I. Cơ sở toán học
Chương này trình bày các khái niệm cơ bản về tính ổn định và ổn định hóa cho các hệ phương trình vi phân thường và có trễ. Phương pháp hàm Lyapunov được giới thiệu như một công cụ quan trọng trong việc phân tích tính ổn định. Các bổ đề kỹ thuật cũng được nêu ra nhằm hỗ trợ cho việc chứng minh các kết quả chính trong các chương tiếp theo. Việc hiểu rõ các khái niệm này là cần thiết để áp dụng vào các bài toán thực tiễn trong lý thuyết điều khiển.
1.1. Bài toán ổn định
Bài toán ổn định được định nghĩa là việc tìm kiếm các điều kiện để đảm bảo rằng các nghiệm của hệ phương trình vi phân không chỉ tồn tại mà còn hội tụ về một điểm cân bằng. Tính ổn định có thể được phân loại thành ổn định tiệm cận và ổn định mũ. Các tiêu chuẩn ổn định mũ được phát triển nhằm mở rộng khả năng áp dụng cho các hệ có độ trễ, điều này rất quan trọng trong các ứng dụng thực tiễn như trong hệ thống điều khiển tự động.
1.2. Phương pháp hàm Lyapunov
Phương pháp hàm Lyapunov là một trong những phương pháp chính để phân tích tính ổn định của các hệ phương trình vi phân. Hàm Lyapunov được xây dựng để chứng minh rằng một hệ thống là ổn định nếu hàm này giảm theo thời gian. Việc áp dụng phương pháp này cho các hệ có trễ là một thách thức lớn, nhưng cũng mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới trong lý thuyết điều khiển.
II. Tính ổn định và ổn định hóa được dạng mũ
Chương này tập trung vào việc thiết lập các điều kiện đủ cho tính ổn định mũ và ổn định hóa cho các mô hình mạng nơ ron được mô tả bởi hệ phương trình vi phân có trễ. Các tiêu chuẩn mới được đưa ra nhằm cải thiện khả năng ổn định cho các hệ thống có độ trễ biến thiên. Việc nghiên cứu này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong các lĩnh vực như kỹ thuật điều khiển và hệ thống thông tin.
2.1. Mô hình mạng nơ ron
Mô hình mạng nơ ron được mô tả bởi hệ phương trình vi phân có trễ là một trong những ứng dụng quan trọng của tính ổn định. Độ trễ thời gian thường dẫn đến sự không ổn định trong các mô hình này. Các điều kiện đủ cho tính ổn định mũ đã được phát triển, cho phép các nhà nghiên cứu thiết kế các bộ điều khiển hiệu quả hơn cho các hệ thống này.
2.2. Tiêu chuẩn ổn định hóa
Tiêu chuẩn ổn định hóa được đưa ra nhằm đảm bảo rằng các hệ thống không chỉ ổn định mà còn có thể duy trì hiệu suất trong các điều kiện thay đổi. Việc áp dụng các tiêu chuẩn này vào các mô hình thực tế cho thấy sự cải thiện rõ rệt trong khả năng điều khiển và ổn định của hệ thống, đặc biệt là trong các ứng dụng kỹ thuật điều khiển tự động.
III. Bài toán đảm bảo chi phí điều khiển
Chương này nghiên cứu bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho các lớp hệ phương trình vi phân có trễ. Các điều kiện đủ cho sự tồn tại của các bộ điều khiển phản hồi đầu ra động được thiết lập, cho phép đảm bảo rằng chi phí điều khiển được tối ưu hóa. Việc nghiên cứu này có ý nghĩa quan trọng trong việc phát triển các phương pháp điều khiển hiệu quả cho các hệ thống phức tạp.
3.1. Hệ phương trình vi phân có trễ hỗn hợp
Hệ phương trình vi phân có trễ hỗn hợp là một trong những thách thức lớn trong lý thuyết điều khiển. Việc thiết lập các điều kiện đủ cho sự tồn tại của bộ điều khiển ổn định hóa đảm bảo chi phí điều khiển là rất quan trọng. Các nghiên cứu cho thấy rằng việc áp dụng các phương pháp mới có thể cải thiện đáng kể hiệu suất của hệ thống.
3.2. Điều khiển phản hồi đầu ra động
Điều khiển phản hồi đầu ra động là một phương pháp tiên tiến trong lý thuyết điều khiển. Việc thiết kế các bộ điều khiển này cho các hệ thống có trễ biến thiên cho thấy tiềm năng lớn trong việc tối ưu hóa chi phí điều khiển. Các kết quả nghiên cứu cho thấy rằng các bộ điều khiển này không chỉ ổn định mà còn có thể hoạt động hiệu quả trong các điều kiện thay đổi.
