Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn Tính Toán Ổn Định Uốn Dọc Thanh Có Xét Đến Biến Dạng Trượt Ngang

Tài liệu nghiên cứu Luận văn phương pháp phần tử hữu hạn tính toán ổn định uốn dọc của thanh có xét đến biến dạng trượt, tổng hợp lý thuyết và thực hành, cung cấp kiến thức chuyên

• Tác giả: Vũ Đình Sơn
• Người hướng dẫn: PGS. Đoàn Văn Duẩn
• Trường học: Đại học Dân lập Hải Phòng
• Chuyên ngành: Kỹ thuật xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp
• Đề tài: Phương pháp phần tử hữu hạn tính toán ổn định uốn dọc của thanh có xét đến biến dạng trượt ngang
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ kỹ thuật
• Năm xuất bản: 2018
• Địa điểm: Hải Phòng

Mục lục chi tiết

• LỜI CAM ĐOAN
• LỜI CẢM ƠN
• MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH CÔNG TRÌNH
• 1.1. Khái niệm về ổn định và ổn định công trình
• 1.1.1. Khái niệm về ổn định và mất ổn định
• 1.1.2. Định nghĩa về ổn định - Theo Euler - Lagrange
• 1.1.3. Định nghĩa theo Liapunov
• 1.2. Các trường hợp mất ổn định
• 1.2.1. Trường hợp 1: Mất ổn định về vị trí
• 1.2.2. Trường hợp 2: Mất ổn định về dạng cân bằng
• 1.3. Lịch sử phát triển của lý thuyết ổn định công trình
• 1.4. Các phương pháp xây dựng bài toán ổn định công trình
• 1.4.1. Phương pháp tĩnh
• 1.4.2. Phương pháp năng lượng
• 1.4.3. Phương pháp động lực học
• 1.5. Bài toán ổn định uốn dọc của dầm và phương pháp giải
• 1.6. Nhận xét chương 1
• 2. CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
• 2.1. Phương pháp phần tử hữu hạn
• 2.2. Rời rạc hoá sơ đồ tính
• 2.3. Ma trận độ cứng của một phần tử
• 2.4. Phương trình cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn
• 2.5. Các quan hệ cơ bản trong một phần tử hữu hạn
• 2.6. Nguyên lý công khả dĩ của Lagrange áp dụng cho hệ đàn hồi. Hàm chuyển vị và hàm dạng
• 2.7. Biến dạng và ứng suất tại một điểm trong phần tử
• 2.8. Thế năng toàn phần của một phần tử. Ma trận cứng phần tử
• 2.9. Ma trận độ cứng và véc tơ lực nút của phần tử dầm chịu uốn phẳng
• 2.10. Biểu thức thế năng toàn phần và các ma trận
• 2.11. Giả thiết hàm chuyển vị, lập các ma trận
• 2.12. Lập ma trận độ cứng phần tử
• 2.13. Xác định véc tơ lực nút do tải trọng tác dụng trong dầm gây nên
• 2.14. Lập ma trận độ cứng và véc tơ lực nút của phần tử trong hệ tọa độ chung của kết cấu, ma trận biến đổi tọa độ
• 2.15. Phương pháp số mã lập ma trận độ cứng và véc tơ lực nút của toàn kết cấu
• 2.16. Cách xử lý điều kiện biên
• 3. CHƯƠNG 3: ỔN ĐỊNH UỐN DỌC CỦA DẦM CÓ XÉT ĐẾN BIẾN DẠNG TRƯỢT NGANG
• 3.1. Lý thuyết dầm có xét biến dạng trượt ngang
• 3.2. Bài toán ổn định của dầm chịu nén có xét biến dạng trượt
• 3.3. Phương pháp chuyển vị cưỡng bức
• 3.4. Xác định lực tới hạn của dầm chịu nén có xét đến biến dạng trượt ngang bằng phương pháp phần tử hữu hạn
• 3.5. Ma trận độ cứng phần tử
• 3.6. Bài toán ổn định tĩnh
• 3.7. Dầm đầu ngàm - đầu tự do
• KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
• Danh mục tài liệu tham khảo

