Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ toán học với đề tài "Điều kiện tối ưu và đối ngẫu cho bài toán quy hoạch thương đa mục tiêu không trơn" được thực hiện bởi nghiên cứu sinh Phạm Thị Linh, dưới sự hướng dẫn khoa học của GS. Nguyễn Công Điều, bảo vệ năm 2022 tại Học viện Khoa học và Công nghệ thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam (chuyên ngành Toán ứng dụng, mã số 9.12).

Về tính cấp thiết và khoảng trống nghiên cứu, các bài toán tối ưu có hàm mục tiêu dạng thương nảy sinh trực tiếp từ nhiều bài toán kinh tế và kỹ thuật, như bài toán tối ưu hóa tỷ số lợi nhuận trên chi phí, doanh thu trên thời gian, đầu ra trên đầu vào, phân tích danh mục đầu tư hay tối đa hóa tỷ lệ tín hiệu trên tạp âm của bộ lọc quang phổ trong vật lý. Kể từ công trình khởi xướng của Charnes và Cooper năm 1962, lý thuyết quy hoạch thương đã thu hút nhiều sự quan tâm. Tuy nhiên, phần lớn các kết quả đã công bố chủ yếu mang tính lý thuyết trên tập chấp nhận được là tập lồi hoặc đa diện lồi, tập trung vào trường hợp một mục tiêu hoặc bài toán khả vi (trơn). Các nghiên cứu về điều kiện tối ưu và lý thuyết đối ngẫu cho bài toán quy hoạch thương đa mục tiêu tổng quát không trơn, đặc biệt với các hàm lồi suy rộng và có đầy đủ các ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức và ràng buộc tập, còn rất hạn chế.

Mục tiêu nghiên cứu của luận án gồm hai nội dung chính:

  1. Xây dựng và chứng minh hệ điều kiện cần (dạng Fritz John và dạng Kuhn-Tucker) cùng điều kiện đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu và tựa nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán quy hoạch thương đa mục tiêu không trơn có ràng buộc qua dưới vi phân suy rộng.
  2. Xây dựng mô hình và chứng minh các định lý đối ngẫu yếu, đối ngẫu mạnh và đối ngẫu ngược kiểu Mond-Weir và kiểu Wolfe cho bài toán quy hoạch thương đa mục tiêu đối với cả hai lớp nghiệm nêu trên.

Đối tượng nghiên cứu của luận án là bài toán quy hoạch thương đa mục tiêu (ký hiệu là $\text{MFP}$) trên không gian định chuẩn $X$: $$\min \left( \frac{f_1(x)}{g_1(x)}, \dots, \frac{f_p(x)}{g_p(x)} \right)$$ với các điều kiện ràng buộc:

  • $h_j(x) \le 0, \quad j \in I := {1, \dots, m}$;
  • $\ell_k(x) = 0, \quad k \in L := {1, \dots, r}$;
  • $x \in D$, trong đó $D$ là tập con đóng của không gian định chuẩn $X$.

Các hàm $f_i, g_i, h_j, \ell_k$ là các hàm liên tục thực trên $X$ với mọi $i = 1, \dots, p$; $j \in I$; $k \in L$; mẫu số thỏa mãn $g_i(x) > 0$ với mọi $x \in X$. Tập chấp nhận được của bài toán là $M := {x \in D : h_j(x) \le 0, j \in I; \ell_k(x) = 0, k \in L}$. Luận án khảo sát hai dạng nghiệm: nghiệm hữu hiệu yếu địa phương và tựa nghiệm hữu hiệu yếu địa phương (nghiệm hữu hiệu xấp xỉ theo vectơ tham số $\alpha \in \mathbb{R}^p_{++}$).

Phạm vi nghiên cứu của luận án nằm trong khuôn khổ lý thuyết tối ưu hóa không trơn và giải tích biến phân trên không gian định chuẩn hoặc không gian Banach vô hạn chiều, sử dụng công cụ dưới vi phân suy rộng Jeyakumar-Luc kết hợp nón tiếp tuyến và nón pháp tuyến Clarke.

