Chương 1 NHỮNG KIÊN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các kết quả cơ bản của hệ hyperbolic các định luật bảo toàn 1.1 Tinh hyperbolic Cho 2c RTM là một tap md. Giả sử trên @ xác định ham kha vi lién tục với gia trì vectd f:23k". Dang tổng quát của hệ luật bảo toàn một bién không gian (1D) là: âu @ mt pt) 0, —+—f(uj=0, 2eER, zeR t>0 {1.u = u{z,£},z € R,t > 0 là một vectơ m chiều của các đại lượng bảo toàn, hoặc các biến trạng thái, chẳng hạn như khối lượng, động lượng và năng lượng trong một bài toán động hre học chất lỏng. Cụ thể hơn, tập 2 được gọi là tập các trang thái va wu; là hàm mat độ cho biến trang thái thứ j, với F?w;(x,t)dr là tổng đại lượng của biến trạng thái này trên đoạn [ri.z2| tại thời điểm !.
Thực tế là các biến trạng thái này được bảo toàn có nghĩa là ƒ " u;(z.£) không đồi đối với t. Bản thân các ham uy, đại điên cho sự phân bố không gian của các biến trạng thái tại thời điểm ¢.1) cho biết giá trị của u(x,t} tai một thời điểm và thời điểm nhất định cho phép chúng ta xác định tốc độ dòng chảy. hoặc thông lượng, của mỗi biến trang thái tai (z,#). Thông lượng của thành phần thứj được cho bởi hàm /;(z(z.
Hàm có giá trị vectd f(u) với thành phan thứ 1, fie) được gọi là các hàm thong lượng đối với hé luật bảo toàn. Hơn nữa, ta nói ring hệ (1.1) được viết đưới dang bảo toàn. Bay giờ ta phát biểu khái niệm hé hyperbolic các luật bảo toàn. Goi ma trận Jacobi của £ứ) là Alu) = (26) " : Định nghĩa 1.1) được goi là hyperbolic nếu với mỗi u € ma trận A(u)] cém giá bY riêng cùng ớt một hệ mm vectd riêng tương ứng độc lập huyền tính rì(tQ.
Khi đó Afujrgfu) = Ay(u)ry(u), Lokam. Hon nữa, nếu tat cả các giá trị riêng A¿(w} là phân biệt, hay Ay(u) < Àz(w) <. < Am(u), thì hệ (1.1) được gọi là hyperbolic ngặt. NHŨNG KIÊN THUC CHUAN BI Giả sử hệ (1.1) là hyperbolic, ta định nghĩa vectd riêng trái của 4ø): Vì một ma trận và ma trận chuyển vi của nó có cùng tập các giá tri riêng nên tồn tại các vectd riêng i.
Lẫy chuyển vị hai về ta được IF (ujAtee) = Ag(elt (up, k=1,. Ti đó, các vecto í¿ thường được gọi là các vectơ riêng trái, và các vectd r; thường được gọi là các vectd riêng phải của ma tran A.2 Bài toán Cauchy dói vdi hệ (1.1) là bar toán sau đây: Tim hàm u:R x [0,+00) + 2 là nghiệm của (1.1) thỏa mãn điều kiện đầu u(x,( =ug(z), «ER, (1.2) trong đó ua: — Q là mét hàm cho trước, Trong trường hợp hàm dữ kiên dau up có dang wq(#) = §. urn, ‘ Tếếu # « 0 neugr>O (1.3) bài toán Cauchy được gọi là bai toán Riemann.1: Giả sử hệ (1.1) là hyperbolic ngặt. Khi đó, l(u) -ry(u)=Ú WAR, Wee Qw z0.2 Sự không tổn tại nghiệm cổ điển Định nghĩa 1.3 Ham u : E x (0,400) + @ được gọi là nghiệm cổ điển của bài toán Cauchy (1.9) nếu w là ham khả vi liên tục va thỏa man các phương trình (1.2) tại từng điểm.
Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, bài toán (1.2) không tồn tại nghiệm cổ điển ngoài một số khoảng thời gian hữu hạn, ngay cả khi điều kiện ban dau up{x) là một ham trơn. giả sử là nghiệm cổ điển của bài toán Cauchy (1.2) trong trường hợp m = 1, ƒ: Ro B là hàm €1. Khi đó bằng cách đặt a(w) = f'{w) ta có thể viết lại bài toán này dưới dang phi bảo toàn như sau: up + @{}uy = 0. Đường cong đặc trưng của phương trình (1.1) được xác dinh là đường cong tích phan của phương trình vi phan dz 7 i a{u({x(e), t)).4 Giả sử u là nghiệm tron của phương trình (1.