Tóm tắt

I. Phương pháp phần tử hữu hạn

Phương pháp phần tử hữu hạn là một kỹ thuật tính toán hiện đại, được áp dụng rộng rãi trong phân tích kết cấu. Phương pháp này cho phép mô hình hóa các hệ thống phức tạp bằng cách chia nhỏ chúng thành các phần tử hữu hạn. Mỗi phần tử được mô tả bằng các phương trình toán học, từ đó xây dựng ma trận độ cứng và véc tơ lực nút. Phương pháp số này không chỉ giúp tự động hóa quá trình tính toán mà còn tiết kiệm thời gian và lao động. Trong nghiên cứu này, phương pháp phần tử hữu hạn được sử dụng để tính toán ổn định uốn dọc của thanh, kèm theo biến dạng trượt ngang.

1.1. Rời rạc hóa sơ đồ tính

Quá trình rời rạc hóa sơ đồ tính là bước đầu tiên trong phương pháp phần tử hữu hạn. Hệ thống được chia thành các phần tử nhỏ, mỗi phần tử có các nút liên kết. Các nút này là điểm mà tại đó các thông số như chuyển vị, góc xoay, và lực được xác định. Việc rời rạc hóa giúp đơn giản hóa bài toán phức tạp thành các bài toán nhỏ hơn, dễ giải quyết hơn.

1.2. Ma trận độ cứng phần tử

Ma trận độ cứng phần tử là một thành phần quan trọng trong phương pháp phần tử hữu hạn. Nó mô tả mối quan hệ giữa lực và chuyển vị tại các nút của phần tử. Ma trận này được xây dựng dựa trên các quan hệ cơ bản trong cơ học vật liệu, bao gồm ứng suất và biến dạng. Việc xác định ma trận độ cứng chính xác là yếu tố quyết định độ chính xác của kết quả tính toán.

II. Tính toán ổn định uốn dọc thanh

Tính toán ổn định uốn dọc là một vấn đề quan trọng trong thiết kế kết cấu, đặc biệt là các kết cấu chịu nén. Khi tải trọng đạt đến giá trị tới hạn, kết cấu có thể mất ổn định và chuyển sang trạng thái cân bằng mới. Trong nghiên cứu này, phương pháp phần tử hữu hạn được áp dụng để xác định lực tới hạn của thanh, kèm theo biến dạng trượt ngang. Điều này giúp đảm bảo an toàn và hiệu quả trong thiết kế kết cấu.

2.1. Lý thuyết dầm có biến dạng trượt ngang

Lý thuyết dầm có biến dạng trượt ngang là một phần quan trọng trong nghiên cứu ổn định uốn dọc. Biến dạng trượt ngang ảnh hưởng đến độ cứng và khả năng chịu lực của dầm. Trong nghiên cứu này, hai hàm chưa biết là hàm độ võng và hàm lực cắt được sử dụng để mô tả biến dạng trượt ngang. Điều này giúp nâng cao độ chính xác của kết quả tính toán.

2.2. Xác định lực tới hạn

Xác định lực tới hạn là mục tiêu chính của nghiên cứu. Lực tới hạn là giá trị tải trọng mà tại đó kết cấu mất ổn định. Trong nghiên cứu này, phương pháp phần tử hữu hạn được sử dụng để xác định lực tới hạn của dầm chịu nén, kèm theo biến dạng trượt ngang. Kết quả này có ý nghĩa quan trọng trong việc đảm bảo an toàn và hiệu quả của kết cấu.

III. Phân tích kết cấu và ứng dụng thực tiễn

Phân tích kết cấu là quá trình đánh giá khả năng chịu lực và ổn định của kết cấu dưới tác dụng của tải trọng. Trong nghiên cứu này, phương pháp phần tử hữu hạn được sử dụng để phân tích ổn định uốn dọc của thanh, kèm theo biến dạng trượt ngang. Kết quả phân tích không chỉ giúp đánh giá khả năng chịu lực của kết cấu mà còn cung cấp cơ sở khoa học cho việc thiết kế và cải tiến kết cấu.

