Một thuật toán lựa chọn danh mục đầu tư trực tuyến sử dụng phương pháp phân nhóm và xem xét chi phí giao dịch

Chuyên khảo toán học phân tích Một thuật toán lựa chọn danh mục đầu tư trực tuyến sử dụng phương pháp phân nhóm và xem xét chi phí, đánh giá các khía cạnh quan trọng, đề xuất

• Tác giả: Nguyễn Văn Kiên
• Người hướng dẫn: PGS. Nguyễn Thị Thu Thủy
• Trường học: Đại Học Bách Khoa Hà Nội
• Chuyên ngành: Toán Tin
• Đề tài: Thuật Toán Lựa Chọn Danh Mục Đầu Tư Trực Tuyến: Phân Nhóm và Chi Phí Giao Dịch
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2023
• Địa điểm: Hà Nội

Tóm tắt

I. Tổng Quan Thuật Toán Lựa Chọn Danh Mục Đầu Tư Trực Tuyến

Trong bối cảnh thị trường tài chính ngày càng phức tạp, thuật toán lựa chọn danh mục đầu tư trực tuyến (OLPS) nổi lên như một giải pháp hiệu quả. OLPS sử dụng các công cụ thống kê và học máy để tối ưu hóa lợi nhuận đầu tư dài hạn. Phương pháp này kết hợp các công cụ và lý thuyết kinh tế, giúp nhà đầu tư đưa ra quyết định sáng suốt. OLPS đóng vai trò quan trọng trong quản lý tài sản tự động, quản lý quỹ đầu cơ và giao dịch định lượng. Một ví dụ điển hình là việc một người muốn tăng vốn đầu tư thông qua thị trường tài chính, OLPS giúp tự động hóa quá trình phân bổ vốn để tối đa hóa lợi nhuận. OLPS sử dụng dữ liệu lịch sử để ra quyết định, tương tự như phân tích kỹ thuật, nhưng khác biệt ở chỗ OLPS xây dựng và sửa đổi danh mục đầu tư vào đầu mỗi kỳ.

1.1. Định Nghĩa Chi Tiết về Lựa Chọn Danh Mục Trực Tuyến

Lựa chọn danh mục đầu tư trực tuyến (OLPS) là quá trình phân bổ nguồn vốn một cách tuần tự vào các tài sản khác nhau. Mục tiêu là tối đa hóa lợi nhuận sau cùng trong một khoảng thời gian dài. OLPS có vai trò quan trọng trong nhiều ứng dụng tài chính, như quản lý tài sản tự động và giao dịch định lượng. Kỹ thuật OLPS giúp tự động hóa trình tự phân bổ vốn, từ đó tối đa hóa lợi nhuận đầu tư trong dài hạn.

1.2. So Sánh OLPS với Phân Tích Kỹ Thuật Truyền Thống

OLPS sử dụng dữ liệu lịch sử để ra quyết định, tương tự như phân tích kỹ thuật. Tuy nhiên, trong phân tích kỹ thuật, các kỹ thuật tìm kiếm (heuristic) được áp dụng để xác định giá tốt nhất để mua hoặc bán cổ phiếu. Ngược lại, OLPS xây dựng và sửa đổi danh mục đầu tư vào đầu mỗi kỳ. OLPS cho bài toán giao dịch trong thế giới thực là một thách thức khi thông tin thị trường được cập nhật liên tục.

II. Thách Thức Chi Phí Giao Dịch và Rủi Ro trong Đầu Tư Trực Tuyến

Một trong những thách thức lớn nhất trong đầu tư trực tuyến là chi phí giao dịch. Chi phí này có thể ảnh hưởng đáng kể đến lợi nhuận cuối cùng của nhà đầu tư. Ngoài ra, việc quản lý rủi ro cũng là một yếu tố quan trọng cần xem xét. Thị trường tài chính luôn biến động, và việc lựa chọn danh mục đầu tư phù hợp có thể giúp giảm thiểu rủi ro. Các nhà đầu tư cần phải cân nhắc kỹ lưỡng giữa lợi nhuận kỳ vọng và mức độ rủi ro chấp nhận được. Việc sử dụng các thuật toán OLPS có thể giúp nhà đầu tư đưa ra quyết định tốt hơn trong môi trường đầy biến động.