Các đường cong đặc trưng của phương trình (1.5) là những đường thăng doc theo nó u là hằng số. NHŨNG KIÊN THUC CHUAN BI Chitng minh. Xét một đường cong đặc trưng di qua điểm (zo,0) là nghiêm của phương trình vi phan thường sau: - =a(u(z(),Ð) - z(Ú} = xq Đường cong này ton tai ít nhất là trong khoảng thời gian nhỏ (0, tp). Doe theo đường cong, wu là hằng số vì: a, ` Sula(t).5) ta thấy đường cong đặc trưng là một đường thang có hệ số góc phụ thuộc vào diéu kiện dau, và đường thang này đi qua điểm (ra.0}) xác định bởi phương trình # = 29 + ‡q (wạ (a)) - (1.6) Day là tính chat quan trọng để xây dung nghiệm trơn.
Mot tap u(x,t) = uy (2), với xq thỏa (1.6), được gọi là phương pháp của các đặc trưng.5 Xéớ phương trình Burgers Øựu + ru = 0, uớt điều kiến đầu 1, +<t u(x. r>l Bang cách sử dụng phương pháp của các đặc trưng, ta có thể giải đến thời điểm khi các đường đặc trưng cất nhau.6), ta có đường đặc trưng di qua điểm (zạ.0) được xác định bởi # = #(#q,É) = Tụ + tug (2p). Do đó, ta có Tat é, mm S0 r(xa.t)= { xot+t(1-—2o), OS ag <1 Ta, ay > Ì CHUONG 1. NHŨNG KIÊN THUC CHUAN BI u u(.14) Phương pháp của các đặc trưng cho phương trình Burgers Với t < 1, các đường đặc trưng không cắt nhau (Hình 1.
Do đó, lay một điểm (x,t) với t < 1, vẽ các đường đặc trưng đi qua điểm này, ta có thể xác định được xp tương ứng nh sau x—f, néur<t<1 1= : r= = néeut<cr<l. 1-t' 0, néua>1 Giá trị này di chuyển sang phải và độ đốc tang din cho đến khi nó trở thành một "sốc" (Hình 1. Sự gián đoan này của tương ứng với thực tế là tại thời điểm t= 1, các đường đặc trưng cắt nhau. Tóm lại, bằng cách sử dụng phương pháp đặc trưng, người ta có thể chứng minh rằng đối với œ đủ trơn, một nghiêm cổ điển của (1.2) tồn tại trong một khoảng thời gian nhỏ.
Mặt khác, chúng ta đã thay rằng trong trường hợp phi tuyến a'(u) # 0 sự gián đoạn có thể xảy ra sau một thời gian hữu hạn. Do đó ta cần khái niệm “nghiệm yến".3 Nghiệm yếu và diéu kiện bước nhảy Rankine-Hugoniot Xét bài toán Cauchy (1.2) và giả sử uo € LX(RE)“", với LR. là không gian các ham đo được địa phương. Giả sử u là nghiệm cổ điển và hàm ¿ € CŒ( x (0, +00))" (C£ là không gian các hàm kha vi võ han lin có support compact).
Ap dụng công thức Green ta được CHUONG 1. NHŨNG KIÊN THUC CHUAN BI 0= -[ il (up + flu},) pdadt ~ 0 R R i) R Nghĩa là nghiệm cổ điển uw thỏa man đẳng thức tích phan Ƒ | (uy + flue) dad! + | ug(#)#{z,0)}d+ = 0.5) có nghĩa chỉ với giả thiết œ € LX (IR x [0, +00))".6 Hàm u € LR x [0,+00))" được got là nghiệm yeu của bài toán Cauchy (1.2) nêu u{x,t) € hầu khắp tà thỏa mãn (1.7) với bat ky ham thử ¿ € CCR x [0,+œ))”.7 Nohiém tếu u là hàm kha vi liên tục của bài toán Cauchy (1.2) thì u cũng là nghiệm cổ điển. Rõ ràng một nghiêm cổ điển cũng là nghiệm yếu. Ngược lại, giả sử hàm khả vi liên tục u là nghiệm yếu.
