Luận án tiến sĩ về tính ổn định hầu chắc chắn của phương trình vi phân ngẫu nhiên

Khám phá luận án tiến sĩ về tính ổn định hầu chắc chắn của phương trình vi phân ngẫu nhiên với nhiễu Brown phân thứ và nhiễu hỗn hợp.

• Tác giả: Cao Tấn Bình
• Người hướng dẫn: TS. Lưu Hoàng Đức
• Trường học: Đại học Quốc gia Hà Nội
• Chuyên ngành: Khoa học tự nhiên
• Đề tài: Tính ổn định hầu chắc chắn của phương trình vi phân ngẫu nhiên với nhiễu Brown và nhiễu hỗn hợp
• Loại tài liệu: luận án
• Năm xuất bản: 2022
• Địa điểm: Hà Nội

Mục lục chi tiết

• LỜI CAM ĐOAN
• LỜI CÁM ƠN
• MỤC LỤC
• 1. CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
• 1.1. Phương trình vi phân ngẫu nhiên với nhiễu Brown thông thường
• 1.2. Chuyển động Brown
• 1.3. Tích phân Itô
• 2. CHƯƠNG 2: KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
• 2.1. Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm đối với phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính có trễ với nhiễu Brown phân thứ
• 2.2. Tính ổn định hầu chắc chắn của nghiệm trong không gian chuẩn sup
• 3. CHƯƠNG 3: TÍNH ỔN ĐỊNH CHO HỆ HỖN HỢP
• 3.1. Hệ hỗn hợp không có trễ với nhiễu Bernoulli
• 3.2. Tính ổn định mũ hầu chắc chắn cho hệ hỗn hợp gồm nhiễu Brown thông thường và nhiễu Bernoulli độc lập
• DANH MỤC CÁC BÀI BÁO LIÊN QUAN
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Tính ổn định hầu chắc chắn của phương trình vi phân ngẫu nhiên

Phương trình vi phân ngẫu nhiên với nhiễu Brown và nhiễu hỗn hợp là một lĩnh vực nghiên cứu quan trọng trong toán học ứng dụng. Tính ổn định hầu chắc chắn của các phương trình này được xem xét trong bối cảnh các hệ thống động lực học dưới tác động của các yếu tố ngẫu nhiên. Đặc biệt, việc nghiên cứu tính ổn định này không chỉ giúp hiểu rõ hơn về hành vi của các hệ thống mà còn có ứng dụng thực tiễn trong nhiều lĩnh vực như tài chính, sinh học và kỹ thuật. Các phương trình vi phân ngẫu nhiên thường được mô hình hóa dưới dạng các phương trình có trễ, trong đó các yếu tố ngẫu nhiên có thể ảnh hưởng đến sự phát triển của hệ thống theo thời gian.

1.1. Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận án này là tính ổn định hầu chắc chắn của các phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ trong không gian vô hạn chiều. Các phương trình này thường có dạng tổng quát, trong đó các yếu tố ngẫu nhiên được mô tả bằng nhiễu Brown và các yếu tố khác như nhiễu hỗn hợp. Việc phân tích tính ổn định hầu chắc chắn giúp xác định điều kiện cần và đủ để đảm bảo rằng nghiệm của phương trình tồn tại và duy nhất. Điều này có ý nghĩa quan trọng trong việc phát triển các mô hình toán học cho các hệ thống thực tế, nơi mà sự không chắc chắn và ngẫu nhiên là điều không thể tránh khỏi.

1.2. Phương pháp nghiên cứu

Luận án áp dụng các phương pháp của lý thuyết xác suất và giải tích ngẫu nhiên để nghiên cứu tính ổn định hầu chắc chắn. Các công cụ như bất đẳng thức Gronwall-Bellman, định lý ergodic và lý thuyết tích phân Young được sử dụng để phân tích các phương trình vi phân ngẫu nhiên. Đặc biệt, việc sử dụng các kỹ thuật này cho phép chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm cho các phương trình có trễ, từ đó rút ra các tiêu chuẩn ổn định hầu chắc chắn. Những kết quả này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có thể được áp dụng trong các lĩnh vực như tài chính, nơi mà các mô hình ngẫu nhiên thường được sử dụng để dự đoán hành vi của thị trường.

