Giải tích tương đối rộng: Khóa học cơ bản

Preface to the second edition

Preface to the first edition

1. Special relativity

1.1. Fundamental principles of special relativity (SR) theory

1.2. Definition of an inertial observer in SR

1.5. Construction of the coordinates used by another observer

1.6. Invariance of the interval

1.8. Particularly important results

1.9. The Lorentz transformation

1.10. The velocity-composition law

1.11. Paradoxes and physical intuition

1.13. Appendix: The twin ‘paradox’ dissected

1.14. Exercises

2. Vector analysis in special relativity

2.1. Definition of a vector

2.3. The four-velocity

2.4. The four-momentum

2.9. Exercises

3. Tensor analysis in special relativity

3.1. The metric tensor

3.2. Definition of tensors

3.3. The 01 tensors: one-forms

3.4. The 02 tensors

3.5. Metric as a mapping of vectors into one-forms

3.6. Finally: MN tensors

3.7. Index ‘raising’ and ‘lowering’

3.8. Differentiation of tensors

3.10. Exercises

4. Perfect fluids in special relativity

4.2. Dust: the number–flux vector N

4.3. One-forms and surfaces

4.4. Dust again: the stress–energy tensor

4.7. Importance for general relativity

4.10. Exercises

5. Preface to curvature

5.1. On the relation of gravitation to curvature

5.2. Tensor algebra in polar coordinates

5.3. Tensor calculus in polar coordinates

5.4. Christoffel symbols and the metric

5.8. Exercises

6. Curved manifolds

6.1. Differentiable manifolds and tensors

6.4. Parallel-transport, geodesics, and curvature

6.5. The curvature tensor

6.6. Bianchi identities: Ricci and Einstein tensors

6.7. Curvature in perspective

6.9. Exercises

7. Physics in a curved spacetime

7.1. The transition from differential geometry to gravity

7.2. Physics in slightly curved spacetimes

7.3. Curved intuition

7.6. Exercises

8. The Einstein field equations

8.1. Purpose and justification of the field equations

8.3. Einstein’s equations for weak gravitational fields

8.4. Newtonian gravitational fields

8.6. Exercises

9. Gravitational radiation

9.1. The propagation of gravitational waves

9.2. The detection of gravitational waves

9.3. The generation of gravitational waves

9.4. The energy carried away by gravitational waves

9.5. Astrophysical sources of gravitational waves

9.7. Exercises

10. Spherical solutions for stars

10.1. Coordinates for spherically symmetric spacetimes

10.2. Static spherically symmetric spacetimes

10.3. Static perfect fluid Einstein equations

10.4. The exterior geometry

10.5. The interior structure of the star

10.6. Exact interior solutions

10.7. Realistic stars and gravitational collapse

10.9. Exercises

11. Schwarzschild geometry and black holes

11.1. Trajectories in the Schwarzschild spacetime

11.2. Nature of the surface r = 2M

11.3. General black holes

11.4. Real black holes in astronomy

11.5. Quantum mechanical emission of radiation by black holes: the Hawking process

12. 1 What is cosmology?

12.2. Cosmological kinematics: observing the expanding universe

3. Cosmological dynamics: understanding the expanding universe

12.4. Physical cosmology: the evolution of the universe we observe

12.6. Exercises

Appendix A Summary of linear algebra

References

Index

I. Tổng Quan Về A First Course in General Relativity 2 GR

A First Course in General Relativity, phiên bản thứ hai, là một cuốn sách giáo trình được sử dụng rộng rãi, cung cấp bước đầu tiên vào thế giới của thuyết tương đối rộng (GR) cho sinh viên đại học. Cuốn sách này kết hợp sự rõ ràng, dễ đọc và tính chặt chẽ, giúp người đọc với kiến thức toán học tối thiểu có thể tiếp cận được.