Thành phần bài toán Ký hiệu / Biểu thức Điều kiện xác định
Không gian nghiên cứu $X$ Không gian định chuẩn (hoặc Banach)
Hàm mục tiêu dạng thương $\varphi_i(x) = \frac{f_i(x)}{g_i(x)}$ $f_i, g_i: X \to \mathbb{R}$ liên tục, $g_i(x) > 0, i = 1, \dots, p$
Ràng buộc bất đẳng thức $h_j(x) \le 0$ $h_j: X \to \mathbb{R}$ liên tục, $j \in I = {1, \dots, m}$
Ràng buộc đẳng thức $\ell_k(x) = 0$ $\ell_k: X \to \mathbb{R}$ Lipschitz địa phương, $k \in L = {1, \dots, r}$
Ràng buộc tập $x \in D$ $D \subset X$ là tập con đóng (hoặc lồi)

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Luận án đã điểm lại có hệ thống các giai đoạn phát triển của quy hoạch thương cùng các hướng tiếp cận liên quan:

  • Quy hoạch thương tuyến tính và ứng dụng ban đầu: Charnes và Cooper (1962) đưa ra bài toán quy hoạch thương và phép đổi biến tuyến tính hóa. Về mặt ứng dụng, Gilmore và Gomory phân tích bài toán chia cổ phần trong công nghiệp giấy; Hoskins và Blom phân tích bài toán giảm chi phí lao động; Ziemba, Parkan và Brooks-Hill đề xuất bài toán quy hoạch thương bậc hai lõm trong lựa chọn danh mục đầu tư; Ohlson và Ziemba nghiên cứu mô hình tối đa hóa thương chứa ma trận phương sai - hiệp phương sai; Mao, Faaland và Jacobs sử dụng quy hoạch thương tuyến tính trong tài chính; Uberti ứng dụng trong bài toán cho thuê; Konno và Inori ứng dụng trong giao dịch trái phiếu; Dantzig, Blattner và Rao nghiên cứu tối ưu hóa hành trình tàu thuyền và máy bay; Kydland nghiên cứu bài toán vận tải hàng hóa; Derman, Klein phân tích quá trình ngẫu nhiên cực tiểu chi phí trên thời gian; Charnes, Cooper và Rhodes ứng dụng phân tích tỷ số đầu ra trên đầu vào cho các tổ chức phi lợi nhuận; Stancu-Minasian nghiên cứu mô hình kinh tế vĩ mô; Falk đề xuất bài toán quy hoạch thương bậc hai lõm để cực đại tỷ số tín hiệu trên tạp âm của bộ lọc quang phổ; Bereanu nghiên cứu quy hoạch ngẫu nhiên dẫn về quy hoạch thương.
  • Phương pháp số và thuật toán tham số: Dinkelbach (1967) đề xuất thuật toán giải quy hoạch thương phi tuyến thông qua bài toán tham số; Isbell và Marlow áp dụng phương pháp Newton cho trường hợp tuyến tính; Pardalos và Phillips phát triển phiên bản cải tiến của phương pháp Newton; Martos, Swarup phát triển phương pháp tựa đơn hình cho bài toán tựa lõm.
  • Quy hoạch cực đại tỷ số nhỏ nhất và tổng các tỷ số: Neumann đưa ra bài toán đối ngẫu cho mô hình cực đại tỷ số nhỏ nhất bằng phương pháp vi phân; Scott và Jefferson nghiên cứu đối ngẫu liên hợp; Bector và Suneja, Boncompte và Martinez-Legaz, Chandra, Craven và Mond khảo sát các dạng đối ngẫu khác nhau. Với bài toán tổng các tỷ số, Craven chỉ ra tính chất nghiệm đạt tại biên; Cambini, Martein và Schaible chuyển đổi tính phi tuyến vào ràng buộc; Falk và Palocsay phát triển thuật toán giải tổng các thương tuyến tính trên đa diện lồi compact.
  • Quy hoạch thương đa mục tiêu và giải tích không trơn: Gadhi nghiên cứu điều kiện tối ưu cho bài toán quy hoạch thương đa mục tiêu qua dưới vi phân suy rộng nhưng chỉ giới hạn ở các ràng buộc bất đẳng thức; Golestani và cộng sự thiết lập điều kiện cần và đủ cho tựa nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán quy hoạch đa mục tiêu qua dưới vi phân Clarke; Căpăţînă nghiên cứu $\epsilon$-tựa nghiệm của bài toán vô hướng qua $\epsilon$-dưới vi phân suy rộng; Gong thiết lập định lý vô hướng hóa cho nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán cân bằng vectơ.

Vị trí và khoảng trống luận án giải quyết: Trong khi các công trình đi trước (tiêu biểu như Gadhi) chỉ xét bài toán thương đa mục tiêu có ràng buộc bất đẳng thức, luận án của Phạm Thị Linh mở rộng mô hình cho bài toán chứa đồng thời ba loại ràng buộc: bất đẳng thức, đẳng thức và ràng buộc tập trên không gian vô hạn chiều. Đồng thời, luận án sử dụng công cụ dưới vi phân suy rộng Jeyakumar-Luc (không đòi hỏi tính lồi và tính compact yếu sao như dưới vi phân Clarke) và giải quyết trọn vẹn cả hai cấu trúc nghiệm: nghiệm hữu hiệu yếu và tựa nghiệm hữu hiệu yếu (nghiệm xấp xỉ phục vụ tính toán số).

