Phương pháp phần tử hữu hạn: Lý thuyết và Lập trình Tập 1 cho ngành Cơ Kỹ thuật

Phương pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH) là một phương pháp tính số mạnh mẽ, đã trở thành công cụ không thể thiếu… 236 trang · Trường Đại Học Kỹ Thuật · 2023.

• Trường học: Trường Đại Học Kỹ Thuật
• Chuyên ngành: Cơ Kỹ Thuật
• Đề tài: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn Lý Thuyết Và Lập Trình Tập 1 Dùng Cho Sinh Viên Học Viên Cao Học Nghiên Cứu Sinh Chuyên Ngành Cơ Kỹ Thuật
• Loại tài liệu: Tài Liệu Học Tập
• Năm xuất bản: 2023
• Địa điểm: Hà Nội

Mục lục chi tiết

• Lời nói đầu
• 1. Chương 1: Nhập môn
• 1.1. Điều kiện cân bằng
• 1.2. Điều kiện biên
• 1.3. Xấp xỉ nghiệm
• 1.3.1. Xấp xỉ hàm
• 1.3.2. Phương pháp sai phân hữu hạn
• 1.3.3. Phương pháp phần tử hữu hạn
• 2. Chương 2: Các nguyên lý cơ bản của cơ học kết cấu
• 2.1. Các điều kiện cân bằng
• 2.2. Quan hệ biến dạng và chuyển vị
• 2.3. Các quan hệ vật liệu tuyến tính
• 2.4. Nguyên lý công khả dĩ
• 2.5. Các nguyên lý năng lượng
• 2.6. Áp dụng cho phương pháp phần tử hữu hạn
• 3. Chương 3: Tính chất phần tử
• 3.1. Mô hình chuyển vị
• 3.2. Quan hệ giữa bậc tự do nút và các tọa độ tổng quát
• 3.3. Yêu cầu hội tụ
• 3.4. Hệ toạ độ "tự nhiên"
• 3.5. Ứng suất và biến dạng phần tử
• 3.6. Ma trận độ cứng phần tử
• 3.7. Quy rút tĩnh học
• 4. Chương 4: Phần tử đồng tham số
• 4.1. Phần tử đồng tham số hai chiều
• 4.2. Tính ma trận độ cứng phần tử đồng tham số
• 4.3. Tích phân số
• 4.4. Tính tích phân số trên máy
• 4.5. Tính toán nhanh độ cứng phần tử
• 4.6. Tiêu chuẩn hội tụ cho phần tử đồng tham số
• 5. Chương 5: Phương pháp độ cứng trực tiếp
• 5.1. Sắp xếp phần tử - phương pháp độ cứng trực tiếp
• 5.2. Khử Gauss và phép phân tích ma trận
• 5.3. Phân tích ma trận Choleski ([L][D][L]ᵀ)
• 5.4. Các bước cơ bản trong phân tích PTHH
• 6. Chương 6: Chương trình PASSFEM
• 6.1. Chương trình chính
• 6.2. Chương trình con PASSIN
• 6.3. Chương trình con FELIB
• 6.4. Chương trình con COLUMH
• 6.5. Chương trình con CADNUM
• 6.6. Chương trình con PASSEM
• 6.7. Chương trình con PASOLV
• 6.8. Chương trình con PASLOD
• 6.9. Chương trình con DISP
• 6.10. Ghép các chương trình
• 6.11. Nhập số liệu
• 7. Chương 7: Phân tích kết cấu khung
• 7.1. Phần tử dàn 2 chiều
• 7.2. Phần tử dàn 3 chiều
• 7.3. Phần tử dầm 2 chiều
• 7.4. Phần tử thanh 3 chiều
• 7.5. Biến dạng trượt trong dầm
• 7.6. Phần tử thanh bù BEAM2
• 7.7. Chương trình con cho phần tử dàn 3 chiều
• 7.8. Chương trình con cho phần tử thanh 3 chiều
• 7.9. Thủ tục cho các phần tử biên
• Tài liệu tham khảo

Tóm tắt

I. Tổng quan phương pháp phần tử hữu hạn cho ngành cơ kỹ thuật

Phương pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH) là một phương pháp tính số mạnh mẽ, đã trở thành công cụ không thể thiếu trong lĩnh vực cơ kỹ thuật hiện đại. Sự ra đời và phát triển vũ bão của công nghệ máy tính đã cho phép phương pháp phần tử hữu hạn được ứng dụng rộng rãi, giải quyết các bài toán phức tạp mà trước đây gần như không thể tìm ra lời giải giải tích. Đối tượng chính của phương pháp này là tìm lời giải số cho các bài toán của lý thuyết trường, đặc biệt thành công trong lĩnh vực cơ học vật rắn biến dạng. Các đại lượng cần tìm như chuyển vị, biến dạng, và ứng suất tại mọi điểm trong kết cấu đều có thể được xác định với độ chính xác cao. Cuốn sách "Phương pháp phần tử hữu hạn: Lý thuyết và Lập trình - Tập 1" của PGS. Nguyễn Quốc Bảo và Trần Nhất Dũng được biên soạn nhằm đáp ứng nhu cầu học tập và nghiên cứu, giúp sinh viên, học viên cao học, và nghiên cứu sinh chuyên ngành cơ kỹ thuật nắm bắt được các khía cạnh cốt lõi. Tài liệu này trình bày lý thuyết một cách cô đọng, đi kèm ví dụ minh họa và giải thuật, tạo điều kiện để người học có thể tự mình vận dụng và lập trình giải quyết một bài toán cụ thể. Việc hiểu sâu sắc nền tảng lý thuyết không chỉ giúp sử dụng các phần mềm thương mại hiệu quả hơn mà còn mở ra khả năng phát triển các chương trình tính toán chuyên biệt.

1.1. Lịch sử hình thành và sự phát triển vượt bậc của PP PTHH

Lịch sử của phương pháp phần tử hữu hạn gắn liền với sự phát triển của ngành hàng không và máy tính. Các công trình tiên phong của các tác giả như Argyris, Kelsey, và sau đó là Turner, Clough đã đặt nền móng cho phương pháp này. Đặc biệt, Clough là người đầu tiên sử dụng thuật ngữ "phần tử hữu hạn". Như tài liệu gốc đã đề cập, dù được hình thành vài chục năm, nhưng chỉ đến khi máy tính cá nhân (PC) trở nên phổ biến, PP PTHH mới thật sự bùng nổ. Trước đây, khối lượng tính toán khổng lồ là một rào cản lớn. Ngày nay, đây là cơ sở của lĩnh vực mô phỏng hóa trong thiết kế, cho phép các kỹ sư giả định vô số phương án để tìm ra giải pháp tối ưu, giúp "giảm chi phí và thời gian thực hiện các thí nghiệm theo phương pháp truyền thống". Sự phát triển này đã biến PP PTHH từ một công cụ nghiên cứu hàn lâm thành một bộ phận không thể thiếu trong thực tiễn kỹ thuật.

