Phương Pháp Lặp Xấp Xỉ Nghiệm Bất Đẳng Thức Biến Phân Trên Tập Nghiệm Của Bài Toán Chấp Nhận Tách

• Tác giả: Bùi Thị Thu Huệ
• Người hướng dẫn: PGS. Nguyễn Thị Thu Thủy
• Trường học: Đại học Bách Khoa Hà Nội
• Chuyên ngành: Toán Tin
• Đề tài: Phương Pháp Lặp Xấp Xỉ Nghiệm Bất Đẳng Thức Biến Phân Trong Không Gian Hilbert
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2023
• Địa điểm: Hà Nội

• LỜI CAM ĐOAN
• LỜI CẢM ƠN
• 1. CHƯƠNG 1: BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH TRONG KHÔNG GIAN HILBERT
• 1.1. Không gian Hilbert thực
• 1.2. Toán tử trong không gian Hilbert
• 1.3. Bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán chấp nhận tách
• 2. CHƯƠNG 2: MỘT PHƯƠNG PHÁP LẶP HIỆN GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH
• 2.1. Phát biểu bài toán
• 2.2. Phương pháp tự thích nghi giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán chấp nhận tách
• 2.2.1. Mô tả phương pháp
• 2.2.2. Sự hội tụ
• 2.2.3. Nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của bài toán chấp nhận tách
• 3. CHƯƠNG 3: ÁP DỤNG VÀ VÍ DỤ MINH HỌA
• 3.1. Ví dụ minh họa
• 3.2. Áp dụng giải bài toán điều khiển tối ưu tuyến tính
• MỞ ĐẦU
• KẾT LUẬN
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

I. Tổng Quan Về Phương Pháp Lặp Xấp Xỉ Nghiệm 55 ký tự

Bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP) là một lĩnh vực nghiên cứu quan trọng trong giải tích hàm và toán tối ưu. Nó xuất hiện trong nhiều ứng dụng thực tế, từ bài toán cân bằng mạng giao thông đến bài toán điều khiển tối ưu. Không gian Hilbert đóng vai trò là nền tảng lý thuyết cho việc nghiên cứu và giải quyết các bài toán này. Phương pháp lặp là một công cụ mạnh mẽ để xấp xỉ nghiệm của bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert, đặc biệt khi bài toán không có nghiệm tường minh. Luận văn này tập trung vào việc phát triển và phân tích các phương pháp lặp hiệu quả để giải quyết các bài toán biến phân phức tạp.

1.1. Giới Thiệu Bài Toán Bất Đẳng Thức Biến Phân

Bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP) được phát biểu như sau: Tìm x* thuộc tập lồi đóng Ω sao cho <F(x*), x - x*> ≥ 0 với mọi x thuộc Ω, trong đó F là một ánh xạ từ Ω vào không gian Hilbert H. Bài toán này tổng quát hóa nhiều bài toán quen thuộc trong toán tối ưu và phân tích hàm. Nghiên cứu của Stampacchia (1964) đã đặt nền móng cho sự phát triển của lĩnh vực này. Nghiệm bất đẳng thức có thể không tồn tại hoặc không duy nhất, tùy thuộc vào tính chất của F và Ω.

1.2. Khái Niệm Không Gian Hilbert và Tính Chất

Không gian Hilbert là một không gian vectơ đầy đủ với một tích vô hướng. Tính đầy đủ đảm bảo sự hội tụ của các dãy Cauchy, điều này rất quan trọng trong việc xây dựng các phương pháp lặp. Các tính chất quan trọng của không gian Hilbert bao gồm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và đẳng thức hình bình hành. Các tính chất này được sử dụng rộng rãi trong việc chứng minh sự hội tụ của các giải thuật lặp.

II. Thách Thức Khi Giải Bất Đẳng Thức Biến Phân 58 ký tự

Việc giải bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert thường gặp nhiều khó khăn. Thứ nhất, việc tìm nghiệm tường minh là rất khó, đặc biệt khi ánh xạ F phức tạp hoặc tập ràng buộc Ω không đơn giản. Thứ hai, các phương pháp lặp có thể hội tụ chậm hoặc không hội tụ. Thứ ba, việc đảm bảo tính ổn định của nghiệm xấp xỉ là một vấn đề quan trọng. Cuối cùng, việc lựa chọn tham số phù hợp cho giải thuật lặp có thể ảnh hưởng lớn đến hiệu quả của phương pháp. Do đó, việc nghiên cứu các phương pháp lặp hiệu quả và ổn định là rất cần thiết.

