Vận Dụng Phương Pháp Tọa Độ Vào Giải Quyết Bài Toán Ở THPT

Tài liệu nghiên cứu Vận dụng phƣơng pháp tọa độ vào giải quyết một số bài toán ở thpt, tổng hợp lý thuyết và thực hành, cung cấp kiến thức chuyên sâu về toán học.

• Tác giả: Lê Thị Sen
• Người hướng dẫn: Cô Nguyễn Thị Kim Liên
• Trường học: Đại học Hồng Đức
• Chuyên ngành: Sư phạm Toán
• Đề tài: Vận Dụng Phương Pháp Tọa Độ Trong Giải Quyết Bài Toán THPT
• Loại tài liệu: khóa luận
• Năm xuất bản: 2019
• Địa điểm: Thanh Hóa

Mục lục chi tiết

• LỜI CẢM ƠN
• 1. CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
• 1.1. Sơ lược về học tập của học sinh THPT
• 1.2. Đặc điểm học tập và sự phát triển trí tuệ của học sinh THPT
• 1.3. Tác động của phương pháp dạy học đối với sự phát triển trí tuệ
• 1.4. Một số khái niệm
• 1.4.1. Khái niệm hoạt động học
• 1.4.2. Bản chất của hoạt động học
• 1.4.3. Cơ sở thực tiễn
• 1.5. Tổng kết chương I
• 2. CHƯƠNG 2: KIẾN THỨC LIÊN QUAN
• 2.1. Hệ tọa độ phẳng
• 2.1.1. Khái niệm hệ tọa độ trong mặt phẳng
• 2.1.2. Tọa độ của vectơ và của điểm trên trục
• 2.1.3. Hệ trục tọa độ
• 2.1.4. Tọa độ của vectơ, của một điểm đối với hệ trục tọa độ
• 2.2. Phương trình đường thẳng
• 2.2.1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
• 2.2.2. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
• 2.2.3. Phương trình tham số của đường thẳng
• 2.2.4. Phương trình chính tắc của đường thẳng
• 2.2.5. Phương trình tổng quát của đường thẳng
• 2.2.6. Các trường hợp đặc biệt
• 2.3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
• 2.4. Góc giữa hai đường thẳng
• 2.5. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
• 3. CHƯƠNG 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIẢI BẰNG PPTĐ
• 3.1. Một số chú ý trong giảng dạy vấn đề PPTĐ
• 3.2. Hướng dẫn học sinh giải toán bằng PPTĐ
• 3.3. Bài toán chứng minh, tính toán
• 3.4. Dạng toán quỹ tích
• 3.5. Bài toán dựng hình
• 3.6. Bài toán giải phương trình, hệ phương trình
• 3.7. Bài toán giải bất phương trình, hệ bất phương trình
• 3.8. Bài toán chứng minh bất đẳng thức
• 3.9. Bài toán cực trị
• 3.10. Giải quyết một số sai lầm của học sinh giải toán bằng PPTĐ
• 4. CHƯƠNG 4: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
• 4.1. Mục đích nghiên cứu sư phạm
• 4.2. Phân tích kết quả thực nghiệm
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Tổng Quan Phương Pháp Tọa Độ Oxy Oxyz Trong Toán THPT

Phương pháp tọa độ, hay còn gọi là phương pháp giải tích, là một công cụ mạnh mẽ trong giải toán THPT. Nó cho phép chuyển đổi các bài toán hình học thành các bài toán đại số, từ đó sử dụng các công cụ đại số để giải quyết. Phương pháp này đặc biệt hiệu quả trong việc giải các bài toán liên quan đến đường thẳng, mặt phẳng, đường tròn, mặt cầu, và các hình học khác. Việc nắm vững phương pháp tọa độ Oxy và phương pháp tọa độ Oxyz giúp học sinh tiếp cận bài toán một cách hệ thống và logic hơn. Theo tài liệu, học sinh lớp 10 đã được làm quen với phương pháp tọa độ trong mặt phẳng, và đến lớp 12, kiến thức này được mở rộng ra không gian.

