Mở đầu Lý thuyết ổn định Lyapunov được hình thành sau khi A. Lyapunov, nhà toán học người Nga, công bố và bảo vệ thành công luận án tiến sĩ có nhan đề "Bài toán tổng quan về tính ổn định của chuyển động" tại trường Đại học tổng hợp Kharkov năm 1892. Luận án được viết bằng tiếng Nga, rồi sau đó được dịch sang nhiều thứ tiếng khác. Trong công trình của mình, A.
Lyapunov đã xây dựng nền móng cho lý thuyết ổn định, đặc biệt là đưa ra hai phương pháp nghiên cứu tính ổn định của các hệ phương trình vi phân thường. Đó là phương pháp số mũ Lyapunov và phương pháp hàm Lyapunov. Trong thời kỳ chiến tranh lạnh (1953–1962) việc áp dụng phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của các hệ động lực đã nhận được sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu bởi những ứng dụng hữu hiệu của nó trong hệ thống dẫn đường hàng không vũ trụ mà không thể giải quyết được bằng các phương pháp khác. Từ đó đến nay lý thuyết ổn định Lyapunov vẫn đang là một lý thuyết phát triển rất sôi động của Toán học và trở thành một bộ phận nghiên cứu không thể thiếu trong lý thuyết hệ thống và ứng dụng.
Đến những năm 60 của thế kỉ XX, cùng với sự phát triển của lý thuyết điều khiển, người ta cũng bắt đầu nghiên cứu tính ổn định của các hệ điều khiển hay còn gọi bài toán ổn định hóa các hệ điều khiển. Vì vậy việc nghiên cứu tính ổn định và tính ổn định hóa của các hệ phương trình vi phân và điều khiển bằng cả hai phương pháp do Lyapunov đề xuất mà đặc biệt là phương pháp hàm Lyapunov đã và đang trở thành một hướng nghiên cứu thời sự thu hút sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu trong nước và quốc tế (xem [3, 17, 25, 28, 46, 88]). Chúng ta biết rằng độ trễ thời gian thường xuyên xuất hiện trong các hệ thống động lực như trong hệ thống sinh học, hệ thống hóa học và mạng lưới điện (xem [12, 70, 71]). Ngoài ra, độ trễ thời gian còn là nguyên nhân trực tiếp dẫn đến tính không ổn định và hiệu suất kém (poor performance) của các hệ động lực (xem [12, 28]).
Vì thế lớp hệ phương trình vi phân có trễ đã thu hút được nhiều sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học (xem [1, 2, 19, 25, 28, 34, 54, 75, 78, 86]). Để có thể ứng dụng tốt hơn trong thực tiễn, người ta không chỉ quan tâm tới việc tìm ra các tiêu chuẩn ổn định của 1 2 các hệ có trễ mà còn phải đánh giá được "độ" ổn định của các hệ đó. Vì vậy, tính ổn định mũ và ổn định hóa được dạng mũ của các lớp hệ phương trình vi phân và điều khiển có trễ đã và đang được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm trong những năm gần đây ([28, 36, 40, 54, 58, 59, 60, 61, 62, 70, 71, 72, 73]). Trong luận án này, chúng tôi sử dụng phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii để nghiên cứu bài toán ổn định mũ và ổn định hóa được dạng mũ, bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho một số lớp phương trình vi phân có trễ theo hai hướng chính sau: 1.
Nghiên cứu mở rộng, cải tiến hàm Lyapunov–Krasovskii để tìm kiếm các tiêu chuẩn ổn định mới, mở rộng các tiêu chuẩn đã có. Nghiên cứu tính ổn định mũ, ổn định hóa được dạng mũ và bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho một số lớp hệ có cấu trúc tổng quát hơn, có nhiều ứng dụng hơn trong thực tiễn. Lớp hệ đầu tiên được nghiên cứu trong luận án là mô hình mạng nơ ron được mô ta bởi hệ phương trình vi phân có trễ sau ẋ(t) = −Ax(t) + W0 f (x(t)) + W1 g(x(t − h(t))) Rt +W2 t−k(t) c(x(s)) ds + Bu(t), (0. , xn (t)]T ∈ Rn là véctơ trạng thái của mô hình mạng nơ ron, u(t) ∈ Rm là véctơ điều khiển; A = diag(a1 , a2 ,.
, an ), ai > 0, là ma trận đường chéo chính dương; W0 , W1 , W2 , B là các ma trận thực cho trước có số chiều thích hợp, còn f (.) là các hàm kích hoạt của hệ, h(t), k(t) là các hàm trễ của hệ thỏa mãn điều kiện 0 ≤ h1 ≤ h(t) ≤ h2 , 0 ≤ k(t) ≤ k. Mô hình mạng nơ ron (neural networks) được nghiên cứu đầu tiên bởi L. Xu và các cộng sự (xem [87]) đã chỉ ra, độ trễ thời gian thường là nguyên nhân dẫn đến sự không ổn định và hiệu suất kém của mô hình mạng nơ ron. Vì vậy, bài toán ổn định và ổn định hóa mô hình mạng nơ ron được mô tả bởi hệ phương trình vi phân có trễ đã trở thành một vấn đề thời sự và nhận được sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu ([10, 30, 45, 49, 51, 59, 70, 71, 81, 84, 87]).
Đã có rất nhiều điều kiện đủ cho tính ổn định mũ của các mô hình mạng nơ ron được mô tả bởi hệ phương trình vi phân có trễ được đề xuất. Trong trường hợp đơn giản nhất, trong [87], S. Xu và các cộng sự đã nghiên cứu bài toán ổn định cho mô hình mạng nơ ron được mô tả bởi hệ phương trình vi phân không chắc chắn có trễ hằng và với một hàm 3 kích hoạt. Bằng cách sử dụng phương pháp hàm Lyapunov–Krasovskii và giải các bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMIs), các tác giả đã đưa ra một điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận cho nghiệm cân bằng của lớp hệ này.
