Chương Il : Mat phẳng xạ ảnh hữu hạn _ giới thiệu mặt phẳng Fano, hệ tiên dé, một số tính chất,. của mat phẳng xạ ảnh hữu hạn Chương III : Mat phẳng xạ ảnh Galoa _ dé cập cách xây dung mặt phẳng xa ảnh Galoa vd một số khái niệm liên quan Chương IV : Không gian xạ ảnh hữu hạn _ được xây dựng trên trường Galoa tương tự như không gian xạ ảnh trên trường số thực Do bước đấu làm quen uới vite nghiên cứu khoa học cộng với kiến thức còn hạn hẹp, chưa đủ để tiếp cận uấn đề mới nên khóa luận của em không tránh khỏi những chổ hạn chế va sai sót, em kính mong nhận được sự chi bảo va góp ý của quý thầy cô Em xin bày té lòng biết ơn chân thành tới thay Nguyễn Mộng Hy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn, chi bảo; cùng quý thay cô trong khoa đã tạo điều kiện cho em hoàn thành khóa luận này Tp. Hồ Chí Minh, tháng 5 nam 2002 §1. Trường Galoa 1.
Định nghĩa Trường là vành giao hoán, có đơn vị, có nhiều hơn một phần tử và các phan tử khác 6 đều có phan tử nghịch đảo. Như vậy, trên một trường F có 2 phép toán cộng (+) và nhân ( x ) sao cho: * (F,+) - nhóm Abel * (F\(9)),x) - nhóm Abel © XxY +Z)=XxY+XxZ,(X+Y)x2z=XxZ+ÿyxZ, VX,Y,Z€F Trường hữu hạn là trường có số phần tử hữu hạn, hay còn gọi là trường Galoa, kí hiệu là GF(q), trong đó : q là số phần tử, hay còn gọi là cấp của trường Galoa. Tinh chất của trường Galoa (i) — Số phan tử của trường Galoa GF(q) là ly thừa của một số nguyên tố: r q=p Trong đó, p là số nguyên tố, r là số tự nhiên khác 0. © Số nguyên tố p được gọi là đặc số của trường, ta có tính chất sau: X†+x+.+x=Ð8 , Vx e GF(p') p lin e Nếu p=2 thì ta có trường Galoa đặc số chẩn.
e Nếu p #2 thì ta có trường Galoa đặc số lẻ. (ii) Nếu 2 trường Galoa F, và F; mà q =ÌF; Ì=| FzÌ= p' thì 2 trường đó đẳng cấu với nhau và đẳng cấu với trường phân rã của đa thức x" — x trên Z,. (iii) Với một số nguyên tố p và mọi số nguyên dương r ta có một trường Galoa GF(q) gồm có q = p' phần tử. (iv) Wx © GF(q) thi: xt=x i ee ee -2 -2 = KpXz ove Xu2 +.
XQ Sx + xP “+. + x1! =-l (vii) Nếu xị, xạ,., x„ € GF(p') thi: (Xi +Xạ+. + Xu)” = XP + XẾ +.+ xP (viii) Giả sử m, n là các số nguyên, m, n > 1. Gọi E, F là các trường Galoa thỏa man; |E| =m và |F| =n.
Ta có : FcE = min (ix) Trường Galoa GF(q) với q = pí xem như là một mở rộng đơn của trường Z„ - trường các lớp déng dư các số nguyên mod p với phép cộng với phép nhân thông thường. Tức là : GF(q) = Z,(a) trong đó, œ là nghiệm của một da thức bất khả quy bậc r, hệ số trong Z„‹ Khi đó : GF(p') = (x | X= ao+a¡Œ +a;0Ê+. tas", ao, ays â„¡ € Zp} (x) Trường Galoa F có đặc số p thì ánh xa : ọ: FBaF xe x thỏa mãn: (x + y) = @(X) + @(y) p(xy) = @(x) py) Do đó, là một tự đẳng cấu trên trường Galoa F. e Nếu F=GF(p) thì ọ là ánh xa đổng nhất và là tự đẳng cấu duy nhất của trường E.