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Luận án dựa trên nền tảng của giải tích biến phân, giải tích không trơn và lý thuyết tối ưu hóa đa mục tiêu:

  • Các khái niệm đạo hàm và dưới vi phân: Luận án sử dụng các đạo hàm theo phương Dini dưới $f^-(x; v)$, Dini trên $f^+(x; v)$, đạo hàm Gâteaux $\nabla_G f(x)$ và Fréchet $\nabla f(x)$. Đối với hàm không trơn Lipschitz địa phương, luận án sử dụng đạo hàm theo phương Clarke $f^\circ(x; v)$ và dưới vi phân Clarke $\partial^C f(x) = {x^* \in X^* : f^\circ(x; v) \ge \langle x^*, v \rangle, \forall v \in X}$, cùng đạo hàm Michel-Penot $f^\diamond(x; v)$ và dưới vi phân Michel-Penot $\partial^{MP} f(x)$. Luận án nhấn mạnh quan hệ bao hàm $\partial^{MP} f(x) \subseteq \partial^C f(x)$.
  • Dưới vi phân suy rộng Jeyakumar-Luc: Cho $f: X \to \mathbb{R}$, dưới vi phân suy rộng ký hiệu là $\partial^* f(x) \subset X^*$. Luận án minh chứng công cụ này bao quát hơn dưới vi phân lồi vì không nhất thiết là tập lồi hay compact yếu sao (ví dụ hàm $f(x) = \sqrt{x}$ nếu $x > 0$ và $-\sqrt{-x}$ nếu $x < 0$ có dưới vi phân suy rộng là nửa khoảng $[\alpha, \infty)$ không compact tại 0; hàm $f(x) = -|x|$ có dưới vi phân suy rộng tại 0 là tập rời rạc ${-1, 1}$ không lồi). Đồng thời, luận án áp dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp cho dưới vi phân suy rộng.
  • Khái niệm hình học: Nón tiếp tuyến Clarke $T(D; x)$ và nón pháp tuyến Clarke $N(D; x) = {\xi \in X^* : \langle \xi, v \rangle \le 0, \forall v \in T(D; x)}$.
  • Công cụ vô hướng hóa Gong: Luận án sử dụng kết quả vô hướng hóa của Gong cho bài toán cân bằng vectơ (VEP) thông qua phiếm hàm Minkowski liên tục, thuần nhất dương, dưới cộng tính trên không gian vectơ tôpô $Y$: $$\Lambda(y) = \inf {t \in \mathbb{R} : y \in te - D}, \quad e \in \text{int}D.$$
  • Tính chính quy Ioffe và điều kiện chính quy Mangasarian-Fromovitz (CQ): Điểm $\bar{x} \in M$ được giả thiết là điểm chính quy theo nghĩa Ioffe của hệ ràng buộc đẳng thức $\ell$ đối với tập $D$. Luận án thiết lập điều kiện chính quy (CQ): tồn tại $v_0 \in T(D; \bar{x})$ và các số $a_j > 0$ ($j \in I(\bar{x})$) sao cho:
    1. $\langle \xi, v_0 \rangle \le -a_j, \quad \forall \xi \in \text{conv}\partial^* h_j(\bar{x}), \forall j \in I(\bar{x})$;
    2. $\langle \eta_k, v_0 \rangle = 0, \quad \forall \eta_k \in \text{conv}\partial^* \ell_k(\bar{x}), \forall k \in L$.
  • Các lớp hàm lồi suy rộng: Luận án sử dụng các khái niệm hàm giả lồi bất biến tiệm cận (asymptotic pseudoinvex), giả lồi bất biến tiệm cận chặt (asymptotic strict pseudoinvex) và tựa lồi bất biến tiệm cận (asymptotic quasiinvex) theo ánh xạ $\eta: X \times X \to X$ và tập $D$ thông qua bao lồi của dưới vi phân suy rộng $\text{conv}\partial^* f(x)$.

Phương pháp nghiên cứu thực tế là phương pháp suy luận toán học thuần lý thuyết: chuyển bài toán đa mục tiêu về bài toán tối ưu vô hướng thông qua định lý vô hướng hóa Gong, áp dụng giải tích dưới vi phân suy rộng cho hàm mục tiêu dạng hiệu $\phi_i = f_i - \varphi_i(\bar{x})g_i$ hoặc hàm thương $f_i/g_i$, và sử dụng phương pháp phản chứng kết hợp kỹ thuật phân tách để khử nhân tử mục tiêu khi chuyển từ điều kiện Fritz John sang Kuhn-Tucker. Tư liệu phục vụ nghiên cứu là các công trình lý thuyết đã công bố trên các tạp chí chuyên ngành quốc tế và trong nước.