Tác giả, Bernard Schutz, trình bày các chủ đề hấp dẫn như lỗ đen, thấu kính hấp dẫn và sóng hấp dẫn một cách dễ hiểu. Phiên bản này còn cập nhật những khám phá gần đây của các nhà thiên văn học đòi hỏi thuyết tương đối rộng để giải thích, một chương được sửa đổi về các ngôi sao tương đối tính (bao gồm thông tin mới về sao xung), một chương được viết lại hoàn toàn về vũ trụ học và một cách xử lý mở rộng, toàn diện về các máy dò sóng hấp dẫn hiện đại và các nguồn dự kiến.

Cuốn sách bao gồm hơn 300 bài tập, nhiều bài tập mới trong phiên bản này, giúp sinh viên tự tin làm việc với thuyết tương đối rộng và toán học cần thiết. Phong cách viết gần gũi giúp chủ đề dễ tiếp cận. Các giải pháp được bảo vệ bằng mật khẩu cho người hướng dẫn có sẵn trực tuyến.

1.1. Nguyên tắc cơ bản của thuyết tương đối hẹp SR Galileo Einstein

Thuyết tương đối hẹp dựa trên hai nguyên tắc: nguyên tắc tương đối của Galileo (không có thí nghiệm nào đo được vận tốc tuyệt đối) và tính phổ quát của tốc độ ánh sáng (c = 3 × 108 m/s đối với mọi người quan sát không gia tốc). Einstein đã phá vỡ quy luật cộng vận tốc của Galileo khi khẳng định tốc độ ánh sáng là hằng số. Minh chứng cho luận điểm này là thí nghiệm Michelson-Morely. Vật lý học hiện đại dựa trên thuyết tương đối hẹp và được kiểm chứng thường xuyên trong các máy gia tốc hạt lớn.

1.2. Định nghĩa về người quan sát quán tính Inertial Observer trong SR

Người quan sát quán tính (Inertial Observer) là một hệ tọa độ không thời gian ghi lại vị trí và thời gian của mọi sự kiện. Hệ tọa độ này phải thỏa mãn: khoảng cách giữa các điểm không đổi theo thời gian, đồng hồ ở mọi điểm đồng bộ và chạy cùng tốc độ, không gian có hình học Euclidean. Quan trọng là, định nghĩa này không đề cập đến gia tốc. Khái niệm người quan sát quán tính cực kỳ quan trọng trong thuyết tương đối rộng.

1.3. Sử dụng đơn vị mới New Units trong A First Course in General Relativity 2

Vì tốc độ ánh sáng c rất quan trọng, chúng ta sử dụng hệ đơn vị mới, trong đó c = 1. Một mét thời gian là thời gian ánh sáng đi được một mét. Khi đó, tốc độ ánh sáng là c = 1 và không có thứ nguyên. Chuyển đổi từ SI sang đơn vị tự nhiên giúp đơn giản hóa nhiều công thức.

II. Phân Tích Vector Tensor Trong Thuyết Tương Đối Hẹp SR

Trong thuyết tương đối hẹp, việc sử dụng phân tích vector và tensor là rất quan trọng. Vector được định nghĩa là một tập hợp các số biến đổi theo một quy tắc cụ thể khi thay đổi hệ tọa độ. Tensor là sự tổng quát hóa của vector và scalar, và chúng đóng vai trò quan trọng trong việc mô tả các đại lượng vật lý không đổi dưới các phép biến đổi tọa độ. Điều này đặc biệt quan trọng khi nghiên cứu không thời gian (spacetime) và các hiện tượng liên quan đến thuyết tương đối.

2.1. Định nghĩa về Vector trong không thời gian Spacetime

Một vector trong không-thời gian được định nghĩa là một bộ bốn số (A0, A1, A2, A3) biến đổi theo một quy tắc cụ thể dưới phép biến đổi Lorentz. Quy tắc này đảm bảo rằng các quan hệ vật lý được biểu diễn bằng vector là không đổi đối với mọi người quan sát quán tính.