2.1. Độ Phức Tạp Của Ánh Xạ và Tập Ràng Buộc

Ánh xạ F trong bài toán biến phân có thể là phi tuyến, không khả vi, hoặc không liên tục. Tập ràng buộc Ω có thể không lồi, không đóng, hoặc không bị chặn. Những yếu tố này làm tăng độ khó của việc tìm nghiệm bất đẳng thức. Việc sử dụng phương pháp chiếu lên tập ràng buộc có thể trở nên phức tạp khi tập ràng buộc không đơn giản.

2.2. Vấn Đề Hội Tụ Của Các Phương Pháp Lặp

Các phương pháp lặp có thể hội tụ chậm, hoặc thậm chí phân kỳ, nếu không được thiết kế cẩn thận. Việc chứng minh sự hội tụ mạnh hoặc hội tụ yếu của các giải thuật lặp đòi hỏi các kỹ thuật phân tích hàm phức tạp. Việc lựa chọn cỡ bước phù hợp là rất quan trọng để đảm bảo sự hội tụ.

III. Phương Pháp Lặp Giải Bất Đẳng Thức Biến Phân 59 ký tự

Một trong những phương pháp lặp phổ biến để giải bất đẳng thức biến phân là phương pháp chiếu gradient. Phương pháp này dựa trên việc lặp đi lặp lại phép chiếu lên tập ràng buộc và phép dịch chuyển theo hướng gradient của ánh xạ F. Tuy nhiên, phương pháp chiếu gradient có thể hội tụ chậm hoặc không hội tụ nếu ánh xạ F không thỏa mãn các điều kiện nhất định. Do đó, nhiều biến thể của phương pháp chiếu gradient đã được phát triển để cải thiện hiệu quả và tính ổn định.

3.1. Phương Pháp Chiếu Gradient Cổ Điển

Phương pháp chiếu gradient cổ điển được thực hiện bằng cách lặp lại công thức x_{k+1} = P_C(x_k - λF(x_k)), trong đó P_C là phép chiếu lên tập C và λ là cỡ bước. Phương pháp này đơn giản nhưng có thể hội tụ chậm. Việc lựa chọn cỡ bước λ là rất quan trọng để đảm bảo sự hội tụ.

3.2. Phương Pháp Đạo Hàm Tăng Cường Extragradient

Phương pháp đạo hàm tăng cường (extragradient) sử dụng hai phép chiếu trong mỗi bước lặp để cải thiện sự hội tụ. Công thức lặp là y_k = P_C(x_k - λF(x_k)), x_{k+1} = P_C(x_k - λF(y_k)). Phương pháp này thường hội tụ nhanh hơn phương pháp chiếu gradient cổ điển.

IV. Ứng Dụng Của Bất Đẳng Thức Biến Phân Trong Thực Tế 57 ký tự

Bất đẳng thức biến phân có nhiều ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vực khác nhau. Trong bài toán cân bằng mạng giao thông, bất đẳng thức biến phân được sử dụng để mô hình hóa và giải quyết vấn đề phân luồng giao thông tối ưu. Trong bài toán điều khiển tối ưu, bất đẳng thức biến phân được sử dụng để tìm các chiến lược điều khiển tối ưu. Ngoài ra, bất đẳng thức biến phân còn được sử dụng trong bài toán cân bằng thị trường và bài toán kinh tế.

4.1. Bài Toán Cân Bằng Mạng Giao Thông

Trong bài toán cân bằng mạng giao thông, mục tiêu là tìm ra sự phân bố luồng giao thông sao cho không có người tham gia giao thông nào có thể cải thiện thời gian di chuyển của mình bằng cách thay đổi lộ trình. Bất đẳng thức biến phân cung cấp một công cụ mạnh mẽ để mô hình hóa và giải quyết bài toán này.