1.1. Lịch Sử Phát Triển và Vai Trò Của Phương Pháp Tọa Độ

Phương pháp tọa độ không chỉ là một công cụ giải toán mà còn là một phần quan trọng của hình học giải tích. Nó bắt nguồn từ công trình của René Descartes và Pierre de Fermat vào thế kỷ 17, đánh dấu một bước tiến lớn trong toán học. Phương pháp này cho phép biểu diễn các đối tượng hình học bằng các phương trình đại số, mở ra khả năng giải quyết các bài toán hình học bằng các phương pháp đại số. Trong chương trình THPT, phương pháp tọa độ giúp học sinh phát triển tư duy logic, khả năng trừu tượng hóa và khả năng vận dụng kiến thức vào giải quyết các vấn đề thực tế.

1.2. Ưu Điểm và Hạn Chế Của Phương Pháp Tọa Độ Trong THPT

Ưu điểm lớn nhất của phương pháp tọa độ là khả năng chuyển đổi các bài toán hình học phức tạp thành các bài toán đại số đơn giản hơn. Nó cũng cho phép giải quyết các bài toán mà các phương pháp hình học thuần túy gặp khó khăn. Tuy nhiên, phương pháp này cũng có một số hạn chế. Đôi khi, việc thiết lập hệ tọa độ và viết phương trình có thể tốn thời gian và công sức. Ngoài ra, một số bài toán hình học có thể được giải quyết dễ dàng hơn bằng các phương pháp hình học thuần túy. Do đó, việc lựa chọn phương pháp giải phù hợp là rất quan trọng.

II. Thách Thức Khi Giải Toán Tọa Độ Oxy Oxyz THPT

Mặc dù phương pháp tọa độ là một công cụ mạnh mẽ, nhưng học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi áp dụng nó vào giải toán THPT. Một trong những thách thức lớn nhất là việc xác định hệ tọa độ phù hợp và biểu diễn các đối tượng hình học bằng các phương trình. Ngoài ra, học sinh cũng thường gặp khó khăn trong việc vận dụng các công thức và định lý liên quan đến phương pháp tọa độ. Theo tài liệu, học sinh thường gặp khó khăn trong việc khai thác giả thiết, xác định điểm và vector tọa độ, và lựa chọn công thức phù hợp.

2.1. Khó Khăn Trong Việc Thiết Lập Hệ Tọa Độ Phù Hợp

Việc lựa chọn hệ tọa độ phù hợp là rất quan trọng để đơn giản hóa bài toán. Tuy nhiên, học sinh thường gặp khó khăn trong việc xác định vị trí gốc tọa độ, hướng của các trục tọa độ, và đơn vị đo. Một hệ tọa độ không phù hợp có thể làm cho bài toán trở nên phức tạp và khó giải quyết hơn. Kinh nghiệm cho thấy, việc chọn hệ tọa độ sao cho các đối tượng hình học có phương trình đơn giản nhất sẽ giúp giải quyết bài toán một cách hiệu quả hơn.

2.2. Vận Dụng Công Thức Tọa Độ Sai Lầm Thường Gặp

Học sinh thường mắc sai lầm khi áp dụng các công thức liên quan đến tọa độ điểm, tọa độ vector, phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng, khoảng cách trong không gian, và góc giữa hai đường thẳng. Các sai lầm này có thể xuất phát từ việc không hiểu rõ bản chất của công thức, nhầm lẫn giữa các công thức, hoặc tính toán sai. Việc luyện tập thường xuyên và nắm vững lý thuyết là rất quan trọng để tránh các sai lầm này.

2.3. Nhận Biết Dạng Toán Phù Hợp Với Phương Pháp Tọa Độ

Không phải bài toán hình học nào cũng có thể giải quyết hiệu quả bằng phương pháp tọa độ. Học sinh cần phải nhận biết được dạng toán nào phù hợp với phương pháp này và dạng toán nào nên sử dụng các phương pháp khác. Các bài toán liên quan đến tính toán khoảng cách, góc, diện tích, thể tích, hoặc chứng minh các tính chất hình học thường là những ứng cử viên tốt cho phương pháp tọa độ.

III. Bí Quyết Giải Nhanh Bài Tập Tọa Độ Oxy Oxyz Trắc Nghiệm

Để giải nhanh các bài tập phương pháp tọa độ trong các kỳ thi trắc nghiệm, học sinh cần nắm vững các kỹ năng và mẹo giải toán. Một trong những kỹ năng quan trọng nhất là khả năng ước lượng và loại trừ các đáp án sai. Ngoài ra, học sinh cũng cần phải làm quen với các dạng bài tập thường gặp và có chiến lược giải toán hiệu quả. Việc sử dụng phần mềm hỗ trợ giải toán cũng có thể giúp tiết kiệm thời gian và tăng độ chính xác.