2.2. Tứ vận tốc Four Velocity trong thuyết tương đối

Tứ-vận tốc là một vector bốn chiều mô tả vận tốc của một vật thể trong không-thời gian. Nó được định nghĩa là đạo hàm của vector vị trí theo thời gian riêng. Tứ-vận tốc rất hữu ích để mô tả chuyển động của các vật thể với vận tốc gần bằng tốc độ ánh sáng.

2.3. Tứ động lượng Four Momentum năng lượng tương đối tính

Tứ-động lượng là một vector bốn chiều mô tả động lượng và năng lượng của một vật thể trong không-thời gian. Nó được định nghĩa là tích của khối lượng nghỉ và tứ-vận tốc. Tứ-động lượng rất quan trọng trong việc bảo toàn động lượng và năng lượng trong các quá trình tương đối tính.

III. Độ Cong Đa Tạp Hình Học Riemann Trong GR

Một phần quan trọng của thuyết tương đối rộng là sự hiểu biết về đa tạp cong và hình học Riemann. Đa tạp là một không gian mà mỗi điểm có một vùng lân cận giống như không gian Euclidean. Hình học Riemann là một loại hình học cho phép mô tả các không gian cong. Trong thuyết tương đối rộng, không thời gian được mô tả như một đa tạp cong, và độ cong của nó được liên hệ với sự phân bố vật chất và năng lượng.

Các khái niệm về song song vận chuyển (Parallel-transport), đường trắc địa (Geodesics), và tenxơ độ cong (Curvature Tensor) là then chốt.

3.1. Parallel transport geodesics và độ cong không thời gian

Parallel-transport là một cách di chuyển một vector dọc theo một đường cong sao cho nó vẫn 'song song' với chính nó. Đường trắc địa là đường cong ngắn nhất giữa hai điểm trong một không gian cong. Tenxơ độ cong mô tả độ cong của không gian tại một điểm.

3.2. Tenxơ độ cong Curvature Tensor Ricci Einstein

Tenxơ Ricci và tenxơ Einstein là các tenxơ đặc biệt được xây dựng từ tenxơ độ cong. Chúng đóng vai trò quan trọng trong phương trình trường Einstein, phương trình cơ bản của thuyết tương đối rộng. Các tenxơ Ricci và Einstein phản ánh độ cong không-thời gian (Curvature Spacetime).

3.3. Liên Hệ Giữa Độ Cong Không Thời Gian và Trọng Lực

Trong thuyết tương đối rộng, trọng lực không phải là một lực mà là kết quả của độ cong của không thời gian. Các vật thể di chuyển dọc theo đường trắc địa, mà trong không gian cong, không phải là đường thẳng mà là đường cong bị ảnh hưởng bởi độ cong của không gian.

IV. Phương Trình Trường Einstein Nền Tảng Của GR

Phương trình trường Einstein là trung tâm của thuyết tương đối rộng. Nó liên hệ giữa độ cong của không thời gian (được mô tả bởi tenxơ Einstein) và sự phân bố vật chất và năng lượng (được mô tả bởi tenxơ năng lượng-động lượng). Phương trình này cho phép chúng ta tính toán trường hấp dẫn do một sự phân bố vật chất và năng lượng nhất định tạo ra. Qua các phương trình này, ta có thể nghiên cứu trường hấp dẫn yếu (Weak Gravitational Fields) theo Newton

4.1. Mục đích và biện minh cho Phương trình trường Einstein

Phương trình Einstein nhằm mục đích mô tả cách trọng lực ảnh hưởng đến không thời gian. Nó được biện minh bằng các thí nghiệm và quan sát thiên văn, chẳng hạn như sự lệch ánh sáng do trường hấp dẫn.

4.2. Phương trình Einstein cho Trường Hấp dẫn yếu

Trong trường hợp trường hấp dẫn yếu, phương trình Einstein có thể được tuyến tính hóa. Phương trình tuyến tính hóa này cho phép chúng ta tính toán trường hấp dẫn một cách gần đúng trong các tình huống như trường hấp dẫn gần Trái Đất.

