đặt vấn đề, Toán tài chính xây dựng công thức tính lãi đơn một cách rõ ràng bằng công thức quy nạp, thông qua đó, sinh viên không chỉ biết được cách 10 chứng minh công thức mà còn củng cố được khái niệm lợi tức đã được trình bày trước đó. Ta đưa vào sử dụng vốn V 0 với mong muốn đạt được lãi suất là i%/năm. Vào cuối mỗi năm ta rút lợi tức và chỉ để lại vốn Ở cuối năm 1: Vốn gốc: V0 Lợi tức của năm đầu tiên: V0 i Ta có V0 V0i V0 1 i Ở cuối năm 2: Vốn gốc V0 Lợi tức của năm thứ 2: V0 i Lợi tức của năm đầu tiên V0 i Ta có V0 2V0i V0 1 2.i …………………………………………………… Một cách tổng quát, trong vòng n năm, giá trị đạt được theo lãi suất đơn sẽ là VnD V0 1 ni (Nguyễn Ngọc Định, Nguyễn Thị Liên Hoa, Dương Kha, Phùng Đức Nam, 2004) Bên cạnh đó, “nếu lãi suất và thời hạn cho vay không cùng một đơn vị thời gian, chúng ta phải biến đổi để chúng đồng nhất về thời gian rồi mới áp dụng công thức trên” (Nguyễn Ngọc Định et al., 2004), Toán tài chính đã nhắc nhở một sai lầm thường gặp phải ở HS và sinh viên trong quá trình tính toán là không thống nhất đơn vị đo. Bên cạnh lãi suất đơn, Toán tài chính còn hiện diện một số hình thức tính lãi suất hoàn toàn mới - Lãi suất tương đương (Lãi suất ngang giá) 11 Ngoài lãi suất i được tính theo năm, lãi suất còn được tính theo kỳ và được gọi là lãi suất ngang giá i ' với công thức i i' (với k là số kỳ trong năm) k - Lãi suất trung bình Trên thực tế, lãi suất có thể khác nhau trong những khoảng thời gian khác nhau, do đó, để tính được giá trị cuối cùng thu được, ta tính lãi suất trung bình i: i n i k k n k - Lãi suất thực Do trên thực tế, ngoài lợi tức cần phải trả, người đi vay còn phải trả thêm một số chi phí vay, do đó, lãi suất thực tế người đi vay trả cao hơn lãi suất mà người cho vay đưa ra.
“Lãi suất thực là mức chi phí thực tế mà người đi vay phải trả để sử dụng một khoản vốn vay nào đó trong thời hạn nhất định” (Nguyễn Ngọc Định et al. I f it V0 t Trong đó it : lãi suất thực f : chi phí vay V0t : vốn thực tế sử dụng Sau mỗi định nghĩa mới được đưa vào, Toán tài chính đều gắn với ví dụ minh họa có hướng dẫn giải cụ thể. Do đặc trưng của khối ngành kinh tế nên các ví dụ được đưa vào, bên cạnh tính các đại lượng trong công thức, Toán tài chính còn yêu cầu có sự so sánh các kết quả với các thời hạn vay khác nhau, từ đó sinh viên sẽ rút ra nhận xét trường hợp nào sẽ có lợi cho người đi vay. Cụ thể Ví dụ 5: Ngân hàng cho vay ngắn hạn 1 khoản tiền 200 triệu đồng, với các điều kiện sau - Lãi suất 9,6% năm 12 - Phí hồ sơ 200.000 đồng - Các khoản chi phí khác 0,2% vốn gốc Xác định lãi suất thực của khoản vay trên trong các trường hợp sau: - Thời gian vay là 1 năm - Thời gian vay là 4 tháng Nếu trong hợp đồng vay quy định người đi vay phải trả trước lãi vay thì lãi suất thực sẽ thay đổi như thế nào? (Nguyễn Ngọc Định et al., 2004) Hệ thống bài tập với mục đích giúp sinh viên củng cố và vận dụng các công thức vừa học cũng tương đối đa dạng và phong phú.