e Nếu F=GF(p) (r>1) thì nhóm các tự đẳng cấu của trường F là nhóm xyclic cấp r với phan tử sinh là ọ. Vidu © Tập hợp Z„ gồm các lớp đồng dư các số nguyên mod p. nhân cho bởi 2 bảng sau. thì (F, +, x) lập thành một trường Galoa gồm có 3 phần tử.
s Xét trường Galoa GF(4) = GF(2’). Ta gọi ap, a), a2, a3 là các phan tử của trường. Trong đó : ao là phần tử trung hòa của phép cộng. a, là phần tử đơn vị của phép nhân.
dùng chỉ số 0, 1, 2, 3 thay cho các phần tử ao, a), a;, a3, ta mô tả phép toán cộng và nhân của trường bằng hai bảng sau. Chú ý : Ta cũng có thể coi GF(4) = Z¿ (a) = {a + ba, với a, b € Z>} trong đó œ là nghiệm của da thức: Tx? + Tx + T bất khả quy trên Z,, nghĩa là Ta’+ Tœ + 1 = Õ. Lúc đó : GF (4) = (ao, a;, a2, a3) =(0,T, Tœ, T+ Tơ] Kiểm tra dé dàng : aaạ+a¿= la+(1 + Iơ)= Ï +(Tơ+ Tơ)= Ï =a, ayxâay= Íœ ‹ (T+ Tơ) =Tœ+ ïd =Ĩơ- Ïơ- Ï =-i =T =a, §2. Không gian vectơ trên trường Galoa 2.
Định nghĩa Cho một tập hợp V không rỗng, các phần tử của nó gọi là các vectz _Ắ —_— O — —— và ký hiệu là a, b, x, y. Giả sử cho hai phép toán sau : (i) Phép cộng hai vectơ : Nghĩa là :: ứng với mỗi cặp vectơ có thứ ứ tự a, b € V có mot vectd xác định ceV soi la tổng của vectd a và vectơ b. Ký hiệu; c=atb (ii) Phép nhân một phan tử của trường Galoa GF (q) với một vectơ của V : GF (q) : V -› V Nghĩa là : với 4 c GF(q) và a eV có một vectơ xác định beV gọi là tích của À với vectơ a, kí hiệu : b =À.a Tập hợp V cùng với hai phép toán trên gọi là không gian vectơ trên trường Galoa nếu 8 tiên dé sau đây được thỏa mãn : Vị. Phép cộng cótính chất kết ết hợp:_ (a+b)+c=a+(b+€c); Va,b,ceV Vạ.
TổỔn tại vectơ 0 sao cho: (a+0)=0+a=a " Va eV Vectơ 0 được gọi là vectơ không. Với mọi vectơ a déu tổn tại vectd a' sao cho : = a: Wr a+a' =a+a=0 vectd a' dude gọi là vectơ đối của vectơ a, kí hiệu là - a Vị. Phép cộng có tính chất giao hoán : a+b=b+a Va,beV Như vậy, (V, +) là một nhóm Abel. Phép nhân có tính chất phân phối đối với phép cộng của trường Galoa.
Phép nhân có tính chất phân phối đối với phép công vectơ : Va,beV V;. Phép nhân có tính chất kết hợp : À(ua)=(À)a, VÀ, © GE(q) Và eV ~_ — Vy.a =a , Va eV trong đó | là phần tử đơn vị của trường GF(q). Ung với một trường Galoa GF(q), ta có một không gian vectơ trên trường đó. Một số mô hình của không gian vectơ trên trường Galoa ¢ hình Mô | Tập hợp V chỉ gém | phẩn tử 9ˆ với 2 phép toán được định nghĩa như sau : _—_ —_ — 0 +9 =9 —— À.
Vv 4 © GFiq) là một không gian vectơ, gọi nó là không gian vectơ không. ¢ Mô hình 2 Gọi GF*(q) là tập hợp các bộ thứ tự (a), ap, ., a,) với aj € GF(q) và 2 phép toán được định nghĩa như sau :; (8i, 8¿,., bg) = (a; + by, a2 + bạ,. Chú ý ở đây là q, n cố định cho trước. s Mô hình 3 Tập hợp các đa thức với hệ số trên trường GF(q) với phép cộng và phép nhân đa thức với một phan tử của trường GF(q) được hiểu theo nghĩa cộng và nhân các hệ số trong trường GF(q) lập thành một không gian vectơ trên trường GF(q).