4.2. Bài Toán Điều Khiển Tối Ưu Tuyến Tính

Trong bài toán điều khiển tối ưu, mục tiêu là tìm ra một chiến lược điều khiển sao cho hệ thống đạt được một trạng thái mong muốn với chi phí tối thiểu. Bất đẳng thức biến phân có thể được sử dụng để mô hình hóa các ràng buộc và điều kiện tối ưu của bài toán.

V. Nghiệm Chuẩn Nhỏ Nhất Của Bài Toán Chấp Nhận Tách 59 ký tự

Bài toán chấp nhận tách (SFP) là một dạng đặc biệt của bất đẳng thức biến phân có nhiều ứng dụng trong xử lý tín hiệu và khôi phục ảnh. Việc tìm nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của bài toán chấp nhận tách là một vấn đề quan trọng. Các phương pháp lặp đặc biệt đã được phát triển để giải quyết bài toán này. Luận văn này cũng đề xuất một phương pháp lặp mới để tìm nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của bài toán chấp nhận tách.

5.1. Phát Biểu Bài Toán Chấp Nhận Tách SFP

Bài toán chấp nhận tách (SFP) được phát biểu như sau: Tìm x* thuộc C sao cho A(x*) thuộc Q, trong đó C và Q là các tập lồi đóng trong không gian Hilbert và A là một toán tử tuyến tính bị chặn. Bài toán này có nhiều ứng dụng trong xử lý tín hiệu và khôi phục ảnh.

5.2. Giải Thuật Lặp Tìm Nghiệm Chuẩn Nhỏ Nhất

Các giải thuật lặp để tìm nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của bài toán chấp nhận tách thường dựa trên phương pháp chiếu và phương pháp gradient. Việc chứng minh sự hội tụ của các giải thuật này đòi hỏi các kỹ thuật phân tích hàm phức tạp.

VI. Kết Luận và Hướng Nghiên Cứu Phương Pháp Lặp 54 ký tự

Luận văn này đã trình bày một số phương pháp lặp để giải bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert. Các phương pháp này có nhiều ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vực khác nhau. Tuy nhiên, vẫn còn nhiều vấn đề cần được nghiên cứu thêm. Một hướng nghiên cứu quan trọng là phát triển các phương pháp lặp hiệu quả hơn và ổn định hơn. Một hướng nghiên cứu khác là mở rộng các phương pháp này cho các lớp bài toán biến phân tổng quát hơn.

6.1. Đánh Giá Ưu Nhược Điểm Của Các Phương Pháp

Mỗi phương pháp lặp có những ưu nhược điểm riêng. Phương pháp chiếu gradient đơn giản nhưng có thể hội tụ chậm. Phương pháp đạo hàm tăng cường hội tụ nhanh hơn nhưng phức tạp hơn. Việc lựa chọn phương pháp phù hợp phụ thuộc vào đặc điểm của bài toán cụ thể.

6.2. Hướng Nghiên Cứu Mở Rộng và Phát Triển

Các hướng nghiên cứu mở rộng bao gồm phát triển các phương pháp lặp thích nghi, nghiên cứu các phương pháp cho các lớp bài toán biến phân không lồi, và ứng dụng các phương pháp này cho các bài toán thực tế phức tạp hơn.

Tổng quan nghiên cứu

Bài toán bất đẳng thức biến phân (Variational Inequality Problem - VIP) và bài toán chấp nhận tách (Split Feasibility Problem - SFP) là những chủ đề nghiên cứu quan trọng trong toán học ứng dụng, đặc biệt trong không gian Hilbert thực. Theo ước tính, các bài toán này có vai trò thiết yếu trong nhiều lĩnh vực như xử lý tín hiệu, khôi phục ảnh, y tế, điều khiển tối ưu và các bài toán cân bằng trong kinh tế, vận tải. Nghiên cứu tập trung vào việc phát triển phương pháp lặp xấp xỉ nghiệm cho bài toán bất đẳng thức biến phân với tập nghiệm là tập nghiệm của bài toán chấp nhận tách, nhằm giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong không gian Hilbert thực.

