Chương I: Định lý dạng Viète và một số tính chất liên quan. Chương 2: Biểu diễn đa thức và nguyên hàm của da thức. * Phần kết luận * Tài liệu tham khảo GVHD: Th.S Dương Thị Tiru Tirúy Trang2 Khóa luận tỗt nghiệp đại học SVTH: Ung Thị Tường Linh ——————=——=——— NOI DUNG CHUONG 1. DINH LY DANG VIETE VA MOT SO TINH CHAT LIEN QUAN 1.
Một số tính chất cơ bản của đa thức. Mộ: đa thức bậc n của ẩn x là biểu thức có dạng Py(X) = anx” + an 1x1 + se + gịx + dạ, trong đó các hệ SỐ đ„, đạ—1, ., đọ là những SỐ thực (hoặc phức) va a, # 0,n EN. Ta kí hiệu ¡ Bậc của da thức P,(x) 1a degP,(x). Do vay degP, (x) =n.
ay — hệ số cao nhất của đa thức. Trong khóa luận này ta chỉ xét các đa thức P„() với các hệ số của nó đều là thực và gọi tắt là đa thức thực. Kỷ hiệu tập hợp các đa thức với hệ số thực là R[x]. Nếu tần tại k € N,k > 1, sao cho Pa() : (xS— œ)* nhng P() không chia hết cho (x — #)**1 thì a được gọi là nghiệm bội bậc k của đa thức f(x).
Đặc biệt, khử k = 1 thì a được gọi là nghiệm đơn, k = 2 thi a duoc gọi là nghiệm kép. Nghiệm của đa thức thực còn gọi là không điểm của đa thức đó. Moi da thie bac n > 1 trén trường C dều có đúng n nghiệm nếu mỗi nghiệm được tinh một số lần bằng bội của nó. Các nghiệm phức thực sự (khác thực) của đa thức thực P.(x) xuất hiện theo từng cặp nghiệm liên hợp.
Thật vậy, nếu ø € C là nghiệm của phương trình P„(x) = 0 thì P„(a) = 0. Suy ra cũng là nghiệm của phương trinh P, (x) = 0. Mọi đa thức ƒ(x) € R[x] bậc n, với hệ số chính ay # 0, đều có thể phân tích thành nhân tử dạng f@) =a,[]« -d;) [le + Dyx + Cx) J=1 k=1 véi dy, by,cy ER 2s +m = n,bỆ—4c, < 0,m,n €N* GVHD: Th.S Dương Thị Thu Thúy Trang 3 Khóa luận tốt nghiệp đại học SVTH: Ung Thi Tong Linh =—=—=—=—=—=—=—=—== Hệ quả 1. (1) Số nghiệm phức của một đa thức với hệ số thực (nếu có) luôn luôn là số chẫn.
(2) Nếu đa thức ƒ (x) với hệ số thực chỉ có nghiệm phức thì ƒ(x) là một đa thức bậc chan. (3) Nếu đa thức bậc n có k nghiệm thực k <n thin va k cùng tính chẵn lẻ. (4) Đa thức bậc lẻ với hệ số thực luôn có ít nhất một nghiệm thực. Mỗi đa thức bậc n đều có không quá n nghiệm thực.
Mo¿ đa thức ƒ(x) € R[x] đều xác định và liên tục trên R. Ngoài ra, khi Py (x) = anx" + an_‡x"~1 + ‹-- + ayx + ao (an 0) vax > +00 thi P(x) > sign(a,)~. Tiếp theo, ta nhắc lại định lý Rolle quen biết trong chương trình toán bậc phổ thông. Giả sử hàm số f : [a, b] —>R liên tục trên đoạn [a, b] và có đạo hàm trong khoảng (a, b).
Khi ƒ(z) là hàm đa thức, trong trường hợp đặc biệt, nếu a = b, ta phát biểu định ly Rolle duéi dạng bổ đề sau đây. Nếu xọ là nghiệm bội bậc s (s 6N, s > 1) của đa thức P(x) € RỊx] thì xụ cũng là nghiệm bội bậc s — 1 của đa thức P'(). Thật vậy, xạ là nghiệm bội bậc s (s €N, s > 1) của đa thức P(x) thì da thức P(x) viết được đưới dang PŒ) = (x~x;)°Q(),0(%ạ) # 0. Suy ra P!Œ) = sứ — xạ)*”0(x) + Œx — xa)°0'() = Œ~*#e)**[sQ(x) + (x — xạ)Q'@)].