Bên cạnh đó, Toán tài chính còn đưa vào một số bài tập ở mức độ cao hơn, không chỉ thuần túy giải quyết bài toán toán học. Bài 14: Ông Hai có một số tiền chia ra gởi ở hai ngân hàng: 3/5 số tiền gởi ở ngân hàng X trong 9 tháng, 2/5 số tiền gởi ở ngân hàng Y trong 15 tháng. Phương pháp tính lãi được áp dụng là tính lãi đơn. Tổng lợi tức đạt được ở cả hai ngân hàng bằng 11,4% tổng số tiền gởi.
Hãy xác định lãi suất tiền gởi. Giải Gọi X là tổng số tiền gởi, i là lãi suất tháng. Số tiền gởi ngân hàng X là 3 / 5 X và lợi tức đạt được ở ngân hàng X là 3 / 5 X .i Số tiền gởi ngân hàng Y là 2 / 5 X và lợi tức đạt được ở ngân hàng Y là 2 / 5 X .15i 6 Xi Tổng lợi tức đạt được ở cả hai ngân hàng là 5, 4 Xi 6 Xi 11, 4 Xi Theo đề bài ta có 11, 4 Xi 0,114 X i 1% /tháng (Nguyễn Ngọc Định et al., 2004) Có thể thấy rằng, bên cạnh áp dụng công thức tính lãi đơn, bài toán còn yêu cầu sinh viên phải phân tích đề, qua đó, lựa chọn những dữ kiện phù hợp, kết nối chúng 13 với nhau để thiết lập một phương trình mà kết quả của nó chính là đáp án của bài toán. Đây cũng chính là các bước của mô hình hóa.
Do ở các bài toán lãi suất được trình bày, bước 1 và 2 của quá trình mô hình hóa không hoàn toàn tách biệt mà gần như là giống nhau, nên trong quá trình phân chia dưới đây, chúng tôi sẽ gộp chúng lại với nhau và sẽ chỉ chia làm 3 bước theo thứ tự sau: xây dựng MHTH – giải quyết bài toán toán học – kết luận. Bước 1: Xây dựng MHTH Gọi X là tổng số tiền gởi, i là lãi suất tháng. Số tiền gởi ngân hàng X là 3/5X và lợi tức đạt được ở ngân hàng X là 3 / 5 X .i Số tiền gởi ngân hàng Y là 2/5X và lợi tức đạt được ở ngân hàng Y là 2 / 5X .15i 6 Xi Tổng lợi tức đạt được ở cả hai ngân hàng là 5,4 Xi 6 Xi 11,4 Xi Bước 2: Giải quyết bài toán toán học Theo đề bài ta có 11, 4 Xi 0,114 X i 1% /tháng Bước 3: Kết luận Thiếu vắng Trong nội dung lãi đơn, chúng tôi nhận thấy có các KNV sau: KNV T1: Tính giá trị đạt được/số tiền vay ở cuối đợt đầu tư - Kĩ thuật: + Xác định số tiền gốc V0 , lãi suất i % , thời gian gửi n (lưu ý cùng đơn vị thời gian) + Áp dụng công thức VnD V0 1 ni - Công nghệ - Lý thuyết: Công thức tính lãi đơn KNV con T1.1: Tính lợi tức đạt được sau một thời gian cho trước - Kĩ thuật: + Xác định số tiền gốc V0 , lãi suất i % , thời gian gửi n (lưu ý cùng đơn vị thời gian) + Áp dụng công thức V0 .i Hoặc I D (lãi suất theo năm còn thời hạn theo ngày) 360 - Công nghệ - Lý thuyết: Định nghĩa lợi tức và công thức tính lãi đơn KNV T2: Tính vốn cần sử dụng để thu được khoản tiền mong muốn - Kĩ thuật: + Xác định giá trị mong muốn Vn , lãi suất i % , thời gian gửi n (lưu ý cùng