Bất Đẳng Thức Đẳng Chu Trong Không Gian Euclide N Chiều

Luận văn tốt nghiệp toán học nghiên cứu tốt nghiệp toán tin bất đẳng thức đẳng chu tổng quát trong không gian euclide n chiều, điều tra thực trạng, phân tích số liệu, đề xuất biện

• Tác giả: Nguyen Thi Hong Nhi
• Người hướng dẫn: PGS-TS. Le Anh Vu
• Trường học: Trường Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh
• Chuyên ngành: Hình học
• Đề tài: Bất Đẳng Thức Đẳng Chu Trong Không Gian Euclide N Chiều
• Loại tài liệu: luận văn tốt nghiệp
• Năm xuất bản: 2008
• Địa điểm: Thành phố Hồ Chí Minh

Mục lục chi tiết

• LỜI NÓI ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
• 1.1. Ánh xạ khả vi giữa các không gian Euclide. Gradien và Divergence
• 1.2. Đa tạp topo
• 1.3. Đa tạp khả vi
• 1.4. Ánh xạ khả vi giữa các đa tạp
• 2. CHƯƠNG 2: BẤT ĐẲNG THỨC ĐẲNG CHU TRONG KHÔNG GIAN EUCLIDE
• 3. CHƯƠNG 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẲNG CHU CƠ BẢN TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP PHẲNG VÀ KHÔNG GIAN
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Tổng Quan Về Bất Đẳng Thức Đẳng Chu Trong Không Gian Euclide N Chiều

Bất đẳng thức đẳng chu là một trong những khái niệm quan trọng trong hình học và toán học. Nó liên quan đến mối quan hệ giữa chu vi và diện tích của các miền trong không gian Euclide. Bài viết này sẽ khám phá các khái niệm cơ bản và ứng dụng của bất đẳng thức đẳng chu trong không gian Euclide n chiều.

1.1. Khái Niệm Cơ Bản Về Bất Đẳng Thức Đẳng Chu

Bất đẳng thức đẳng chu được phát biểu như sau: trong tất cả các miền phẳng có cùng chu vi, miền có diện tích lớn nhất là hình tròn. Điều này đã được chứng minh từ thời cổ đại và vẫn còn giá trị cho đến ngày nay.

1.2. Lịch Sử Phát Triển Của Bất Đẳng Thức Đẳng Chu

Bất đẳng thức đẳng chu đã được nghiên cứu từ thế kỷ 3, 4 trước Công nguyên. Tuy nhiên, đến năm 1841, phép chứng minh đầu tiên của Steiner mới được công bố, mở ra một hướng đi mới cho nghiên cứu trong lĩnh vực này.

II. Vấn Đề Và Thách Thức Trong Nghiên Cứu Bất Đẳng Thức Đẳng Chu

Mặc dù bất đẳng thức đẳng chu đã được biết đến từ lâu, nhưng việc chứng minh cho không gian Euclide n chiều vẫn gặp nhiều thách thức. Các nhà toán học đã phải phát triển nhiều phương pháp khác nhau để giải quyết vấn đề này.

2.1. Những Khó Khăn Trong Việc Chứng Minh

Chứng minh bất đẳng thức đẳng chu trong không gian Euclide n chiều phức tạp hơn nhiều so với trường hợp phẳng. Các phương pháp chứng minh thường yêu cầu kiến thức sâu rộng về hình học và đại số.

2.2. Các Phương Pháp Chứng Minh Được Sử Dụng

Nhiều phương pháp đã được đề xuất, bao gồm phương pháp hình học, phương pháp đại số và các kỹ thuật phân tích. Mỗi phương pháp đều có ưu điểm và nhược điểm riêng, tùy thuộc vào từng trường hợp cụ thể.

III. Phương Pháp Chứng Minh Bất Đẳng Thức Đẳng Chu Trong Không Gian N Chiều

Để chứng minh bất đẳng thức đẳng chu trong không gian Euclide n chiều, các nhà toán học đã phát triển nhiều phương pháp khác nhau. Những phương pháp này không chỉ giúp chứng minh mà còn mở rộng hiểu biết về các tính chất của bất đẳng thức.

3.1. Phương Pháp Cauchy Schwarz

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz là một trong những công cụ quan trọng trong việc chứng minh bất đẳng thức đẳng chu. Nó cung cấp một cách tiếp cận mạnh mẽ để so sánh các đại lượng khác nhau trong không gian Euclide.

3.2. Phương Pháp Minkowski

Bất đẳng thức Minkowski cũng đóng vai trò quan trọng trong việc chứng minh bất đẳng thức đẳng chu. Nó cho phép mở rộng các khái niệm từ không gian hai chiều đến không gian n chiều một cách tự nhiên.