3.1. Kỹ Năng Ước Lượng và Loại Trừ Đáp Án Sai

Trong các bài thi trắc nghiệm, việc ước lượng và loại trừ các đáp án sai có thể giúp học sinh tiết kiệm thời gian và tăng cơ hội chọn được đáp án đúng. Kỹ năng này đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc về lý thuyết và khả năng phân tích bài toán. Bằng cách loại trừ các đáp án không hợp lý, học sinh có thể tập trung vào các đáp án còn lại và tăng khả năng chọn được đáp án đúng.

3.2. Mẹo Nhớ Công Thức Tọa Độ và Ứng Dụng Nhanh

Việc nhớ các công thức liên quan đến phương pháp tọa độ là rất quan trọng để giải nhanh các bài tập. Học sinh có thể sử dụng các mẹo nhớ công thức như liên kết công thức với các hình ảnh hoặc ví dụ cụ thể. Ngoài ra, việc luyện tập thường xuyên và áp dụng các công thức vào giải các bài tập khác nhau cũng giúp học sinh nhớ công thức một cách tự nhiên hơn.

3.3. Sử Dụng Máy Tính Casio Hỗ Trợ Giải Toán Tọa Độ

Máy tính Casio có nhiều chức năng hỗ trợ giải các bài toán liên quan đến phương pháp tọa độ, chẳng hạn như tính toán khoảng cách, góc, diện tích, thể tích, và giải các phương trình. Học sinh nên làm quen với các chức năng này và biết cách sử dụng chúng một cách hiệu quả để tiết kiệm thời gian và tăng độ chính xác.

IV. Ứng Dụng Phương Pháp Tọa Độ Giải Toán Hình Học Phẳng Không Gian

Phương pháp tọa độ có rất nhiều ứng dụng trong giải toán hình học phẳng và không gian. Nó có thể được sử dụng để giải các bài toán liên quan đến đường thẳng, mặt phẳng, đường tròn, mặt cầu, và các hình học khác. Ngoài ra, phương pháp này cũng có thể được sử dụng để chứng minh các tính chất hình học và giải các bài toán cực trị. Theo tài liệu, phương pháp tọa độ có thể được sử dụng để giải các bài toán chứng minh, tính toán, quỹ tích, dựng hình, giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình, chứng minh bất đẳng thức, và cực trị.

4.1. Giải Bài Toán Chứng Minh Bằng Phương Pháp Tọa Độ

Để chứng minh một tính chất hình học bằng phương pháp tọa độ, ta cần biểu diễn các đối tượng hình học bằng các phương trình và sử dụng các công cụ đại số để chứng minh tính chất đó. Ví dụ, để chứng minh ba điểm thẳng hàng, ta có thể chứng minh rằng vector tạo bởi hai điểm đầu tiên cùng phương với vector tạo bởi hai điểm cuối cùng.

4.2. Tìm Quỹ Tích Điểm Bằng Phương Pháp Tọa Độ Oxy Oxyz

Để tìm quỹ tích của một điểm bằng phương pháp tọa độ, ta cần tìm một phương trình liên hệ giữa tọa độ của điểm đó và các yếu tố khác của bài toán. Phương trình này sẽ mô tả tập hợp tất cả các điểm thỏa mãn điều kiện của bài toán. Ví dụ, để tìm quỹ tích của một điểm cách đều hai điểm cho trước, ta có thể sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm.

4.3. Giải Bài Toán Cực Trị Hình Học Bằng Phương Pháp Tọa Độ

Để giải một bài toán cực trị hình học bằng phương pháp tọa độ, ta cần biểu diễn các yếu tố của bài toán bằng các phương trình và sử dụng các công cụ giải tích để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thức nào đó. Ví dụ, để tìm diện tích lớn nhất của một tam giác nội tiếp trong một đường tròn cho trước, ta có thể sử dụng công thức diện tích tam giác và các công cụ giải tích.

