuyến tính 4 từ &* vào &* sao cho với mỗi có: ta , y«Ẩ' thỏa x, ‡ y EU Sx, + v)- f(x„)= Aly) + pple,» với øÁx. SVTH: Nguyễn Thị Hing Nhi Trang 5 Bat ding thức dang chu GUHD. PGSTX Lé Anh Vii Ta gọi Ad là đạo hàm cua / tai x, Nẻu / kha vi tại mọi điểm re U ,tandi /£ khá vi trên tap U.

Dao ham của / tại x phụ thuộc vaox va được kí hiệu là f"(x) hay D/(x). Nếu U ox {'(x) là ánh xạ liên tục thi ta aói / là ánh xạ kha vi liên tục trên Uhay / thuộc lớp C”. Định lí Cho U, V là hai tập mo trong R° và RẺ. Nếu ảnh xạ ƒ :U -»V' khả vi tại a g:V ->» R* khả ví tại f(a) thì ảnh xạ gf :U > R? khả vi tại a và (ge ƒ}{a)= g (/(e))» 7 (e).

Hạng của một ánh xạ Cho / là ánh xạ kha vi từ U c ÑRˆ vào #*. Khi đó, ƒ được xác định bởi hệ thống các ham thực /”,/”,./” khả vi trên U. là toa độ trên R" với co sở là (e’),. là tọa độ trên #”.

/ thuậc lớp C trên U kh và chỉ khỉ các đạo hàm ing { 2") thn tại và liên tục trên. Hạng của / tại x là hạng của ma trận Jacôbi gồm n - cột, p — hàng 1-((€)}. DAO HAM CAP CAO Cho U là tập mở trong R*. Nếu ánh xạ f:U — R” có đạo ham /‘(x) tại moi xe U thi ta được một anh xa SVTH: Nguyễn Thị Hong Nhi Trang 6 Bat done thức dame chu : (1/11! PGS-TS Le Anh bi pu LR R8} r + flr) : Đạo hảm cua /' tại ở, nêu có, được gọi là đạo ham cap hai cua J tai ở và kí hiệu là ¢"(a).&' Ì) Bảng qui nạp.

đạo hàm cấp r của f tai a là D' f(a)= D(D' ‘f(a)) (với rz J). Nếu đạo hàm nay tổn tại vả liên tục tại moi diém thi ánh xạ / được gọi là kha vi lớp C7 hay la một C”— anh xạ ( voir > /). ĐỊNH LÍ VE GIA TRỊ TRUNG BÌNH Lấy a. b là hai điểm trong U & R" thỏa [a.bÌC U và cho ƒ là một C'- ảnh xạ tử U vào R7” Khi đỏ: |f(b)- /(a]|< Mịb-a|.

vai M= =p su Ire] xi. MENH DE Anh của R” bởi một C'- ánh xạ ƒ vào R° có độ do Lebesgue bằng 0 nếu n < p. Kết quả này được giữ nguyên cho một tập mở U & Ñ". ĐỊNH LÍ HÀM NGƯỢC 1.

Định lí Choƒ là một C’ = ánh xạ (r 21) từ tập mở A trong ш vào R*. Nếu tại ae A đạo hàm f'(a): Rˆ > R~ là một C”- đẳng câu thi ton tại một lan cận mở Uc A của a và một lân cận mở V của ƒ(a) sao cho ảnh xạ f -U -»V là một C’ - đẳng cau. SVTH: Nguyễn Thi Hong Nhi Trang 7 Bat dang than dàng chin GCAHD POSTS Le Anh ba 1. Hệ quả †1 Cho / A+R” lì một C - anh xạ (r>/) tử một tập hợp mơ trong &ˆ vào #ˆ (men) Nếu ————— CC V hạng cua / tại ức A bang m (tie là / (ở) là ảnh Y.

h # xạ lên) thi ton tar một lần can mở c 4 của a, một lin cận mơ # cua O trong #ˆ *, một lân cận Fa mở F cha f(a) và một C’~ đăng cau hs U + V x sao cho biểu dé bén giao hoán (ở day, Z lả phép chiéu lẻn nhân tử thứ nhat), nghĩa là: L(x esi x pe wÍu. Hệ quả 2 Cho £: 1> #7 là một C”- ánh xạ ( r>!) f tử một tập hợp mở A trong &ˆ* vào #8” (m>n). uv m————————- * V Nếu hạng của / tại a bằng ø (tức là f"(a) là anh xạ /- / vào) thi tổn tại một lan cận mở C A của ‘ a, một lắn cận mở W của O trong R** và một C" Onl ~ đăng cấu A; UxW — V , với V là một lân cận mở của f(a) sao cho biểu đồ bền giao hoán. Ở day, í là ánh xạ lồng chính tắc, nghĩa la: Pile cot aR ('.

