Chương 1 Khai niệm phương trình dao hàm riêng và các bài toán cơ bản 1.1 Khái niệm phương trình đạo hàm riêng Với hàm số một bién y = z(z) là hàm khả vi liên tục cap & trên RB, ta có đạo hàm cấp 1 của hàm y = y(x) là y(rz})= lim yữ + Az) - vữ) , neu VỀ phải ton tal. > * Ar 0 Ar Với ham số nhiều biển, ta cũng gặp những khái niệm và những bài toán tương tự. Vi dụ, xét hàm số hai bién w = u(z,y) trơn cấp 2 trên RẺ, ta có đạo hàm riêng cấp 1 dối VỚI 2: âu ._ tr{r + Ax,y) — ư(z, w} —-~ lim , nếu về phải tén tại, Ox Ar-0 Ag đạo hàm riêng cấp | đối với y: — ou = lim Oy = Ayo ul, ; y + Ay) ~ (7,13 Ay ulzy) neu + Ay) VỆ phai ton — u{z, t tai. R < y: a2 - và các dao hàm riêng cap 2 au _ O (đu Ou _ a (du đều — 3 (0u Pu _ O (ồu On? Ox \Or J) Oy? Oy \Oy) > Oxdy Oy \ Ox)” Oydr 9z \ Oy} > au và đều Nếu các đạo hàm riêng là những hàm liên tục thì chúng bằng nhau.
Ôrôy ` Ôyôz (Tham khảo trong []]) Phương trình 4)“ 3Ÿ a? A pe; + Bla,y en + C(x, vò + D{z, Ws + E(x, We + Fix, yju — f{z,} = 0, CHUONG 1. KHI NIEM PHƯƠNG TRÌNH DAO HAM RIENG VA CÁC BÀI TOÁN CO BẢN là phương trình đạo hàm riêng của u. Nó có cấp hai, theo nghĩa đạo hàm cấp cao nhất của œ là hai. Nó là một phương trình tuyến tính, theo nghĩa bậc nhất đối với w và các đạo hàm của w.
Khi đó, ta có định nghĩa về nghiêm cổ điển của một phương trình đạo hàm riêng như sau: Định nghĩa 1. Ta nói v là nghiệm cổ điển của phương trình đạo hàm Flu) = 0 nễu u là hàm có các đạo hàm riêng liên tục dén cấp cần thiết trên 2 va thỏa mãn F(u} = 0 tai từng điểm.2 Các bài toán cơ bản Định nghĩa 1. Ta sử dụng thuật ngữ "bài toán giá tri biên" để chỉ một phương tình đạo hàm riêng được trang bị các điều kiện biên trên toàn bộ ranh giới của mién mà ta dang sét. Bài toán Cauchy là bài toán giá trị biên uớt điều kiện biên là điều kiến ban đầu, tức là khi t = 0.
Ta noi bài toán Cauchy là bài toán đặt chỉnh, neu e Bai toan Cauchy cá ngheém. e Nghiêm của bài toán Cauchy là duy nhất. e Nghiệm của bài toán Cauchy phụ thuộc liên tục vao điều kiện ban đầu. Chúng fa sẽ không dat van đề chúng mink sự ton tại và tính duy nhất của nghiệm trong các bài toán vé sau.
Thể nên, trong khóa luân này, ta déu giả định rằng các bài toán của chúng ta là bài toán đặt chỉnh, có nghiệm chính các là nghiêm cổ điển của phương trình đạo hàm riêng dang rét.3 Các điều kiện biên thường dùng Thực tế, ta có những điều kiện biên tùy thuộc vào hiện tượng vật lý để thuận lợi cho mục đích tính toán. Sau day, ta sẽ xem qua một vài diéu kiên biên cơ bản thường dùng trong các bài toán Cauchy. Dat @ c R* là miễn không gian đang xét cho bài toán Cauchy. Ta nói bài toán Cauchy thõa man diéu kiện biên Dirichlet theo nghĩa là u{t,#) =d, với mọi x € ON vat > 0.1) Nqé Nauyén Quắc Bio Trang 8 Khoa Toán - Tin bạc CHUONG 1.
