Chương 1 MỘT SỐ KIÊN THỨC CHUẨN BỊ Chương này trình bày một số kiến thức chuẩn bị cần sử dụng trong các chương tiếp theo của luận án. Nội dung của chương được tham khảo từ các tài liệu [1], [3], [7], [18], [19], [23-25], [27-30], [34], [36], [37], [40], (56), [57], [69]. Định lý điểm bất động Banach Nguyên lý ánh xạ co, còn gọi là định lý điểm bất động Banach đảm bảo sự tôn tại và tính duy nhất của điểm bất động, đồng thời cho ta phương pháp lặp tìm điểm bất động. Ngoài ra, ta có thể đánh giá được sai số của các giá trị xấp xỉ của điểm bất động.
Vì vậy, định lý điểm bất động Banach có tính ứng dụng cao trong việc giải gần đúng các phương trình, đặc biệt là giải gần đúng các phương trình phi tuyến.|) Cho X = (X,đ) là không gian metric. Anh xa T : X — X được gọi là eo nếu tồn tại một số thực q € [0, 1) sao cho d(T(x),T(y)) < qd(x,y), Va,y € X.2]) Cho X = (X,d) la khéng gian metric di. Gid sit T : X — X là ánh xa co. Khi dé T c6 diém bat déng duy nhất x* € X.3]) Giá sử các điều kiện của Dinh ly 1.
Khi đó dâu lap #u+\i = T(£„), „ = Ú,1,2,.1) vii ọ € X được chọn tù g, hột tụ tới +*. Hơn nữa, ta có đánh giá sau 14 " d(x, +) < đ(z, #a).4]) Cho H là một tập dong, khác rong trong khéng gian Banach X. Gia si T" : H — H là ánh xa co vdi m la mét s6 nguyén dudng nao dé. Khi dé T cé diém bắt động duy nhat x«* € H.
Hon nita, day lap nr = Ï(£„), n = 0,1,2,.3) hội tụ tới +°. 52]) Giả sử các điều kiện của Dinh ly 1.4 được thỏa mãn 0à dâu {+„}, n = 1,2,. được xâu dựng theo công thức (1. Khi đó, đánh giá sau đúng n—h cy m lÌ:r„ — #”|| < l—a | m+n — rll, (1.4) trong dé a la hé sé co ctia énh ca T™, n > m, h € {0,1,.,m—1} la ^ 2° n phan du cua =.
Bất đẳng thức Gronwall rời rạc Bất đẳng thức Gronwall cho ta một công thức đánh giá quan trọng về nghiệm của bất đẳng thức tích phân. Cùng với sự phát triển của lý thuyết về bất đẳng thức tích phân và lý thuyết về phương trình sai phân, các dạng rời rạc của bất đẳng thức Gronwall đã và đang thu hút sự quan tâm, chú ý của nhiều nhà toán học. Trong mục này, chúng tôi giới thiệu một dạng rời rạc ban đầu của bất đẳng thức Gronwall.M, s=Tnio 15 trong db M = {mo,mo + 1, mo + 2,.}, mo > 0 la s6 nguyén cho trude, uụ là hằng số không âm. Khi đó, bất đăng thúc sau đúng UJNG! u(m) < up H (1+ f(s)), mEeM.
Toán tử đơn điệu Định nghĩa 1. 54|) Cho ?{ là một không gian Hilbert. Toán tử A: ? => ?( được gọi là đơn điệu nếu (A(z) — A(u),z — u) >0, Vz, € 2í, (1.5) trong đó (-,-) là một tích vô hướng trong không gian Hilbert ?. ([1S, Definition 2|) Cho X là không gian Banach.
Toán tử A: X — X được gọi là đơn điệu nếu với bất kỳ các phần tử +, € X và bất kỳ e > 0, bất đẳng thức sau đúng lz — +<|A(z) = A(ø)| || > |l+ - |. ({18, Remark 1|) Nếu X là không gian Hilbert thi điều kiện đơn điệu (1.6) tương đương với điều kiện (1. (Í1§, Lemmal) Giả sử A là toán tử đơn điệu tác động trong không gian Banach X. Khi đó, vdi moi x,y € X va bất kù các số duong €,€2, 0 < €) < €9 <1, bat dang thitc sau ding \|z — y + £1 [A(x) — A(y)] || < |e — y + €2 [A(x) — A(y)] |].
Phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình toán tử loại hai Cho X là không gian Banach, 4 là toán tử tác động trong X. Xét phương trình #+ A(z) = ƒ.7) 16 Giả sử toán tử 4 là đơn điệu và liên tục Lipschitz với hằng số Lipschitz bằng L. Xét họ phương trình z-+£A(z) = ƒ,0<e <1], (1.8) trong đó e là tham số nhúng. Khi z = 0 ta có phương trình tầm thường # = ƒ, khi = 1 ta có phương trình (1.
Chia đoạn {0, 1] thành N phan bang nhau, với là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho q = Leụ < 1,zọ = +. Thực hiện W — 1 phép đổi biến +zt?=z + egA(z)=G¡(z).94) ta xây dựng được các phương trình trung gian với các toán tit co theo các biến mới. Do tính đơn điệu và liên tục Lipschitz của toán tử A, các toán tử Œ¡},G;`,.,Gwy ¡ xác định trên toàn không gian X và liên tục Lipschitz với hằng số Lipschitz bằng 1 (xem chứng mình trong [18]). Vi vậy, hệ số co của các toán tử trung gian đều bằng g.
Sau khi thực hiện các phép đổi biến (1.9đ), phương trình (1.7) có đạng sau đây gi + eAG!G21:--0y-i(gtŸ—Đ) = ƒ, (1.10) trong dé eg AG;'Gy'---Gy_, 1a toan tit co véi hé s6 co bang g. Nhu vậy, bằng cách trudt theo tham s6 ¢ timg budc ep từ 0 đến 1 ta chứng mình được rằng phương trình (1.7) có nghiệm duy nhất. Khi đó ta có kết quả sau Dinh ly 1. ([18, Theorem 1]) Gia sw X la khéng gian Banach, A:X — X là toán tit lién tuc Lipschitz va đơn điệu.
Khi đó, uới bất kì Ƒ€X phương trình (1.T) có nghiệm đuy nhất. Giả sử các điều kiện của Định lý 1. Khi đó nghiệm 17 xấp xỉ của phương trình (1.7) được xác định bởi công thức 1 củ Lig.11) Công thức lặp tượng trưng (1.11) được hiểu là các quá trình lặp gồm /V dãy lặp sau #i+¡ = —80A(#i) +z)), i =0,1,2,.12c) ủi =T=suAGi1G;1::-GNLy(fŸ=Ð) + ƒ p=0,1,2,. (112đ) Ta sẽ mô tả các dãy lặp (1.12d) trong trường hợp N = 2.
Trong trường hợp này, ce day lap “ 12a)-(1.12d) có dạng sau ¡+1 = —5 Ala) +2") i=0, 1, 2,. Chon xap xi ban dân x be Xx tùy ý. Ta có al l= —} AG; tả) + f. Muén tim G7 Vel ì ta cần giải phương trình # + $ + A(x) = = Z0”.
Để tìm nghiệm gần đúng của phương trình này ta thực hiện dãy lặp 1 tia = —g Ai) + độ, 2= 0,1,2,. Bang cách thay thế G¡1!(z)') bởi giá trị gần đúng của nó, ta tìm được ). Tương tự như vậy, để tìm Gr}(a) )) ta thực hiện đãy lặp sau 1 tia = —ZA(wi) +2), 1= 0,12). Cứ tiếp tục quá trình như trên ta sẽ tìm được nghiém xap xỉ của phương trình (1.
Để cho đơn giản và thuận tiện hơn, giả sử A(0) = 0 và số lần lặp trong 18 mỗi quá trình lặp là như nhau và bằng mạ. Gọi z„„ là nghiệm xấp xỉ của phương trình (1. Vì z„„ phụ thuộc ¿Ý nên ta ký hiệu z(ng, Ý) = z„„. Trong trường hợp này, ta có kết quả về đánh giá sai số của nghiệm xấp xi nhu sau Định lý 1.
({18, Theorem 2]) Gid st cac diéu kién ctia Dinh ly 1. Khi đó, dãu xap vi {x(no, N)}, no = 1,2,. dude xây dung theo công thúc (1.11) hội tụ tới nghiệm chính xác #° của phương trình (1. Hơn nữa, ta có các đánh giá sau ga = #(mạ, Ý) — z|| < Iz(a.13) trong đó L là hằng số Lipschitz của toán tử A, N là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho q = £ <1,m =1,2,.
