I. Vấn đề lineability cho các hàm chức năng
Chương đầu tiên của luận văn tập trung vào cấu trúc của tập hợp các hàm chức năng trên một không gian Banach đạt chuẩn. Vấn đề chính được đặt ra là liệu tập hợp các hàm chức năng đạt chuẩn, ký hiệu là NA(X), có luôn chứa một không gian con vô hạn chiều hay không. Đây là một vấn đề mở và có tầm quan trọng lớn trong lý thuyết không gian Banach. Các kết quả chính trong chương này cho thấy rằng mọi không gian Banach có một thương số tách biệt vô hạn chiều có thể được định chuẩn lại để làm cho tập hợp NA(X) có tính lineable. Tuy nhiên, một không gian Banach không phản xạ không thể được định chuẩn lại để làm cho tập hợp các hàm chức năng không đạt chuẩn, ký hiệu là X \ NA(X)*, có tính 2-lineable. Điều này chứng tỏ rằng không phải tất cả các không gian đều có thể đạt được điều kiện này. Các kết quả này đã được chứng minh trong nhiều tài liệu trước đó và đóng góp vào việc hiểu rõ hơn về cấu trúc của các hàm chức năng trong không gian Banach.
1.1 Các khái niệm liên quan
Khái niệm lineability được định nghĩa là một tập hợp M của không gian Banach có chứa một không gian con n chiều. Chương này đưa ra các khái niệm như n-lineable, dense-lineable, và spaceable để phân loại các tập hợp trong không gian Banach. Một số kết quả quan trọng được trình bày liên quan đến các không gian cụ thể, như không gian các hàm liên tục trên một không gian Hausdorff. Đặc biệt, nếu không gian Hausdorff có một chuỗi hội tụ không tầm thường, thì tập hợp NA(C(K)) sẽ có tính spaceable. Điều này mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới về tính chất của các hàm chức năng trong không gian Banach.
II. Vấn đề chuẩn tối thiểu cho các phép dịch
Chương thứ hai khám phá các hàm chức năng đạt chuẩn trong các không gian không hoàn chỉnh. Một trong những kết quả quan trọng là điều kiện cần và đủ để một không gian có các hàm chức năng đạt chuẩn là mọi tập hợp lồi đóng có biên không rỗng có thể được dịch để có một phần tử chuẩn tối thiểu khác không. Điều này có nghĩa là, trong một không gian không hoàn chỉnh, nếu mọi tập hợp lồi đóng có biên không rỗng có thể được dịch để có một phần tử chuẩn tối thiểu khác không, thì sự hoàn thiện của nó không thể là rotund. Các kết quả này không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có thể áp dụng trong các lĩnh vực khác của toán học, chẳng hạn như tối ưu hóa và phân tích toán học. Việc hiểu rõ hơn về tính chất của các hàm chức năng trong không gian không hoàn chỉnh sẽ giúp các nhà nghiên cứu phát triển các phương pháp mới trong các lĩnh vực này.
2.1 Tính chất của các không gian không hoàn chỉnh
Nghiên cứu về các không gian không hoàn chỉnh đã chỉ ra rằng các điều kiện về tính lồi và sự tồn tại của các phần tử chuẩn tối thiểu có thể ảnh hưởng đến cấu trúc của không gian. Kết quả từ các nghiên cứu trước đó cho thấy rằng một không gian Banach là phản xạ nếu và chỉ nếu mọi hàm chức năng đều đạt chuẩn. Điều này gợi ý rằng việc phân tích cấu trúc của các không gian này có thể dẫn đến những hiểu biết mới về các hàm chức năng và cách chúng tương tác với nhau trong không gian lồi.
III. Giả thuyết Banach Mazur cho các phép quay
Chương cuối cùng của luận văn tập trung vào giả thuyết Banach-Mazur, một vấn đề nổi tiếng trong lý thuyết không gian Banach. Giả thuyết này đặt ra câu hỏi liệu mọi không gian Banach tách biệt và có tính liên tục có phải là Hilbert hay không. Các kết quả trong chương này cho thấy rằng nếu tập hợp các điểm chuẩn trong không gian Banach là không có tính rotund, thì tập hợp các hàm chức năng không đạt chuẩn sẽ chứa một tập hợp densa. Điều này có nghĩa là, trong một không gian Banach tách biệt và có tính liên tục, nếu không có điểm rotund, thì các hàm chức năng không đạt chuẩn sẽ có sự phong phú lớn. Các kết quả này không chỉ quan trọng trong lý thuyết mà còn có thể có ứng dụng trong các lĩnh vực khác như hình học và phân tích.
3.1 Tính chất hình học của không gian Banach
Tính chất hình học của không gian Banach, như tính rotund và độ mịn, đóng vai trò quan trọng trong việc xác định cấu trúc của không gian. Các nghiên cứu trước đây đã chỉ ra rằng mọi không gian Hilbert đều có tính transitive, và điều này dẫn đến nhiều câu hỏi về sự tồn tại của các không gian Banach tách biệt không phải Hilbert. Kết quả từ chương này không chỉ củng cố giả thuyết Banach-Mazur mà còn mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới trong lĩnh vực hình học không gian Banach.