V. Kinh Nghiệm Giảng Dạy Phương Pháp Tọa Độ Hiệu Quả Ở THPT

Để giảng dạy phương pháp tọa độ hiệu quả ở THPT, giáo viên cần phải có kiến thức vững chắc về lý thuyết và kinh nghiệm thực tế trong giải toán. Ngoài ra, giáo viên cũng cần phải có khả năng truyền đạt kiến thức một cách rõ ràng và dễ hiểu, và tạo động lực cho học sinh học tập. Việc sử dụng các ví dụ minh họa và các bài tập thực hành cũng rất quan trọng để giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng.

5.1. Xây Dựng Bài Giảng Tọa Độ Oxy Oxyz Dễ Hiểu Sinh Động

Để xây dựng một bài giảng dễ hiểu và sinh động, giáo viên nên sử dụng các ví dụ minh họa và các hình ảnh trực quan. Ngoài ra, giáo viên cũng nên khuyến khích học sinh tham gia vào các hoạt động thảo luận và giải bài tập để tăng tính tương tác và hiệu quả học tập.

5.2. Hướng Dẫn Học Sinh Tự Học và Luyện Tập Phương Pháp Tọa Độ

Để giúp học sinh tự học và luyện tập hiệu quả, giáo viên nên cung cấp cho học sinh các tài liệu tham khảo và các bài tập thực hành. Ngoài ra, giáo viên cũng nên khuyến khích học sinh tự tìm hiểu và khám phá các ứng dụng của phương pháp tọa độ trong các lĩnh vực khác nhau.

5.3. Đánh Giá Năng Lực Giải Toán Tọa Độ Của Học Sinh

Để đánh giá năng lực giải toán của học sinh, giáo viên nên sử dụng các bài kiểm tra và bài tập có độ khó khác nhau. Ngoài ra, giáo viên cũng nên quan sát và đánh giá quá trình học tập và làm bài tập của học sinh để có cái nhìn toàn diện về năng lực của học sinh.

VI. Kết Luận Hiệu Quả và Tương Lai Của Phương Pháp Tọa Độ

Phương pháp tọa độ là một công cụ mạnh mẽ và hiệu quả trong giải toán THPT. Nó giúp học sinh phát triển tư duy logic, khả năng trừu tượng hóa và khả năng vận dụng kiến thức vào giải quyết các vấn đề thực tế. Trong tương lai, phương pháp này sẽ tiếp tục đóng vai trò quan trọng trong chương trình toán học THPT và trong các kỳ thi quan trọng như kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia.

6.1. Tổng Kết Ưu Điểm Vượt Trội Của Phương Pháp Tọa Độ

Ưu điểm vượt trội của phương pháp tọa độ là khả năng chuyển đổi các bài toán hình học phức tạp thành các bài toán đại số đơn giản hơn. Nó cũng cho phép giải quyết các bài toán mà các phương pháp hình học thuần túy gặp khó khăn. Ngoài ra, phương pháp này còn giúp học sinh phát triển tư duy logic, khả năng trừu tượng hóa và khả năng vận dụng kiến thức vào giải quyết các vấn đề thực tế.

6.2. Hướng Phát Triển và Nghiên Cứu Phương Pháp Tọa Độ Trong Tương Lai

Trong tương lai, phương pháp tọa độ sẽ tiếp tục được nghiên cứu và phát triển để giải quyết các bài toán phức tạp hơn. Ngoài ra, phương pháp này cũng có thể được tích hợp với các công nghệ mới như trí tuệ nhân tạo và học máy để tạo ra các công cụ hỗ trợ giải toán thông minh hơn.

Trích đoạn nội dung tài liệu

chương I, chúng ta có thể khái quát được tình hình học tập của học sinh THPT. Chúng ta năm được một phần về phương pháp dạy học: “ Phương pháp dạy học là cách thức hoạt động và giao lưu của thầy gây nên những hoạt động và giao lưu cần thiết của trò nhằm đạt được mục tiêu dạy học”. Từ đó rút ra mỗi quan hệ chặt chẽ giữa dạy học và sự phát triển trí tuệ. Bởi vậy trong quá trình dạy học, việc nam vũng trí thức và phát triển trí tuệ có mối quan hệ chặt chẽ với nhau.