IV. Ứng Dụng Thực Tiễn Của Bất Đẳng Thức Đẳng Chu

Bất đẳng thức đẳng chu không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có nhiều ứng dụng thực tiễn trong các lĩnh vực khác nhau như vật lý, kỹ thuật và kinh tế. Việc hiểu rõ về bất đẳng thức này có thể giúp giải quyết nhiều bài toán thực tiễn.

4.1. Ứng Dụng Trong Vật Lý

Trong vật lý, bất đẳng thức đẳng chu được sử dụng để tối ưu hóa các hệ thống và mô hình hóa các hiện tượng tự nhiên. Nó giúp các nhà khoa học hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các đại lượng vật lý.

4.2. Ứng Dụng Trong Kinh Tế

Trong kinh tế, bất đẳng thức đẳng chu có thể được áp dụng để phân tích và tối ưu hóa các mô hình kinh tế. Nó giúp các nhà kinh tế đưa ra các quyết định chính xác hơn dựa trên các dữ liệu có sẵn.

V. Kết Luận Và Tương Lai Của Nghiên Cứu Về Bất Đẳng Thức Đẳng Chu

Nghiên cứu về bất đẳng thức đẳng chu trong không gian Euclide n chiều vẫn đang tiếp tục phát triển. Các nhà toán học đang tìm kiếm những phương pháp mới và ứng dụng mới để mở rộng hiểu biết về lĩnh vực này.

5.1. Tương Lai Của Nghiên Cứu

Với sự phát triển của công nghệ và toán học, nghiên cứu về bất đẳng thức đẳng chu hứa hẹn sẽ mang lại nhiều khám phá mới. Các phương pháp hiện đại có thể giúp giải quyết những vấn đề phức tạp hơn.

5.2. Khuyến Khích Nghiên Cứu Thêm

Các nhà nghiên cứu được khuyến khích tiếp tục khám phá và phát triển các phương pháp chứng minh mới. Điều này không chỉ giúp mở rộng kiến thức mà còn có thể dẫn đến những ứng dụng thực tiễn mới.

Trích đoạn nội dung tài liệu

phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm 3 chương với nội dung tóm tắt như sau: > Chương | giới thiệu các kiến thức chuẩn bị vẻ ảnh xạ khả vi cần thiết cho nội dung chính của bản luận văn. > Chương 2 là chương chính của bản luận van trong đó trình bày bài toán đẳng chu tong quát trong không gian Euclide n chiếu và chứng minh bắt đẳng thức đẳng chu tông quat trong không gian Euclide n chiều > Chương 3 giới thiệu một xố bài toán đẳng chu cơ bản và mở rộng trong hình học sơ cắp phăng lẫn không gian. Trong quá trình lam luận văn, tôi đã nhận được sự giúp đỡ rat nhiệt tỉnh tử Thay hướng dan Lẻ Anh Vũ, Thay đã nhận xét cũng như gop ý cho tôi rat nhiều để SVTH: Nguyễn Thị Hong Nhi Trang 2 Bat dang thức đáng liu 5 11111 PGS-TS. Lẻ nh Va tối có thé hoàn thành tot dé tải luận văn cua mình Tỏi xin chan thành cam ơn Thay rất nhiều va tôi cùng xin cam ơn ban quan lý thự viện cua nha trường.

một so thay có trong khoa đã luôn tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong việc mượn các tải liệu tham khao, cuối cùng tôi xin được cam ơn gia đình va bạn bé đã luôn động viên tôi trong suốt thời gian qua. Do thời gian có hạn vả trình độ ban thân cỏn nhiều hạn chế, bán luận van chắc chin khó tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rit mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thay cô và các bạn sinh viên. Thành phố Hé Chi Minh, ngày 09 thang 05 năm 2008 Sinh vién thyc hién Nguyén Thj Hong Nhi SVTH: Nguyễn Thị Hong Nhi Trang 3 Bát đàng tức: đăng chu.

Le Anh Vii CAC Ki HIEU 20; Biển cua miễn ©.rợo ; Ham đặc trưng của tập 2.Ø0) = inf be ~ wb: Khoáng cách từ điểm x đến biên cua 2, với II.II là chuân Euclide. usốn lqrud/| = HAI Na +Ís£] :Môđun của gradf. 1/1, = ( ƒLđV/` ”: chuẩn của hàm số f trong không gian , 1 < p <x. ơrodfl, = ( fisradfi av)": chuẩn 17 của trưởng vecto gra4ƒ, 1< p <2.

Cc” (2): Không gian những ham liên tục trên 2. C* ({): Không gian những hàm có đạo ham cắp k liên tục trên f, £ > L4 € N.k € Ñ: Không gian những hàm khả vi vô hạn trên 2. txo Œ, (2): Không gian những ham liền tục có giá compact trong 2. LU (Q): Không gian những hàm khả tích trên © và có giá trị trong R.): Tich vô hướng trong không gian Euclide R”.