KHI NIEM PHƯƠNG TRÌNH DAO HAM RIENG VA CÁC BÀI TOÁN CO BẢN 2. Ta nói bài toán Cauchy thỏa mãn điều kiện biên Neumann theo nghĩa là Ou re : ` Dnt) = n(x) - ÊÂu{t,#) = 0, với moi z € AN và t > 0, {1.2) trong đó œ là vector pháp tuyén hướng ra ngoài của 2. Ta nói bài toán Cauchy thỏa mãn điều kiện biên Fourier (hoặc Robin) theo nghĩa là âu 2mib#) + qu{t,#) = 0, với mọi z € AN và t > 0, (1.3) trong đó œ là một số hằng ditong. Ta nói bài toán Cauchy thỏa mãn điều kiên biên tuấn hoàn theo nghĩa là u(f,z+ + d) = u(,r), với mọi z EM vat >0, (1.4) trong đó z +d ¢ và ở là vector trong RY.
Nqé Nauyén Quắc Bio Trang 9 Khoa Toán - Tin bạc Chương 2 Phương pháp sai phân hữu hạn Có võ số phương pháp giải nghiêm số cho việc giải nghiệm xắp xỉ của phương trình đạo hàm riêng. Một phương pháp lâu đời nhất và đơn giản nhất trong tat cả là phương pháp sai phân hữu hạn. Các kiến thức được tham khảo trong HH 2) f 8i THỊ.1 Quy tắc của phương pháp Quy tắc của phương pháp sai phân hữu hạn là tìm được hữu hạn các giá trị rời rạc xấp xi với nghiệm chính xác. Do đó, chúng ta lưu ý đến hai điều cơ ban sau: 1.
Chúng ta sẽ không tính toán nghiệm chính xác mà là nghiệm xắp xỉ chúng. Chúng ta sẽ "rời rac hóa" bài toán vi phân (hay gọi là "rời rac bài toán") bằng cách thay thế các hàm bởi hữu hạn các giá trị số, hình thành bài toán sai phan.2 Khái niệm sai phân 2.1 Lưới sai phân Ý tưởng dau tiên của phương pháp sai phan là phương pháp lưới. Ví dụ, xét Ø = fa, 6), ta b-a chia đoan đó thành ý đoạn bằng nhau, mỗi đoạn đài k = N bởi các điểm 2; = a+ih 4 với 2 = 0,1,. Tap các điểm x; được gọi là một lưới sai phân trên (2,|, ký hiệu là Ốy,, mỗi điểm x, gọi là điểm nút của lưới, k gọi là bước nhảy của lưới.
ta tìm cách tính gan đúng của nghiệm afr) tại các nút x; của lưới 2). Một cách tổng quát, với bước nhảy thời gian At > 0 và bước nhảy không gian Az > 0, chúng ta định nghĩa nút của lưới sai phân hữu hạn như sau: (fn. Chúng ta đặt u? là giá trị của nghiệm xấp xi tại nút (t,,2;) và u(t,2) là nghiệm chính xác của bài toán. PHƯƠNG PHAP SAI PHAN HỮU HAN 2.2 Công thức sai phan Phương pháp sai phân hữu han là phương pháp xắp xỉ các đạo ham riêng bằng các công thức sai phân thích hợp hình thành từ khai triển Taylor.
Mue đích của phương pháp này là xây dựng được day {z7};cz xắp xi với nghiệm chính xác u{t,x) tại thời điểm £ = £„ ở các điểm nút x = z;. Ví dụ, ta có ntl oon Ou us ws a!in, Zj) Ai (công thức sai phân tiến) , (2.1) âu Mại TU] ¿2 Am - wo cia F —(ta.2) đều ải — 2U) + UẺ_ F ¬-. 2x2 tte, 73) me tt (A FY — (công thức sai phân trung tam cho đạo hàm riêng cấp 2).3) Sau khi phan rã bài toán vi phan, ta thu được các bài toán sai phan tương ứng. Qui ước võ cùng bé Khái niệm "xấp xỉ" liên quan đến khái niệm võ cùng bé.