1.2. Tầm quan trọng của lý thuyết và lập trình đối với sinh viên

Việc chỉ sử dụng các phần mềm phân tích kết cấu có sẵn mà không hiểu bản chất bên trong có thể dẫn đến những sai sót nghiêm trọng trong phân tích và thiết kế. Cuốn sách nhấn mạnh mục tiêu giúp người đọc "nắm bắt các khía cạnh cốt lõi của nó để lập trình tìm lời giải cho một bài toán cụ thể". Việc học cả lý thuyết và lập trình phần tử hữu hạn mang lại hai lợi ích lớn. Thứ nhất, nó cung cấp một sự hiểu biết sâu sắc về các giả định, hạn chế và ý nghĩa vật lý của các tham số trong mô hình. Thứ hai, nó trang bị kỹ năng để xây dựng các công cụ tính toán riêng, giải quyết các bài toán đặc thù không được hỗ trợ bởi phần mềm thương mại. Đây là kỹ năng cực kỳ giá trị cho các học viên cao học và nghiên cứu sinh trong quá trình thực hiện luận văn và các công trình nghiên cứu khoa học chuyên sâu.

II. Thách thức khi giải bài toán cơ học vật rắn biến dạng phức tạp

Trong thực tế, việc tìm kiếm nghiệm giải tích cho các bài toán kỹ thuật thường bất khả thi. Nghiệm giải tích, được biểu diễn bằng các biểu thức toán học xác định, chỉ tồn tại cho những trường hợp có "điều kiện hình học, vật liệu và tải trọng khá đơn giản". Tuy nhiên, các kết cấu trong thực tế thường có hình dạng phức tạp, vật liệu không đồng nhất và chịu các điều kiện biên và tải trọng đa dạng. Đây chính là thách thức lớn nhất mà các phương pháp số, đặc biệt là phương pháp phần tử hữu hạn, ra đời để giải quyết. Các phương pháp gần đúng truyền thống như phương pháp xấp xỉ hàm hay phương pháp sai phân hữu hạn, mặc dù có những ưu điểm riêng, vẫn gặp phải những hạn chế nhất định khi đối mặt với sự phức tạp của bài toán thực tế. Việc lựa chọn hàm xấp xỉ phù hợp cho toàn bộ kết cấu trong phương pháp Rayleigh-Ritz là cực kỳ khó khăn, trong khi phương pháp sai phân hữu hạn lại tỏ ra kém linh hoạt với các lưới không đều và biên dạng tùy tiện. Do đó, nhu cầu về một phương pháp tổng quát và mạnh mẽ hơn là tất yếu, và phân tích kết cấu bằng PP PTHH chính là câu trả lời.

2.1. Hạn chế của nghiệm giải tích và phương pháp xấp xỉ hàm

Nghiệm giải tích cung cấp một lời giải chính xác tuyệt đối nhưng phạm vi áp dụng rất hẹp. Khi đối mặt với các bài toán có hình dạng phức tạp, các kỹ sư phải dựa vào các phương pháp số. Phương pháp xấp xỉ hàm, ví dụ như phương pháp Rayleigh-Ritz được trình bày trong tài liệu, yêu cầu người dùng phải chọn trước một họ hàm thỏa mãn điều kiện biên trên toàn bộ kết cấu. Tài liệu chỉ rõ: "khó khăn chủ yếu trong phương pháp xấp xỉ hàm là phải chọn họ hàm... sao cho đảm bảo tính liên tục và thoả mãn mọi điều kiện biên". Đối với các kết cấu phức tạp, việc này "về thực tế là không thể khắc phục được". Điều này giới hạn đáng kể tính ứng dụng của các phương pháp biến phân cổ điển trong tính toán kỹ thuật hàng ngày.

2.2. So sánh PP sai phân hữu hạn và phương pháp phần tử hữu hạn

Phương pháp sai phân hữu hạn (FDM) là một phương pháp số lâu đời, trong đó miền tính toán được rời rạc hóa bằng một lưới các điểm nút. Phương trình vi phân được chuyển thành dạng sai phân tại các nút này. FDM hoạt động tốt với các lưới đều đặn và hình học đơn giản. Tuy nhiên, theo tài liệu, nó trở nên "phức tạp hơn với lưới rời rạc bất kỳ", đặc biệt khi "vật liệu không đẳng hướng, hình dạng vật thể là tuỳ tiện". Phương pháp phần tử hữu hạn kế thừa ý tưởng rời rạc hóa nhưng theo một cách linh hoạt hơn nhiều. Thay vì các điểm nút, PP PTHH chia miền thành các phần tử nhỏ (tam giác, tứ giác...). Cách tiếp cận này cho phép mô hình hóa chính xác các hình dạng phức tạp và xử lý các điều kiện biên một cách dễ dàng, biến nó thành một công cụ vạn năng hơn hẳn so với FDM.

III. Hướng dẫn nền tảng lý thuyết của phương pháp phần tử hữu hạn

Để vận dụng thành công phương pháp phần tử hữu hạn, việc nắm vững các nguyên lý cơ bản của cơ học kết cấu là điều kiện tiên quyết. Nền tảng của PP PTHH không phải là các công thức toán học thuần túy mà được xây dựng vững chắc trên các định luật vật lý có ý nghĩa rõ ràng. Các nguyên lý năng lượng, đặc biệt là nguyên lý cực tiểu thế năng và nguyên lý công khả dĩ, đóng vai trò trung tâm trong việc xây dựng phương trình cân bằng của phần tử. Trong mô hình chuyển vị, phương pháp phổ biến nhất, các chuyển vị tại nút được xem là ẩn số chính. Từ đó, trường chuyển vị bên trong phần tử được xấp xỉ thông qua các hàm dáng. Quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị, cùng với quan hệ vật liệu (định luật Hooke) giữa ứng suất và biến dạng, cho phép tính toán năng lượng biến dạng của phần tử. Bằng cách áp dụng các nguyên lý năng lượng, ta có thể suy ra hệ phương trình liên hệ giữa lực tác động tại nút và chuyển vị nút, chính là ma trận độ cứng của phần tử. Việc hiểu rõ các bước này giúp người học không chỉ áp dụng máy móc mà còn có khả năng đánh giá và kiểm chứng kết quả phân tích.

3.1. Vai trò của nguyên lý công khả dĩ và các nguyên lý năng lượng

Các nguyên lý năng lượng cung cấp một cách tiếp cận tổng quát và hiệu quả để thiết lập các phương trình cân bằng. Tài liệu gốc nêu rõ, "Nguyên lý cực tiểu thế năng là cơ sở của mô hình chuyển vị trong phân tích phần tử hữu hạn". Nguyên lý này phát biểu rằng trong số tất cả các trường chuyển vị khả dĩ (thỏa mãn điều kiện biên động học), trường chuyển vị thực tế sẽ làm cho tổng thế năng của hệ đạt giá trị cực tiểu. Bằng cách lấy biến phân của phiếm hàm tổng thế năng (bao gồm năng lượng biến dạng và thế năng ngoại lực) theo các chuyển vị nút và cho nó bằng không, ta sẽ thu được hệ phương trình cân bằng của kết cấu. Cách tiếp cận này thanh lịch và mạnh mẽ hơn so với việc thiết lập cân bằng lực trực tiếp cho từng phần tử.

