CHƯƠNG 1. GIỚI THIỆU CHUNG Chương 2 GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN VÀ KHÔNG LƯỚI RBF 2.1 Phương pháp phần tử hữu hạn Phương pháp phần tử hữu hạn được bắt nguồn từ yêu cầu giải các bài toán phức tạp về lý thuyết đàn hồi, phân tích kết cấu trong xây dựng và kỹ thuật hàng không. Nó được giới thiệu lần đầu vào những năm 1940 và phát triển chính thức từ nửa sau thập niên 1950 trong việc phân tích kết cấu khung máy bay và công trình xây dựng, và đã thu được nhiều kết quả ở Berkeley vào những năm 1960 trong ngành xây dựng. Dù phương pháp phần tử hữu hạn đã được phát triển từ rất lâu nhưng cho đến những năm sau 1960, phương pháp này mới thực sự được áp dụng cho các bài toán trường điện từ.
Bắt đầu là các bài báo khoa học của Silvester [12], năm 1969 ông đã giới thiệu phương pháp phần tử hữu hạn trong ngành kỹ thuật vi sóng và trường điện từ. từ đó phương pháp này được sử dụng mạnh mẽ vào các bài toán trường điện từ, trường điện tĩnh, trường từ tĩnh, truyền sóng, máy điện, thiết bị bán dẫn, mạch vi sóng, bức xạ điện từ, antenna,. Phần này giới thiệu về phương pháp phần tử hữu hạn có ứng dụng trong điện từ học. Phương pháp phần tử hữu hạn là một phương pháp số được sử dụng để giải các bài toán giá trị biên được đặc trưng bởi một phương trình vi phân riêng và một tập hợp các điều kiện biên.
Ý tưởng cơ bản của FEM là rời rạc hóa miền 6 Nguyễn Thái Sơn 7 2070680 phức tạp Ω của bài toán thành một số hữu hạn các miền con đơn giản hơn Ωe (được gọi là các phần tử). Các miền con này được liên kết với nhau tại các điểm nút. FEM không tìm dạng xấp xỉ của hàm trên toàn miền xác định Ω của nó mà chỉ tìm trong những miền con thuộc miền xác định của hàm. Các hàm xấp xỉ này được biểu diễn qua các giá trị của hàm tại các điểm nút trên các phần tử.
Các giá trị này chính là các ẩn số cần tìm của bài toán. Khi áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn để giải một hệ phương trình vi phân, tích phân bất kỳ, chúng ta tiến hành theo bốn bước cơ bản [23] i. Chia miền lời giải thành một số miền con cụ thể, ii. Xây dựng các phương trình cho một phần tử (miền con) tiêu biểu, iii.
Lắp ghép tất cả các phần tử trong miền lời giải, iv. Giải hệ phương trình ma trận. Trong các phần sau sẽ trình bày về các bước áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn một cách tổng quát cho bài toán giá trị biên (BVP).1 Bài toán giá trị biên Các vấn đề về giá trị biên nảy sinh trong mô hình toán học của hệ thống vật lý, và lời giải của chúng từ lâu đã trở thành một chủ đề chính trong vật lý toán học. Một bài toán giá trị biên điển hình có thể được xác định bằng một phương trình vi phân trong miền Ω [10] Lφ = f (2.1) cùng với các điều kiện biên trên ranh giới Γ bao quanh miền.1), L là một toán tử vi phân, f là hàm kích thích hoặc hàm ràng buộc và φ là đại lượng cần xác định.
Đối với luận văn này thì φ là hàm u(x, y) của phương trình vi - tích phân điểm chuẩn 2D, còn với phương trình vi - tích phân thế từ vector dòng điện xoáy thì φ là thế từ vector A. Trong điện từ học, dạng của phương trình vi phân có mức độ nằm trong khoảng từ phương trình Poisson đơn giản đến phương trình sóng vô hướng phức tạp, đến phương trình sóng vectơ thậm chí còn phức tạp hơn. Điều kiện biên cũng có xếp hạng từ Dirichlet và Newmann đơn giản, cho đến các điều kiện trở kháng và bức xạ phức tạp và cả các điều kiện bậc cao thậm chí còn phức tạp hơn. Tất nhiên, giải quyết các vấn đề giá trị biên một cách giải tích bất cứ khi nào có thể là điều luôn được mong muốn.