Sự phát triển trí tuệ vừa là kết quả, vừa là điều kiện của việc nắm vững trí thức, của hoạt động học tập. Như vậy, qua chương này chúng ta có thể có một cơ sở lí luận vững chắc để từ đó xây dựng được cách nhìn thực tiễn phù hợp với yêu cầu tìm hiểu của bản thân. CHƯƠNG II: KIÊN THỨC LIÊN QUAN 2. Hệ tọa độ phẳng 2.Khái niệm hệ tọa độ trong mặt phẳng 2.

Tọa độ của vectơ và của điểm trên trục - Cho w nằm trên trục (O, ¿) = 3a e R sao cho: = a. Số a như thế được gọi là tọa độ vectơ u adi với trục (O, i). O J > xX i X - Cho điểm M trên trục (O, ¡ ) =3 ØM = m.¡ số m như thế được gọi là tọa độ của điểm M trên trục (O, 7). Hệ trục tọa độ - Trong mặt phẳng gồm 2 trục Óx và Oy vuông góc với nhau.

- Vectơ đơn vị trên trục Ox, Óy lần lượt là ¡ và 7. Điểm O gọi là gốc truc toa d6, Ox, Oy lần lượt là trục hoành, trục tung. Hệ trục tọa độ vuông góc như trên được gọi là hệ trục tọa độ kí hiệu là Oxy hay (O;¡; j). Tọa độ của vectơ, của một điểm đối với hệ trục tọa độ - Đối với hệ trục tọa độ ( O; ¿, 7) nếu ø= x.

7 thì cặp sé (x; y) được gọi là tọa độ của vectơ z, kí hiệu z=(x; y ) hay a(x;y) ; x là hoành độ, y là tung độ của vectơ đ. - Trong mặt phẳng tọa độ Oxy toa dd vecto OM duoc gọi là tọa độ của điểm M. + Tọa độ của vectơ và điểm trên trục + Hệ trục tọa độ + Tọa độ của vectơ, của một điểm đối với hệ trục tọa độ 2. Các pháp toán Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 2 vecto : u(x; y ), v(x’; y’ ); u+V=(X+x;y+ty)); H-V =(X-XÿY-Y) ï k.

=(kx;ky);keR [l= Jr ey, ulv<xx't y. Phương trình đường thắng 2. Vectơ chỉ phương của đường thẳng - Vectơ ¿0 được gọi là VTCP của đường thắng A nếu giá của nó song song hoặc trùng với A. Nhận xét: - Nếu là một VTCP của A thì ku(k #0) cũng là một VTCP của A - Một đường thắng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTCP.

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng Vecto n# Odugc gọi là vectơ pháp tuyến của đường thắng A nếu giá của nó vuông góc với A. Nhận xét: - Nếu m là một VTPT của A thì &z(& #0) cũng là một VTPT của A. - Một đường thang hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTPT. - Nếu là một VTCP và ø là một VIPT cua A thiu ln.

Phương trình tham số của đường thẳng Cho dudng thang A di qua M,(x,;y,)vac6é VICP w= (1,31) X=Xy + tu, (1) (tla tham số ) y= yụ +Í; Phương trình tham số của A: | Nhận xét: x=x, +t, +M(x:y)ềA<© At <R:| Y=HYottu, + Gọi k là hệ số góc của A thì: k = tan ø,ø = xAvy, ø #90” H k=—,u, #0 Uy 2. Phương trình chính tắc của đường thẳng Cho đường thắng A đi qua M,(x);y,)vac6é VICP u =(u,;u,) Phương trình chính tắc ca A; “70 = 270 (2) (u, #0,u, #0) uy Uy Chú ý: Trong trường hợp =0hoặc z; =0 thì đường thắng không có phương trình chính tắc. Phương trình tham số của đường thẳng PT: ax+by+c=0 với a°+b°#0 được gọi là phương trình tổng quát của đường thang. Nhận xét: + Nếu A có phương trình ax+by+c=0 thì Acó: VTPT là z=(a;ð) và VTCP „=(—b;ø) hoặc u=(b;—a) + Nếu Ađi qua Ä⁄„(xạ:y„) và có VTPT ø=(a;ø)thì PT của Ala: a(x=%/)+b(y~3y)=0 10 Các trường hợp đặc biệt: Các hệ sô PT đường thăng A Tính chât của ĐT A c=0 ax +by=0 A di qua gôc tọa độ O a=0 by+c=0 A//Oxhoac A=Ox b=0 ax+c=0 A//Oy hoac A=Oy A đi qua hai điểm A(a;0),B (øb)(a,b #0): Phương trình của A là: * tr =1 a ( phương trình đường thắng theo đoạn chắn).