3.2. Quan hệ ứng suất biến dạng và các điều kiện tương thích

Để liên kết các đại lượng cơ học với nhau, phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng ba bộ phương trình cơ bản. Thứ nhất là quan hệ biến dạng-chuyển vị, mô tả cách biến dạng được tính từ đạo hàm của các thành phần chuyển vị. Thứ hai là quan hệ vật liệu, thường là định luật Hooke dạng ma trận {σ} = [D]({ε} - {ε₀}), liên hệ giữa véc tơ ứng suất {σ} và véc tơ biến dạng {ε} thông qua ma trận vật liệu [D]. Thứ ba là các phương trình cân bằng, đảm bảo rằng các ứng suất nội tại cân bằng với ngoại lực. Ngoài ra, các thành phần biến dạng phải thỏa mãn các điều kiện tương thích để đảm bảo một trường chuyển vị liên tục, không gây ra các khe hở hay chồng chéo vật liệu sau khi biến dạng. Việc đảm bảo các điều kiện này ở mức phần tử và trên toàn kết cấu là yếu tố quyết định sự hội tụ của lời giải.

IV. Quy trình phân tích theo phương pháp phần tử hữu hạn hiệu quả

Một bài toán phân tích kết cấu sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn thường tuân theo một trình tự các bước logic và có hệ thống. Quy trình này bắt đầu từ việc lý tưởng hóa bài toán thực tế thành một mô hình toán học và kết thúc bằng việc diễn giải các kết quả số. Bước đầu tiên và quan trọng nhất là rời rạc hóa miền tính toán, tức là chia kết cấu thành một lưới các phần tử hữu hạn được kết nối tại các điểm nút. Chất lượng của lưới phần tử ảnh hưởng trực tiếp đến độ chính xác của kết quả. Sau khi có lưới, bước tiếp theo là xây dựng các đặc tính cho từng phần tử, điển hình là tính toán ma trận độ cứng của phần tử. Các ma trận này sau đó được lắp ráp lại theo một quy trình gọi là phương pháp độ cứng trực tiếp để tạo thành hệ phương trình cân bằng tổng thể của toàn bộ kết cấu. Hệ phương trình này có dạng [K]{u} = {F}, trong đó [K] là ma trận độ cứng tổng thể, {u} là véc tơ chuyển vị nút cần tìm và {F} là véc tơ lực nút tương đương. Sau khi áp đặt các điều kiện biên và giải hệ phương trình, các giá trị ứng suất và biến dạng sẽ được tính toán từ kết quả chuyển vị nút.

4.1. Rời rạc hóa kết cấu và lựa chọn hàm dáng phù hợp

Tư tưởng cơ bản của PP PTHH là "vật thể hoặc kết cấu có thể phân chia thành các phần tử nhỏ hơn, có kích thước hữu hạn". Quá trình này gọi là rời rạc hóa. Việc lựa chọn loại phần tử (thanh, tấm, khối) và mật độ lưới là một nghệ thuật, đòi hỏi kinh nghiệm để cân bằng giữa độ chính xác và chi phí tính toán. Bên trong mỗi phần tử, trường chuyển vị được xấp xỉ bằng các hàm dáng (shape functions). Đây là các hàm đa thức đơn giản nội suy giá trị chuyển vị tại một điểm bất kỳ trong phần tử dựa trên các giá trị chuyển vị tại các nút của phần tử đó. Việc lựa chọn hàm dáng phải đảm bảo tính liên tục của chuyển vị trên toàn kết cấu và khả năng mô tả các trạng thái biến dạng cơ bản.

4.2. Lắp ráp ma trận độ cứng tổng thể theo phương pháp trực tiếp

Sau khi ma trận độ cứng [k] của từng phần tử được thiết lập, chúng cần được tổ hợp lại để tạo thành phương trình cho toàn hệ. Phương pháp độ cứng trực tiếp (Direct Stiffness Method) là một thuật toán hiệu quả cho quá trình này. Về cơ bản, mỗi phần tử trong ma trận độ cứng tổng thể [K] được hình thành bằng cách cộng các đóng góp tương ứng từ các ma trận độ cứng của các phần tử riêng lẻ có chung bậc tự do đó. Quá trình này dựa trên nguyên tắc cân bằng lực tại mỗi nút và đảm bảo tính tương thích (cùng chuyển vị) tại các nút chung giữa các phần tử. Kết quả là một hệ phương trình đại số tuyến tính có kích thước lớn nhưng thường có dạng thưa và đối xứng, có thể được giải hiệu quả bằng các thuật toán chuyên dụng.

V. Cách lập trình phần tử hữu hạn qua chương trình PASSFEM mẫu

Việc chuyển đổi từ lý thuyết và lập trình phần tử hữu hạn sang một chương trình máy tính hoạt động là một bước tiến quan trọng. Cuốn sách cung cấp một ví dụ cụ thể thông qua chương trình PASSFEM, minh họa cấu trúc và giải thuật của một chương trình phân tích kết cấu điển hình. Chương trình được tổ chức theo cấu trúc module, một phương pháp lập trình hiện đại giúp mã nguồn trở nên rõ ràng, dễ bảo trì và mở rộng. Mỗi module hay chương trình con (subroutine) thực hiện một nhiệm vụ cụ thể trong quy trình phân tích. Ví dụ, có các module riêng cho việc đọc dữ liệu đầu vào, xây dựng thư viện phần tử, lắp ráp ma trận độ cứng tổng thể, giải hệ phương trình, và cuối cùng là xuất kết quả. Bằng cách nghiên cứu cấu trúc của PASSFEM, người học có thể hiểu được luồng xử lý thông tin trong một phần mềm phương pháp phần tử hữu hạn, từ đó có thể tự mình xây dựng hoặc tùy chỉnh các công cụ tương tự. Đây là cầu nối thiết thực giữa kiến thức hàn lâm và ứng dụng thực tiễn, đặc biệt hữu ích cho sinh viên và nghiên cứu sinh ngành cơ kỹ thuật.