Lấy bat kỳ ¿ € C2(E x |0, +s)})”", tích phân hệ thức (1.5) ta được x | / (uy + /@)2)) - @dzdt = 0. 0 R Hệ thức trên đúng với moi ham thử ¿ €¢ CPR x [0,+00))" nên (1.1) được thỏa mãn tại từng điểm. Bay giờ ta nhân (1.1) với một hàm thử tùy ý ¿ € CHR x [0,+00))". Sau đó tích phân từng phẫn và so sánh với (1.5) ta được | (u(x,0} — up{x}) ¿(z, O)de = 0.
R ‘iy tùy ý nên hệ thức cuối cùng kéo theo (1.2) tại từng điểm. Nhà vậy, ta đã chứng minh được rằng nếu nghiệm yếu u là hàm khả vi liên tục thi u cũng là nghiêm cổ điển. Tiếp theo, ta xét các nghiệm yếu của (1.1) là hàm trơn từng mảnh và có gián đoạn. Cu thể, hàm u là C! từng mảnh nếu tổn tại hữu hạn các mặt định hướng trơn Ð trong mặt phẳng (z,f) sao cho hàm w là Œ! ngoài các mặt này và thừa nhận gián đoạn trên đó.
Cho trước một mặt gián đoạn ¥ của u, ký hiệu n = (nạn) là veeto pháp tuyến của Ð và gọi u.u_ là các giới hạn mỗi bên của u tại Ð, tức là uy = lim tr((z,‡) + en).8 Giá sử u : RB x (0,400) — 2 là hàm C* từng manh. Khi đó, u là nghiệm yeu của (1.1) khi va chỉ khi hai điều kiện sau đồng thời thoa man (i) u là nghiệm cổ điển của (1.1) trong những miền mà u là Ơ1. NHŨNG KIÊN THUC CHUAN BI fii) u thỏa man điều kiện bước nhay (uy — w~}nạ + (ƒ (6+) — f fu) ny = 0, (1.8) tại các maf gián đoạn.8) được got là hệ thức Rankine-Hugoniot. Tiếp theo, ta ký hiệu bước nhảy của œ va f(x) qua © lan lượt bởi [u] = uy — u_.
Khi đó, hệ thức (1.8) có thể viết lại như sau: no[#} + m(ƒ(w)) = 0.9) Giả sử đường cong © được tham số hóa bởi phương trình Đ={(.t): + = x(t),t > 0}, trong đó x{£) là một ham trơn. Va do đó, hệ thức (1.8) trở thành —s[u] +[ƒ(u)=0 trên 5.4 Tính không duy nhất của nghiệm yếu Xét bài toán Riemann cho phương trình Burgers’ sau 8u Ow t——=Ö ot | 9z 2 (z) up, © <0 uglz) = upg, TT) Nếu wy # up, theo điều kiện Rankine-Hugoniot (1.10), ta thay rằng một nghiêm yếu * us Pa “ ¬. > Pal ˆ H3 ` 1 của bài toán xuất hiện do sự gián đoạn được lan truyền với vận tốc là s = 3! upbup). Ta có up, # < st se9= : UR, r> st Bay giờ, ta sẽ chi ra sự tồn tại của các nghiêm yếu khác.
Dat a là hang số thỏa man a > max (uy. Hàm số xác định bởi us, # < syt —a, sir <0 u(x,t) = a, (<xz< sot ` Us, X > Sot 1ú CHUONG 1. NHŨNG KIÊN THUC CHUAN BI a S- ae up —« uy, +a 1¬ eee : cũng là một nghiệm yeu với sị = = 32 = =—. Vi vay, điều kiện Rankine- Hugoniot (1.10) thỏa man doc theo đường gián đoạn của z và ta có một họ nghiệm yêu gián đoạn với một tham số.
Do đó ta có thé tim thấy võ số nghiệm yếu cho cùng một bài toán Cauchy. Dé chọn được nghiệm yếu duy nhất phù hợp với hiện tượng vật lý, ta đưa ra tiêu chuẩn “nghiêm entropy". Bay giờ ta hãy nghiên cứu điều kiện entropy. Giả sử w là một nghiệm trơn của hệ luật bảo toàn (1.
Giả sử U : 9 => E là hàm khả vì. Nhân cả hai về của (1.