Phương pháp cầu phương b Trong thực tế tính toán, ta phải tính tích phân xác định ƒ = ƒ ƒ(z)dz a mà không biết nguyên hàm của hàm số ƒ(#). Ngoài ra, trong nhiều trường hợp hàm ƒ(z) chỉ được cho dưới dạng bảng. Vì vậy, vấn đề tính gần đúng tích phân xác định được đặt ra. Phương pháp phổ biến để tính gần đúng tích phân xác định là thay ƒ(z) bằng đa thức nội suy.
Chia đoạn (ø,b] thành ø phần bằng nhau với bước h = —~ ta được xj =at+ih, i=0,1,.,n, tương ứng là các hệ số, các mốc của công thức cầu phương (1.14) và :, > 0, » w; =b—a, R,(f) 1a phan dư của i=0 công thức cầu phương (1.14) được gọi là công thức cầu phương Newton-Cotes, các hệ số +; là các hệ số Cotes. Tùy thuộc vào 19 việc chọn quy tắc tính, ta có các cõng thức cầu phương với các đại lượng tị, #¿, R„(ƒ) tương ứng. Những trường hợp đặc biệt của công thức cầu phương Newton-Cotes gồm: Quy tắc hinh chit nhat (Rectangle rule), Quy tắc trung điểm (Midpoint rule), Quy tắc hình thang (Trapezoidal rule), Quy tac Simpson (Simpson’s rule),. Để thuận tiện hơn cho việc trình bày kết quả ở các chương sau của luận án, tiếp theo trong mục này chúng tôi giới thiệu quy tắc trung điểm hợp thanh (Composite midpoint rule) va quy tac hình thang hợp thành (Composite trapezoidal rule).
Noi dung cia muc nay được tham khảo từ các tài liệu [1], [3], [34], [57]. Quy tắc trung điểm hợp thành Quy tắc trung điểm là xấp xi ham ƒ(z) trên đoạn [z;,#;,¡]} bởi đa thức nội suy hằng p(z) = ƒ (#“$*#) tại trung điểm của đoạn [z;, z;¿]. Vi b mà Tt! J6 =3, J rà nên ta có công thức sau n=1 b => '=mk.15) được gọi là quy tắc trung điểm hợp thành. Quy tắc hình thang hợp thành Quy tắc hình thang là xấp xỉ hàm ƒ(z) trên đoạn Íz;,z;¿¡] bởi đa 20 thức nội suy bậc nhất p(z) = = ƒ(œ¡) + + *-f(œi.
Khi đó Tị+1#¡ Ti+1 | foe [f() + ƒ(¿a)] + R), trong đó Ri( f) = in!" i), ec: € [wi, Tin} Vì nên ta có công thức sau b n=l [ tear = si #0) + ƒ(za +h dit rj) + Ralf), (1.16) được gọi là quy tắc hình thang hợp thành. Một số phương pháp sử dụng kỹ thuật đồng luân trong tôpô giải phương trình tích phân Mục này giới thiệu một số phương pháp sử dụng kỹ thuật đồng luân trong tôpô để giải phương trinh tich phan Fredholm loại hai đã biết như phương pháp giải tích đồng luân (Homotopy analysis method), phương pháp nhiễu đồng luân (Homotopy perturbation method). Nội dung của mục này được tham khảo từ các tài liệu [19], 23-25], [27-30|, [37], [44]. Phương pháp giải tích đồng luân Xét phương trình b x(t) = J K(t.17) a trong dé K,F va f la céc ham da biét, x 1A ham can tim.
21 Phương trình (1.17) được viết lại dưới dạng sau đây b N [x] = x(t) — f(t) - J K(t.18) a Lấy xấp xi ban dau x(t) của nghiệm chính xác 2*(t),a << t <b,h #0 là tham số bổ sung, H(f) # 0, a < † < b là hàm bổ sung và £ là toán tử tuyến tính bổ sung sao cho L{y(t)] = 0 thi y(t) = 0, a < t < b. Sit dụng tham số nhúng z € |0, lÌ, ta xây dựng một đồng luân Hlo(t,£), zu(t), H(t),h,£] = (L—e)£[ó(t.