3.1. Ứng dụng trong thiết kế công trình

Nghiên cứu này có ứng dụng thực tiễn cao trong thiết kế công trình dân dụng và công nghiệp. Việc tính toán ổn định uốn dọc của thanh, kèm theo biến dạng trượt ngang, giúp đảm bảo an toàn và hiệu quả của kết cấu. Kết quả nghiên cứu có thể được áp dụng trong thiết kế các công trình như cầu, nhà cao tầng, và các kết cấu chịu nén khác.

3.2. Cải tiến phương pháp tính toán

Nghiên cứu này cũng góp phần cải tiến phương pháp tính toán trong kỹ thuật xây dựng. Việc sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để tính toán ổn định uốn dọc, kèm theo biến dạng trượt ngang, giúp nâng cao độ chính xác và hiệu quả của quá trình thiết kế. Điều này mở ra hướng nghiên cứu mới trong lĩnh vực phân tích kết cấu.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Ổn định công trình là một vấn đề then chốt trong kỹ thuật xây dựng, đặc biệt đối với các kết cấu chịu nén hoặc nén kết hợp uốn. Theo báo cáo ngành, nhiều công trình đã bị phá hủy do mất ổn định, như cầu dàn Kevđa (Nga, 1875), cầu Menkhienxtein (Thụy Sĩ, 1891), và cầu Tacoma (Mỹ, 1940). Mặc dù tải trọng chưa đạt đến giới hạn bền hay cứng, kết cấu vẫn có thể mất khả năng bảo toàn dạng cân bằng ban đầu. Do đó, nghiên cứu ổn định công trình có ý nghĩa thực tiễn lớn, giúp đảm bảo an toàn và hiệu quả sử dụng kết cấu.

Mục tiêu nghiên cứu của luận văn là phát triển phương pháp phần tử hữu hạn để tính toán ổn định uốn dọc của thanh dầm có xét đến biến dạng trượt ngang, chịu tải trọng tĩnh. Phạm vi nghiên cứu tập trung vào dầm thẳng có tiết diện không đổi, trong giai đoạn đàn hồi, áp dụng tại các công trình dân dụng và công nghiệp. Nghiên cứu nhằm cung cấp công cụ tính toán chính xác hơn, phản ánh đầy đủ ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang đến trạng thái ổn định của dầm.

Ý nghĩa nghiên cứu được thể hiện qua việc nâng cao độ chính xác trong dự báo lực tới hạn và trạng thái mất ổn định, từ đó góp phần cải thiện thiết kế kết cấu, giảm thiểu rủi ro sập đổ. Phương pháp phần tử hữu hạn được lựa chọn do tính linh hoạt, khả năng mô phỏng các sơ đồ kết cấu phức tạp và tự động hóa tính toán, giúp tiết kiệm thời gian và công sức trong thực tế.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn dựa trên hai lý thuyết chính: lý thuyết ổn định công trình và phương pháp phần tử hữu hạn (FEM).

• Lý thuyết ổn định công trình: Định nghĩa ổn định theo Euler-Lagrange và Liapunov, phân biệt các loại mất ổn định như mất ổn định về vị trí và về dạng cân bằng. Lý thuyết này cung cấp cơ sở để xác định lực tới hạn và trạng thái tới hạn của kết cấu chịu nén và uốn. Ngoài ra, các phương pháp xây dựng bài toán ổn định gồm phương pháp tĩnh, phương pháp năng lượng và phương pháp động lực học được áp dụng để phân tích trạng thái cân bằng và mất ổn định.

• Lý thuyết dầm có xét biến dạng trượt ngang: Dựa trên lý thuyết dầm Timoshenko, biến dạng trượt được mô tả qua hai hàm chưa biết là hàm độ võng y và hàm lực cắt Q. Phương trình cân bằng và điều kiện biên được xây dựng dựa trên nguyên lý cực tiểu Gauss, cho phép mô hình hóa chính xác ảnh hưởng của biến dạng trượt đến ổn định uốn dọc của dầm.

• Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM): Phương pháp này rời rạc hóa kết cấu thành các phần tử hữu hạn, mỗi phần tử được mô tả bằng ma trận độ cứng và vectơ lực nút. Các khái niệm chính bao gồm ma trận độ cứng phần tử, hàm chuyển vị, hàm dạng, nguyên lý công khả dĩ của Lagrange, và nguyên lý cực tiểu thế năng toàn phần. Phương pháp cho phép giải hệ phương trình đại số tuyến tính để xác định chuyển vị nút, từ đó tính toán nội lực và trạng thái ổn định của kết cấu.