2.1. Tác Động của Chi Phí Giao Dịch Đến Lợi Nhuận Đầu Tư

Chi phí giao dịch có thể bao gồm phí môi giới, thuế và các chi phí khác liên quan đến việc mua bán tài sản. Các chi phí này có thể làm giảm lợi nhuận thực tế của nhà đầu tư. Do đó, việc giảm thiểu chi phí giao dịch là một yếu tố quan trọng trong việc tối ưu hóa danh mục đầu tư. Các thuật toán OLPS cần phải xem xét chi phí giao dịch để đưa ra quyết định đầu tư hiệu quả.

2.2. Quản Lý Rủi Ro và Phân Tích Rủi Ro Lợi Nhuận

Phân tích rủi ro và lợi nhuận là một phần quan trọng của quá trình đầu tư. Nhà đầu tư cần phải đánh giá mức độ rủi ro của từng tài sản và danh mục đầu tư. Các chỉ số như Sharpe Ratio, Sortino Ratio, Alpha, Beta, Volatility và Drawdown có thể giúp nhà đầu tư đánh giá rủi ro và hiệu suất của danh mục đầu tư. Việc sử dụng các mô hình định lượng như Tối ưu hóa Markowitz và Black-Litterman Model cũng có thể giúp quản lý rủi ro hiệu quả.

III. Phương Pháp Phân Nhóm Danh Mục Đầu Tư để Tối Ưu Hóa

Phân nhóm danh mục đầu tư là một phương pháp hiệu quả để tối ưu hóa lợi nhuận và giảm thiểu rủi ro. Bằng cách phân nhóm các tài sản có đặc điểm tương đồng, nhà đầu tư có thể dễ dàng quản lý và điều chỉnh danh mục đầu tư của mình. Các thuật toán phân nhóm có thể sử dụng các kỹ thuật học máy để xác định các nhóm tài sản tối ưu. Phương pháp này giúp nhà đầu tư tập trung vào các tài sản có tiềm năng sinh lời cao và giảm thiểu sự phân tán vốn vào các tài sản kém hiệu quả.

3.1. Ứng Dụng Kỹ Thuật Học Máy trong Phân Nhóm Danh Mục

Học máy có thể được sử dụng để phân nhóm các tài sản dựa trên nhiều yếu tố, như hiệu suất lịch sử, mức độ rủi ro và các yếu tố kinh tế vĩ mô. Các thuật toán phân cụm như K-means, hierarchical clustering và DBSCAN có thể giúp xác định các nhóm tài sản tối ưu. Việc sử dụng học máy giúp nhà đầu tư đưa ra quyết định phân nhóm khách quan và hiệu quả.

3.2. Các Tiêu Chí Phân Nhóm Danh Mục Đầu Tư Hiệu Quả

Các tiêu chí phân nhóm có thể bao gồm ngành nghề, quy mô công ty, mức độ tăng trưởng và các chỉ số tài chính. Việc lựa chọn các tiêu chí phù hợp là rất quan trọng để đảm bảo rằng các nhóm tài sản được phân chia một cách hợp lý. Nhà đầu tư cần phải xem xét kỹ lưỡng các yếu tố này để đưa ra quyết định phân nhóm tốt nhất.

IV. Giải Pháp Thuật Toán Đốisánh Mẫu trong Lựa Chọn Danh Mục

Thuật toán đối sánh mẫu sử dụng dữ liệu lịch sử để đưa ra quyết định về danh mục đầu tư. Nó tìm kiếm các mẫu lịch sử tương tự như mẫu hiện tại. Các thuật toán này có thể đảm bảo tăng trưởng vốn tối ưu bằng cách đặt ra số lượng giả định ít nhất trên thị trường, nghĩa là tính ổn định và tính đúng đắn của chuỗi thời gian tài chính. Thuật toán đối sánh mẫu nhằm dự đoán nhiều tình huống mà tương đồng với véctơ giá tương đối tiếp theo.

4.1. Mục Đích và Nguyên Tắc Hoạt Động của Thuật Toán

Thuật toán đối sánh mẫu cố gắng làm cực đại hóa lợi nhuận kỳ vọng dạng log thông qua tập tương đồng. Thông thường, các thuật toán đối sánh mẫu bao gồm hai giai đoạn: tối ưu hóa danh mục đầu tư và chọn mẫu. Mục đích là chọn một danh mục đầu tư ở thời điểm t+1. Bước chọn mẫu sẽ chọn ra tập Ct các chỉ số quá khứ tương tự, giá tương đối tương ứng đó sẽ được dùng để dự đoán ngày tiếp theo.