II. Ứng dụng trong tài chính

Nghiên cứu về tính ổn định hầu chắc chắn của phương trình vi phân ngẫu nhiên có ứng dụng rất lớn trong lĩnh vực tài chính. Các mô hình tài chính thường phải đối mặt với sự không chắc chắn và biến động, do đó việc áp dụng các phương trình vi phân ngẫu nhiên giúp mô hình hóa các hiện tượng này một cách chính xác. Các phương trình này có thể được sử dụng để mô tả sự phát triển của giá tài sản, rủi ro và lợi nhuận trong các thị trường tài chính. Việc hiểu rõ tính ổn định của các mô hình này giúp các nhà đầu tư và nhà quản lý rủi ro đưa ra các quyết định chính xác hơn.

2.1. Mô hình hóa giá tài sản

Các phương trình vi phân ngẫu nhiên có thể được sử dụng để mô hình hóa sự biến động của giá tài sản trong thị trường tài chính. Chẳng hạn, mô hình Black-Scholes là một ví dụ điển hình cho việc áp dụng lý thuyết này. Mô hình này sử dụng nhiễu Brown để mô tả sự biến động của giá cổ phiếu theo thời gian. Việc nghiên cứu tính ổn định của mô hình này giúp đảm bảo rằng các dự đoán về giá cả là đáng tin cậy và có thể được sử dụng để ra quyết định đầu tư.

2.2. Quản lý rủi ro

Trong lĩnh vực tài chính, việc quản lý rủi ro là rất quan trọng. Các phương trình vi phân ngẫu nhiên giúp các nhà quản lý rủi ro đánh giá và dự đoán các tình huống có thể xảy ra trong tương lai. Bằng cách phân tích tính ổn định hầu chắc chắn của các mô hình này, các nhà quản lý có thể xác định các chiến lược phòng ngừa rủi ro hiệu quả hơn. Điều này không chỉ giúp bảo vệ tài sản mà còn tối ưu hóa lợi nhuận trong các điều kiện thị trường không chắc chắn.

Trích đoạn nội dung tài liệu

CHƯƠNG 1 KIÊN THUO CHUAN BỊ Ohương này trình bày các kiên thức cơ sở làm nền tắng cho việc giải thích các kết quả nghiên cứu wa chúng tôi đạt được trong các chương tiệp theo, 1.1 Phương trình vi phân ngẫu nhiên với nhiễu Brown thông thường Kiên thức trong phần này là nền taug cho các kết qua nghiên cứu ma chúng toi đạt được trong Ohương 3.1 Chuyển động Brown Ohuyén động Brown được đề xuât bởi Robert Brown vào năm 1828 khi ông quan sát sự di chuyển ngẫu nhiên của cáo hạt phan hoa trong nước, được w6 tá dưới ngôn ngữ xác suat như sau. Oho (Q, F, P) là không gian xáo suất với loo {F,}is9. Một chuyển động Brown một chiều chuẩn tao là một qua trình {.Z;¿}-thích nghỉ liên tục nhận giá trị thực với v4c tính chat như sau (i) (0) = 0 hầu chắc chắn; (ii) với 0 < s <t < ©, gia số B(t) — B(s) là phan phối chuẩn với kỳ vọng toán bằng 0 và phương sai bằng t — s; (iii) với 0 < s <t < œ, gia sô B(t) — B(s) là độc lập với F,. 15 Nêu {B(t)}is0 là chuyển động Brown và 0 < to < ty < +++ < ty < o thì cáo gia sô B(t;) — B(t;-1),1 < i < k là độc lập, và ta nói chuyển động Brown này có cáo gia số độc lập.