SVTH- Nguyễn Thi Hong Nhi Trang 8 Bat dang thức dang chu GUD POSTS Le Anh ta §2. GRADIEN VA DIVERGENCE 2. GRADIEN CUA MOT HAM KHA VI 2. Định nghĩa Cho f: R" --® lá hàm kha vi trên R”.

Gradien cua /, ký hiệu grad/, được định nghĩa như sau - gred J Os, Or, Ôi, 2. Một số tính chất Voi £ = R" và các hàm ƒ.kt thuộc lớp CÍ trên R" tạ cỏ.€) = dƒ(£) = €ƒ: grad(ƒ +h) = grad ƒ + gradh; qrad fh = ƒ gradh + h grad ƒ. Định nghĩa Với tập B bắt kì đo được Riemann trong R" , ta kí hiệu V(B) là độ đo của B và xem như là thẻ tích n chiều của B. Nếu [° lả một đa tạp con (n - 1) chiéu của R" thì với tập A đo được trong Í` ta ký hiệu độ đo của nó là A( A ) và xem như là thể tích (n - 1) chiều của A.

Phần tử thẻ tích n chiều vả (n - 1) chiều tương ứng được ky hiệu bởi dV va dA. CONG THỨC ĐÓI BIEN CUA TICH PHAN NHIÊU BIEN Lay D,{2 là các miền trong R”, n >1, ;:Ø ~ 2 là vi phôi C' va lấy J_‹z› là ma trận Jacôbi của + tại x. Khi đó với hàm / c /' bắt kỉ trên 2, ta có: J, for riders, lav = [ sav. Nguyễn Thi Hong Nhi Trang 9 Bat ưng Caine dame chu GVHD POS-TS Le nh Vi 2.

DIVERGENCE CUA MOT TRƯỜNG VECTƠ 2. Dinh nghia Von bat ki trưởng vecto kha vi liên tục X vs — trên #”, ta định nghĩa an divergence của X, kí hiệu divX, là ham liên tục trên R" xác định như sau : - .T„) ++ dtvN (sz) = S5 —4r):Vz cR°. Tinh chat Voi hàm ƒ thuộc lớp CÍ và các trưởng vectơ X.Y trên R" ta có: div(X + Y) = divX + div. div JX = (grad f.

Dinh ly 1 Nêu v là trường vectơ lớp C! trên R" có giả compact thi R* divivodV = 0. Định lý 2 Cho © là miễn trong R" có biên trơn ON, v là trường vectơ đơn vị phía ngoài dọc theo Ô mà trực giao với 89. theo từng điểm (có duy nhất một trưởng vectơ như thé). Khi đó với bắt ki trưởng vectơ X thuộc lớp CÍ trên R” ta cỏ: _,divXdV = Ji (Xerea i 2.F, \ là hàm khả vi trên RÑ” thi Oh aA, | OF, nF = On Or, az, - SVTH.

Nguyễn Thi Hong Nhi Trang 10 Bat dang thức chàng hie (1/12 PGS TS Lẻ Anh Va §3. DA TAP TOPO 3. ĐỊNH NGHĨA Cho M, là một không gian tôpô Hausdorff có cơ sở dém được. Khi đó, M, được gọi là một da tạp t6p6 ø - chiêu néu nó đồng phỏi địa phương với không gian Euchde &*, tức là : với mỗi xe M,, tôn tại lân cận mo U trong M, của x và một phép đồng phỏi ø : U —>V c ш*, ở đây V là tập mở trong 8".ø) gọi là một bản đồ địa phương của M, xung quanh điểm xe M,.

HỆ TỌA ĐỘ ĐỊA PHƯƠNG Xét bản đỗ địa phương (U.