4.2. Kỹ Thuật Chọn Mẫu và Tối Ưu Hóa Danh Mục Đầu Tư

Ý tưởng chung của bước chọn mẫu là chọn ra mẫu tương đồng từ lịch sử giá tương đối bằng cách so sánh các cửa sổ thị trường ngay trước chúng. Sử dụng một số phương pháp như: chọn mẫu phi tham số dựa trên histogram, chọn mẫu phi tham số dựa trên nhân, chọn mẫu phi tham số dựa trên hàng xóm gần nhất. Bướctiếptheocủa patternmatching dựatrênviệcxâydựngmộtdanhmụcđầutưtốiưuchotậpmẫu C t .HainguyênlýchínhđượcápdụnglàlýthuyếttăngtrưởngvốncủaKelly[14]vàcânbằnglợinhuậnrủirodanhmụccủaMarkowitz[17].

V. Ứng Dụng Đánh Giá Hiệu Suất Thuật Toán trên Dữ Liệu Thực Tế

Việc đánh giá hiệu suất của thuật toán OLPS trên dữ liệu thực tế là rất quan trọng để xác định tính khả thi và hiệu quả của phương pháp này. Các nhà nghiên cứu thường sử dụng dữ liệu lịch sử từ thị trường chứng khoán để kiểm tra hiệu suất của thuật toán. Các chỉ số như lợi nhuận trung bình, độ lệch chuẩn và Sharpe Ratio được sử dụng để so sánh hiệu suất của thuật toán với các phương pháp đầu tư truyền thống. Kết quả nghiên cứu có thể giúp nhà đầu tư hiểu rõ hơn về tiềm năng của thuật toán OLPS và đưa ra quyết định đầu tư sáng suốt.

5.1. Tiêu Chí Đánh Giá Hiệu Suất Thuật Toán OLPS

Các tiêu chí đánh giá hiệu suất có thể bao gồm lợi nhuận trung bình, độ lệch chuẩn, Sharpe Ratio, Sortino Ratio và Maximum Drawdown. Lợi nhuận trung bình cho biết khả năng sinh lời của thuật toán. Độ lệch chuẩn đo lường mức độ biến động của lợi nhuận. Sharpe Ratio đánh giá hiệu suất điều chỉnh theo rủi ro. Maximum Drawdown cho biết mức giảm tối đa của danh mục đầu tư trong một khoảng thời gian nhất định.

5.2. Phân Tích Kết Quả Thực Nghiệm và So Sánh với Các Phương Pháp Khác

Kết quả thực nghiệm cần được phân tích kỹ lưỡng để xác định điểm mạnh và điểm yếu của thuật toán. So sánh hiệu suất của thuật toán với các phương pháp đầu tư truyền thống như đầu tư thụ động và đầu tư chủ động có thể giúp nhà đầu tư đánh giá tính hiệu quả của thuật toán OLPS. Việc phân tích kết quả thực nghiệm cũng có thể giúp nhà nghiên cứu cải thiện thuật toán và phát triển các phương pháp đầu tư mới.

VI. Kết Luận Triển Vọng và Hướng Phát Triển của OLPS

Thuật toán lựa chọn danh mục đầu tư trực tuyến (OLPS) có tiềm năng lớn trong việc cải thiện hiệu quả đầu tư. Tuy nhiên, vẫn còn nhiều thách thức cần vượt qua, như việc xử lý chi phí giao dịch và quản lý rủi ro. Trong tương lai, các nhà nghiên cứu có thể tập trung vào việc phát triển các thuật toán OLPS phức tạp hơn, có khả năng thích ứng với sự thay đổi của thị trường. Việc kết hợp OLPS với các công nghệ mới như trí tuệ nhân tạo và blockchain cũng có thể mở ra những cơ hội mới trong lĩnh vực đầu tư.

6.1. Các Hướng Nghiên Cứu Tiềm Năng trong Lĩnh Vực OLPS

Các hướng nghiên cứu tiềm năng có thể bao gồm việc phát triển các thuật toán OLPS có khả năng dự đoán thị trường tốt hơn, việc tích hợp chi phí giao dịch và rủi ro vào mô hình, và việc sử dụng các công nghệ mới như trí tuệ nhân tạo và blockchain. Nghiên cứu về các thuật toán OLPS có khả năng thích ứng với sự thay đổi của thị trường cũng là một hướng đi đầy hứa hẹn.