Khái niệm dưới vi phân Ký hiệu Tính chất lồi Tính chất compact yếu sao Quan hệ bao hàm
Dưới vi phân Clarke $\partial^C f(x)$ Luôn lồi Luôn compact yếu sao Chứa bao lồi của dưới vi phân suy rộng
Dưới vi phân Michel-Penot $\partial^{MP} f(x)$ Luôn lồi Luôn compact yếu sao $\partial^{MP} f(x) \subseteq \partial^C f(x)$
Dưới vi phân suy rộng (Jeyakumar-Luc) $\partial^* f(x)$ Không nhất thiết lồi Không nhất thiết compact $\text{conv}\partial^* f(x)$ có thể nằm gọn trong $\partial^C f(x)$

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

Chương 1 hệ thống hóa các kiến thức nền tảng làm công cụ cho toàn bộ luận án. Tác giả trình bày chi tiết định nghĩa và tính chất của các dạng đạo hàm theo phương: đạo hàm Gâteaux, đạo hàm Fréchet, ánh xạ khả vi chặt, đạo hàm theo phương Dini dưới và Dini trên. Tiếp theo, chương trình bày đạo hàm theo phương Clarke, dưới vi phân Clarke, khái niệm hàm chính quy Clarke, đạo hàm theo phương Michel-Penot và dưới vi phân Michel-Penot. Phần thứ hai của chương nhắc lại bài toán cân bằng vectơ (VEP), bổ đề về phiếm hàm khoảng cách và định lý vô hướng hóa Gong cho nghiệm hữu hiệu yếu. Phần thứ ba trình bày định nghĩa dưới vi phân suy rộng của Jeyakumar-Luc, các ví dụ phản ánh tính không lồi và không compact của lớp dưới vi phân này, quy tắc hàm hợp của dưới vi phân suy rộng, cùng định nghĩa nón tiếp tuyến và nón pháp tuyến Clarke.

Chương 2. Điều kiện cần và điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán quy hoạch thương đa mục tiêu

Chương 2 tập trung thiết lập các điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của bài toán (MFP).

  • Điều kiện cần Fritz John (Định lý 2.1): Giả sử $\bar{x} \in M$ là nghiệm hữu hiệu yếu địa phương, $\bar{x}$ chính quy theo nghĩa Ioffe đối với $\ell$ theo $D$, các hàm $f_i, g_i, h_j, \ell_k$ liên tục và có dưới vi phân suy rộng bị chặn, nửa liên tục trên tại $\bar{x}$; $D$ lồi; $|\ell_k|$ chính quy Clarke. Khi đó tồn tại các vectơ nhân tử $(\lambda_1^, \dots, \lambda_p^) \in \mathbb{R}^p_+ \setminus {0}$, $(\mu_0^, \mu_1^, \dots, \mu_m^) \in \mathbb{R}^{m+1}+$ với $\sum{j=1}^m \mu_j^ + \mu_0^* = 1$, và $(\nu_1^, \dots, \nu_r^) \in \mathbb{R}^r$ sao cho: $$0 \in \text{cl} \Big( \mu_0^* \sum_{i=1}^p \lambda_i^* (\text{conv}\partial^* f_i(\bar{x}) - \varphi_i(\bar{x})\text{conv}\partial^* g_i(\bar{x})) + \sum_{j=1}^m \mu_j^* \text{conv}\partial^* h_j(\bar{x}) + \sum_{k=1}^r \nu_k^* \text{conv}\partial^* \ell_k(\bar{x}) + N(D; \bar{x}) \Big).$$
  • Điều kiện cần Kuhn-Tucker (Định lý 2.2): Khi điều kiện chính quy Mangasarian-Fromovitz (CQ) được thỏa mãn, nhân tử $\mu_0^$ được chứng minh là khác không. Từ đó dẫn đến sự tồn tại của $(\alpha_1^, \dots, \alpha_p^) \in \mathbb{R}^p_+ \setminus {0}$, $(\mu_1^, \dots, \mu_m^) \in \mathbb{R}^m_+$, $(\nu_1^, \dots, \nu_r^*) \in \mathbb{R}^r$ thỏa mãn bao hàm thức tương tự với hệ số mục tiêu độc lập. Tác giả xây dựng ví dụ cụ thể (Bài toán $P_4$) trong $\mathbb{R}^2$ với $p=3, m=2, r=1$ để minh họa điều kiện Kuhn-Tucker.
  • Điều kiện đủ (Định lý 2.3): Dưới giả thiết hàm $\sum_{i=1}^p \alpha_i^* (f_i - \varphi_i(\bar{x})g_i)$ giả lồi bất biến tiệm cận và các hàm ràng buộc $h_j, \pm\nu_k^* \ell_k$ tựa lồi bất biến tiệm cận theo $(\eta, D)$, điểm thỏa mãn điều kiện Kuhn-Tucker khẳng định là nghiệm hữu hiệu yếu của (MFP). Kết quả này mở rộng trực tiếp định lý của Gadhi từ bài toán chỉ có ràng buộc bất đẳng thức sang bài toán đầy đủ ràng buộc.