Hơn nữa, phan phối của B(t;) — BŒ,_1) phụ thuộc chí vào hiệu t; — f;_¡, và ta nói chuyển động Brown này có các gia số dừng, Chuyển động Brown v6 một số tính chất quan trọng sau day. (i) Nếu { B(t)} là chuyén động Brown thì {—B(t)} cũng là chuyển động Brown uới cùng lọc {F;}. (ii) Cho c > 0 va X¡ = a udit > 0. Khả đó {X(t)} là chuyến động Broww uớt loc {Fr}.

() Gide haw limy+o0 BO) = 0 hầu chắc chan. (iv) Với haw hết w € Q, guỹ đạo mau B(.,w) không kha vi haw khắp trơi. (v) Với haw hốt € Q, quỹ dao mau B(.,w) liêu lục Hdlder uới số tủ 6 néw 6 € (0,1/2). Luy phiêu, uới hầu hết w € ©, quỹ, dao mau B(.,w) không liêu tục Hdlder uới số mt 6 > 1/2.

Một quá trình d-chiều { BW) = (Blo), ¬ Ba(t)) } được gọi là chuyển động Brown d-chiéu >0 nêu mỗi { B;(£)} là chuyển động Brown 1-chiều và {1(f)},., {Ba()} là độc lập.2 Tích phan [to Tà biết rằng với hầu hết w € Q, quỹ đạo mẫu B(.,w) không kha vi hầu khắp nơi, do đó tích phân fi, f(s)dB(t) không thé được định nghĩa theo cách thông thường theo kiéu tích phân Riemann-Stieltjes. hay vào đó, ta có thể định nghĩa tích phan theo phương pháp cúa. Cav nội dung xây dựng tích phần ltô dưới đây được trích dan từ 49]. Ngoài ra, tài liệu cũng trình bày cáo định nghĩa, tính chất, chứng minh va ví dụ minh hoa khá rõ ràng, dễ hiểu về tích phân Ltd và những van đề liên quan.

16 Oho (Q, F,P) là không gian xác suất day du với loo {Z7;};>o được giới thiệu 6 mục trước. Lay B = {B(t)}iso là chuyển dong Brown 1-chiéu được xáo định trên khong gian xác suất thích nghĩ với loo trên.1) trong đó {ø„} là dãy các qua trình đơn giãn sao cho noo lim Bf ul F(t) — galt) Pat= 0.2) Tích phan Itô có một số tính chat sau đây: Định lý 1. Cho ƒ,g © M?([a,b],R) va œ,Øjc€. Kh¿ đó ta có (i) f° f(t) ) là Fy-do được; (ii) E f° f(t)dB(t) = 0; (iit) E| J? f(t)dB)P = Bf | f(t) Pde; (iv) frlaf(t) + 8g(0)14B0) = a J2 ƒ(4B0) + 8 J2 g()4B0 Định lý 1.3 COông thức 1to Công thức Itô cho chúng ta một cách khác để tính tích phân ltô một cách tiện lợi hơn so với định nghĩa, Oho {()};>so là chuyển động Brown một chiều được xác định trêu không gian xáo suất day du (O, 7, P) và thích nghĩ với lọc {7;};>o.

Ký 17 hiệu Z!(R,;R°) là họ tất od cáo quá trình ƒ = {f(t)}iso thích nghỉ với loo {7,}, đo được, nhận giá trị trong R7 và thoa man T | |f(t)|dt < oo hau chắc chin với mỗi T > 0. 0 Ký hiệu C!?(R, x R4;R) là họ tất od cáo hàm nhận giá trị thực V(t, x) được xác định trên R, x IR“ sao cho chúng kha vi liên tục cấp 2 theo x và cấp I theo t. Nêu V € C!?(R, x R“;R), đặt OV OV OV iat?” (an 2n., 62V ¬ OV Vv - ( ð3V ) z Day 0aiØ#a „1 Øz;Öz; dxd 7 av : 23V ÔzaÖ#1 ws ÔzaÖ#4 Định nghĩa 1. Một quá trình ltô d chiều là một qué trình phù hợp, liêu tuo, nhận gia tri trong IR“ v6 dạng x(t) = (ai (t),., ra(t))7,t > 0 và x(t) + | 76 yis+ Ƒ q(s)dB(s), trong đó ƒ = (fi,.