6.2. Tác Động của OLPS Đến Thị Trường Tài Chính Tương Lai

OLPS có thể thay đổi cách thức đầu tư truyền thống và tạo ra một thị trường tài chính hiệu quả hơn. Việc sử dụng các thuật toán OLPS có thể giúp nhà đầu tư đưa ra quyết định sáng suốt hơn và giảm thiểu rủi ro. Sự phát triển của OLPS cũng có thể dẫn đến sự ra đời của các sản phẩm và dịch vụ đầu tư mới, đáp ứng nhu cầu của nhà đầu tư trong kỷ nguyên số.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1 Lựa chọn danh mục trực tuyến và nguyên tắc đối sánh mẫu Chương này tác giả sẽ tập trung làm rõ hai chủ đề quan trọng trong lĩnh vực đầu tư trực tuyến là lựa chọn danh mục đầu tư và nguyên tắc đối sánh mẫu. Trong bối cảnh kinh tế toàn cầu ngày càng phát triển, đầu tư trực tuyến đã trở thành một lựa chọn phổ biến cho những người muốn tăng cường thu nhập và đầu tư vào tương lai của mình. Tuy nhiên, để đạt được kết quả đầu tư tốt, việc lựa chọn danh mục đầu tư phù hợp là vô cùng quan trọng. Chương này sẽ trình bày các yếu tố quan trọng cần xem xét khi chọn danh mục đầu tư, từ tính thanh khoản đến mức độ rủi ro và tiềm năng sinh lời.

Ngoài ra, chương này cũng giải thích về nguyên tắc đối sánh mẫu, một nguyên tắc quan trọng trong lĩnh vực đầu tư trực tuyến. Nguyên tắc này giúp các nhà đầu tư so sánh hiệu quả giữa các quỹ đầu tư và chọn ra những quỹ phù hợp nhất với mục tiêu đầu tư của họ. Nội dung của chương được viết trên cơ sở tài liệu [3, 16] và một số tài liệu được trích dẫn trong đó.1 Lựa chọn danh mục trực tuyến 1.1 Lựa chọn danh mục trực tuyến là gì? Lựa chọn danh mục trực tuyến "Online Portfolio Selection", viết tắt là OLPS, là phân bố nguồn vốn một cách tuần tự trong tập các tài sản nhằm mục đích tối đa hóa lợi nhuận sau cùng trong một thời gian dài. OLPS đóng vai trò quan trọng trong hàng loạt các ứng dụng về đầu tư tài chính, ví dụ như quản lý tài sản tự động, quản lý quỹ đầu cơ và giao dịch định lượng.

Sau đây là một ví dụ cụ thể về ứng dụng OLPS trong đời thực. Giả sử A có số vốn là 10.000 USD ở tuổi 30 và anh ta muốn tăng vốn lên 1.000 USD khi anh ta nghỉ hưu ở tuổi 60, để anh ta có thể duy trì mức sống hiện tại của mình. Giả sử rằng A không có thêm thu nhập và hoàn toàn dựa vào số vốn ban đầu. A muốn đạt được mục tiêu này thông qua các khoản đầu tư vào thị trường tài chính.

Giả sử thêm rằng, khoản đầu tư của anh ấy bao gồm 3 tài sản là: Microsoft (cổ phiếu, ký hiệu là MSFT), Goldman Sachs (cổ phiếu, ký hiệu là GS) và tín phiếu kho bạc. Tất cả các hồ sơ lịch sử về ba tài sản, chủ yếu là về bảng giá, đều được công bố rộng rãi. Sau đó, hàng tháng, A nhận được thông tin cập nhật về cả ba tài sản và phải đối mặt với một thách thức quan trọng trong việc đưa ra quyết định, đó là, “làm sao để phân bố (cân đối lại) vốn của anh ấy trong số ba tài sản hàng tháng sao cho nguồn vốn sẽ có nhiều khả năng tăng trong tương lai?” Ý tưởng của việc sử dụng kỹ thuật OLPS là giúp A tự động hóa trình tự phân bố/tái cân bằng để tối đa hóa lợi nhuận đầu tư của mình trong thời gian dài. Việc lựa chọn danh mục đầu tư trực tuyến sử dụng dữ liệu lịch sử cho mục đích ra quyết định và do đó, nó tương tự như phân tích kỹ thuật.