Tuy nhiên, lời giải giải tích chỉ có thể LVTN CHƯƠNG 2. GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN VÀ KHÔNG LƯỚI RBF Nguyễn Thái Sơn 8 2070680 đạt được cho một số vấn đề đặc biệt, nên lời giải giải tích là ngoại lệ chứ không phải là quy tắc. Trong điện từ học, những trường hợp đặc biệt này bao gồm điện thế tĩnh giữa các tấm song song vô hạn; truyền sóng trong ống dẫn sóng hình chữ nhật, hình tròn và hình elip; cộng hưởng khoang trong các khoang hình chữ nhật, hình trụ và hình cầu; và sự tán xạ sóng bởi mặt phẳng vô hạn, hình nêm, hình trụ tròn và hình cầu. Nhiều vấn đề khác có tầm quan trọng về kỹ thuật thực dụng không có lời giải giải tích.
Để giải quyết khó khăn này, nhiều phương pháp gần đúng khác nhau đã được phát triển, và trong số đó phương pháp Rayleigh-Ritz và Galerkin đã được phổ biến rộng rãi. Phương pháp Rayleigh-Rizt Phương pháp Rayleigh-Ritz còn được biết với tên phương pháp Ritz, là một phương pháp biến phân trong đó vấn đề giá trị biên được xây dựng dưới dạng một biểu thức biến phân, được gọi là hàm. Mức tối thiểu của hàm này tương ứng với phương trình vi phân có sự chi phối trong các điều kiện biên đã cho. Lời giải gần đúng sau đó thu được bằng cách tối thiểu hóa hàm đối với các biến xác định một giá trị gần đúng nhất định cho nghiệm.
Để hiểu rõ quy trình, trước tiên chúng ta hãy xác định một tích bên trong, được biểu thị bằng dấu ngoặc nhọn Z < φ, ψ >= φψ ∗ dΩ (2.2) Ω ∗ trong đó dấu hoa thị biểu thị liên hợp phức tạp. Với định nghĩa này, có thể chỉ ra rằng nếu toán tử L (2.2) là tự liên hợp [10] thì > 0, φ ̸= 0 < Lφ, φ > (2.3) = 0, φ = 0 sau đó lời giải cho (2.1) có thể thu được bằng cách tối thiểu hóa hàm φ̂, trong đó φ̂ là hàm thử theo [10] 1 1 1 u(φ̂) = < Lφ̂, φ̂ > − < φ̂, f > − < f, φ̂ > (2.4) 2 2 2 Khi hàm được tìm thấy, lời giải có thể thu được bằng quy trình được mô tả dưới đây. Để đơn giản, chúng ta hãy giả sử rằng bài toán có giá trị thực. Giả sử rằng φ̂ trong (2.4) có thể được tính gần đúng bằng cách mở rộng N X φ̂ = cj v j = c T v = v T c (2.5) j=1 LVTN CHƯƠNG 2.
GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN VÀ KHÔNG LƯỚI RBF Nguyễn Thái Sơn 9 2070680 trong đó N là tổng số nút của miền khảo sát, vj là hàm mở rộng đã chọn được xác định trên toàn bộ miền, cj là hệ số hằng số cần được xác định và T biểu thị chuyển vị của vertor.4) chúng ta thu được Z Z 1 u = cT vLvT dΩc − cT vf dΩ (2.6) 2 Ω Ω để tối thiểu hóa u(φ̂), chúng ta đạo hàm riêng u theo ci. Điều này tạo ra một tập hợp các phương trình đại số tuyến tính Z Z Z ∂u 1 T 1 = vi Lv dΩc − vf dΩ − vi f dΩ ∂ci 2 Ω 2 Ω Ω N Z Z 1X (2., N và cũng có thể viết dưới dạng phương trình ma trận - vector Sc = b (2.8) với các phần tử trong ma trận S xác định bởi Z 1 Sij = (vi Lvj + vj Lvi ) dΩ (2.9) 2 Ω và các phần tử trong vector b xác định bởi Z bi = vi f dΩ (2.10) Ω Rõ ràng rằng S là một ma trận đối xứng. Bằng cách dẫn chứng thuộc tính tự liên hợp của toán tử L, Sij có thể được viết là Z Sij = vi Lvj dΩ (2.11) Ω Sau đó, một lời giải gần đúng cho (2.1) được đưa ra bởi (2.5), trong đó ci thu được bằng cách giải phương trình ma trận (2. Phương pháp Galerkin Phương pháp của Galerkin thuộc họ các phương pháp phần dư có trọng số, như tên gọi của nó, phương pháp này tìm kiếm lời giải bằng cách tính trọng số phần dư của phương trình vi phân.
Giả sử rằng φ̂ là một nghiệm gần đúng (2. Thay thế φ̂ cho φ trong (2.1) khi đó sẽ dẫn đến phần dư khác không [10] r = Lφ̂ − f ̸= 0 (2.12) LVTN CHƯƠNG 2. GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN VÀ KHÔNG LƯỚI RBF Nguyễn Thái Sơn 10 2070680 Xấp xỉ tốt nhất cho φ̂ sẽ là một giá trị làm giảm phần dư r xuống giá trị nhỏ nhất tại tất cả các điểm thuộc Ω. Vì điều này, các phương pháp phần dư có trọng số thỏa điều kiện Z Ri = wi rdΩ = 0, i = 1, 2, .13) Ω trong đó Ri là tích phân trọng số phần dư và wi là hàm trọng số được chọn tại nút thứ i, N là số nút trong miền khảo sát.
Trong phương pháp của Galerkin, các hàm trọng số được chọn giống với hàm được sử dụng để khai triển nghiệm gần đúng. Điều này thường dẫn đến giải pháp chính xác nhất và đó là một cách tiếp cận phổ biến trong việc phát triển các phương trình phần tử hữu hạn. Để minh họa phương pháp rõ ràng hơn, chúng ta hãy giả sử rằng lời giải được triển khai như trong (2. Các hàm trọng số sau đó được chọn là wi = vi , i = 1, 2, .13) ta được Z T Ri = vi Lv c − vi f dΩ = 0, i = 1, 2, .15) Ω Điều này một lần nữa dẫn đến hệ thống ma trận đã cho (2.8), mặc dù bây giờ ma trận S không nhất thiết là đối xứng trừ khi toán tử L là tự liên hợp.
Nếu L là tự liên hợp, phương pháp của Galerkin dẫn đến hệ phương trình giống như phương trình của phương pháp Ritz. Qua đó, chúng ta lưu ý rằng bên cạnh việc chọn các hàm mở rộng để tính trọng số, chúng ta cũng có thể chọn các hàm khác. Điều này dẫn đến các công thức khác nhau, như đã thảo luận trong [10].2 Lưới của phần tử hữu hạn Không gian một chiều Miền lời giải của bài toán một chiều Q(0, L) được chia thành Ne phần tử là các phân đoạn như trên hình 2., Ne ) là chiều dài phần tử thứ e, Ne là tổng số phần tử, và xi (i = 1, 2, ., N ) ký hiệu cho vị trí thứ i tương ứng với x1 = 0 và xN = L, với tổng số nút N = Ne + 1 [23]. Không gian hai chiều Trong bài toán hai chiều, miền khảo sát Ω được chia thành một số hữu hạn các LVTN CHƯƠNG 2.