Phương pháp nghiên cứu

Nguồn dữ liệu nghiên cứu bao gồm các tài liệu lý thuyết về ổn định công trình, phương pháp phần tử hữu hạn, và các công trình nghiên cứu liên quan đến biến dạng trượt trong dầm. Phương pháp phân tích chủ yếu là mô hình hóa toán học và số học dựa trên FEM, kết hợp với lý thuyết ổn định và biến dạng trượt.

Cỡ mẫu nghiên cứu là hệ dầm thẳng với các điều kiện biên khác nhau (đầu ngàm - đầu tự do, hai đầu khớp, v.v.), được phân chia thành nhiều phần tử hữu hạn nhỏ để tăng độ chính xác. Phương pháp chọn mẫu là phân chia phần tử theo kích thước hữu hạn, đảm bảo tính liên tục và điều kiện biên tại các nút.

Timeline nghiên cứu bao gồm: tổng quan lý thuyết (3 tháng), xây dựng mô hình FEM và lập trình tính toán (6 tháng), phân tích kết quả và so sánh với lý thuyết Euler (3 tháng), hoàn thiện luận văn (2 tháng).

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. Ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang đến lực tới hạn: Kết quả tính toán cho thấy lực tới hạn của dầm chịu nén có xét đến biến dạng trượt ngang giảm khoảng 10-15% so với lý thuyết dầm Euler-Bernoulli không xét biến dạng trượt. Điều này chứng tỏ biến dạng trượt làm giảm khả năng chịu lực của dầm, cần được tính toán chính xác trong thiết kế.

2. Hiệu quả của phương pháp phần tử hữu hạn: Phương pháp FEM cho phép mô phỏng chính xác trạng thái biến dạng và nội lực trong dầm với các điều kiện biên phức tạp. So với phương pháp giải tích truyền thống, FEM giảm sai số tính toán xuống dưới 5%, đồng thời cho phép tự động hóa và mở rộng cho các kết cấu phức tạp hơn.

3. Tính liên tục của góc xoay do mômen uốn: Nghiên cứu xác định rằng góc xoay do mômen uốn phải được đảm bảo liên tục giữa các đoạn dầm để tránh sai lệch trong tính toán ổn định. Việc này được thực hiện thông qua hàm chuyển vị và hàm lực cắt trong mô hình FEM.

4. Ảnh hưởng của hệ số phân bố ứng suất cắt α: Sử dụng hệ số α = 1.2 cho tiết diện chữ nhật giúp mô hình hóa chính xác hơn biến dạng trượt so với các giá trị truyền thống (1.5). Việc điều chỉnh hệ số này dựa trên cân bằng tổng ứng suất cắt thực tế và biến dạng trượt tại trục dầm.

Thảo luận kết quả

Nguyên nhân lực tới hạn giảm khi xét biến dạng trượt là do sự phân bố ứng suất cắt không đều và sự biến dạng bổ sung làm giảm độ cứng tổng thể của dầm. Kết quả này phù hợp với các nghiên cứu gần đây trong ngành cơ học kết cấu, đồng thời khẳng định tính cần thiết của việc bổ sung biến dạng trượt trong mô hình tính toán.

Phương pháp phần tử hữu hạn thể hiện ưu thế vượt trội trong việc xử lý các bài toán ổn định phức tạp, đặc biệt khi kết cấu có nhiều phần tử và điều kiện biên đa dạng. Biểu đồ so sánh lực tới hạn giữa mô hình FEM và lý thuyết Euler cho thấy sự chênh lệch rõ ràng, minh chứng cho hiệu quả của phương pháp.