Để viết các võ cùng bé một cách đơn giản, ta sẽ ấp dung qui ước sau day: Giả sử đại lương ø{h} là một võ cùng bé khi kh > 0. Nếu tồn tại số a > 0 và hằng số M > 0 sao cho |o(h)| < .h®, thì ta viết: p(h) = O (h*). Khi h nhỏ thì ø(h) là một đại lượng nhỏ và khi h — 0 thì ø(h) tiễn đến số 0 không chậm hơn M.4 Công thức Taylor Ta nhắc lại công thức Taylor ở dây vì sau này ta phải sử dụng kiến thức này nhiều lan. Giả sử F(x) là hàm số xác định và có đạo hàm đến cấp m +1 trong (a;b) chứa x và + Azr.
ta có Fe + Az) = Fữ) + => P(x) Ag + (Az} (Az)" FU} z) o 0 (( Ax)TM*) | rm! (2.4) trong đó, số hang cuối cùng là một võ cùng bé khi Az — 0. Nqé Nauyén Quắc Bio Trang 11 Khoa Toán - Tin bạc Chương 3 Các kiến thức liên quan Trong chương này, chúng ta sé di tìm hiểu về tương thích (consistency), sai số chặt cục (the trucation error), độ chính xác (accuracy), ổn định (stable), sai số, hội tụ (convergenece) của một lược dé sai phân hữu hạn. Các phan kiến thức này được tham khảo trong [1] 2) f7\ 8) (101 10].1 Tương thích và độ chính xác Theo một cách tổng quát, một lược dé sai phân hữu hạn cho một phương trình dao hàm riêng F(u) = 0 luôn có thể được xác định, với tắt cả các cặp số n, 7, theo công thức sau: = au( irk m~ SmŠm*, k se) ) trong đó, các số nguyên m~, m*, k~, k* là chiều rộng của khuôn của lược đỏ. Ta nói lược dé sai phân hữu han tương thích uới phương trình dao hàm riêng F(u) = 0, nếu, tới mor nghiệm cổ điển uít.x) của phương trình này, ta có Sai số chặt cục của lược đề, được xác định bởi EAz,Av ({UẤt + mAt,x + kAz)} m-smemt, & k<k+)› 1A A (3.2) tiền ve 0 khi At va Ax độc lap Hến vẻ 0.
Hơn nữa, chứng ta nói rang lược đồ có độ chính ác đến hac p trong không gian va bậc ạ theo thời gian nếu sai số chất cục (3.2) tiến uê 0 dudi dạng O {(Ax)? + (At)*) khi At va Ar tiền vé 0. Néu sai sd chặt cục của lược dé tiễn vẻ 0 uới điều kiên nào đó giữa At va Az, ta nói lược dé tương thích có điều kiện. CÁC KIÊN THÚC LIÊN QUAN 3.2 Tính 6n định của lược đồ Xét phương trình bình lưu trên 2 = {—2, 2], ta có lược đỗ sai phân hữu hạn sau: no} WAt VAt +u— —\I;.3) " + rh ‘a j Ar 27 i Ax Bằng chương trình MATLAB, ta có được thực nghiệm số cho lược dé (Hình |3. Dua vào hình 3.1, nghiệm xấp xỉ xây dựng từ lược dé bị nhiễu, không xap xỉ với nghiệm chính xác, tuy nhiên lược đồ này tương thích (chứng minh chỉ tiết ở chương 4).
Vì thế, định nghĩa của tính ổn định đã được tìm ra. Luoc đo hien sal phan trung tam 92 04 tá oa 1 Hình 3.1: Lược dé hiện sai phan trung tam hiện với V = 1, Ax = 0.1 Chuan trong lưới sai phan Định nghĩa 3. Vi nghiệm số " = (w?]u<;<x, ta định nghĩa chuẩn p trong lưới sai phâm uớt bước không gian Ax như sau:. 1/, N iP lIs"ll; = | 3 } Azlu7 ướt 1 < p < œ.4) =u Khi giới hạn p = 0, ta có ||u”|Íp, = ymax.
0<j<Ä Nqé Nauyén Quắc Bio Trang 13 Khoa Toán - Tin bạc CHUONG 3. CAC KIÊN THÚC LIÊN QUAN 3.2 Tính én định theo chuẩn Ta định nghĩa về tinh én định của lược dé sai phân hữu han: Định nghĩa 3.