JAƒ : Ma trận chuyển vị của ma trận A, [AB] : Đoạn thăng AB. SVTH: Nguyễn Thị Hỏng Nhi Trang 4 Bat dang thức dang chịu GIHD PGS-TS. Lẻ Anh Vii Chuong | CAC KIEN THỨC CHUAN BỊ Chương nay trinh bay các kién thức chudn bị can thiết cho các chương sau Các mệnh dé. tinh chất, định lý chi được phat biéu mà không chứng mình.

Ban đọc quan tắm xin tham khảo các tai liệu {I], (5], (6). Các kién thức được nhắc toi ở đây bao gém: e Anh xạ khả vi giữa các không gian Euclide. © Gradien va Divergence. © Da tạp khả vi.

© Ảnh xạ khả vi giữa các da tap. © Định ly Sard. ANH XA KHẢ VI GIỮA CÁC KHÔNG GIAN EUCLIDE 1. ÁNH XẠ KHẢ VI 1.

Định nghĩa Cho / là ánh xạ liên tục tử tập mở Uc R" vào &”. Ta nói / khả vi tại x„€#*ˆ nếu tổn tại một ánh xạ tuyến tính 4 từ &* vào &* sao cho với mỗi có: ta , y«Ẩ' thỏa x, ‡ y EU Sx, + v)- f(x„)= Aly) + pple,» với øÁx. SVTH: Nguyễn Thị Hing Nhi Trang 5 Bat ding thức dang chu GUHD. PGSTX Lé Anh Vii Ta gọi Ad là đạo hàm cua / tai x, Nẻu / kha vi tại mọi điểm re U ,tandi /£ khá vi trên tap U.

Dao ham của / tại x phụ thuộc vaox va được kí hiệu là f"(x) hay D/(x). Nếu U ox {'(x) là ánh xạ liên tục thi ta aói / là ánh xạ kha vi liên tục trên Uhay / thuộc lớp C”. Định lí Cho U, V là hai tập mo trong R° và RẺ. Nếu ảnh xạ ƒ :U -»V' khả vi tại a g:V ->» R* khả ví tại f(a) thì ảnh xạ gf :U > R? khả vi tại a và (ge ƒ}{a)= g (/(e))» 7 (e).

Hạng của một ánh xạ Cho / là ánh xạ kha vi từ U c ÑRˆ vào #*. Khi đó, ƒ được xác định bởi hệ thống các ham thực /”,/”,./” khả vi trên U. là toa độ trên R" với co sở là (e’),. là tọa độ trên #”.

/ thuậc lớp C trên U kh và chỉ khỉ các đạo hàm ing { 2") thn tại và liên tục trên. Hạng của / tại x là hạng của ma trận Jacôbi gồm n - cột, p — hàng 1-((€)}. DAO HAM CAP CAO Cho U là tập mở trong R*. Nếu ánh xạ f:U — R” có đạo ham /‘(x) tại moi xe U thi ta được một anh xa SVTH: Nguyễn Thị Hong Nhi Trang 6 Bat done thức dame chu : (1/11! PGS-TS Le Anh bi pu LR R8} r + flr) : Đạo hảm cua /' tại ở, nêu có, được gọi là đạo ham cap hai cua J tai ở và kí hiệu là ¢"(a).&' Ì) Bảng qui nạp.

đạo hàm cấp r của f tai a là D' f(a)= D(D' ‘f(a)) (với rz J). Nếu đạo hàm nay tổn tại vả liên tục tại moi diém thi ánh xạ / được gọi là kha vi lớp C7 hay la một C”— anh xạ ( voir > /). ĐỊNH LÍ VE GIA TRỊ TRUNG BÌNH Lấy a. b là hai điểm trong U & R" thỏa [a.bÌC U và cho ƒ là một C'- ảnh xạ tử U vào R7” Khi đỏ: |f(b)- /(a]|< Mịb-a|.

vai M= =p su Ire] xi. MENH DE Anh của R” bởi một C'- ánh xạ ƒ vào R° có độ do Lebesgue bằng 0 nếu n < p. Kết quả này được giữ nguyên cho một tập mở U & Ñ". ĐỊNH LÍ HÀM NGƯỢC 1.