Việc đảm bảo tính liên tục của góc xoay do mômen uốn giúp tránh hiện tượng sai lệch trong tính toán nội lực và biến dạng, từ đó nâng cao độ tin cậy của kết quả. Hệ số α được điều chỉnh dựa trên thực tế giúp mô hình phản ánh chính xác hơn đặc tính vật liệu và tiết diện, góp phần cải thiện độ chính xác của dự báo.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn trong thiết kế kết cấu chịu nén và uốn: Khuyến nghị các kỹ sư sử dụng FEM để tính toán ổn định, đặc biệt khi kết cấu có biến dạng trượt ngang, nhằm nâng cao độ chính xác và an toàn thiết kế. Thời gian áp dụng: ngay lập tức; chủ thể: các công ty thiết kế và tư vấn xây dựng.

2. Cập nhật hệ số phân bố ứng suất cắt α trong tiêu chuẩn thiết kế: Đề xuất điều chỉnh hệ số α cho các tiết diện phổ biến dựa trên kết quả nghiên cứu, giúp phản ánh đúng đặc tính biến dạng trượt. Thời gian thực hiện: 1-2 năm; chủ thể: cơ quan quản lý kỹ thuật và viện nghiên cứu.

3. Phát triển phần mềm tính toán ổn định tích hợp biến dạng trượt: Khuyến khích phát triển và ứng dụng phần mềm FEM chuyên biệt cho bài toán ổn định dầm có xét biến dạng trượt, hỗ trợ tự động hóa và phân tích nhanh. Thời gian: 2-3 năm; chủ thể: các viện nghiên cứu và doanh nghiệp công nghệ.

4. Đào tạo và nâng cao nhận thức về ổn định kết cấu và biến dạng trượt: Tổ chức các khóa đào tạo chuyên sâu cho kỹ sư xây dựng về lý thuyết ổn định và ứng dụng FEM trong thực tế, nhằm nâng cao năng lực chuyên môn. Thời gian: liên tục; chủ thể: các trường đại học và trung tâm đào tạo chuyên ngành.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Kỹ sư thiết kế kết cấu: Nghiên cứu cung cấp công cụ và kiến thức để tính toán chính xác lực tới hạn và trạng thái ổn định, giúp thiết kế kết cấu an toàn và hiệu quả hơn.

2. Nhà nghiên cứu và giảng viên ngành xây dựng: Luận văn là tài liệu tham khảo quý giá về lý thuyết ổn định, phương pháp phần tử hữu hạn và biến dạng trượt, hỗ trợ giảng dạy và nghiên cứu chuyên sâu.

3. Chuyên gia phát triển phần mềm kỹ thuật: Cung cấp cơ sở lý thuyết và thuật toán để phát triển các phần mềm tính toán kết cấu tích hợp biến dạng trượt và ổn định.

4. Cơ quan quản lý và kiểm định xây dựng: Giúp hiểu rõ các yếu tố ảnh hưởng đến ổn định kết cấu, từ đó xây dựng tiêu chuẩn và quy định phù hợp, nâng cao chất lượng kiểm định.

Câu hỏi thường gặp

1. Phương pháp phần tử hữu hạn có ưu điểm gì trong tính toán ổn định kết cấu?
   Phương pháp này cho phép mô hình hóa chính xác các kết cấu phức tạp với nhiều điều kiện biên khác nhau, tự động hóa tính toán và giảm sai số so với phương pháp giải tích truyền thống. Ví dụ, trong nghiên cứu, sai số lực tới hạn giảm dưới 5%.

2. Biến dạng trượt ngang ảnh hưởng thế nào đến lực tới hạn của dầm?
   Biến dạng trượt làm giảm độ cứng tổng thể của dầm, dẫn đến lực tới hạn giảm khoảng 10-15% so với mô hình không xét biến dạng trượt, ảnh hưởng trực tiếp đến khả năng chịu lực và ổn định của kết cấu.

3. Hệ số phân bố ứng suất cắt α được xác định như thế nào?
   Hệ số α được xác định dựa trên cân bằng tổng ứng suất cắt thực tế và biến dạng trượt tại trục dầm. Trong nghiên cứu, α = 1.2 được sử dụng cho tiết diện chữ nhật, điều chỉnh từ giá trị truyền thống để phù hợp hơn với thực tế.

4. Làm thế nào để xử lý điều kiện biên trong mô hình FEM?
   Điều kiện biên được xử lý bằng cách gán chuyển vị nút bằng không hoặc giá trị xác định, đồng thời điều chỉnh ma trận độ cứng và vectơ lực nút để đảm bảo hệ phương trình không suy biến, giúp giải hệ phương trình chính xác.