Vị trí tương đối của hai đường thẳng Cho hai đường thang A,:a,x +b,y+c¢, =0 va A,:a,x +b,y +c, =0. Toa độ giao điểm của hai đường thắng trên là nghiệm của hệ: i t+bhy+e,=0 (1) a;x+b,y+c, =0 + A,cắt A, e>hệ (1) có nghiệm “+ #-'(a,,b,,e, # 0) a, |S + A,// A, <>hệ (1) vô nghiệm "`". Góc giữa hai đường thẳng Cho hai đường thang A,:a,x +b,y +c, =0(c6 VTPT 1, =(a,;h,)) và A,:a,x +b,y+c, =0( có VTPT ø, =(a,:b,)). cos(A,„A, ]=|eos(„n, |= = | —” | Imlin:| Ja +b Ja; +b; 11 Chú ý: +Néu A, LA, @a,a,+bb, =0 Cho A,: y=k,.

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng e Khoảng cách từ một điểm đến một đường thắng Cho đường thắng A:ax + by+c=0 và điểm M,(x3y,) _ |ax; +by,+c| d(M,,A) = eae ¢ Vj tri tuong déi cua hai diém đối với một đường thang Cho đường thắng A:ax + by+c =0 và hai điểm M(x„: yụ ;Ñ(Xy:yy)#£A -_M,N năm cùng phía đối voi A = (ax,, +by,, +c)(ax, +tby, +c) > 0 - M, Nnam khac phia déi voi A = (ax,, tby,, +c)(axy +by, +c) <0 e Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thang Cho hai đường thắng A,:a,x +y+c¡ =0 và A;:a;x +b;y +c, =0 cắt nhau. Phương trình đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thắng A,và A,là: ax,+by,+c _ ax, tby, +e Xa +b 7 Ja, +b 2. Phương trình đường tròn 2. Phương trình đường tròn Phương trình đường tròn tâm 7(a;ð) và bán kính R: (x-a} +(y-Ð} =R’.

Nhdn xét: Phuong trinhx* + y? + 2ax + 2by +c = 0, voi a? +b’-c>0, là phương trình đường tròn tâm /(—a;—b) , ban kinh R= Va’ +b’ -c. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn: 12 Cho đường tròn (C): (x— a) +(y- by =R° Tiếp tuyến của đường tròn (C) tai diém M, (x;y, ) €(C)c6 phương trình: (x¿~4)(x~x¿)+(xu~b)(y~ y,)=0 Phương tích của một điểm đối với đường tròn: Cho đường tròn (C): x* + y? + 2ax + 2by + ¢ = 0 Phương tích của điểm M, (xo: yạ) đối với (C): h MÁC) — Xụ” + yụ — 24%, —2byạ +€ Pzc) >0 M ở bên ngoài đường tron (C) Puc) <9 <M O bén trong đường tròn (C) P MAC) = 0M nằm trên đường tròn (C) Trục dang phương của hai đường tron (C,) va (C2): Tap hop các điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn. Cho hai đường tròn có phương trình: (C,):x° + y* —2ax-2b,y +c, =Ova (C,):x° + y* —2a,x-2b,y +c, =0 Phuong trinh truc dang phuong cua (C;) va (C2) co duge bang cách trừ hai phương trình của hai đường tròn về theo về: 2(a —a,)x+(b, —b,)y+e, —œ =0 2. Phương trình Elip 2.

Định nghĩa Cho F, F,c6 dinh voi F F, =2c(c > 0) M e(E)© MF,+ ME, =2a (a>c) E,F,: Tiêu điểm, F Ƒ; =2c : Tiêu cự 2. Phương trình chính tắc của Elip 2 2 ~ 42 =1(a>b>0,b? =a°-c’) a b Tọa độ các tiêu điểm F, (—c;0), F,(¢;0) Voi M (x;y) €(E)thi MF,,MF, dugc gọi là bán kính qua tiêu của điểm M. Hinh dang cua Elip - Œ) nhận các trục tọa độ làm các trục đối xứng với gốc tọa độ làm tâm đối xứng. - Toa d6 cdc dinh: A,(—a;0), A, (a;0), B, (0;—b), B, (0;b) - Độ dài các trục: trục lớn A, A, = 2a, trục nhỏ: B,B,= 2b - Tâm sai của (E): e= =(0 <e< 1) - Hình chữ nhật cơ sở tạo bởi các đường thắng: x=+z, y=+b( ngoại tiếp Elip 2.