Tuy nhiên, cần lưu ý rằng trong phân tích kỹ thuật, các kỹ thuật tìm kiếm (heuristic) được áp dụng và giá tốt nhất được xác định để mua hoặc bán một cổ phiếu bằng cách sử dụng các biểu đồ và chỉ báo, trong khi đó, với lựa chọn danh mục đầu 8 tư trực tuyến, vấn đề được xây dựng và danh mục đầu tư được sửa đổi vào đầu mỗi kỳ. OLPS cho bài toán giao dịch trong thế giới thực là một thách thức khi mà thông tin thị trường (chủ yếu là dữ liệu thị trường) được cập nhật một cách tuần tự và người quản lý các danh mục đầu tư phải đưa ra quyết định ngay lập tức dựa trên thông tin đã biết và các biến nội sinh xảy ra khi mô hình tương tác với thị trường. Có hai loại phương pháp học máy (ML) đã được khám phá để thiết kế các chiến lược cho bài toán này. Phương pháp đầu tiên là học theo cụm (batch learning), trong đó mô hình đã được huấn luyện từ nhiều tập huấn luyện trước.

Bằng cách này, chúng ta giả sử tất cả các thông tin về giá (và có thể là thông tin khác) đều hoàn chỉnh tại một thời điểm quyết định, và do đó người ta có thể triển khai phương pháp học theo cụm để tìm danh mục đầu tư. Trong phương pháp này, mỗi một quyết định luôn không liên quan đến các quyết định trước đó. Đặc biệt, ta áp dụng cách thức như vậy trong thuật toán được đề xuất, triển khai phương pháp học phi tham số (nonparametric learning), hoặc là học dựa trên ví dụ (instance-based learning), hoặc là học dựa trên tình huống cơ bản (case-based learning) [Aha 1991; Aha và cộng sự 1991 [3]; Cherkassy và Mulier 1998 [8]]. Với một nguyên lý giao dịch hiệu quả, một cách thức như vậy có thể đạt được mục tiêu của dự án đề ra.

Phương pháp thứ hai là học trực tuyến (online learning), hoặc là học tăng cường (inenforced learning), trong đó mô hình đã được huấn luyện từ một trường hợp đơn theo cách thức tuần tự. Học trực tuyến (online learning) là quá trình giải quyết một chuỗi các vấn đề, đưa ra (có thể một phần) các giải pháp cho các vấn đề trước đó và có thể bổ sung thêm thông tin phụ.2 Nguyên lý và lý thuyết lựa chọn danh mục Có hai trường phái chính về nguyên lý và lý thuyết lựa chọn danh mục: 9 1. Lý thuyết trung bình phương sai của Markowitz [18], nói về sự đánh đổi giữa lợi nhuận mong muốn (trung bình) và rủi ro (phương sai) của một danh mục đầu tư, điều này phù hợp cho lựa chọn danh mục đầu tư cho một kỳ. Lý thuyết tăng trưởng vốn đầu tư (hoặc là lý thuyết đầu tư của Kelly) [14] nhằm mục đích tối đa hóa lợi nhuận kỳ vọng dạng logarit của một danh mục đầu tư và giải quyết một cách tự nhiên việc đầu tư dài hạn (nhiều kỳ).

Do tính chất tuần tự của nhiệm vụ lựa chọn danh mục đầu tư, nhiều kỹ thuật OLPS gần đây thường thiết kế các thuật toán dựa vào nguyên lý và lý thuyết thứ hai. Cách tiếp cận đầu tiên về lựa chọn danh mục đầu tư trực tuyến tuân theo nguyên tắc chiến thắng follow the winner được giới thiệu bởi Cover [7] vào năm 1991. Các thuật toán follow the winner phân bổ nhiều trọng số hơn cho một cổ phiếu đã minh họa hiệu suất tốt hơn trong quá khứ và họ tin tưởng mạnh mẽ rằng nếu cổ phiếu đã chứng minh hiệu suất trong quá khứ, họ cũng sẽ mang lại lợi nhuận tuyệt vời trong tương lai. Cover [7] đã phát triển thuật toán universal portfolios mà trong đó, một phần vốn được phân bổ cho một expert và theo đó, một expert có thể áp dụng chiến lược và cuối cùng thu được lợi nhuận.