Mục tiêu cụ thể của luận văn là xây dựng và chứng minh sự hội tụ mạnh của một phương pháp lặp tự thích nghi để giải bài toán VIP trên tập nghiệm của SFP, đồng thời đề xuất thuật toán tìm nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của bài toán chấp nhận tách. Phạm vi nghiên cứu bao gồm các không gian Hilbert thực hữu hạn và vô hạn chiều, với các ví dụ minh họa thực nghiệm được thực hiện trong không gian hữu hạn chiều R⁴ và không gian hàm L²[0,1]. Nghiên cứu có ý nghĩa quan trọng trong việc mở rộng ứng dụng của các bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán chấp nhận tách, đồng thời cung cấp công cụ toán học hiện đại để giải quyết các bài toán điều khiển tối ưu tuyến tính và các bài toán cân bằng phức tạp.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn dựa trên nền tảng lý thuyết không gian Hilbert thực, trong đó các khái niệm chính bao gồm:

• Không gian Hilbert thực: Là không gian tuyến tính có tích vô hướng và chuẩn sinh bởi tích vô hướng, cho phép định nghĩa các toán tử tuyến tính bị chặn, toán tử liên hợp, và các phép chiếu mêtric lên tập lồi, đóng.
• Toán tử đơn điệu và đơn điệu mạnh: Ánh xạ có tính chất đơn điệu hoặc đơn điệu mạnh, đóng vai trò quan trọng trong việc đảm bảo sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân.
• Bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP): Tìm phần tử $x^* \in \Omega$ sao cho $\langle F(x^), x - x^ \rangle \geq 0$ với mọi $x \in \Omega$, trong đó $F$ là ánh xạ giá và $\Omega$ là tập ràng buộc lồi, đóng.
• Bài toán chấp nhận tách (SFP): Tìm $x^* \in C$ sao cho $A x^* \in Q$, với $C, Q$ là các tập lồi, đóng trong các không gian Hilbert thực $H_1, H_2$, và $A: H_1 \to H_2$ là toán tử tuyến tính bị chặn.
• Phương pháp CQ: Thuật toán lặp dựa trên phép chiếu mêtric và toán tử liên hợp, được sử dụng để giải bài toán chấp nhận tách trong không gian hữu hạn chiều.

Các khái niệm này được kết hợp để xây dựng phương pháp lặp giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán chấp nhận tách, đồng thời phát triển thuật toán tìm nghiệm có chuẩn nhỏ nhất.

Phương pháp nghiên cứu

Nguồn dữ liệu nghiên cứu bao gồm các tài liệu học thuật, bài báo chuyên ngành về toán học ứng dụng, cùng với các ví dụ số được thực hiện trên phần mềm MATLAB 7.0. Phương pháp nghiên cứu chính là xây dựng và phân tích thuật toán lặp tự thích nghi, bao gồm:

• Phương pháp lặp tự thích nghi: Thuật toán được thiết kế với các tham số ${\alpha_k}, {\beta_k}, {\rho_k}, {\kappa_k}$ thỏa mãn các điều kiện hội tụ, cho phép tính toán cỡ bước dựa trên thông tin của phép lặp trước đó mà không cần biết chuẩn của toán tử chuyển.
• Phân tích sự hội tụ mạnh: Chứng minh dãy lặp hội tụ mạnh đến nghiệm duy nhất của bài toán VIP với tập ràng buộc là tập nghiệm của SFP.
• Thí nghiệm số: Thực hiện các ví dụ minh họa trong không gian hữu hạn chiều $R^4$ và không gian hàm $L^2[0,1]$, đánh giá hiệu quả thuật toán qua số vòng lặp, sai số và thời gian thực thi.
• So sánh thuật toán: So sánh thuật toán đề xuất với thuật toán của các nhà nghiên cứu khác về số vòng lặp và thời gian tính toán trong bài toán điều khiển tối ưu tuyến tính.

Timeline nghiên cứu kéo dài trong năm 2023, với các bước từ xây dựng lý thuyết, phát triển thuật toán, đến thực nghiệm và phân tích kết quả.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. Phương pháp lặp tự thích nghi hội tụ mạnh: Thuật toán lặp tự thích nghi được đề xuất hội tụ mạnh đến nghiệm duy nhất của bài toán bất đẳng thức biến phân VIP$(I_{H_1} - T, \Omega)$, trong đó $\Omega$ là tập nghiệm của bài toán chấp nhận tách. Kết quả này được chứng minh dựa trên các điều kiện về tính co của ánh xạ $T$ và tính không giãn của các toán tử chiếu $P_C$, $P_Q$.

