CHƯƠNG 1 16 Chương 2: Phân tích động học cơ cấu bánh răng vi sai bằng lý thuyết Graph 2. Mô tả hệ thống bánh răng vi sai bằng lý thuyết Graph 2. Khái niệm sơ đồ Graph [3].Sơ đồ Graph là tập hợp các đường thẳng,điểm liên kết với nhau theo các quy luật nhằm thể hiện các loại kết cấu bằng một phương pháp mới khác với các cách truyền thống. Nó có thể diễn tả các quy luật lắp ráp,chuyển động qua đó hỗ trợ việc phân tích và tổng hợp cơ cấu.
Sơ đồ graph bao gồm một tập hợp các nút (hay điểm) liên kết với một tập hợp các cạnh. Thông thường, người ta ký hiệu G là sơ đồ Graph, V là tập hợp các nút, và E là tập hợp các cạnh. Trong đó, v là số nút, e là số cạnh trong một sơ đồ Graph G( v,e). Mỗi cạnh liên kết với hai nút gọi là điểm cuối i và j,khi đó, cạnh đó sẽ được ký hiệu là.
Một cạnh được gọi là gắn liền với một nút nếu nút đó là điểm cuối của cạnh tương ứng.Hai điểm cuối của một cạnh được hiểu là liền kề với nhau. Còn hai cạnh gọi là liền kết với nhau nếu chúng gắn liền với cùng một nút. Hai nút được gọi là liên kết với nhau nếu có một đường liên kết giữa chúng. Đường liên kết này có thể gồm nhiều nút và cạnh khác nhau.
Điều đó có nghĩa là hai nút liên kết không nhất thiết phải liền kề nhau. Một sơ đồ Graph G được gọi là liên kết nếu mỗi nút trong G liên kết với các nút khác ít nhất qua một đường liên kết. Sơ đồ Graph còn có thể được trình bày ở dạng ma trận. Nhờ đó, người ta có thễ dễ dàng hơn trong việc phân tích,liệt kê cũng như nhận dạng cơ cấu.
Dựa trên khái niệm đó, lí thuyết Graph đưa ra các định nghĩa cơ bản được sử dụng như các công cụ để phân tích động học cơ cấu. Một trong số đó là các dạng ma trận dùng để biểu diễn sơ đồ Graph: ma trận liền kề nút – nút, ma trận tương quan nút – cạnh, ma trận mạch ; hàm đa thức đặc trưng và các khái niệm về mạch cơ sở… 2. Ma trận liền kề nút – nút (Adjacency matrix vertex-vertex) LUẬN VĂN THẠC SĨ CHƯƠNG 2 17 Trong ma trận liền kề nút – nút A, các nút được đánh số từ 1 đến v. Khi đó, Trong đó, aij biểu trưng cho phần tử ở hàng i, cột j với A là ma trận đối xứng vuông v x v, có đường chéo bằng 0.
Mỗi sơ đồ Graph chỉ thiết lập duy nhất một ma trận A hay nói cách khác từ ma trận liền kề A cho trước có thể lập lại sơ đồ Graph tương ứng. Đây cũng là một công cụ để phân biệt các sơ đồ Graph đẳng cấu với nhau hay không. Ma trận tương hỗ nút – cạnh ( Incidence matrix vertex-edge) Các nút được đánh số từ 1 đến v, trong khi các cạnh từ 1 đến e. Ma trận tương hỗ nút - cạnh B kích thước v x e ,mỗi hàng tương ứng với một nút và mỗi cột tương ứng với một cạnh ;được xác định như sau: So với ma trận liền kề A, ma trận tương hỗ B cũng được xác định duy nhất từ một sơ đồ Graph cho trước nhưng về mặt cấu trúc nó luôn tồn tại hai phần tử khác 0 trong cùng một cột do mỗi cạnh đều chứa hai điểm nút cuối.