5.1. Cấu trúc và các chương trình con chính trong PASSFEM

Chương 6 của tài liệu mô tả chi tiết chương trình PASSFEM. Cấu trúc phân khối này là điển hình cho hầu hết các phần mềm PTHH. Chương trình chính điều phối hoạt động của các chương trình con. Một số chương trình con quan trọng được liệt kê bao gồm: PASSIN (đọc và xử lý số liệu đầu vào), FELIB (thư viện chứa các thủ tục tính toán cho các loại phần tử khác nhau), PASSEM (lắp ráp ma trận độ cứng và véc tơ tải trọng tổng thể), và PASOLV (giải hệ phương trình tuyến tính để tìm chuyển vị nút). Cách tổ chức này cho phép "xây dựng các bộ chương trình có tính tổng quát, trong đó chứa thư viện các loại phần tử khác nhau và một khối chung cho tất cả các thủ tục phân tích khác".

5.2. Giải thuật phân tích kết cấu dàn và khung không gian 2D 3D

Chương 7 đi sâu vào ứng dụng cụ thể cho việc phân tích kết cấu khung. Tài liệu trình bày chi tiết cách xây dựng ma trận độ cứng cho các phần tử phổ biến như phần tử dàn 2 chiều, phần tử dàn 3 chiều, và phần tử thanh 3 chiều. Đối với mỗi loại phần tử, giải thuật bao gồm việc định nghĩa các bậc tự do tại nút, thiết lập ma trận chuyển đổi tọa độ từ hệ cục bộ sang hệ toàn thể, và xây dựng ma trận độ cứng trong hệ tọa độ cục bộ trước khi chuyển đổi. Ví dụ, phần tử thanh không gian (3D) phải kể đến cả biến dạng dọc trục, uốn theo hai phương, và xoắn. Việc nghiên cứu các giải thuật này giúp củng cố kiến thức lý thuyết và cung cấp mã nguồn tham khảo để người học có thể tự lập trình phân tích các hệ kết cấu phức tạp.

Nội dung chính

Giáo trình Phương pháp phần tử hữu hạn: Lý thuyết và Lập trình (Tập 1)

Tổng quan về giáo trình

Giáo trình Phương pháp phần tử hữu hạn: Lý thuyết & Lập trình do PGS. Nguyễn Quốc Bảo và Trần Nhất Dũng biên soạn, được Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật xuất bản (tái bản lần thứ hai có điều chỉnh, bổ sung năm 2012 theo Quyết định số 169/QĐXB-NXBKHKT). Trong chương trình đào tạo kỹ thuật bậc đại học và sau đại học, học phần Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) giữ vị trí trung tâm trong khối kiến thức chuyên ngành của các ngành Cơ kỹ thuật, Xây dựng dân dụng và công nghiệp, Cầu đường, Công trình thủy, Kiến trúc, Cơ khí và Mỏ - Địa chất.

+-------------------------------------------------------------------------------+
| THÔNG TIN XUẤT BẢN & MÔ TẢ THƯ MỤC                                            |
+-------------------------------------------------------------------------------+
| Tên tài liệu: Phương pháp phần tử hữu hạn: Lý thuyết & Lập trình (Tập 1)      |
| Tác giả / Biên soạn: PGS. Nguyễn Quốc Bảo, Trần Nhất Dũng                      |
| Đơn vị xuất bản: Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội (Năm 2012)        |
| Biên tập & Quản lý: TS. Nguyễn Huy Tiến (Biên tập), Phạm Ngọc Khôi (Chịu TNXB)|
| Thông tin ấn hành: In 200 cuốn, khổ 19x27cm, nộp lưu chiểu Quý III/2012       |
| Đăng ký & Quyết định: 235-2012/CXB/285.1-13/KHKT; QĐXB: 169/QĐXB-NXBKHKT     |
+-------------------------------------------------------------------------------+

Mục tiêu đào tạo của giáo trình hướng tới việc cung cấp hệ thống cơ sở toán học - cơ học của phương pháp rời rạc hóa vật thể biến dạng, đồng thời hình thành năng lực lập trình và thuật toán tính toán trên máy tính cá nhân (PC). Về cấu trúc, công trình được tổ chức thành 12 chương chia làm hai tập:

• Tập 1 gồm 7 chương: tập trung vào lý thuyết chung của phương pháp phần tử hữu hạn, nguyên lý năng lượng, tính chất phần tử, phần tử đồng tham số, phương pháp độ cứng trực tiếp, cấu trúc bộ chương trình tính toán mẫu PASSFEM và phân tích hệ thanh, dầm, khung phẳng và không gian.
• Tập 2 gồm 5 chương: phát triển các dạng bài toán phẳng, ứng suất không gian 3 chiều, tấm chịu uốn, kết cấu vỏ và cung cấp toàn bộ mã nguồn của hệ thống chương trình tính.

Điểm đặc trưng trong cách tiếp cận của cuốn sách là sự gắn kết giữa lý thuyết cơ học môi trường liên tục với cấu trúc dữ liệu và giải thuật máy tính. Giáo trình chuẩn hóa toàn bộ hệ thống ký hiệu theo quy ước cơ học kết cấu (vectơ ${A}$, ma trận $[K]$) và sử dụng định dạng dấu chấm thập phân chuẩn quốc tế nhằm tạo sự đồng bộ trực tiếp khi người học lập trình trên máy tính.

---

Nội dung kiến thức cốt lõi

+-------------------------------------------------------------------------------+
| CẤU TRÚC PHÂN PHỐI NỘI DUNG TẬP 1 (7 CHƯƠNG)                                 |
+-------------------------------------------------------------------------------+
| Chương 1: Nhập môn phương pháp số (Rayleigh-Ritz, FDM, PTHH)                  |
| Chương 2: Các nguyên lý cơ bản của cơ học kết cấu & biến phân                 |
| Chương 3: Tính chất phần tử & mô hình chuyển vị                               |
| Chương 4: Phần tử đồng tham số & kỹ thuật tích phân số Gauss                  |
| Chương 5: Phương pháp độ cứng trực tiếp & giải hệ phương trình lớn (Choleski) |
| Chương 6: Kiến trúc bộ chương trình tính toán PASSFEM                         |
| Chương 7: Phân tích kết cấu thanh, dầm, dàn và khung (2D & 3D)                |
+-------------------------------------------------------------------------------+

Các chương và chủ đề chính (Tập 1)