5. Phương pháp này có thể áp dụng cho các loại kết cấu khác ngoài dầm không?
   Có, phương pháp phần tử hữu hạn rất linh hoạt và có thể mở rộng cho các kết cấu tấm, bản, khung và các hệ kết cấu phức tạp khác, miễn là mô hình hóa đúng đặc tính vật liệu và điều kiện biên.

Kết luận

• Phương pháp phần tử hữu hạn là công cụ hiệu quả để tính toán ổn định uốn dọc của dầm có xét đến biến dạng trượt ngang, nâng cao độ chính xác so với lý thuyết truyền thống.
• Biến dạng trượt làm giảm lực tới hạn khoảng 10-15%, ảnh hưởng quan trọng đến thiết kế và đánh giá an toàn kết cấu.
• Hệ số phân bố ứng suất cắt α cần được điều chỉnh phù hợp với đặc tính tiết diện và vật liệu để mô hình phản ánh đúng thực tế.
• Việc đảm bảo tính liên tục của góc xoay do mômen uốn giữa các đoạn dầm là cần thiết để tránh sai lệch trong tính toán.
• Đề xuất phát triển phần mềm chuyên dụng và cập nhật tiêu chuẩn thiết kế nhằm ứng dụng rộng rãi kết quả nghiên cứu trong thực tế.

Tiếp theo, nghiên cứu sẽ tập trung vào mở rộng mô hình cho các kết cấu phức tạp hơn và phát triển công cụ tính toán tự động. Độc giả và chuyên gia trong ngành được khuyến khích áp dụng và phát triển thêm dựa trên nền tảng này để nâng cao chất lượng thiết kế và thi công công trình.

Trích đoạn nội dung tài liệu

chương 1: Ở trên đã trình bày các phương pháp chung để xây dựng bài toán ổn định công trình. Các phương pháp đó là: Phương tĩnh, phương pháp năng lượng và phương động lực học. Các phương pháp nói trên hoàn toàn tương đương nhau. Đã giới thiệu các định nghĩa, các khái niệm và các định lý về ôn định nhằm mục đích hiểu rõ bản chất của bài toán ổn định công trình.

Đã trình bảy phương pháp chung để giải các phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất và áp dụng dé nghiên cứu ôn định của dầm thắn g chiu luc nén P tác dụng ở đầu dầm. Có thể nói đây là phương pháp toán duy nhất và do đó phổ biến nhất trong nghiên cứu ổn định công trình hiện nay. 16 CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP PHAN TU HUU HAN 2. Phương pháp phần tử hữu han Trong chương này, sẽ chỉ đề cập tới nội dung cơ bản nhất của phương pháp, và chủ yếu xét tới ứng dụng vào tính toán hệ dầm với vật liệu còn làm việc trong giai đoạn đàn hồi.

Tuy nhiên, trong phần lý thuyết cơ bản, vẫn lấy ví dụ minh hoạ với bài toán phẳng để thấy rõ hơn bản chất của phương pháp. Rời rạc hoá sơ đồ tính Trong phương pháp phần tử a 8. $ 4 hữu hạn, áp dụng biện pháp rời rạc 4 , _ ; uf Ì + [ 1 z z CA TA ee l. 3 OA : hoá, một kết cấu liên tục được coi là apt CC TIM k “i wt fe iN x z iy một tập hợp các phần tử nối với A.

z tA r ^ ì | | ở nhau tại các điêm nút.1 cu iy „ ” cho thấy hệ dầm gồm các phần tử là % [a ° 3 các dâm thăng được nôi với nhau ae PN bởi các nút khớp hoặc nút cứng tại đầu dầm (hình 2.1f, ¡ cho hình ảnh các phần tử của bản Hinh 2.1 phẳng, của vật thé khối. Nút phần tử được đặc trưng bởi số bậc tự do của nó. Đó là các chuyển vị thắng của nút (u¡, v¡) hay đạo hàm của nó (góc xoay œ¡), chúng được gọi là thông sé chuyén vi nut. Toan b6 m chuyén vị nút của một phần tử được đánh số và sắp xếp theo thứ tự thành vectơ chuyển vị nút của một phần tử: 5, 17 Vectơ chuyển vị nút của phần tử dầm i-j hai đầu nút khớp và hai đầu nút cứng trên hình 2.1b, d lần lượt có cấp (4x1) và (6x1) 5, u, ỗ, u, ỗ, V, Bf IML.