Chương 3. Điều kiện cần và điều kiện đủ cho tựa nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán quy hoạch thương đa mục tiêu

Chương 3 mở rộng lý thuyết tối ưu sang lớp tựa nghiệm hữu hiệu yếu (local weak quasi-efficient solution theo tham số $\alpha \in \mathbb{R}^p_{++}$). Khái niệm này cho phép thu nhận nghiệm gần đúng trong quá trình dừng hữu hạn bước của các thuật toán số:

  • Mệnh đề giải tích: Tác giả xây dựng và chứng minh một mệnh đề mới về dưới vi phân suy rộng của hàm thương: Nếu $f, g$ có dưới vi phân suy rộng bị chặn, nửa liên tục trên tại $\bar{x} \in D$ và $g(\bar{x}) > 0$, thì tập $\frac{g(\bar{x})\partial^* f(\bar{x}) - f(\bar{x})\partial^* g(\bar{x})}{g^2(\bar{x})}$ là dưới vi phân suy rộng của hàm $f/g$ tại $\bar{x}$.
  • Điều kiện cần Fritz John và Kuhn-Tucker: Định lý 3.1 thiết lập điều kiện cần Fritz John cho tựa nghiệm hữu hiệu yếu địa phương, xuất hiện thêm số hạng hiệu chỉnh $\alpha_i g_i(\bar{x})B^*$ gắn với quả cầu đơn vị trong không gian đối ngẫu. Khi áp dụng điều kiện chính quy (CQ), tác giả thu được điều kiện cần dạng Kuhn-Tucker cho tựa nghiệm hữu hiệu yếu.
  • Điều kiện đủ cho tựa nghiệm: Chứng minh điểm thỏa mãn hệ thức Kuhn-Tucker xấp xỉ sẽ trở thành tựa nghiệm hữu hiệu yếu của (MFP) dưới các giả thiết về tính giả lồi bất biến tiệm cận và tựa lồi bất biến tiệm cận.

Chương 4. Đối ngẫu cho bài toán quy hoạch thương đa mục tiêu với nghiệm hữu hiệu yếu

Chương 4 thiết lập lý thuyết đối ngẫu cho bài toán (MFP) với nghiệm hữu hiệu yếu:

  • Mô hình đối ngẫu kiểu Mond-Weir: Xây dựng bài toán đối ngẫu dạng cực đại hóa hàm mục tiêu vectơ với các ràng buộc bao hàm thức dưới vi phân suy rộng và ràng buộc bù triệt tiêu hàm ràng buộc. Tác giả chứng minh:
    1. Định lý đối ngẫu yếu: Không có điểm chấp nhận được nào của bài toán gốc cho giá trị mục tiêu vượt trội hơn giá trị mục tiêu của bài toán đối ngẫu theo nón thứ tự.
    2. Định lý đối ngẫu mạnh: Nếu $\bar{x}$ là nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán gốc và thỏa mãn điều kiện chính quy, thì tồn tại bộ nhân tử để hợp thành nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán đối ngẫu Mond-Weir và hai bài toán có cùng giá trị mục tiêu.
    3. Định lý đối ngẫu ngược: Khẳng định nghiệm của bài toán đối ngẫu suy ngược về nghiệm của bài toán gốc dưới các điều kiện lồi suy rộng chặt.
  • Mô hình đối ngẫu kiểu Wolfe: Thiết lập bài toán đối ngẫu Wolfe (đưa thêm các hàm ràng buộc bất đẳng thức và đẳng thức vào hàm mục tiêu đối ngẫu) và chứng minh đầy đủ bộ ba định lý đối ngẫu yếu, đối ngẫu mạnh và đối ngẫu ngược.

Chương 5. Đối ngẫu cho bài toán quy hoạch thương đa mục tiêu với tựa nghiệm hữu hiệu yếu

Chương 5 mở rộng toàn bộ cấu trúc đối ngẫu của Chương 4 sang trường hợp tựa nghiệm hữu hiệu yếu:

  • Đối ngẫu kiểu Mond-Weir cho tựa nghiệm: Xây dựng bài toán đối ngẫu chứa các số hạng xấp xỉ liên quan đến vectơ tham số $\alpha \in \mathbb{R}^p_{++}$. Tác giả chứng minh định lý đối ngẫu yếu, đối ngẫu mạnh và đối ngẫu ngược cho tựa nghiệm hữu hiệu yếu thông qua công cụ dưới vi phân suy rộng Jeyakumar-Luc.
  • Đối ngẫu kiểu Wolfe cho tựa nghiệm: Xây dựng bài toán đối ngẫu Wolfe có hiệu chỉnh sai số xấp xỉ và chứng minh hệ thống định lý đối ngẫu yếu, mạnh và ngược tương ứng. Toàn bộ các chứng minh đối ngẫu trong chương đòi hỏi hàm mục tiêu kết hợp thỏa mãn tính chất giả lồi bất biến tiệm cận và các ràng buộc thỏa mãn tính tựa lồi bất biến tiệm cận.
Chương Trọng tâm nghiên cứu Khái niệm nghiệm Công cụ giải tích chính Đóng góp lý thuyết mở rộng
Chương 1 Cơ sở lý thuyết — Dưới vi phân Clarke, Michel-Penot, Jeyakumar-Luc, vô hướng hóa Gong Hệ thống hóa công cụ giải tích không trơn
Chương 2 Điều kiện cần và đủ Nghiệm hữu hiệu yếu Vô hướng hóa Gong, nón Clarke, chính quy Ioffe, CQ Mở rộng kết quả của Gadhi cho 3 loại ràng buộc
Chương 3 Điều kiện cần và đủ Tựa nghiệm hữu hiệu yếu Dưới vi phân hàm thương, số hạng hiệu chỉnh $\alpha_i g_i(\bar{x})B^*$ Mở rộng kết quả của Golestani và cộng sự
Chương 4 Lý thuyết đối ngẫu Nghiệm hữu hiệu yếu Đối ngẫu Mond-Weir và Wolfe qua dưới vi phân suy rộng Thiết lập hệ định lý đối ngẫu yếu, mạnh, ngược
Chương 5 Lý thuyết đối ngẫu Tựa nghiệm hữu hiệu yếu Đối ngẫu Mond-Weir và Wolfe có số hạng xấp xỉ $\alpha$ Thiết lập lý thuyết đối ngẫu cho nghiệm xấp xỉ

Kết quả và những đóng góp mới

Luận án tự nêu các kết quả và đóng góp mới về mặt lý luận và ứng dụng như sau:

  • Về mặt lý luận:
    1. Xây dựng và chứng minh thành công các định lý điều kiện cần Fritz John và Kuhn-Tucker cho nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán quy hoạch thương đa mục tiêu (MFP) chứa đồng thời các ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức và ràng buộc tập trên không gian định chuẩn qua dưới vi phân suy rộng Jeyakumar-Luc.
    2. Thiết lập điều kiện chính quy Mangasarian-Fromovitz (CQ) thích hợp cho bài toán quy hoạch thương không trơn trên không gian vô hạn chiều, làm cơ sở bảo đảm nhân tử mục tiêu khác không trong điều kiện Kuhn-Tucker.
    3. Xây dựng và chứng minh mệnh đề tính toán dưới vi phân suy rộng cho hàm thương; từ đó thiết lập hệ điều kiện cần Fritz John, Kuhn-Tucker và điều kiện đủ cho tựa nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán (MFP).
    4. Đưa ra các định nghĩa và áp dụng thành công lớp hàm giả lồi bất biến tiệm cận và tựa lồi bất biến tiệm cận đối với dưới vi phân suy rộng để chứng minh các định lý điều kiện đủ.
    5. Xây dựng hai lớp mô hình đối ngẫu kiểu Mond-Weir và kiểu Wolfe cho bài toán (MFP) và chứng minh trọn vẹn các định lý đối ngẫu yếu, đối ngẫu mạnh, đối ngẫu ngược cho cả hai dạng nghiệm: nghiệm hữu hiệu yếu và tựa nghiệm hữu hiệu yếu.
  • Về mặt thực tiễn và kiến nghị:
    • Cung cấp cơ sở lý thuyết toán học cho việc nghiên cứu sự hội tụ và tính đúng đắn của các thuật toán số giải bài toán quy hoạch thương đa mục tiêu không trơn, trong đó khái niệm tựa nghiệm hữu hiệu yếu cho phép xử lý nghiệm xấp xỉ sau một số hữu hạn bước lặp.
    • Các kết quả lý thuyết có thể định hướng ứng dụng trong các mô hình bài toán tỷ số thực tế thuộc lĩnh vực kinh tế (tối ưu hóa danh mục đầu tư, phân tích tăng trưởng kinh tế vĩ mô) và kỹ thuật (tối ưu hóa xử lý tín hiệu quang phổ, định tuyến mạng vận tải).