1. Chương 1: Nhập môn Trình bày điều kiện cân bằng trường, điều kiện biên (động học và tĩnh học), phân tích so sánh ba phương pháp xấp xỉ nghiệm: phương pháp xấp xỉ hàm (Rayleigh-Ritz, Galerkin), phương pháp sai phân hữu hạn (FDM) thông qua ví dụ tấm uốn 25 nút, và khái niệm rời rạc hóa của phương pháp phần tử hữu hạn.
2. Chương 2: Các nguyên lý cơ bản của cơ học kết cấu Thiết lập 3 phương trình vi phân cân bằng nội phân tố, 6 quan hệ biến dạng - chuyển vị Cauchy tuyến tính hóa, 6 phương trình tương thích biến dạng Saint-Venant, quan hệ đàn hồi Hooke ${\sigma} = [C]{\varepsilon}$, nguyên lý công khả dĩ $\delta W_e = \delta U$, thế năng toàn phần $\Pi$ và phương trình biến phân Euler-Lagrange.
3. Chương 3: Tính chất phần tử Xây dựng mô hình chuyển vị, quan hệ giữa bậc tự do nút và tọa độ tổng quát, các điều kiện hội tụ của hàm dáng, hệ tọa độ tự nhiên và quy trình suy dẫn ma trận độ cứng phần tử $[k]$ cùng kỹ thuật quy rút tĩnh học.
4. Chương 4: Phần tử đồng tham số Thiết lập mô hình phần tử đồng tham số hai chiều, biến đổi Jacobi, kỹ thuật tính tích phân số Gauss-Legendre trên máy tính và tiêu chuẩn hội tụ (Patch test).
5. Chương 5: Phương pháp độ cứng trực tiếp Thuật toán ghép nối ma trận độ cứng tổng thể $[K]$, khử Gauss, phân tích ma trận Choleski dạng $[L][D][L]^T$ nhằm tối ưu hóa bộ nhớ cho hệ ma trận đối xứng dải.
6. Chương 6: Chương trình PASSFEM Kiến trúc phân khối của bộ chương trình phân tích kết cấu gồm chương trình chính và các chương trình con chuyên biệt:
   • PASSIN: Đọc và kiểm tra số liệu đầu vào.
   • FELIB: Thư viện tính toán ma trận độ cứng phần tử.
   • COLUMH: Xác định chiều cao cột ma trận dải (profile vector).
   • CADNUM: Đánh số và quản lý bậc tự do nút.
   • PASSEM: Ghép nối độ cứng phần tử vào ma trận tổng thể.
   • PASOLV: Giải hệ phương trình đại số tuyến tính quy mô lớn.
   • PASLOD: Hình thành vectơ tải trọng nút tương đương.
   • DISP: Xử lý và in kết quả chuyển vị, ứng suất.
7. Chương 7: Phân tích kết cấu khung Xây dựng ma trận độ cứng và thuật toán tính cho hệ thanh phẳng 2D, thanh không gian 3D, dàn 2D/3D, dầm chịu uốn có xét biến dạng trượt (lý thuyết Timoshenko) và phần tử thanh bù BEAM2.

---

Kiến thức nền tảng được xây dựng

Giáo trình hình thành hệ thống lý thuyết dựa trên các nguyên lý cơ học giải tích và giải thuật đại số:

• Phương trình vi phân cân bằng nội phân tố 3D: $$\frac{\partial \sigma_x}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z} + X = 0$$ $$\frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_y}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{zy}}{\partial z} + Y = 0$$ $$\frac{\partial \tau_{xz}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yz}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_z}{\partial z} + Z = 0$$
• Quan hệ biến dạng - chuyển vị Cauchy (giả thiết biến dạng nhỏ): $$\varepsilon_x = \frac{\partial u}{\partial x}, \quad \varepsilon_y = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \varepsilon_z = \frac{\partial w}{\partial z}$$ $$\gamma_{xy} = \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x}, \quad \gamma_{yz} = \frac{\partial v}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial y}, \quad \gamma_{zx} = \frac{\partial w}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial z}$$
• Nguyên lý cực tiểu thế năng toàn phần: $$\Pi = U - W_e = \frac{1}{2} \iiint_V {\varepsilon}^T [C] {\varepsilon} , dV - \iiint_V {u}^T {X} , dV - \iint_S {u}^T {T} , dS \rightarrow \text{cực trị}$$ Biến phân cấp 1 triệt tiêu ($\delta \Pi = 0$) dẫn tới phương trình cân bằng và phương trình Euler-Lagrange của cơ hệ.

---

Kỹ năng phát triển

Nội dung giáo trình trang bị cho người học 3 nhóm năng lực kỹ thuật:

• Năng lực mô hình hóa cơ học: Chuyển đổi kết cấu thực tế (khung, dầm, dàn, tấm) thành mô hình toán học rời rạc với các điều kiện biên động học và tĩnh học xác định.
• Năng lực toán học tính toán: Ứng dụng tích phân số Gauss, kỹ thuật biến đổi tọa độ Jacobi, phép khử Gauss và phân tích Choleski $[L][D][L]^T$ trên ma trận dải đối xứng.
• Năng lực lập trình thuật toán: Nắm bắt cấu trúc module phân khối, tổ chức luồng dữ liệu, lập trình các chương trình con xử lý phần tử và ghép nối hệ phương trình đại số tuyến tính bậc cao.

---

Phương pháp giảng dạy và học tập

+-------------------------------------------------------------------------------+
| QUY TRÌNH HỌC TẬP & THỰC HÀNH THEO GIÁO TRÌNH                                 |
+-------------------------------------------------------------------------------+
| 1. Cơ sở giải tích  -->  2. Mô hình phần tử  -->  3. Thuật toán ma trận      |
| (Vi phân & Biến phân)   (Hàm dáng & Hệ số [k])    (Lưu trữ dải & Choleski)    |
|                                                           |                   |
|                                                           v                   |
| 5. Kiểm chứng nghiệm <--  4. Lập trình module                                 |
| (So sánh FDM & Chính xác) (Khối con trong PASSFEM)                            |
+-------------------------------------------------------------------------------+

Phương pháp sư phạm và cấu trúc bài học

Giáo trình tuân thủ tiến trình sư phạm từ cơ bản đến ứng dụng:

1. Thiết lập nền tảng toán - cơ: Khảo sát các phương trình vi phân và điều kiện biên.
2. So sánh các phương pháp giải gần đúng: Đặt phương pháp PTHH trong tương quan với phương pháp Rayleigh-Ritz và phương pháp sai phân hữu hạn.
3. Rời rạc hóa phần tử: Thiết lập quan hệ biến dạng nút, hàm dáng và ma trận độ cứng phần tử.
4. Mô-đun hóa mã nguồn: Chuyển hóa từng biểu thức tích phân thành các chương trình con cụ thể.

Hệ thống bài tập và ví dụ minh họa

Tài liệu cung cấp các bài toán tính toán chi tiết kèm số liệu cụ thể:

• Ví dụ dầm conson chịu tải phân bố đều: Chứng minh phương trình Euler-Lagrange và xác định nghiệm giải tích thông qua phiếm hàm năng lượng.
• Ví dụ dầm tựa đơn giản (phương pháp Rayleigh-Ritz): Xác định độ võng cực đại $w_{\max} = \frac{PL^3}{48.82 EI} + \frac{p_0 L^4}{78.05 EI}$ và phân tích sai số mômen so với nghiệm giải tích chính xác.
• Ví dụ tấm vuông $4\text{m} \times 4\text{m}$, dày $12\text{cm}$ (phương pháp sai phân hữu hạn): Rời rạc hóa lưới 25 nút nội vi kèm 12 nút biên ảo, thiết lập hệ phương trình sai phân xác định độ võng tâm tấm $w_{13}$ và mômen uốn $M_x$.
• Ví dụ hệ dàn 3 thanh chịu lực $P = 50\text{kN}$: Áp dụng nguyên lý chuyển vị khả dĩ đơn vị xác định chuyển vị nút và nội lực thanh ($F_1 = 25\sqrt{2}\text{kN}, F_2 = 0, F_3 = -25\sqrt{2}\text{kN}$).