đơn vị thời gian) VnD + Áp dụng công thức VnD V0 1 ni V0 1 ni - Công nghệ - Lý thuyết: Công thức tính lãi đơn KNV T3: Tính thời gian đầu tư để thu được khoản tiền mong muốn - Kĩ thuật: + Xác định số tiền gốc V0 , giá trị mong muốn Vn , thời gian gửi n (lưu ý cùng đơn vị thời gian) VnD 1 V0 + Áp dụng công thức VnD V0 1 ni n i - Công nghệ - Lý thuyết: Công thức tính lãi đơn KNV T4: Tính lãi suất của quá trình đầu tư/ cho vay - Kĩ thuật: + Xác định lợi tức I D , vốn gốc V0 , thời gian gửi n + Áp dụng công thức V0 .n - Công nghệ - lí thuyết: Định nghĩa lãi đơn KNV T5: Tính lãi suất trung bình của quá trình đầu tư/ cho vay - Kĩ thuật: + Xác định lãi suất ik /kỳ trong thời gian nk kỳ + Áp dụng công thức i nk ik n k - Công nghệ - Lý thuyết: Công thức tính lãi suất trung bình KNV T6: Tính lãi suất thực của quá trình đầu tư/ cho vay - Kĩ thuật: + Xác định vốn gốc V0 , lãi suất i % , chi phí vay f , lợi tức phải trả I I f + Áp dụng công thức it V0 t - Công nghệ - Lý thuyết: Định nghĩa lãi suất thực KNV T7: Tính lãi suất tương đương của quá trình đầu tư/ cho vay - Kĩ thuật: + Xác định lãi suất ban đầu i , số kỳ trong năm k i + Áp dụng công thức i ' k - Công nghệ - Lý thuyết: Định nghĩa lãi suất tương đương Bảng 1. Thống kê số lượng bài tập chủ đề lãi đơn trong Toán tài chính Sử dụng MHTH Xây dựng kĩ thuật KNV Tổng có sẵn thông qua MHTH Tính giá trị đạt được/số tiền 3 0 3 vay ở cuối đợt đầu tư Tính vốn cần sử dụng để thu 6 2 8 được khoản tiền mong muốn 16 Tính thời gian đầu tư để thu 3 0 3 được khoản tiền mong muốn Tính lãi suất tương đương của 1 0 1 quá trình đầu tư/ cho vay Tính lãi suất trung bình của 3 0 3 quá trình đầu tư/ cho vay Tính lãi suất thực của quá trình 5 0 5 đầu tư/ cho vay Tính lãi suất của quá trình đầu 2 1 3 tư/ cho vay Tính lợi tức của quá trình đầu 16 0 16 tư/ cho vay Với nhiều hình thức tính lãi suất (lãi suất, lãi suất tương đương, lãi suất trung bình, lãi suất thực) nên ở chương Lãi đơn, KNV “Tính lợi tức của quá trình đầu tư/ cho vay” và KNV liên quan đến tính các hình thức lãi suất chiếm số lượng lớn (12/42 và 16/42 trên tổng số bài tập).
Bên cạnh hệ thống bài tập vận dụng các công thức (MHTH) sẵn có, Toán tài chính còn hiện diện các bài toán yêu cầu sinh viên xây dựng kĩ thuật giải thông qua MHTH sẵn có, qua đó giải quyết bài toán được đưa ra (tương tự bài toán 14 chúng tôi đã trình bày ở trên), dù số lượng không nhiều (3/42 bài) nhưng cũng cho thấy sự quan tâm của giáo trình đối với dạng toán này. Lãi kép “Lãi kép là phương pháp tính lãi mà trong đó lãi kỳ này được nhập vào vốn để tính lãi kỳ sau” (Nguyễn Ngọc Định et al.