Gần đây, bằng cách tiếp cận dùng phương pháp hàm Lyapunov kết hợp với sử dụng bất đẳng thức tích phân của K. Liu và các cộng sự [49], đã đưa ra một điều kiện đủ cho tính ổn định mũ của mô hình mạng nơ ron được mô tả bởi hệ phương trình vi phân có trễ hỗn hợp (có trễ dạng rời rạc và trễ dạng tích phân), có các hàm kích hoạt khác nhau với độ trễ là hằng số. Mặt khác, trong các nghiên cứu gần đây, các tác giả cố gắng mở rộng mô hình mạng nơ ron mô tả bởi hệ phương trình vi phân có trễ sang trường hợp mô hình mạng nơ ron mô tả bởi hệ phương trình vi phân có độ trễ rời rạc biến thiên, tức là h = h(t), trong trường hợp cận dưới của độ trễ h(t) là 0, tức là 0 ≤ h(t) ≤ h1 , với h1 là một số dương cho trước. Tuy nhiên, các kết quả này đều phải dựa trên một giả thiết hạn chế là hàm trễ khả vi và có đạo hàm ḣ(t) ≤ µ < 1 (xem [41, 45, 68]).
Điều đáng chú ý trong các tiêu chuẩn này là các tác giả đã khắc phục được điều kiện độ trễ có đạo hàm nhỏ hơn 1, tức là ḣ(t) ≤ µ < 1, tuy nhiên các tác giả vẫn phải giả thiết độ trễ là hàm khả vi và thỏa mãn điều kiện ḣ(t) ≤ δ, với δ là một số thực dương cho trước và cận dưới của độ trễ h(t) là 0. Vì vậy vấn đề tìm kiếm tiêu chuẩn ổn định mũ cho mô hình mạng nơ ron được mô tả bởi hệ phương trình vi phân có trễ biến thiên và không đòi hỏi tính khả vi của hàm trễ là một vấn đề thời sự thu hút sự quan tâm của các nhà nghiên cứu ([79, 96]). Song đã đưa ra một điều kiện đủ cho tính ổn định mũ cho mô hình mạng nơ ron được mô tả bởi hệ phương trình vi phân có trễ dạng rời rạc thông qua việc giải bất đẳng thức ma trận tuyến tính. Sau đó một thời gian ngắn, trong [96], X.
Wang đã mở rộng bài toán trên cho mô hình mạng nơ ron được mô tả bởi hệ phương trình vi phân có trễ hỗn hợp với độ trễ biến thiên. Chú ý rằng trong các tiêu chuẩn mà Q. Wang đề xuất không đòi hỏi tính khả vi của độ trễ, tuy nhiên các tác giả vẫn giả thiết độ trễ là hàm bị chặn có cận dưới là 0. Suốt những năm vừa qua có rất nhiều kết quả của các nhà khoa học nghiên cứu về bài toán ổn định các mô hình mạng nơ ron được mô tả bởi hệ phương trình vi phân có trễ hoặc không có trễ.
Trong khi đó một bài toán quan trọng không kém là bài toán ổn định hóa lớp hệ này chỉ có một vài kết quả được công bố (xem [7, 48, 51, 71]). Trong đó, kết quả của V. Trinh trong [71] là đáng quan tâm hơn cả. Trong nghiên cứu này, các tác giả đã nghiên cứu bài toán ổn định hóa được 4 dạng mũ cho mô hình mạng nơ ron được mô tả bởi hệ phương trình vi phân có trễ hỗn hợp với độ trễ biến thiên và các hàm kích hoạt khác nhau.
Bằng cách cải tiến hàm Lyapunov–Krasovskii, kết hợp với sử dụng kỹ thuật bất đẳng thức ma trận tuyến tính, hai tác giả đã thiết kế một điều khiển ngược để ổn định hóa được dạng mũ cho mô hình mạng nơ ron được mô tả bởi hệ phương trình vi phân có trễ này. Tuy nhiên, khi nghiên cứu kết quả này, chúng tôi nhận thấy điều kiện của hai tác giả đưa ra vẫn đòi hỏi độ trễ rời rạc là hàm khả vi và cận dưới của độ trễ là 0. Trong các bài toán kỹ thuật, như các tác giả trong [22, 32] đã chỉ ra, độ trễ có thể nằm trong một khoảng cho trước có cận dưới không nhất thiết là 0, tức là độ trễ h(t) thỏa mãn 0 < h1 ≤ h(t) ≤ h2 , với h1 , h2 là các số thực dương cho trước và để cho ngắn gọn, ta sẽ gọi độ trễ mà thỏa mãn điều kiện này là trễ biến thiên dạng khoảng (interval time-varying delay). Từ đó bài toán ổn định cho mô hình mạng nơ ron mô tả bởi hệ phương trình vi phân có trễ biến thiên dạng khoảng đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu (xem [11, 30, 81, 84]).
Trong các nghiên cứu đó, các tác giả đều nghiên cứu bài toán ổn định cho mô hình mạng nơ ron mô tả bởi hệ phương trình vi phân có trễ biến thiên dạng khoảng và độ trễ là hàm khả vi. Từ những phân tích trên, ta thấy vấn đề tìm kiếm tiêu chuẩn ổn định mũ và ổn định hóa được dạng mũ cho mô hình mạng nơ ron mô tả bởi hệ phương trình vi phân có trễ hỗn hợp với độ trễ biến thiên dạng khoảng và độ trễ là các hàm liên tục không nhất thiết khả vi là vấn đề nghiên cứu có tính thời sự.