Vậy xọ là nghiệm bội bậc s — 1 của đa thức P“(). Từ định lý Rolle ta đễ dàng chứng mỉnh được kết quả sau đối với da thức. Nếu đa thức ƒ(x) € R[x] có k nghiệm thực thì đa thức P'(x) có ít nhất k— 1 nghiệm thực Hệ quả 1. Nếu đa thức P(x) € R[x] có các nghiệm đều thực thì đa thức P'(x) cũng có các nghiệm đều thực.S Dương Thị Thu Thúy.
Trang 4 Khóa luận tốt nghiệp đại học. SVTH: Ung Thị Tường Linh — Từ bổ đề I.2, ta có phát biểu bài toán ngược dưới dạng định lí sau đây. Nếu xọ là nghiệm bội bậc s (s €N, s > 1)của đa thức ƒ(x) € R[x] va xp cũng là nghiệm của nguyên hàm F(x) của f4) thì xạ là nghiệm bội bậc s+1 của đa thức nguyên hàm F(x). Vì xụ là nghiệm bội bậc s của ƒ(x) nên ƒ(+) có dạng ƒŒ) = Œ~x¿)°g(), ga) # 0, Giả sử FŒ) = (œ—xạ)*h(x), A(xo) # 0, Khi đó F!() = &— xạ)*~'[k.
Tại x = xọ thì k. Suy ra F”(x) chứa nhân tử (x — xạ) bậc k— 1 nhưng ƒ(x) = F'(x) nên k — 1 = s hay k = s +1. Vay F(x) nhận xọ là nghiệm bội bậc s + 1. Tiếp theo, ta chuyển sang xét quy tắc dấu Descartes.
Xét dãy số thực đọ, đạ, đạ,. Trong trường hợp thit nhdt thi dm—1 va đụ, còn trong trường hợp thir 2 thi dp, va đạp lập thành vị trí đổi dấu. Số lần đổi dấu (bằng số vị trí đổi đấu) của một dãy nào đó vẫn không thay đổi nếu các số hạng bằng 0 được bỏ đi còn những số hạng còn lại vẫn bảo toàn vị trí trơng đỗi của chúng. 74 coi sự đổi dấu và vị trí đổi dấu của đa thức P(x) = anx” + an +x°~1 + «+ aịxX + đọ chính là sự đổi dấu và vị trí đổi đấu của dãy hệ số tùy ý - Qn, Any, ++, Ay, Ag.
Ta co ci tinh chat sau day. Cae day dg, Qy, zy.) Qn VE Any Any) yy có cùng một số lần đổi dấu. Khi gạch bỏ các số hạng của đấy, số lần đổi dấu không tăng lên. Khử đặt vào giữa các số hạng của dãy một số lượng tùy ý các số hạng bằng 0, số vị trí đổi dấu của dãy cũng không thay đổi.
Số vị trí đổi dấu sẽ không thay đổi nếu bên cạnh một số hạng nào đó của đây ta đặt một số hạng mới có cùng đấu với số hạng đó. hy ——_— GVHD: Ti.S Dương Thị Thu Thúy Trang 5 Khóa luận tốt nghiệp đại học SVTH: Ung Th, va đ07ọ, 817, 8272, .-- có cùng những vị trí. Day đọ, đ; + đọ, đ; + đ, an +a„_g, đ„ có số vị trí đối dấu không lớn hơn so với số vị trí đổi dẫu của day Ag, Ay, Az). Giá sử N là số điểm dương của đa thức F(X) = qạ + a¡x + a¿x? + + yx” và IW là số lần đổi dấu trong dãy các hệ số của nó.
Ta có W > N và W — N là một số chẵn. Cho da thite f(x) = ay + a,x + agx? ++ + a,x" (a, #0) có các nghiệm đều thực, gọi W là số vị trí đổi dấu của dãy hệ số. đụ và N là số không điểm dương của đa thức ƒ (x) thì WỨ = N. Các định lý dạng Viète Định lý Rolle đã cho ta một thuật toán dựng các da thức có các nghiệm đều thực từ các đa thức có các nghiệm đều thực cho trước bằng phép lấy đạo hàm.