Đường chuẩn của Elip 3 sợ en ge ` a Phương trình các đường chuân A,ứng với các tiêu điêm E; là: x+— =0. Phương trình Hpypebol 2. Định nghĩa: Cho F,,F,c6 dinh voi FF, =2c(c > 0) M e(H)©|MF—MF:|=2a (a<c) E,F,: Tiêu điểm, F Ƒ; =2c : Tiêu cự 2. Phương trình chính tắc cảu hybebol `.

b a Toa độ các tiêu điểm F, (—c;0), F,(¢;0) Với M(x:y) e(H)thì MF;, MF, được gọi là bán kính qua tiêu của điểm M. Cc Aa——X a ME, =Ìa+ —xÌ,MF, =. Hình dạng của hypebol - (H) nhận các trục tọa độ làm các trục đối xứng và gốc tọa độ làm tâm đối xứng. - Tọa độ các đỉnh: A (—a;0), A, (a;0) - Độ dài các trục: trục thực 2a, trục ảo 2b - Tâm sai của (H): e= £ (e>1) a - Hình chữ nhật cơ sở tạo boi cac duong thang x=+a, y=+b.

b - Phương trình các đường tiệm can: y=+—x a 2. Đường chuẩn của hypebol 2 sp ea ae ` a Phương trình các đường chuân A,ứng với các tiêu điểm F; là: x+— =0 a MF, MF, Với M e(H)tacó: ——+— =—_2_= 1 ới M e(H)ta có 2(M. Hệ tọa độ không gian 2. Khái niệm hệ tọa độ không gian 2.

Tọa độ của vecto, tọa độ của điểm Hệ gồm 3 trục tọa độ Óx, Óy, Óz đôi một vuông góc với nhau được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc Øxyz trong không gian. O (0:0;0) gọi là gốc tọa độ. e Các trục tọa độ: + Ox: truc hoành + Oy: truc tung + Oz: truc cao 15 e Các mặt phẳng tọa độ: (Oxy), (Óyz), (Oxz) đôi một vuông góc với nhau. ° ijk lần lượt là các vectơ đơn vị trén truc Ox, Oy, Oz ¢ i =(1,0;0), j =(0:1;0),k =(0:0:1) °[|=|/|=lJ=1Ÿ =7 =# =1 s«iL7,jLkkLi ° 1.i=0 ° [z2] = Kae] =i) ki =j e Các trường hợp đặc biệt cần nhớ: M eOx ©M(x;0:0) 1 eOy ©M(0;y;0) 1 eOz M(0;0;z) M e(Oxy) ©M(x;y;0) M e(Oyz) => M(0; y;Z) M c(Oxz)<> M(x;0;z) eToa dé diém: OM =xi+y.

Cac tinh chat can nhớ: Cho a =(xi:y¡:Z4).b=(X;:Y2:Z;) và k là số tùy ý, ta có: + Tổng của hai vectơ là một vectơ: a+b=(x, +x,5y, +9352, +%) + Hiệu của hai vecto là một vectơ: a-b=(x, = X39, 2% —-Z) + Tích của vectơ với một sé thực là một vecto: k.(x39,3%) =(ky3ky,3kz,) + D6 dai vec to: 16 a = xP ty? te + Vectơ không có toa d6 1a: O = (0; 0;0) + Hai vecto bằng nhau: Tọa độ tương ứng bằng nhau xX, =X, a=bOyy, =), Z, = 2 + Tích vô hướng của hai vectơ ab = X,.X,+ YY, + %-% albsab=0 + Góc eta h hai vecto: Xi-X¿ + VY. + ZZ la mm Vx +y +z. Các công thức cần nhớ cos(a; b)= 5 Trong hệ trục tọa độ Oxyz: Cho A(x„;y„;za).