Ma trận mạch ( Circuit matrix ) Các mạch được đánh số từ 1 đến l, trong khi các cạnh từ 1 đến e. Ma trận mạch C kích thước l x e ,mỗi hàng tương ứng với một mạch và mỗi cột tương ứng với một cạnh ;được xác định như sau: Ma trận này so với hai ma trận liền kề và ma trận tương hỗ không đưa ra đầy đủ tính chất của một sơ đồ Graph, và nó cũng không đại diện hoàn toàn cho sơ đồ Graph đó. Ví dụ như ở hình 2.1, sơ đồ Graph tồn tại 3 cạnh ăn khớp e25 ,e35 ,và e45. Khi lần lượt thêm các cạnh này vào nhánh cây thì ta có 3 mạch cơ sở (2,5)(1) ; (3,5)(1 ) và (4,5)(1).
LUẬN VĂN THẠC SĨ CHƯƠNG 2 18 Hình 2.Hệ bánh răng vi sai (5,7) (a) Sơ đồ kết cấu,(b) Sơ đồ Graph (Nguồn: tài liệu [3]) Ví dụ như, đối với hệ bánh răng như hình 2.1 trên bằng cách thiết lập ma trận liền kề nút-nút A,ma trận tương hỗ nút – cạnh B, có thể làm rõ vấn đề: Ma trận A có thể viết như sau: B= Khi đó, dựa vào ma trận, có thể xác định được đặc tính liên kết giữa các khâu với nhau. Cụ thể, ở ma trận A, tổng các phần tử ở mỗi hàng ( hoặc cột) chính là số bậc của nút đó. Ví dụ như số bậc của nút 1 là 4 (v1 liền kề với 4 nút khác). Còn ma trận B xác định lần lượt hai nút cuối của mỗi cạnh.
Mỗi cạnh ăn khớp đó khi lần lượt thêm vào nhánh cây tạo nên một mạch cơ sở và số mạch cơ sở này bằng với số cạnh ăn khớp trong hệ vi sai. Từ đó, các phương trình động học được thành lập nhờ khái niệm về mạch cơ sở.Sơ đồ kết cấu (a) và mạch cơ sở (b) của một cặp bánh răng (Nguồn: tài liệu [3]) Lần lượt gọi i và j là một cặp bánh răng, k là tay quay. Ba khâu i,j và k tạo thành một hệ vi sai hay một đơn vị bánh răng được ký hiệu là (i,j)(k) như hình 2.2 và phương trình mạch cơ sở viết như sau: ( 2. Mô tả hệ thống bánh răng vi sai bằng lý thuyết Graph Riêng đối với hệ bánh răng vi sai – một trong những đối tượng phổ biến dùng lý thuyết Graph nghiên cứu – các nút biểu diễn cho các bánh răng còn các cạnh biểu diễn cho các khớp.
Các cạnh được chia làm hai loại: cạnh ăn khớp dùng nét liền đậm biểu diễn sự ăn khớp giữa các bánh răng và cạnh xoay dùng nét liền mảnh biểu diễn cho các trục xoay như hình 2. Chỉ khác là về mặt kích thước sơ đồ Graph không biểu diễn cụ thể được; còn đối với cơ cấu bánh răng, sơ đồ Graph không chỉ rõ quy luật ăn khớp ( ăn khớp trong hay ngoài). Do các tính chất trên, việc chuyển các dạng sơ đồ kết cấu sang sơ đồ Graph không phức tạp nhưng từ một sơ đồ Graph tổng quát có thể biểu diễn thành nhiều sơ đồ kết cấu khác nhau. LUẬN VĂN THẠC SĨ CHƯƠNG 2 20 Hệ bánh răng gồm hai loại khớp: khớp quay và bánh răng ăn khớp, tuân theo các quy luật sau: 1.
Cơ cấu phải đảm bảo tuân theo phương trình bậc tự do tổng quát; không có một sự cân đối nào nhằm đảm bảo một khả năng truyền động;và các khớp phải là các khớp bậc hai và sơ đồ Graph phải đồng phẳng. Trong sơ đồ của hệ bánh răng vi sai, không có mạch nào có bậc tự do bằng không. Khả năng xoay của các khâu là không giới hạn. Mỗi bánh răng phải có một khớp quay trên trục và mỗi khâu trong một hệ bánh răng phải có ít nhất một khớp quay để đảm bảo khoảng cách tâm cố định giữa các bánh răng Tuân theo các quy tắc trên, một sơ đồ graph có thể có các tính chất sau đây : 1.