trành lô d chiêu uới vi phâu ugau whién dx(t) = f(t)dt + g(t)dB(t), trong đó ƒ € £L'(R,;R*) vag € £L7(R,;RTMTM).4 Phuong trình vi phan ngẫu nhiên Oho (0, F, P) là một không gian xác suat day dt với loo {Z7;¡};>o thỏa. mãn các điều kiện thông thường., Bm(t))’,t > 0 là chuyển động Brown m-chiéu trên không gian xáo suất nay, Lay 0 < tạ <7 < 00; x là một biễn ngẫu nhiên F;,,-do được và nhận giá trị trong IR? sao cho Elzu| < œ; ƒ: [fo,7] x R? + R7 là hàm đo được Borel va g: (to, T] x RẺ > R®TM cing là hàm do được Borel. Xét phương trình vi phan ngẫu nhiên d-chiéu dạng ltô.4) với giá tri ban đầu x(to) = xo. Phương trình này tương đương với phương trình tích phân ngẫu nhiên sau đây.

(15) to Dinh nghĩa 1. Một qua trình ngẫn nhiện {#(f)];¿<¡<r, nhận giá trị trong IR“, được gọi là nghiệm cia phương trình (1.4) nếu có các tính chất san đây, (i) x(t) liên tục và Z7-thích nghĩ; (ii) {/0,z0))} € £!(o, TÌ,R?) và {ø(,z())} € L*((to, TỊ, RR"); (iii) phương trình (1.5) đúng với mọi t € [fạ, T] với xáo suất 1. Sự tôn tại và duy nhất nghiệm Xét phương trình vi phan ngẫu nhiên d-chiéu (1. Sau đây là định lý cơ ban về tính tồn tại và duy nhất nghiệm cua phương trình (1.

Ged sử tow tại các hằng số dương K va K sao cho 19 (i) (Dieu kiện Lipschitz) Voi moi x,y € R“ va t € [to, TỊ |ƒŒ.)|Ủ < K\lx—yll sà lg(t,2)— g(t, y)IP < Rllz~ w|Ÿ: (1.7) Khi đó tow tat nghiệm duy nhất x(t) cia phương trành (LA) vd nghiệm nay thuộc không giun M?({to, TỊ, R9). Dinh lý tiếp theo là trường hợp tống quát cla Dinh lý |L.10Ì trong đó điều kiện Lipschitz (đều) được thay bởi điều kiện Lipschitz địa phương. Giá sứ điều kiện tăng trưởng tuyếu tinh đúng, nhưng điêu kiệu Lipschitz được thay bởi điều kiệu Lipschitz dia phương saw đâu: Với moi số nguyên n > 1, ton tat hang số dương K, sao cho vét moi t € [to,T] va x,y € Ré vdi ||#|| < n va llul| <n, |ƒứ.)|lỦ < Kalla — ylP? sà [Ig(t,x) — g(t,y) |? < Kalla — yl’.8) Khi đó tow tụi nghiệm duy thất nghiệm x(t) cia phương trành trong M? ([to, T], R9). Giá sứ điều kiéw Lipschitz dia phương đúng, nhưng điều kiệu tăng trưởng tuyếu tính được thay bởi điều kién don điệu: Low tụi hằng số dương K sao cho tới mot (t,x) € [to, T] x Rẻ 1 wt f(t.9) khi đó tou tụi nghiéu duy thất nghiệm x(t) cia phương trành 1.

Bây gid, nếu cao giả. sử của định lý ton tại và duy nhất nghiệm đứng trên mỗi đoạn con hữu han [to,T] C [to, co), thì phương trình (1.4) có 2U nghiệm duy nhất x(t) trên toàn bộ [fo, ). Nghiệm như thé được gọi là nghiệm toàn cuc. La có định lý tiếp theo sau đây về nghiệm toàn cuc cho phương trình (1.