gy _ JồỒ | Ji Ber qaf Phas tye 5, V, 6; V, 5, Ọ, Hình 2.1g cho thấy một phần tử tam giác của bản phẳng và các chuyển vị nút của nó. Toàn bộ n chuyển vị nút có một hệ được đánh số và sắp xếp theo thứ tự thành một vectơ chuyển vị nút của toàn kết cấu: {ajay () Nút của một phần tử không nhất thiết phải ở tai các đỉnh của phần tử, mà còn có thể nằm trên các biên của phần tử; hình 2.1h cho thấy một phần tử tam giác của bản phẳng gồm 6 nút và vectơ chuyên vị nút có cấp (12 x 1) Khi tính toán, tải trọng tác dụng trên hệ được thay thé ban g mot hé luc tập trung (P, M) đặt tại các điểm nút có các thành phần tương ứng với chuyên vị nút. Với một phần tử, vectơ tái trọng nút { tf \ (lực nút do tải trọng) tương ứng với vectơ chuyền vị nút {5}. của phần tử; còn với toàn kết cầu, tương ứng với vectơ chuyền vị nút {A} có vectơ tải trọng nut {F}.

Khi rời rạc hoá kết cấu, số lượng phần tử được phân chia càng lớn, kích thước phần tử càng nhỏ thì mức độ chính xác càng cao, song số lượng phần tử của một hệ cũng như kích thước của phần tử nhất thiết phải là hữu hạn. Tại mỗi nút, tất cá các phần tử nối vào nó đều cùng chung một chuyển vị nên điều kiện liên tục đã được đảm bảo tại các nút. Các điều kiện biên cũng được đảm bảo tại các nút. 18 Khi tách xét riêng một phần tử, có thể xem sự liên kết giữa phần tử đang xét với các phần tử lân cận bằng các dầm liên kết tại các điểm nút.

Nội lực trong liên kết nút (lực nút) và chuyên vị nút ö là tương ứng với nhau (hình 2.2) và lập thành véc tơ lực nút {N} 2. Ma trận độ cứng cua một phần tử Trong giai đoạn vật liệu biến dạng đàn hồi, giữa Sua MaNiy KT KS Nix luc nut N va chuyén vị nut 6 cua mot phan tử có quan hệ phụ thuộc tuyến tính.2 Chẳng hạn với phần tử tam giác của bài toán phẳng (hình 9-2) lực nút thứ nhất Ni = Nix (lực tại liên kết ngang của nút ¡ và theo huéng cia & = U,;) được tính bằng tổng các lực nút do chuyên vị các nút của phần tử gây nên: Ni=N¿ =kuui +k„vị + kín, + ky, +kiswx +kievi — (€) trong đó k¿ - phản lực đơn vị tại liên kết thứ ¡ (lực nút thứ ï) do chỉ riêng chuyền vị nút thứ j bằng 1 tại đơn vị 6; = 1 gây nên, và được gọi là hệ số độ cứng. Các gạch ngang trên các ký hiệu chỉ rõ các đại lượng đó được xét trong hệ toạ độ riêng cuả phần tử e. Nếu viết phương trình đạng (b) cho lần lượt theo thứ tự đủ cá 6 lực nút của phần tử tam giác trên hình 2.2, ta được hệ 6 phương trình đại số tuyến tính, viết dưới dạng ma trận như sau: Nì ku ki.

kis 5 N› = ka kx see k 2 : ề (d) No Ker ke see kes 56 hay 19 Wy = [kL 16) (9-1) Trong đó Wt. lk lần lượt là các vectơ lực nút phần tử, vectơ chuyên vị nút phần tử và ma trận độ cứng của phần tử e đang xét trong hệ toạ độ riêng của phần tử đó. Khi tính toán kết cấu, cần phải lập ma trận độ cứng phần tử le cho tat cả các phần tử của hệ. Phương trình cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn Khi phân chia kết cấu thành các phần tử nối với nhau tại các điểm nút, tại mỗi nút có thể có nhiều phần tử được nối vào.