Sơ đồ Graph có v nút, (v-1) cạnh khớp quay; và (v-1-F) cạnh ăn khớp với F là số bậc tự do của hệ bánh răng vi sai. Lược bỏ tất cả các cạnh ăn khớp, sẽ thu được sơ đồ con cũng chính là một dạng nhánh cây. Bất cứ cạnh bánh răng nào khi thêm vào nhánh cây cũng hình thành nên một mạch cơ sở có một cạnh ăn khớp và nhiều cạnh khớp quay. Số mạch cơ sở bằng với số cạnh ăn khớp.
Mỗi cạnh khớp quay được đánh số như a,b,c v.v…để xác định vị trí các trục quay trong không gian. Các cạnh nét mảnh được đánh số giống nhau tạo nên một nhánh cây. Bậc tự do của các mạch ít nhất bằng một; còn mạch cơ sở có bậc tự do bằng số nút trừ hai. Mỗi mạch cơ sở đều có một nút gọi là nút chuyển tiếp;sao cho các cạnh nằm về mỗi hai phía của nút này đều được đánh số giống nhau.
Tất cả các nút đều gắn liền với một cạnh khớp quay. Các hệ bánh răng được tập hợp thánh các họ (family) vá được đánh số như sau: n2n3n4. Trong đó, ni là số khâu bậc i. Ví dụ như họ 4400 có 4 khâu bậc 2,4 khâu bậc 3 và không có khâu bậc 4.
LUẬN VĂN THẠC SĨ CHƯƠNG 2 21 Như hình 2.3 dưới đây là một sơ đồ Graph (6,9) biểu diễn một hệ bánh răng vi sai, có chứa 4 cạnh ăn khớp e25, e35, e36 và e46. Khi tách 4 cạnh này ra khỏi sơ đồ tạo thành nhánh cây như hình 2. Sau đó lần lượt sắp xếp từng cạnh trở lại vào sơ đồ Graph ban đầu sẽ có 4 mạch cơ sơ tương ứng.Hệ bánh răng vi sai (6,9) (a) Sơ đồ kết cấu,(b) Sơ đồ Graph, (c) Nhánh cây, (d),(e),(f) và (g) các mạch cơ sở tương ứng. Ứng dụng lý thuyết Graph vào phân tích động học cơ cấu bánh răng vi sai Từ cơ sở lí thuyết được trình bày ở trên cho thấy từ các sơ đồ nguyên lí ban đầu của cơ cấu bánh răng vốn được biểu diễn theo các cách thường dùng, chúng cũng có thể biểu diễn nhờ các sơ đồ Graph.
Qua đó giảm bớt được tính phức tạp về mặt kết cấu cũng như tính chất động học nhờ các công cụ toán học được hệ thống hóa. Và việc phân tích động học cơ cấu bánh răng sẽ được thực hiện nhờ các công cụ này. Quá LUẬN VĂN THẠC SĨ CHƯƠNG 2 22 trình này gồm hai phần cơ bản: phân tích cơ cấu ra thành các đơn vị nhỏ hơn và dùng các công cụ toán khảo sát động học các đơn vị đó. Cơ cấu bánh răng vi sai bao gồm nhiều cặp bánh răng ăn khớp phức tạp với nhau.
Do đó, các mối liên hệ động học cũng như các ràng buộc khá phức tạp.Chính vì vậy mà việc đầu tiên là tách cơ cấu này thành các đơn vị cơ bản nhờ vào khái niệm “mạch cơ sơ”. Khái niệm này cho phép phân chia toàn bộ cơ cấu ra thành từng đơn vị một cách rõ ràng về mặt cấu trúc cũng như động học. Mỗi đơn vị như vậy tự nó đã thiết lập phương trình động học cơ sở.