Năm 1996, Cover và Ordentlich [7] đã cải tiến thuật toán thành một danh mục phổ quát có trọng số µ (µ-weighted universal portfolio). Năm 1998, Cover và Ordentlich [8] đã thêm bán khống và ký quỹ vào mô hình. Năm 1999, Blum và Kalai [4] cũng nâng cấp mô hình bằng cách giới thiệu chi phí giao dịch. Cách tiếp cận follow the loser đã được Borodin và Vincent [6] đưa ra vào năm 2004, trong đó, trọng số đầu tư được chuyển từ một cổ phiếu có hoạt động tốt hơn trong quá khứ sang một cổ phiếu có hoạt động không thuận lợi, vì phương pháp tiếp cận cho rằng một cổ phiếu có hiệu suất không mong muốn trong quá khứ có thể mang lại lợi nhuận đáng mơ ước trong tương lai.

Borodin và Vincent đã 10 phát triển một thuật toán anti-correlation là thuật toán đầu tiên trong nguyên tắc này. Đảo ngược trung bình tích cực thụ động (PAMR) được trình bày bởi Li, Zhao, Hoi và Gopalkrishnan vào năm 2012 [22] khai thác tính chất đảo ngược trung bình. Sau đó, năm 2013, Li, Hoi, Zhao và Gopalkrishnan [23] đã trình bày sự đảo ngược trung bình có trọng số tin cậy (CWMR) sử dụng phương sai của trọng số danh mục đầu tư. Năm 2015, Li, Hoi, Sahoo và Liu [21] đã cải tiến thuật toán Đảo ngược trung bình tích cực thụ động thành Đảo ngược trung bình di chuyển trực tuyến (OLMAR).

Cách tiếp cận thứ ba dựa trên đối sánh mẫu pattern matching sử dụng dữ liệu quá khứ để quyết định danh mục đầu tư trong giai đoạn hiện tại. Cách tiếp cận này tìm kiếm các pattern trong quá khứ tương tự như pattern hiện tại. Một cách tiếp cận khác trong lựa chọn danh mục đầu tư trực tuyến là cách tiếp cận meta-learning, liên quan chặt chẽ đến expert learning trong học máy. Phương pháp tiếp cận meta-learning giả định một số chuyên gia cơ sở, từ cùng một lớp chiến lược hoặc các lớp khác nhau.

Mỗi véctơ tạo ra danh mục đầu tư cho chu kỳ tiếp theo và các thuật toán meta-learning kết hợp các danh mục đầu tư này để tạo thành một danh mục cuối cùng, được sử dụng để cho việc tái cân bằng kỳ tiếp theo. Ví dụ, năm 2017, Zhang và Yang [25] đã đề xuất một thuật toán khác dựa trên thuật toán Weak Aggregating Algorithm (WAA) đưa ra quyết định bằng cách xem xét tất cả lời khuyên của các chuyên gia và trọng số của chuyên gia dựa trên hiệu suất trong các chu kỳ trước đó.3 Tầm quan trọng của lựa chọn danh mục Khai thác dữ liệu là một nỗ lực nhằm thu thập thông tin có giá trị thông qua dữ liệu và có vẻ như sự tăng trưởng dữ liệu không đều trên toàn cầu đã nhấn mạnh tầm quan trọng của nó. Trên thực tế, có những kỹ thuật khác nhau trong khai thác dữ liệu bao gồm khai thác quy tắc kết hợp, phân loại dữ liệu 11 và phân cụm trong đó mỗi kỹ thuật dẫn đến các mẫu khác nhau. Trong số các phương pháp khai thác dữ liệu khác nhau, phân cụm được áp dụng để phân loại dữ liệu trong một số cụm, trong đó, các thành viên của mỗi cụm giống nhau về một đặc điểm cụ thể trong khi chúng khác với các thành viên trong các nhóm khác.

Một tiêu chí tương đồng phổ biến là khoảng cách, trong đó, có nhiều loại thước đo khoảng cách khác nhau bao gồm khoảng cách Euclid, khoảng cách city block, khoảng cách Chebyshev và khoảng cách Canberra. Thuật toán phân cụm được coi là một loại phân tích dữ liệu không được giám sát và nó có nghĩa là dữ liệu được phân tích mà không cần biết nhãn lớp của các quan sát. Trong luận văn này, chúng tôi phân tích một thuật toán lựa chọn danh mục đầu tư trực tuyến dựa trên nguyên tắc đối sánh mẫu trong [15].