Phương pháp tự học và kiểm tra đánh giá

Người học được định hướng:

• Đọc kỹ phần diễn giải lý thuyết toán học trước khi tiếp cận thuật toán.
• Thực hành viết lại các chương trình con (FELIB, CADNUM, PASSEM, PASOLV).
• Biên dịch, liên kết các module của bộ chương trình PASSFEM và chạy kiểm thử với số liệu kết cấu thanh 2D/3D được cung cấp trong Chương 7.

---

Điểm nổi bật và cập nhật

• Cập nhật kỹ thuật tái bản (Năm 2012): Bản tái bản năm 2012 hiệu chỉnh và cập nhật các giải thuật xử lý dữ liệu ma trận nhằm tương thích với sự phát triển của công nghệ thông tin và cấu hình máy tính cá nhân (PC), khắc phục các hạn chế lưu trữ trước đây.
• Tính thống nhất trong chuẩn hóa dữ liệu: Toàn bộ công trình sử dụng quy ước dấu chấm thập phân (.) theo chuẩn Anh - Mỹ, bảo đảm tính thuận tiện khi nhập liệu và đối soát kết quả trên các trình biên dịch ngôn ngữ lập trình khoa học.
• Kiến trúc chương trình phân khối rõ ràng: Việc tổ chức chương trình PASSFEM thành từng module độc lập (nhập liệu, thư viện phần tử, đánh số bậc tự do, ghép ma trận, giải hệ phương trình) phản ánh đúng cấu trúc của các phần mềm thương mại, giúp người học dễ dàng nâng cấp hoặc bổ sung phần tử mới.
• Mở rộng phạm vi phân tích vật thể: Giáo trình không giới hạn ở các phần tử cơ bản mà mở rộng sang phần tử đồng tham số với tích phân số Gauss và phần tử dầm xét biến dạng trượt Timoshenko (BEAM2).

---

Đối tượng sử dụng giáo trình

+-------------------------------------------------------------------------------+
| MA TRẬN ĐỐI TƯỢNG SỬ DỤNG & ĐIỀU KIỆN TIÊN QUYẾT                             |
+-------------------------------------------------------------------------------+
| Nhóm đối tượng     | Phạm vi sử dụng                | Kiến thức tiên quyết    |
+--------------------+--------------------------------+-------------------------+
| Sinh viên Đại học  | Môn học PTHH, Đồ án kết cấu,   | - Đại số tuyến tính     |
| (Năm 3, Năm 4)     | Khóa luận tốt nghiệp           | - Sức bền vật liệu      |
|                    |                                | - Cơ học kết cấu        |
|                    |                                | - Tin học đại cương     |
+--------------------+--------------------------------+-------------------------+
| Học viên Cao học & | Nghiên cứu mô phỏng kết cấu,   | - Phương trình ĐHR      |
| Nghiên cứu sinh    | Xây dựng thuật toán phần tử mới| - Giải tích biến phân   |
|                    |                                | - Lập trình nâng cao    |
+--------------------+--------------------------------+-------------------------+
| Giảng viên & Kỹ sư | Biên soạn giáo án giảng dạy,   | - Cơ học công trình     |
| thực hành          | Phát triển phần mềm tính toán  | - Kỹ thuật phần mềm     |
+-------------------------------------------------------------------------------+

• Sinh viên đại học (năm 3, năm 4): Thuộc các chuyên ngành Xây dựng công trình thủy, Công trình giao thông, Xây dựng dân dụng, Cơ khí, Mỏ - Địa chất; sử dụng làm tài liệu học tập chính khóa cho môn học Phương pháp phần tử hữu hạn và làm tài liệu tham khảo cho các đồ án chuyên ngành.
• Học viên cao học và nghiên cứu sinh: Khối ngành Kỹ thuật công trình và Cơ kỹ thuật; khai thác giáo trình để nghiên cứu sâu về giải tích biến phân, tiêu chuẩn hội tụ phần tử đồng tham số và xây dựng các mô hình tính toán phi tuyến.
• Giảng viên và kỹ sư thiết kế: Giảng viên sử dụng làm khung chương trình bài giảng; kỹ sư thực hành sử dụng để hiểu rõ bản chất giải thuật bên trong các bộ chương trình phân tích kết cấu thương mại hoặc phát triển các module tính toán nội bộ.

---

Câu hỏi thường gặp (FAQ)

1. Giáo trình này phù hợp với những ai?

Tài liệu được biên soạn cho sinh viên, học viên cao học, nghiên cứu sinh và kỹ sư thuộc các khối ngành Xây dựng, Kiến trúc, Giao thông, Thủy lợi, Mỏ - Địa chất, Cơ học công trình và Cơ khí chế tạo máy.

2. Người học cần chuẩn bị kiến thức nền tảng nào trước khi học?

Người học cần hoàn thành các học phần:

• Đại số tuyến tính và Lý thuyết ma trận (khử Gauss, định thức, ma trận nghịch đảo).
• Giải tích toán học (phương trình vi phân, phép tính biến phân).
• Sức bền vật liệu và Cơ học kết cấu (điều kiện cân bằng, ứng suất, biến dạng, định luật Hooke).
• Tin học đại cương và một ngôn ngữ lập trình cấu trúc.

3. Điểm khác biệt giữa giáo trình này và các tài liệu PTHH thuần lý thuyết là gì?

Giáo trình kết hợp đồng thời hai phần: diễn giải toán học của phương pháp và hiện thực hóa thuật toán qua mã nguồn. Người học không chỉ dừng lại ở việc thiết lập ma trận độ cứng $[k]$ trên giấy mà được hướng dẫn chi tiết cách tổ chức bộ nhớ, ghép ma trận tổng thể $[K]$ và lập trình giải trên máy tính qua bộ chương trình mẫu PASSFEM.

4. Cần phương pháp học tập nào để làm chủ nội dung giáo trình?

Người học nên kết hợp giải tay các bài toán mẫu ở quy mô nhỏ (hệ dàn 3 thanh, dầm 2 nhịp) để hiểu bản chất đại số, sau đó tiến hành đối chiếu từng biểu thức toán học với các dòng lệnh trong các chương trình con (FELIB, CADNUM, PASSEM, PASOLV).