4.3. Trường Hấp dẫn Newton và sự tương thích với GR

Phương trình trường Einstein có thể được sử dụng để tái tạo lại lý thuyết trọng lực Newton trong giới hạn của trường hấp dẫn yếu và vận tốc thấp. Điều này cho thấy rằng thuyết tương đối rộng là một sự mở rộng của lý thuyết trọng lực Newton.

V. Sóng Hấp Dẫn Từ Lý Thuyết Đến Thực Tế Khám Phá

Sóng hấp dẫn là những gợn sóng trong không thời gian lan truyền với tốc độ ánh sáng. Chúng được tạo ra bởi các sự kiện vũ trụ mạnh mẽ, chẳng hạn như sự va chạm của lỗ đen hoặc sao neutron. Việc phát hiện trực tiếp sóng hấp dẫn vào năm 2015 đã xác nhận một dự đoán quan trọng của thuyết tương đối rộng và mở ra một kỷ nguyên mới trong thiên văn học.

5.1. Sự lan truyền của Sóng Hấp Dẫn

Sóng hấp dẫn lan truyền qua không thời gian như những gợn sóng trên mặt nước. Chúng làm biến dạng không gian và thời gian khi chúng đi qua, gây ra sự thay đổi nhỏ trong khoảng cách giữa các vật thể.

5.2. Phát hiện Sóng Hấp Dẫn bằng giao thoa kế Interferometers

Các máy dò sóng hấp dẫn như LIGO và Virgo sử dụng giao thoa kế để phát hiện sự thay đổi nhỏ trong khoảng cách gây ra bởi sóng hấp dẫn. Các máy dò này cực kỳ nhạy cảm và có thể phát hiện sự thay đổi nhỏ hơn đường kính của một proton.

5.3. Nguồn Thiên Văn Vật Lý của Sóng Hấp Dẫn

Sóng hấp dẫn được tạo ra bởi nhiều nguồn thiên văn vật lý khác nhau, chẳng hạn như hệ nhị phân lỗ đen, sự hợp nhất của sao neutron, và vụ nổ siêu tân tinh (supernovae). Nghiên cứu sóng hấp dẫn cho phép chúng ta tìm hiểu thêm về các sự kiện vũ trụ này.

VI. Nghiên Cứu Vũ Trụ Học Từ Vụ Nổ Lớn Đến Tương Lai Vũ Trụ

Vũ trụ học là ngành khoa học nghiên cứu về nguồn gốc, sự tiến hóa và cấu trúc của vũ trụ. Thuyết tương đối rộng đóng một vai trò quan trọng trong vũ trụ học, cung cấp khuôn khổ để mô tả sự mở rộng của vũ trụ và sự hình thành của các cấu trúc lớn, như thiên hà và cụm thiên hà. Vũ trụ học xem xét các khái niệm Big Bang, Dark Matter & Dark Energy

6.1. Động học Vũ Trụ Quan sát Vũ trụ giãn nở

Các quan sát thiên văn cho thấy rằng vũ trụ đang giãn nở. Sự giãn nở này được mô tả bởi mô hình vũ trụ học Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker (FLRW), dựa trên thuyết tương đối rộng.

6.2. Động lực học Vũ Trụ Hiểu Vũ trụ giãn nở

Sự giãn nở của vũ trụ được điều khiển bởi mật độ năng lượng và áp suất của các thành phần khác nhau, bao gồm vật chất tối, năng lượng tối và bức xạ. Phương trình Friedmann mô tả mối quan hệ giữa sự giãn nở của vũ trụ và các thành phần này.

6.3. Sự Tiến Hóa của Vũ Trụ sau Vụ Nổ Lớn Big Bang

Vũ trụ đã trải qua nhiều giai đoạn tiến hóa kể từ Vụ Nổ Lớn, bao gồm giai đoạn lạm phát vũ trụ, giai đoạn hình thành các hạt cơ bản và giai đoạn hình thành các cấu trúc lớn. Các nghiên cứu vũ trụ học đang cố gắng tái tạo lại lịch sử tiến hóa của vũ trụ.

A First Course in General Relativity: Khám phá thuyết tương đối rộng