Như vay, không gian vecto trên trường Galoa được xây đựng tương tự như không gian vectơ trên trường số thực. Do đó một số khái niệm như sự độc lập tuyến tính của một hệ vectơ và các khái niệm có liên quan như cơ sở của một không gian vectơ, số chiểu của không gian vectơ đó, tọa độ của một vectơ đối với một cơ sở,. cũng được xây dung tương tư như đối với không gian vectơ trên trường số thực.b^:—s sex ‘ ep a et i 18. Mặt phẳng Fano Trước tiên, ta nêu lên 3 tiên để liên thuộc trong hình học xa ảnh cổ điển.
a, Hai điểm phân biệt bất kì thuộc một đường thẳng duy nhất b. Hai đường thẳng phân biệt bất kỳ có một điểm chung c. Có 4 điểm trong đó bất cứ 3 điểm nào cũng không thuộc một đường thẳng Như chúng ta đã biết, người ta đã xây dựng nên một số mô hình cụ thể của mặt phẳng xạ ảnh thỏa mãn hệ tiên để liên thuộc trên như mô hình véc tơ, mô hình bó, mô hình số thực, .Trước nữa sau thế kỷ 19, việc xây dung các mô hình của các thứ hình học chỉ dừng lại ở những mô hình vô hạn, chủ yếu là xây dựng trên trường số thực hoặc số phức là những trường số vô hạn liên tục. Đến năm 1892 nhà toán học người Ý Fano đã tìm ra mặt phẳng gồm có 7 điểm va 7 đường thẳng thỏa mãn 3 tiên để liên thuộc trên.
Để mô tả mặt phẳng xạ ảnh hữu hạn Fano dùng mô hình sau đây : Lấy một hình vuông gồm có 7x7 ô vuông (hình 2. Gọi các cột của hình vuông là các điểm P;, P;, P¿,. P; và các hàng của hình vuông này là các đường thẳng |), l;,. P; Py Py Pe Ps Pe Py "Hs, lai” Ie | |®| '® Ó | k| | | | ®®*® ,| ®Ò|jeje) | | | ® |®| |® | | Ta gọi điểm P, và đường thẳng |, (i,j =1,2,.7) thuộc nhau nếu ở ô vuông chung của một cột và hàng đó có dấu (®), nếu ở ô vuông để trống thì ta nói rằng điểm P, và đường thang |, không thuộc nhau.
Trên mat phẳng này mỗi đường thẳng đều có 3 điểm và mỗi điểm đều có 3 dường thẳng đi qua Qua mô hình này ta thấy rằng các điểm và các đường thẳng trong mặt phẳng Fano nghiệm đúng 3 tiên để liên thuộc đã nêu trên Ví dụ : Đường thẳng |, đi qua 3 điểm P, , P,, P; và qua điểm P; ta có 3 đường thẳng |, , ly, Is đi qua. Bất cứ hai điểm nào cũng thuộc một đường thẳng duy nhất và hai đường thẳng nào cũng có điểm chung duy nhất; chẳng hạn: hai điểm P, và P; thuộc một đường thẳng |, duy nhất. hai đường thangl, và |; thuộc điểm P; duy nhất. Xét tứ giác P;P;PsP„ trong đó bất cứ 3 điểm nào của nó cũng không thuộc một đường thẳng (hình 2.
Qua 4 điểm này ta có 6 đường thẳng Li, Is, ly, by lạ, ly. Bây giờ nếu ta dùng các điểm và các đường thẳng thông thường để biểu diễn mặt phẳng Fano thì ta thấy các điểm chéo của tứ giác P;PPsP; là các điểm P), P, P; lại thuộc đường thẳng |). Day là điểu đặc biệt và không có trong cách biểu diễn thông thường. ; ẬN Tạ FPR Lb, Hình 2.