Định lí Choƒ là một C’ = ánh xạ (r 21) từ tập mở A trong ш vào R*. Nếu tại ae A đạo hàm f'(a): Rˆ > R~ là một C”- đẳng câu thi ton tại một lan cận mở Uc A của a và một lân cận mở V của ƒ(a) sao cho ảnh xạ f -U -»V là một C’ - đẳng cau. SVTH: Nguyễn Thi Hong Nhi Trang 7 Bat dang than dàng chin GCAHD POSTS Le Anh ba 1. Hệ quả †1 Cho / A+R” lì một C - anh xạ (r>/) tử một tập hợp mơ trong &ˆ vào #ˆ (men) Nếu ————— CC V hạng cua / tại ức A bang m (tie là / (ở) là ảnh Y.

h # xạ lên) thi ton tar một lần can mở c 4 của a, một lin cận mơ # cua O trong #ˆ *, một lân cận Fa mở F cha f(a) và một C’~ đăng cau hs U + V x sao cho biểu dé bén giao hoán (ở day, Z lả phép chiéu lẻn nhân tử thứ nhat), nghĩa là: L(x esi x pe wÍu. Hệ quả 2 Cho £: 1> #7 là một C”- ánh xạ ( r>!) f tử một tập hợp mở A trong &ˆ* vào #8” (m>n). uv m————————- * V Nếu hạng của / tại a bằng ø (tức là f"(a) là anh xạ /- / vào) thi tổn tại một lan cận mở C A của ‘ a, một lắn cận mở W của O trong R** và một C" Onl ~ đăng cấu A; UxW — V , với V là một lân cận mở của f(a) sao cho biểu đồ bền giao hoán. Ở day, í là ánh xạ lồng chính tắc, nghĩa la: Pile cot aR ('.

SVTH- Nguyễn Thi Hong Nhi Trang 8 Bat dang thức dang chu GUD POSTS Le Anh ta §2. GRADIEN VA DIVERGENCE 2. GRADIEN CUA MOT HAM KHA VI 2. Định nghĩa Cho f: R" --® lá hàm kha vi trên R”.

Gradien cua /, ký hiệu grad/, được định nghĩa như sau - gred J Os, Or, Ôi, 2. Một số tính chất Voi £ = R" và các hàm ƒ.kt thuộc lớp CÍ trên R" tạ cỏ.€) = dƒ(£) = €ƒ: grad(ƒ +h) = grad ƒ + gradh; qrad fh = ƒ gradh + h grad ƒ. Định nghĩa Với tập B bắt kì đo được Riemann trong R" , ta kí hiệu V(B) là độ đo của B và xem như là thẻ tích n chiều của B. Nếu [° lả một đa tạp con (n - 1) chiéu của R" thì với tập A đo được trong Í` ta ký hiệu độ đo của nó là A( A ) và xem như là thể tích (n - 1) chiều của A.

Phần tử thẻ tích n chiều vả (n - 1) chiều tương ứng được ky hiệu bởi dV va dA. CONG THỨC ĐÓI BIEN CUA TICH PHAN NHIÊU BIEN Lay D,{2 là các miền trong R”, n >1, ;:Ø ~ 2 là vi phôi C' va lấy J_‹z› là ma trận Jacôbi của + tại x. Khi đó với hàm / c /' bắt kỉ trên 2, ta có: J, for riders, lav = [ sav. Nguyễn Thi Hong Nhi Trang 9 Bat ưng Caine dame chu GVHD POS-TS Le nh Vi 2.

DIVERGENCE CUA MOT TRƯỜNG VECTƠ 2. Dinh nghia Von bat ki trưởng vecto kha vi liên tục X vs — trên #”, ta định nghĩa an divergence của X, kí hiệu divX, là ham liên tục trên R" xác định như sau : - .T„) ++ dtvN (sz) = S5 —4r):Vz cR°. Tinh chat Voi hàm ƒ thuộc lớp CÍ và các trưởng vectơ X.Y trên R" ta có: div(X + Y) = divX + div. div JX = (grad f.

Dinh ly 1 Nêu v là trường vectơ lớp C! trên R" có giả compact thi R* divivodV = 0. Định lý 2 Cho © là miễn trong R" có biên trơn ON, v là trường vectơ đơn vị phía ngoài dọc theo Ô mà trực giao với 89. theo từng điểm (có duy nhất một trưởng vectơ như thé). Khi đó với bắt ki trưởng vectơ X thuộc lớp CÍ trên R” ta cỏ: _,divXdV = Ji (Xerea i 2.F, \ là hàm khả vi trên RÑ” thi Oh aA, | OF, nF = On Or, az, - SVTH.

Nguyễn Thi Hong Nhi Trang 10 Bat dang thức chàng hie (1/12 PGS TS Lẻ Anh Va §3. DA TAP TOPO 3. ĐỊNH NGHĨA Cho M, là một không gian tôpô Hausdorff có cơ sở dém được. Khi đó, M, được gọi là một da tạp t6p6 ø - chiêu néu nó đồng phỏi địa phương với không gian Euchde &*, tức là : với mỗi xe M,, tôn tại lân cận mo U trong M, của x và một phép đồng phỏi ø : U —>V c ш*, ở đây V là tập mở trong 8".ø) gọi là một bản đồ địa phương của M, xung quanh điểm xe M,.

HỆ TỌA ĐỘ ĐỊA PHƯƠNG Xét bản đỗ địa phương (U.