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Theo phạm vi và nội dung được tác giả trình bày trong luận án:

  • Hạn chế:
    • Các kết quả điều kiện tối ưu và đối ngẫu chủ yếu tập trung vào nghiệm hữu hiệu yếu (weak efficient solution) và tựa nghiệm hữu hiệu yếu, chưa khảo sát trực tiếp cho nghiệm hữu hiệu Pareto đầy đủ (efficient solution) hay nghiệm hữu hiệu ngặt (strict efficient solution).
    • Về mặt kỹ thuật giải tích, bài toán đòi hỏi các giả thiết chặt chẽ: các hàm liên tục, dưới vi phân suy rộng phải bị chặn và nửa liên tục trên tại lân cận điểm nghiên cứu, hệ ràng buộc đẳng thức phải Lipschitz địa phương và chính quy Clarke, đồng thời điểm tối ưu phải là điểm chính quy theo nghĩa Ioffe.
    • Luận án hoàn toàn phát triển về mặt lý thuyết toán học giải tích, chưa xây dựng thuật toán số cụ thể và chưa có các thực nghiệm tính toán trên máy tính để kiểm thử tốc độ hội tụ.
  • Hướng nghiên cứu tiếp theo:
    • Nghiên cứu mở rộng điều kiện tối ưu và đối ngẫu cho nghiệm hữu hiệu Pareto và nghiệm hữu hiệu ngặt của bài toán quy hoạch thương đa mục tiêu không trơn.
    • Mở rộng các kết quả sang bài toán với cấu trúc nón thứ tự tổng quát trong không gian vô hạn chiều hoặc sử dụng các lớp dưới vi phân suy rộng khác.
    • Xây dựng các thuật toán tính toán số xấp xỉ cụ thể dựa trên các điều kiện tối ưu đã thiết lập để giải bài toán quy hoạch thương đa mục tiêu.

Giá trị tham khảo

Luận án là tài liệu tham khảo chuyên khảo giá trị cho các nhóm đối tượng:

  • Nghiên cứu sinh, học viên cao học và giảng viên chuyên ngành Toán ứng dụng, Toán giải tích, Tối ưu hóa: Tham khảo phương pháp sử dụng dưới vi phân suy rộng Jeyakumar-Luc, phương pháp vô hướng hóa Gong cho bài toán đa mục tiêu và kỹ thuật xử lý giải tích trên không gian định chuẩn/Banach.
  • Các nhà nghiên cứu lý thuyết đối ngẫu và giải tích biến phân: Tham khảo cấu trúc thiết lập bài toán đối ngẫu kiểu Mond-Weir và Wolfe cùng kỹ thuật chứng minh đối ngẫu ngược dưới các điều kiện lồi suy rộng bất biến tiệm cận.
  • Các nhà nghiên cứu mô hình hóa trong kinh tế, tài chính và kỹ thuật: Tham khảo khung lý thuyết của bài toán quy hoạch thương để mô hình hóa các bài toán cực đại hóa hiệu quả (lợi nhuận/chi phí, doanh thu/thời gian, tín hiệu/tạp âm) khi các hàm mục tiêu và ràng buộc có tính chất không trơn.

Các phần đáng tham khảo nhất trong luận án gồm: Chương 1 (tổng hợp hệ thống các loại đạo hàm và dưới vi phân không trơn); Chương 2 (kỹ thuật chứng minh điều kiện Kuhn-Tucker qua vô hướng hóa Gong); và Chương 3 (công thức dưới vi phân suy rộng của hàm thương và điều kiện tối ưu cho tựa nghiệm).

Câu hỏi thường gặp

1. Bài toán quy hoạch thương đa mục tiêu (MFP) được xét trong luận án có cấu trúc cụ thể như thế nào?
Bài toán (MFP) có hàm mục tiêu là vectơ gồm $p$ hàm thương: $$\min \left( \frac{f_1(x)}{g_1(x)}, \dots, \frac{f_p(x)}{g_p(x)} \right)$$ xác định trên không gian định chuẩn $X$, chịu ba nhóm điều kiện ràng buộc đồng thời:

  1. Ràng buộc bất đẳng thức: $h_j(x) \le 0$ với $j \in {1, \dots, m}$;
  2. Ràng buộc đẳng thức: $\ell_k(x) = 0$ với $k \in {1, \dots, r}$;
  3. Ràng buộc tập: $x \in D$, với $D$ là tập con đóng của $X$.
    Các hàm $f_i, g_i, h_j, \ell_k$ liên tục và mẫu số $g_i(x) > 0$ trên toàn bộ không gian $X$.