2. Thuật toán tìm nghiệm có chuẩn nhỏ nhất: Trong trường hợp ánh xạ $T$ là ánh xạ đồng nhất, thuật toán trở thành phương pháp tìm nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của bài toán chấp nhận tách. Ví dụ số trong không gian $R^4$ cho thấy thuật toán đạt sai số $10^{-5}$ sau khoảng 190 vòng lặp với thời gian thực thi 0.0125 giây.

3. Hiệu quả thuật toán trong không gian hàm: Ví dụ trong không gian $L^2[0,1]$ với các tham số đầu vào khác nhau cho thấy thuật toán hội tụ nhanh chóng, với sai số $10^{-5}$ đạt được sau khoảng 100 vòng lặp, thời gian tính toán dưới 10 giây.

4. Ứng dụng trong điều khiển tối ưu tuyến tính: Thuật toán được áp dụng thành công để giải bài toán điều khiển tối ưu tuyến tính rời rạc, với sai số xấp xỉ 0.00547 sau 4850 vòng lặp khi chia đoạn thời gian thành 1000 phần. So sánh với thuật toán của Phạm Kỳ Anh và cộng sự cho thấy thuật toán đề xuất có hiệu quả hơn về số vòng lặp và thời gian tính toán.

Thảo luận kết quả

Nguyên nhân sự hội tụ mạnh của thuật toán là do việc kết hợp tính chất co của ánh xạ $T$ và tính không giãn của các toán tử chiếu, cùng với việc lựa chọn tham số tự thích nghi giúp tránh việc phải tính toán chuẩn của toán tử chuyển $A$, vốn là một thách thức trong thực tế. Kết quả thực nghiệm minh họa rõ ràng sự ảnh hưởng của các dãy tham số ${\alpha_k}$ đến tốc độ hội tụ, cho thấy việc điều chỉnh tham số là cần thiết để tối ưu hiệu suất thuật toán.

So với các nghiên cứu trước đây, phương pháp đề xuất không chỉ mở rộng phạm vi áp dụng sang không gian Hilbert vô hạn chiều mà còn cải thiện hiệu quả tính toán trong các bài toán thực tế như điều khiển tối ưu. Dữ liệu có thể được trình bày qua các bảng kết quả số và biểu đồ thể hiện sự giảm dần của sai số theo số vòng lặp, giúp trực quan hóa quá trình hội tụ.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Tối ưu hóa tham số thuật toán: Đề xuất nghiên cứu sâu hơn về việc lựa chọn và điều chỉnh các dãy tham số ${\alpha_k}, {\beta_k}, {\rho_k}, {\kappa_k}$ nhằm tăng tốc độ hội tụ và giảm chi phí tính toán, đặc biệt trong các bài toán lớn và phức tạp.

2. Mở rộng ứng dụng: Khuyến nghị áp dụng phương pháp lặp tự thích nghi vào các bài toán thực tế khác như xử lý ảnh y tế, mô hình cân bằng kinh tế, và các bài toán điều khiển phi tuyến, nhằm khai thác tối đa tiềm năng của thuật toán.

3. Phát triển phần mềm hỗ trợ: Đề xuất xây dựng thư viện phần mềm hoặc module MATLAB/Python tích hợp thuật toán, giúp các nhà nghiên cứu và kỹ sư dễ dàng áp dụng trong thực tế, đồng thời hỗ trợ việc thử nghiệm và điều chỉnh tham số.

4. Nghiên cứu mở rộng lý thuyết: Khuyến nghị tiếp tục nghiên cứu các tính chất toán học sâu hơn của bài toán bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc phức tạp hơn, như bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp, nhằm phát triển các thuật toán mới có tính ổn định và hiệu quả cao hơn.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Nhà nghiên cứu toán học ứng dụng: Có thể sử dụng luận văn để hiểu sâu về các phương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán chấp nhận tách trong không gian Hilbert, từ đó phát triển các nghiên cứu mới hoặc ứng dụng trong các lĩnh vực liên quan.