Giả sử tại nút s trong bài toán phẳng có m phần tử được nối như trên hình 2.3 Tại đó, m phân tử có chung một chuyên vị, nên điêu kiện liên tục cũng như điều kiện cân bằng tại nút s đều được thoả mãn. Theo phương trình (c) chuyên vị của tất cả các nút của m phần tử được nối tại nút tại nút s, đều gây nên lực nút tại nút s, do đó vectơ lực tại nút s là (nf bằng tổng các lực nút do chuyển vị nút của m phần tử xung quanh gây nên (tính theo (c)). Nếu hệ ở trạng thái cân bằng, thì vectơ lực nút tính trên phải cân bằng với vectơ ngoại lực tại nút s, và viết được phương trình biểu diễn ðiều kiện cân bằng của nút s như sau: SÍN,), ={F} () r=l Trong đó: {N ; } - vectơ lực nút tại nút s, do các chuyền vị nút của phần tử r nối tại nút s gây nên, và lập ở hệ toạ chung của kết cấu (không có gạch ngang khác VỚI in} đã lập trong hệ toạ độ riêng của phần tir). {N,} ở đây được lập nên 20 bằng cách tập hợp các vectơ \N L = lk BỊ.1) sau khi đã chuyển về hệ toạ độ chung nhờ phép biến đổi toạ độ (sẽ được trình bày trong 2.

{F } - vecto ngoai lực nút s, bằng các thành phần ngoại lực đặt chính tại nút s cộng với các thành phần do các ngoại lực đặt trong các phần tử quanh nút s tính quy về tại nút đó. Nếu viết phương trình dạng (e) cho lần lượt theo thứ tự toàn bộ các nút của kết cấu, ta được hệ phương trình đại số có dạng: [K}A}={F} (2.2) Trong do: [K ] - ma trận độ cứng của toàn kết cầu thành lập từ các ma trận độ cứng của từng phần tử lk trong (2.1) {A} - vecto chuyền vị nút của toàn kết cấu. {F } - vectơ ngoại lực nút. Hệ phương trình (2.2) thực chất là hệ phương trình cân bằng lực tại toàn bộ các nút của hệ.

Sau khi xét điều kiện biên (nút không có chuyển vị hoặc có chuyên vị đã biết trước) thì hệ này hoàn toàn có thể giải được. Bản chất của nó giống hệ phương trình chính tắc trong phương pháp chuyền vị và là phương trình cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn. Giải hệ phương trình (2.2), tìm được các vectơ chuyên vị nút của toàn kết cầu {a} ở hệ toạ độ chung, từ đó sẽ tìm được chuyền vị nút {5} của mỗi phần tử trong hệ toạ độ riêng của phần tử, sau đó xác định được nội lực, ứng suất, biến dạng của điểm bất kỳ trong phần tử (cũng như của kết cấu) nhờ các quan hệ đã có trong Cơ kết cấu và Lý thuyết đàn hồi. Như vậy, vấn đề cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn là phải thiết lập được hệ phương trình (2.2) tức xác định được [K | va {F \ mà trước hết là xác định được ma trận cứng phần tử lk trong (2.

Các quan hệ cơ bản trong một phần tử hữu hạn Ma trận độ cứng phần tử lk | 21 Để lập ma trận cứng phần tử lk có thể xuất phát từ nhiều cách khác nhau; dưới đây ta chỉ xét một trong các cách đó - cách áp dụng nguyên lý công khả dĩ của Lagrange đã được đề cập tới trong Cơ học lý thuyết và Lý thuyết đàn hồi. Nguyên lý công khả dĩ của Lagrange áp dụng cho hệ đàn hồi Giá sử có một vật thể đàn hồi có thể tích V, diện tích bề mặt chịu tải là Sp, diện tích bề mặt có điều kiện biên chuyền vị là Sa (hình 2. Ngoại lực tác dụng vào vật gồm: Hình 2.