2. Điểm khác biệt căn bản giữa dưới vi phân suy rộng Jeyakumar-Luc và dưới vi phân Clarke là gì, và tại sao tác giả lựa chọn công cụ này?
Dưới vi phân Clarke $\partial^C f(x)$ luôn là một tập lồi và compact yếu sao trong không gian đối ngẫu $X^$, trong khi dưới vi phân suy rộng Jeyakumar-Luc $\partial^ f(x)$ không đòi hỏi tính lồi và không nhất thiết compact yếu sao. Hơn nữa, bao lồi của dưới vi phân suy rộng $\text{conv}\partial^* f(x)$ có thể nằm gọn hoàn toàn bên trong dưới vi phân Clarke. Do đó, việc sử dụng dưới vi phân suy rộng Jeyakumar-Luc cho phép thu nhận các điều kiện cần tối ưu chặt chẽ hơn và áp dụng được cho lớp hàm không trơn rộng hơn.

3. Tựa nghiệm hữu hiệu yếu (local weak quasi-efficient solution) được định nghĩa như thế nào và mang ý nghĩa gì trong tối ưu hóa?
Điểm $\bar{x} \in M$ được gọi là tựa nghiệm hữu hiệu yếu địa phương theo tham số $\alpha \in \mathbb{R}^p_{++}$ nếu tồn tại lân cận $V$ của $\bar{x}$ sao cho không tồn tại $x \in V \cap M$ thỏa mãn: $$\frac{f_i(x)}{g_i(x)} \le \frac{f_i(\bar{x})}{g_i(\bar{x})} - \alpha_i |x - \bar{x}|, \quad \forall i = 1, \dots, p$$ với ít nhất một bất đẳng thức thực sự ngặt. Ý nghĩa của khái niệm này là mô tả nghiệm xấp xỉ trong thực tế tính toán, vì các thuật toán số sau một số hữu hạn bước lặp chỉ có thể đạt được nghiệm gần đúng chứ không thể cho nghiệm chính xác tuyệt đối.

4. Điều kiện chính quy Mangasarian-Fromovitz (CQ) suy rộng trong luận án được phát biểu ra sao?
Điều kiện chính quy (CQ) tại $\bar{x}$ yêu cầu tồn tại một hướng $v_0$ thuộc nón tiếp tuyến Clarke $T(D; \bar{x})$ và các hằng số dương $a_j > 0$ ($j \in I(\bar{x})$) sao cho:

  1. $\langle \xi, v_0 \rangle \le -a_j$ với mọi $\xi \in \text{conv}\partial^* h_j(\bar{x})$ và mọi $j \in I(\bar{x})$ (tập chỉ số các ràng buộc bất đẳng thức tích cực);
  2. $\langle \eta_k, v_0 \rangle = 0$ với mọi $\eta_k \in \text{conv}\partial^* \ell_k(\bar{x})$ và mọi $k \in {1, \dots, r}$.
    Điều kiện này bảo đảm loại bỏ trường hợp suy biến, chứng minh nhân tử mục tiêu $\mu_0^* > 0$, từ đó chuyển điều kiện Fritz John thành điều kiện Kuhn-Tucker.

5. Luận án sử dụng các lớp hàm lồi suy rộng nào để thiết lập điều kiện đủ và lý thuyết đối ngẫu?
Luận án sử dụng lớp hàm giả lồi bất biến tiệm cận (asymptotic pseudoinvex) cho hàm mục tiêu kết hợp và tựa lồi bất biến tiệm cận (asymptotic quasiinvex) cho các hàm ràng buộc. Các khái niệm này được định nghĩa thông qua ánh xạ $\eta: X \times X \to X$, tập $D$ và các dãy phần tử thuộc bao lồi của dưới vi phân suy rộng $\text{conv}\partial^* f(\bar{x})$. Đây là các điều kiện lồi suy rộng tối thiểu cần thiết để bảo đảm nghiệm thỏa mãn hệ thức Kuhn-Tucker thực sự là nghiệm tối ưu hữu hiệu yếu.

Kết luận

Luận án tiến sĩ của Phạm Thị Linh đã giải quyết một cách có hệ thống bài toán quy hoạch thương đa mục tiêu không trơn có đầy đủ ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức và ràng buộc tập trên không gian định chuẩn. Bằng việc kết hợp công cụ dưới vi phân suy rộng Jeyakumar-Luc, kỹ thuật vô hướng hóa Gong và tính chính quy Ioffe, tác giả đã thiết lập các định lý điều kiện cần Fritz John, Kuhn-Tucker và điều kiện đủ cho cả nghiệm hữu hiệu yếu và tựa nghiệm hữu hiệu yếu. Đồng thời, luận án đã xây dựng hoàn chỉnh lý thuyết đối ngẫu kiểu Mond-Weir và kiểu Wolfe (gồm đối ngẫu yếu, đối ngẫu mạnh và đối ngẫu ngược) cho hai lớp nghiệm này dưới các giả thiết lồi suy rộng bất biến tiệm cận. Công trình đóng góp nền tảng lý thuyết giải tích quan trọng cho chuyên ngành toán ứng dụng và tối ưu hóa không trơn.