Ta dã biết rằng, mọi đa thức có các nghiệm đều thực đều được biểu diễn một cách duy nhất qua hệ nghiệm của nó. Đó chính là nội dung của định lý Viète quen thuộc trong chương trình toán của bậc phỏ thông. Nếu tam thức bậc hai #fU)=ax?+bx+c, a, b, c ER, a # 0, có các nghiệm thực Xạ, Xa thì 241đ b Xã. alo Tương tự, ta có định lý Viète trong trường hợp tổng quát đối với đa thức thực bậc ni.
Nếu đa thức fF) = aạx"T— ax"~1 + a;x"®”? + .+ (—1)” aạ 6€ RỊx],ao # 0 có các nghiệm thực là xạ, Xạ, ., xạ, thi Sex te te, = E@) đụ = = XyXq + XyX3 $0 + Xp-aXn = Fy (%) a = xi; .xn = En(#) đo Khi đó, các hàm E,(®,E;(,., Eạ() được gọi là hàm (đa thức) đối xứng sơ cấp Viète bậc 1, 2,. , n, tương ứng của bộ gồm n số thực# = ÍXi,¿,.n}, (n €N*®) Đặc biệt, nếu đa thức ƒ (x) có hệ số cao nhất là ! (hay aạ = 1) thì ————————ễ GVHD: Th.S Duong Thị Thu Thúp Trang 6 Khóa luận tốt nghiệp dại học SVTH: Ung Thị Tường Linh: ee a yt tXn đạ 1a +2; † '''† Xn-1Xn dạ = X14; Xp Nhận xét rằng, định lý Viète đã chỉ ra mối quan hệ giữa các bộ nghiệm của đa thức với tắt cả các hệ số trong đa thức đó. Tuy nhiên, ta cũng có thể phát biểu kết quả tương tự trong trường hợp khi ta còn chưa tường minh các nghiệm của một đa thức. Điều này rất có ý nghĩa khi xét các điều kiện để một đa thức có tất cả các nghiệm đều thực.Trước hết, ta xét một số dạng đa thức có bậc thấp.
Tam thức bậc hai với hệ số thực ƒ (x) = 3x? — 2bx + c có nghiệm thực khi và chỉ khi các hệ số b, c có dạng b= te = Bn ay a) trong d6:a, B,y ER Chimg minh. Điều kiện đủ: Giả sử tam thức bậc hai ƒ(x) = 3x? — 2bx + e có các hệ số b, c thỏa mãn điều kiện (1.1), ta có A’ = (—b)? - 3c = (+ +y)?— 3(aÿ + By + ay) = a? + PP +y? — (af + By + ay) = 2(œ—#)?+(8—y)? + (y—ø)? >0 Suy ra tam thức bậc hai ƒ(x) = 3x? — 2bx + c có hai nghiệm thực. Điều kiện cân: Giả sử tam thức bậc hai ƒ(x) = 3x? — 2bx + c có hai nghiệm thực X,x¿. Ta xét các trường hợp sau đây.
Khi đó nguyên ham F(x) = (x — x9)? nhan x = xọ làm nghiệm bội ba. ii) Néu da thite f(x) có hai nghiệm phân biệt là: x = x1, x = Xz ( x1 < x;) hay rss) f (x) = 3(@ — x) (* — x2) thì ta chon nguyén ham F (x) thoa man điều kiện Khi đó, hàm F(x) dat eye dai và cực tiểu lần lượt tại x; và x; và điểm uốn của đồ thị atte tương ứng là (=, 0). Suy ra nguyén ham F(x) da chon c6 ba nghiém thye Vậy mọi tam thức bậc hai có nghiệm thực. đều có nguyên hàm là đa thức bậc ba có ba nghiệm thực.
Vì thế luôn tồn tại nguyên hàm của f (x) = 3x? — 2bx + ¢ có dạng FŒ@) = «~ #)Œ&— 8) —Y) (&,,y €R). Kr GVHD: Th.S Duong Thj Thu Thiy Trang 7 Khóa luận tốt nghiệp tai hoc ___ SVTH: Ung Thj Twong Linh hay F(x) =x3- (@+B+y)x? + (af + By + ay)x— apy — F!(x) =3x? — 2(œ + § + y)x + (œB + y + aœy) Đồng nhất hệ số của F”(x) và f(x) = x?