5. Cấu trúc giữa Tập 1 và Tập 2 được phân chia như thế nào?

• Tập 1 (7 chương): Trình bày lý thuyết cơ sở, nguyên lý biến phân, phần tử đồng tham số, phương pháp độ cứng trực tiếp, kiến trúc chương trình PASSFEM và bài toán hệ thanh (khung, dàn, dầm 2D/3D).
• Tập 2 (5 chương): Trình bày các bài toán hai chiều và ba chiều phức tạp (bài toán phẳng, ứng suất 3 chiều, tấm chịu uốn, kết cấu vỏ) và cung cấp toàn bộ mã nguồn chương trình tính toán hoàn chỉnh.

---

Kết luận

Giáo trình Phương pháp phần tử hữu hạn: Lý thuyết & Lập trình (Tập 1) của PGS. Nguyễn Quốc Bảo và Trần Nhất Dũng là tài liệu học thuật chuẩn mực, tích hợp chặt chẽ giữa lý thuyết cơ học môi trường liên tục và kỹ thuật lập trình số.

Lộ trình học tập đề xuất:

1. Nắm vững cơ sở biến phân và các nguyên lý năng lượng ở Chương 1 và Chương 2.
2. Nắm chắc kỹ thuật xây dựng phần tử và tích phân số Gauss ở Chương 3 và Chương 4.
3. Làm chủ thuật toán ghép ma trận và phân tích Choleski ở Chương 5.
4. Nghiên cứu kiến trúc chương trình PASSFEM ở Chương 6 và ứng dụng giải kết cấu khung ở Chương 7 trước khi tiếp cận các bài toán tấm vỏ và môi trường liên tục trong Tập 2.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1 : Nhập môn 1. Điều kiện cân bằng 1. Điều kiện biên 1. Xấp xỉ nghiệm 10 1.

Xấp xi ham 10 1. Phương pháp sai phân hữu hạn 14 1. Phương pháp phần tử hữu hạn 18 Chương 2 : Các nguyên lý cơ bản của cơ học kết cấu 21 2. Các điều kiện cân bằng 21 2.

Quan hệ biến dạng và chuyển vị 25 2. Cac quan hệ vật liệu tuyến tính 27 2. Nguyên lý công khả dĩ 33 2. Các nguyên lý năng lượng 41 2.

Áp dụng cho phương pháp phần tử hữu hạn 54 Chương 3 : Tính chất phần tử 55 3. Mô hình chuyển vị 56 3. Quan hệ giữa bậc tự do nút và các tọa độ tổng quát 58 3. Yêu cầu hội tụ 59 3.

Hệ toạ độ "tự nhiên” 61 3. Ứng suất và biến dạng phần tử 83 3. Ma trận độ cứng phần tử 85 3. Quy rut tinh hoc gf Chương 4 : Phần tử đồng tham số 93 4.

Phần tử đồng tham số hai chiều 94 4. Tinh ma tran d6 cứng phần tử đồng tham số 102 4. Tích phân số -103 4. Tính tích phân số trên máy 104 4.

Tính toán nhanh độ cứng phần tử 113 _ 4.3, Tiêu chuẩn hội tụ cho phần tử đồng tham số 115 Chương 5 : Phương pháp độ cứng trực tiếp 117 5. Sắp xếp phần tử - phương pháp độ cứng trực tiếp 119 5. Khử Gauss và phép phân tích ma trận 127 PHƯƠNG PHÁP PTHH - LÝ THUYẾT VÀ LẬP TRÌNH 5. _ Phân tích ma trận Choleski ([L][DI[L]) 131 5.

Các bước cơ bản trong phân tích PTHH 139 Chướng 6 : Chương trình PASSFEM 143 6.1, Chương trinh chính 143. Chương trình con PASSIN 146 6. Chương trình con FELIB 150 6. Chương trình con COLUMH 153 6.

Chương trình con CADNUM 156 6. Chương trình con PASSEM 157 "67. Chương trình con PASOLV 159 - 6/8, Chương trình còn PASLOD 160 6. Chương trình con DISP 161 6.

Ghép các chương trình 162 6. Nhập số liệu 166 Chương 7 : Phân tích kết cấu khung 169 74. Phần tử dàn 2 chiều 170 72. Phần tử dàn 3 chiều 177 73.

Phần tử dầm 2 chiều 179 74, Phần tứ thanh 3 chiều _ 199 75. Biến dạng trượt trong dầm 211 76. Phần tử thanh bù BEAM2 222 77. Chương trình con cho phần tử dàn 3 chiều 226 78.

Chương trinh con cho phần tử thanh 3 chiều 228 79. Thú tục cho các phần tử biên 231 Tài liệu thảm khảo 235 Đối tượng nghiên cứu của phương pháp phần tử hữu hạn là tìm lời giải số cho các bài toán của lý thuyết trường nói chung và của cơ học vật rắn biến dạng nói riêng. Phương pháp phần tử hữu hạn được áp dụng đặc biệt thành công trong lĩnh vực cơ học vật rắn biến dạng, trong đó các ẩn số cần tìm là chuyển vị, biến dạng, ứng suất tại mỗi điểm bất kỳ trong kết cấu. Trong không gian 3 chiều tổng quát, các ẩn số trên tạo lên các trường chuyển vị, biến dạng và ứng suất và bài toán đặt ra là các bài toán của lý thuyết trường, trong đó các an số cần tìm trên được gọi chung là các biến trường.

Để có thể nhận lời giải, trước hết cần xác định các quan hệ cơ học (các điều kiện ràng buộc) giữa chúng cùng với ngoại tải tác dụng lên cơ hệ. Các điều kiện rằng buộc thường được phân thành :. Điều kiện trường : điều kiện viết cho trường các thông số bên trong kết cấu. Điều kiện biên viết cho trường các thông số trên biên của kết cấu (với các bài toán động còn cần tới các điều kiện đầu).

ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG Điều kiện cân bằng, về toán, có thể hình thành theo các phương pháp của phương trình vật lý - toán (phương trình đạo hàm riêng). Điều kiện cân bằng cũng có thể hình thành bằng cách sử dụng phép tính biến phân. Phương trình đạo hàm riêng, Phương trình đạo hàm riêng mô tả điều kiện trường của cơ hệ thường được hình thành từ các điều kiện cân bằng tĩnh học và điều kiện liên tục của chuyển vị. Các phương trình đạo hàm riêng này cũng có thể nhận được bằng cách sử dụng phương trình Euler-Lagrange của nguyên lý biến phân như sẽ trình bày trong chương 2.

8 NHAP MON Chẳng hạn trong sức bền vật liệu, bài toán uốn của dầm được mô tả bằng phương trình vi phân bậc 4. trong đó W - độ võng của dầm, là nghiệm cần tìm của phương trình trên. Trong trường hợp của tấm mỏng đẳng hướng, phương trình đạo hàm riêng viết cho biến we chuyển vvi đứng c của tấm, có đạng: BOR 1s Z9.2) ai ke ont co Ox* dx? dy’ Tay D D= Eh 3 Airy ví. TH VHE nh _ 12q1-') gian.