2. Kỹ sư và chuyên gia xử lý tín hiệu, hình ảnh: Thuật toán và ví dụ minh họa trong luận văn cung cấp công cụ giải quyết các bài toán khôi phục ảnh, xử lý tín hiệu y tế như mô hình IMRT, giúp cải thiện chất lượng và hiệu quả xử lý.

3. Chuyên gia điều khiển tự động và tối ưu hóa: Có thể áp dụng phương pháp lặp tự thích nghi để giải các bài toán điều khiển tối ưu tuyến tính và phi tuyến, đặc biệt trong các hệ thống phức tạp yêu cầu tính toán nhanh và chính xác.

4. Sinh viên và học viên cao học ngành Toán Tin, Toán Ứng dụng: Luận văn là tài liệu tham khảo quý giá giúp hiểu rõ các khái niệm lý thuyết, phương pháp nghiên cứu và ứng dụng thực tế, hỗ trợ quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.

Câu hỏi thường gặp

1. Phương pháp lặp tự thích nghi có ưu điểm gì so với các phương pháp truyền thống?
   Phương pháp không yêu cầu tính toán chuẩn của toán tử chuyển, giúp giảm chi phí tính toán và mở rộng phạm vi áp dụng, đồng thời đảm bảo sự hội tụ mạnh đến nghiệm duy nhất, phù hợp với các bài toán phức tạp trong không gian Hilbert.

2. Làm thế nào để chọn các tham số $\alpha_k, \beta_k, \rho_k, \kappa_k$ trong thuật toán?
   Các tham số cần thỏa mãn điều kiện hội tụ như $\alpha_k \to 0$ và tổng $\sum \alpha_k = \infty$, đồng thời nằm trong các khoảng xác định. Việc lựa chọn cụ thể có thể dựa trên thử nghiệm thực nghiệm để tối ưu tốc độ hội tụ.

3. Phương pháp có thể áp dụng cho bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp không?
   Luận văn đề cập đến bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp như một hướng nghiên cứu mở rộng, do đó phương pháp có thể được điều chỉnh và phát triển để giải các bài toán này trong tương lai.

4. Thuật toán có thể áp dụng trong không gian vô hạn chiều không?
   Có, các ví dụ minh họa trong không gian hàm $L^2[0,1]$ cho thấy thuật toán hoạt động hiệu quả trong không gian Hilbert vô hạn chiều, mở rộng ứng dụng thực tế.

5. Làm thế nào để đánh giá hiệu quả thuật toán trong thực tế?
   Hiệu quả được đánh giá qua số vòng lặp cần thiết để đạt sai số cho trước, thời gian tính toán, và khả năng hội tụ mạnh. Ví dụ trong luận văn cho thấy thuật toán đạt sai số $10^{-5}$ trong thời gian ngắn và số vòng lặp hợp lý.

Kết luận

• Đã xây dựng và chứng minh sự hội tụ mạnh của phương pháp lặp tự thích nghi giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán chấp nhận tách trong không gian Hilbert thực.
• Đề xuất thuật toán tìm nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của bài toán chấp nhận tách, với hiệu quả được minh họa qua các ví dụ số trong không gian hữu hạn và vô hạn chiều.
• Thuật toán được áp dụng thành công trong bài toán điều khiển tối ưu tuyến tính, cho thấy tính ứng dụng rộng rãi và hiệu quả tính toán vượt trội so với các phương pháp hiện có.
• Kết quả nghiên cứu mở ra hướng phát triển các thuật toán giải bài toán bất đẳng thức biến phân phức tạp hơn, đồng thời cung cấp công cụ toán học hiện đại cho các lĩnh vực ứng dụng đa dạng.
• Khuyến nghị tiếp tục nghiên cứu tối ưu tham số, mở rộng ứng dụng và phát triển phần mềm hỗ trợ nhằm nâng cao hiệu quả và tính khả thi của phương pháp trong thực tế.

Để khai thác tối đa tiềm năng của phương pháp, các nhà nghiên cứu và chuyên gia ứng dụng được khuyến khích áp dụng và phát triển thêm dựa trên nền tảng lý thuyết và thực nghiệm đã được trình bày.