ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ------------------oOo-------------------- ĐINH THỊ PHƯỢNG MÔ HÌNH PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN NHIỀU BƯỚC VÀ ỨNG DỤNG CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG MÃ SỐ: 60 46 36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TP.HỒ CHÍ MINH, tháng 12 năm 2014 CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA – ĐHQG – HCM Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN QUỐC LÂN Cán bộ chấm nhận xét 1: PGS. MAI ĐỨC THÀNH Cán bộ chấm nhận xét 2: TS. NGUYỄN BÁ THI Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp. HCM ngày 30 tháng 12 năm 2014 Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm: 1. NGUYỄN ĐÌNH HUY 2. MAI ĐỨC THÀNH 3. NGUYỄN TIẾN DŨNG 5. LÊ XUÂN ĐẠI CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƯỞNG KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨAVIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ------------oOo------------ ------------oOo----------- NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên: ĐINH THỊ PHƯỢNG MSHV: 11240499 Ngày,tháng,năm sinh: 17/01/1985 Nơi sinh: Phú Yên Chuyên ngành: Toán Ứng Dụng Mã số : 60 46 36 I.TÊN ĐỀ TÀI: MÔ HÌNH PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN NHIỀU BƯỚC VÀ ỨNG DỤNG. NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG: Tìm hiểu mô hình sai phân đơn, từ đó đi đến sai phân nhiều bước và ứng dụng trong mô hình thực tế. NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 20/1/2014 III. NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 6/12/2014 IV. CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: TS. VŨ ĐỨC PHÚ + TS. NGUYỄN QUỐC LÂN TP.HCM, ngày 06 tháng 12 năm 2014 CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NHIỆM BỘ MÔN KHOA QUẢN LÝ CHUYÊN NGÀNH TS.Vũ Đức Phú TS. Nguyễn Quốc Lân PGS.Nguyễn Đình Huy TS.Huỳnh Quang Linh LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên tôi xin chân thành cảm ơn hai thầy hướng dẫn là TS. Vũ Đức Phú và TS. Nguyễn Quốc Lân. Em xin cảm ơn vì hai thầy đã nhận lời hướng dẫn em. Em xin cảm ơn vì trong thời gian làm luận văn hai thầy đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, giúp đỡ cũng như động viên khi em gặp những khó khăn. Em cũng xin cảm ơn vì thầy đã luôn hiểu và thông cảm cho em, luôn khuyến khích em trong mọi việc. Bên cạnh đó tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy trong bộ môn Toán ứng dụng trường Đại học Bách Khoa đã cung cấp cho em những kiến thức làm nền tảng để thực hiện bài luận văn này. Cám ơn cô Trần Thị Phượng đã luôn động viên em. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình thương yêu của mình, cám ơn ba, má, chồng, anh chị em đã luôn bên cạnh giúp đỡ và động viên, giúp tôi có thêm tinh thần để hoàn thành bài luận văn của mình. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn các đồng nghiệp, ban giám hiệu, ban giám đốc trường AMIS đã tạo điều kiện cho tôi thực hiện bài luận văn này. Cám ơn các bạn học viên cao học Toán ứng dụng khóa 2012 đã luôn trao đổi thông tin với nhau, giúp việc thực hiện luận văn đúng thời hạn. Cám ơn anh Hoàng Đức Hảo, cao học Toán ứng dụng khóa 2011 vì đã cho phép em tham khảo bài tập của anh, góp một phần quan trọng trong luận văn của mình. Tôi xin chân thành cảm ơn! TP. Hồ Chí Minh, ngày 06 tháng 12 năm 2014 Đinh Thị Phượng LỜI MỞ ĐẦU Phương trình vi phân là một phương trình toán học nhằm biểu diễn mối quan hệ giữa một hàm chưa biết (một hoặc nhiều biến) với đạo hàm của nó (có bậc khác nhau). Phương trình vi phân đóng vai trò quan trọng trong kĩ thuật, vật lí, kinh tế và một số ngành khác. Đối với các phương trình thông thường, nghiệm là một giá trị số (thực, phức, …). Còn trong phương trình vi phân, mục tiêu là tìm ra công thức của hàm (nghiệm của phương trình vi phân, chẳng hạn y = j(x)) chưa được biết nhằm thỏa mãn mối quan hệ đề ra. Thông thường, nó sẽ là một họ các phương trình, sai lệch bằng một hằng số C nào đó. Hàm này sẽ được xác định chính xác khi có thêm điều kiện ban đầu hoặc điều kiện biên. Nhưng trong các ứng dụng thực tế, việc tìm ra công thức của hàm nhiều lúc khó khăn. Thực tiễn người ta cũng chỉ quan tâm tới giá trị của hàm tại các giá trị cụ thể của các biến độc lập. Tuy nhiên có những ứng dụng mà ngay cả giá trị thực cũng khó tìm ra, lúc này người ta lại quan tâm đến giá trị xấp xỉ (có một độ chính xác nhất định) với giá trị thực. Việc giải các giá trị này thường được thực hiện bằng các phương pháp số (numerical methods) và công cụ là máy tính. Và phương pháp sai phân là một trong những phương pháp số tìm nghiệm xấp xỉ đó. Phương pháp sai phân là phương pháp số xấp xỉ các nghiệm của phương trình vi phân bằng cách sử dụng các phương trình sai phân (tiến, lùi, trung tâm) để xấp xỉ các đạo hàm. Ta có thể chia phương pháp sai phân ra làm hai loại: phương pháp sai phân đơn (single-step method) và phương pháp sai phân nhiều bước (multi-step method). Phương pháp sai phân đơn (single-step method) (ví dụ phương pháp Euler) chỉ dựa vào một điểm phía trước và đạo hàm của nó để xác định giá trị hiện tại. Các phương pháp như Runge-Kutta lấy một vài điểm giữa (chẳng hạn, nửa bước) để đạt được phương pháp cấp cao, nhưng sau đó lại loại bỏ tất cả các thông tin trước đó trước khi thực hiện bước thứ hai. Phương pháp sai phân nhiều bước dựa vào nhiều điểm phía trước và các giá trị đạo hàm của chúng. Bằng cách sử dụng các thông tin từ các bước trước hơn là loại bỏ chúng, phương pháp nhiều bước làm tăng hiệu quả trong quá trình tính toán và làm giảm chi phí đến gần mức tối thiểu. Vì nhu cầu cần có phương pháp bậc cao, ổn định, cần hạn chế tính toán, tận dụng các kết quả tính toán từ các bước trước, và có thể giảm chi phí nên phương pháp sai phân nhiều bước càng cần được nghiên cứu và ứng dụng giải các bài toán thực tế. LV gồm 3 chương sau: – Chương I: Tổng quan từ phương pháp sai phân đơn đến sai phân nhiều bước. – Chương II: Phương pháp nhiều bước. – Chương III: Một số ứng dụng LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn của tôi là do sự tìm tòi, nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của hai thầy hướng dẫn. Các kiến thức được lấy từ nguồn tài liệu tham khảo. Code MATLAB là trong các tài liệu tham khảo hoặc do tự tôi viết ra.HCM, ngày 06 tháng 12 năm 2014 Người cam đoan Đinh Thị Phượng MỤC LỤC CHƯƠNG I. TỔNG QUAN TỪ PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN ĐƠN ĐẾN SAI PHÂN NHIỀU BƯỚC. SAI PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP TAYLOR BẬC CAO. Phương pháp sai phân. Mô hình sai phân. Sai số và bậc của phương pháp sai phân. Dạng ma trận của phương pháp sai phân.2 Phương pháp Taylor bậc cao. MÔ HINH SAI PHÂN ĐƠN. Dang tông quát. NHỮNG CẢI TIẾN CẦN THIẾT VÀ NHU CẦU XÂY DỰNG PHƯƠNG PHÁP NHIỀU BƯỚC.15 CHƯƠNG II. PHƯƠNG PHÁP NHIỀU BƯỚC. DẠNG TỔNG QUÁT. Phương pháp nhiều bước tường minh.2 Phương pháp nhiều bước ẩn. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NHIỀU BƯỚC. Phương trình nhiệt. SỰ ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG PHÁP NHIỀU BƯỚC. Sự ổn định (Stability).3 Sự hội tụ (Convergence). XÂY DỰNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN NHIỀU BƯỚC. Mô hình xây dựng phương pháp nhiều bước. Xây dựng phương pháp bậc cao ba bước. Phương pháp tường minh ba bước không ổn định. Phương pháp tường minh ba bước ổn định.37 CHƯƠNG III. MỘT SỐ ỨNG DỤNG. Ứng dụng thực tế. Ứng dụng vào xây dựng mô hình.48 TÀI LIỆU THAM KHẢO.50 CHƯƠNG I TỔNG QUAN TỪ PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN ĐƠN ĐẾN SAI PHÂN NHIỀU BƯỚC I. SAI PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP TAYLOR BẬC CAO I. Phương pháp sai phân Trong luận văn này, chúng ta sẽ dùng thuật ngữ phương pháp sai phân để nói về các phương pháp sử dụng mô hình sai phân để xấp xỉ đạo hàm trên một lưới điểm rời rạc. Mô hình sai phân đơn giản nhất là phương pháp Euler tiến và Euler lùi. Ngoài ra còn có các phương pháp sai phân bậc cao hơn như là phương pháp sai phân điểm giữa (midpoint method), phương pháp hình bình hành (trapezoidal method), họ phương pháp Runge-Kutta, . Mô hình sai phân Giả sử f là một hàm số khả vi liên tục trên đoạn [a , b] . Chúng ta chia b −a đoạn [a , b] thành N phần bằng nhau, mỗi đoạn có độ dài h = Δ x = : N x 0= a , x1 = a+ h , . , x N= b hay là một vector x =[x k ]k = 0, N . Khi đó giá trị của f trên đoạn [a , b] được biểu diễn rời rạc dưới dạng một vector y =[ yk ]k = 0, N với y k = f (x k ) . Chúng ta muốn biểu diễn đạo hàm của f bằng một 1 vector [y '] = Dy =[ f '( x k )] các giá trị xấp xỉ đạo hàm của f trên lưới điểm [x k ] . Cách đơn giản nhất là phương pháp Euler, có thể tìm được từ phân tích chuỗi Taylor của f : f (x + Δ x)= f (x) + f '(x ) Δ x + O((Δ x)2 ) 2 hay f (x k +1 )= f (x k ) + h f '( x k )+ O( h ) , y k +1 − y k nghĩa là f '(x k ) = + O (h ) (1.1) h Phương pháp Euler vì vậy là một phương pháp sai phân cấp một (FD1 – finite difference of order 1). Ngoai ra nêu chung ta phân tich chuôi Taylor cua f tai điêm x k −1 , tưc la: f (x k −1 )= f (x k ) − h f '(x k )+ O( h 2 ) khi đó chung ta có phương phap Euler lui y k − yk − 1 f '( x k ) = + O (h ) (1.2) h Tương tự như vậy, chúng ta cũng có thể xấp xỉ đạo hàm bậc 2 của f bằng mô hình sai phân đạo hàm bậc 2 cấp 2 (FD2 – finite difference order 2): y k +1 −2 y k + yk − 1 f ' '(x k )= 2 + O(h 2 ) (1. Sai số và bậc của phương pháp sai phân Khi sử dung phương phap số đê giai phương trinh vi phân, chung ta luôn muốn biêt độ chinh xac cua nghiêm số (nghiêm xấp xỉ). Vậy điều mà ta quan tâm ở đây là sự sai khác giữa nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ. Nhưng lam thê nao có thê xac đinh đươc chinh xac sai số đó trong khi nghiêm chinh xac không phai luc nao cung tim đươc.