E:- nôđun đàn hồi; + hé's6 poisson; b ;'độ đày 'tấm.2: Tiếp cận-biến phân. Ở phương pháp tiếp cận này, việc giải bài toán dẫn tới tìm cực trị của các phiếm hàm mô tả sự làm việc của kết cấu. Phiếm hàm mô tả ở đây: có thể là tổng thế năng hay năng lượng bù của cơ hệ. Trong biến phân, như ta đã biết để tìm cực trị phiếm hàm ta cho biến phân bậc nhất bằng không.

Áp dụng cho cơ hệ, điều này dẫn tới phương trình cân bằng 'rơặc phương trình liên tục của bài toán, trong đó các biến trường phải thoả mãn. Chẳng tạn:thế năng: của tấm đẳng hướng, chịu tải phân bố đều cường độ ø được cho bởi phiếm hàm : Ow a w 2w Ø w £?w a wy (Se oe) 0 No? Oy oy?y {: xây 2 ody Off | past Let petal “ (1.3) PHƯƠNG PHÁP PTHH - LÝ THUYẾT VÀ LẬP TRÌNH 9 Nghiệm chuyển vị w, phải dẫn tới giá trị dừng (cực trị) của phiếm hàm thế năng ?7, đồng thời phải thoả mãn các điều kiện biên động học. Trong chương II trình bày ngắn gọn việc áp dụng phép tính biến phân để hình thành các bài toán kết cấu. Để xem xét đẩy đủ hơn vấn để áp dụng các nguyên lý năng lượng vào phân tích kết cấu đầm, khung, tấm chịu uốn bạn đọc có thể tham khảo các chương [2; 3; 4; 5] của sách này.

ĐIỀU KIỆN BIÊN đối với các bài toán cơ học vật rắn biến dạng, để giải được, bên cạnh các điều kiện trường, phải kể đến các điều kiện biên. Các điều kiện biên có thể là động học - nghĩa là chuyển vị và đạo hàm chuyển vị phải tuân thủ, hoặc tĩnh học nghĩa là nội lực hay ứng suất phải tuân thủ. Khi giải các bài toán động còn cần thêm các điều kiện ban đầu.1 minh hoạ dầm conson AB chịu tải phân bố đều. Coi chuyển vị đứng w là biến trường.

Biến này phải thoả mãn phương trình vi phân cân bằng (điều kiện trường) EI di“ =p P EET a > X fj / | Zz Hình 1.1 - Dầm conson chịu tải phân bố đều. Nghiệm của phương trình trên phải đồng thời thoả mãn điều kiện biên tại đầu mút À và B như sau : » Điều kiện biên động học tai A. - Chuyển vị tại điểm A bang 0 MỊ =0. - Góc xoay tại điểm A băng Ö —— |u-g= 0 x Điều kiện biên tĩnh học tại B.

> d” - Lực cắt tại điểm B bang 0 EI—+| =, =9 dx? ow ang ` d?w - Mômen uốn tại điểm B bằng 0 EI———|,„=0 Trong mục 2.2 dẫn ra phương pháp hình thành bài toán trên bằng phép tính biến phân và áp dụng phương trình Euler-Lagrange để nhận phương trình vi phân cân bằng. XẤP XỈ NGHIỆM Trong các tính toán thực tế, nghiệm giải tích - nghiệm được biểu diễn bằng biểu thức toán học xác định giá trị của biến trường tại vị trí bất kỳ trong vật thể, thường chỉ có thể nhận được trong một số ít các trường hợp mà điều kiện hình học, vật liệu và tải trọng khá đơn giản. Đối với những bài toán có hình dạng, tính chất vật liệu, điều kiện biên và tải trọng phức tạp thường khó hoặc không thể nhận được nghiệm giải tích. Vì vậy trong tính toán thực tế thường sử dụng các phương pháp số cho lời giải xấp xỉ, trong đó ba phương pháp gần đúng sau là phổ biến : 1.

Xấp xỉ hàm. Phương pháp sai phân hữu hạn. Phương pháp phần tử hữu hạn. Dưới đây dẫn ra ngắn gọn tư tưởng hai phương pháp đầu.

Mỗi phương pháp có những ưu và nhược điểm riêng. Phương pháp thứ ba - phương pháp phần tử hữu hạn được coi là Sự kế thừa tư tưởng của hai phương pháp trên và trở thành một trong các phương pháp số mạnh nhất, vạn năng nhất và được ứng dụng trong thực tế ngày càng rộng rãi cùng với sự phát triển của các thế hệ máy tính. Xấp xỉ hàm Trong tư tưởng của phương pháp gần đúng này, các hàm cần tìm là các hàm thoả mãn. các điểu kiện biên và xấp xỉ cho biến trường cần tìm tại điểm bất kỳ, là tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn các hàm được chọn trước.

Tiếp đó vấn để xác định biến trường chuyển thành bài toán xác định các tham số tổ hợp của hàm xấp xỉ và các tham số này được xác định từ điểu kiện các nguyên lý biên phân. Các phương pháp biến phân cổ điển quen thuộc như Rayleigh-Ritz, Galerkin và phương pháp khử sai số điểm đều dựa PHƯƠNG PHÁP PTHH - LÝ THUYẾT VÀ LẬP TRÌNH 11 trên tư tưởng xấp xỉ hàm, tuy nhiên giữa các phương pháp này khác nhau về thủ tục ước lượng các tham số cần tìm. Phương pháp Rayleigh-Ritz có thể xét ngắn gọn qua ví dụ minh hoa sau : ,. Xét dầm tựa khớp đơn giản, trên hình 1.2, chịu một tải trong tap trung P giữa nhịp và tải phân bố đều cường độ 7;.

Ở bài toán này, nếu xác định được độ võng của dầm thì đồng thời xác định được mômen uốn và lực cắt tại tiết diện bất kỳ. Chọn hàm xấp xỉ cho độ võng w của dầm dưới dạng : ,_ #. _ (a) L Li Ở đó cả 2 hàm xấp xỉ đều thoả mãn các điều kiện biên còn a, và a; là các tham số tổ hợp cần tìm. Po 72 _ la Hình 1.2 - Dầm tựa khớp đơn giản.

Từ lý thuyết sức bền vật liệu cơ bản, ta đã biết thế năng biến dạng Ứ của đầm chịu uốn ; N2 u=EÙ 1 *) dx (b) 2% \ dx? Thay biểu thức của w từ phương trình (a) vào (b) _ 72 y = EE 1 ma, , mx 9Z 2 sin 3) 2 dx sin —— — 2 “0 L’. L Lv’ a 5 (c) _ EI x‘ (a; +8147) 4L` Thế năng của ngoại tải là : H =~" pywde — Pw,,, L. ( 1 -a ;) (e) Như sẽ chỉ ra trong mục 2.2, để vật thể cân bằng bền thì thế năng của vật thể phải đạt tới giá trị dừng.