Giá sứ uới mdi số thực T > to vd số uguyéu > 1, tow tụi hằng số dương Kp», saa cho uới mgt t € [to,T] va x,y € IRẺ sới ||z|| <n va ||p|| < n, |ƒứ.)|Ý < Kr„|lz~ wÏlŸ sà l|gứ, z)— øứ, 9)|Ủ < Kr„|lz ~ 9Ï: (1.10) Giá sử thêm rang uới mot T > to, ton tụi bằng số dương Kp sao cho uới trọt (t,x) € [to, T] x R4, o f(t.11) Khi đó tow tat nghiệu toàu cục duy what x(t) cia phương trành (14) va nghiệt nay thuộc không gia M?([tp, ), R9). Tinh on định Xét phương trình dx(t) = ƒ(t,z())dt + g(t, x(t))dB(t), (1.12) trong đó t > ty và ry = (ty) C RY,2<p<o. Trong phần này, ta giá sử tinh tồn tai và duy nhất nghiệm của phương, trình (1.12) luôn được thoa mãn. Hou nữa, gia sử f(t,0) = g(t, 0) = 0 với mọi ý > to.

Khi do z(t) = 0 là nghiệm cua phương trình (1.12) với giá tri ban đầu x(to) = 0, va đượo gọi là nghiệm tầm thường hay vi trí cân bằng. Ky hiệu Cl (Ry; 5), x Ry) là họ tất cả các hàm không âm V(t, 2) xác định trên %„ x Ry sao cho chúng 06 đạo hàm cấp 2 liên tuo theo x và cấp 1 theo t. Định nghĩa toán tứ vi phan LD kết hợp với phương trình (L.12) bới a » 1 S a? L — Ot + — fi(t, x) + 2 a lg(t, x) 9 iF Oa; 21 Nếu L táo động lên hàm V € C”#(R,; 5%, x Ry) thì LV (t,x) = Vi(t,z) + V„(t,e)ƒ(t,#) + trace [g" (t,x) Voolt, x) g(t, 2)). Bởi công thức 1t6, nên x(t) € Sp, thi dV (t, x(t)) = LV(t, x(t))dt + V,(t, (t)) g(t, z())d4B().

Ngược lại, được gọi là không Ou định theo xáo suất. (ii) Nghiệm tầm thường của. phương, trình (1.12) được gọi là On định tiệm cận ngẫu nhiện nêu nó On định ngẫu nhiên và với mỗi e € (0, 1) tồn tại do = d0(€, to) > 0 sao cho P( lim z(f;tfe,zo) =0) >1l-e t++00 khi ||zo|| < do. Nghiệm tam thường của phương trình (1.12) được gọi là Ou định mũ moment bậc g nếu tồn tai cáo hằng số dương À và C sao cho E ||x(t; to, xo) ||1 < C |lxellfe OX", t > to, q>0 với bat ky #g = z(fo) c RẺ.

Khi p = 2, nó được gọi là ou định wit theo bình phương trung bình. Nghiệm tam thường của phương trình (1.12) được gọi là Ou định wit hầu chắc chấn nêu 1 ` ¿ , lim sup — log ||x(t; to, vo)|| <0 hầu chắc chắn t++00 với bất kỳ xp = x(tp) € R*, Bo dé 1. Với moi xp # 0 trong RẺ, P{ax(t; to, Xo) z 0,¢ = to} =1.13) Có ughia là hầu hết các quy dao ctia nghiệt bất ky bat đầu từ trang thái khác 0 sẽ không bao giờ dat đếu trang thái 0. Sau đây là một số kết quá quan trọng về tính Ou định mũ hầu chắc chấn cho nghiệm tầm thường.5 Bồ đề Borel-COantelli Bo dé 1.

(Bố đã Borel-Cuntellé) Giá sử F là o-dai số cho trước.