CHƯƠNG 1 Một số kiến thức cơ sở Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất quan trọng của Giải tích hàm để hỗ trợ cho các phần sau. Một số tính chất và định lý khác chưa được đề cập trong chương này thì chúng tôi sẽ nêu một cách xen kẽ trong các chương tiếp theo. [1], [2i Cho không gian vectơ X trên trường = IR. Một ánh xạ được cho bởi ||.|| : X — K, xr |la|| được gọi là một chuẩn trên X nếu thỏa mãn các tính chất sau: (i) |l+z + ø|| < ll+|| + |lu|| với mọi +, € X.
đÖ Jlœ+ll = |elllz||với mọi z € X, œ € K. (iii) ||z|| > 0 với mọi z € X và ||+z|| = 0 nếu z = 0. Khi đó không gian vectơ X với một chuẩn như ở trên sẽ được gọi là không gian định chuẩn. Hơn nữa, không gian định chuẩn X sẽ được gọi là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản (dãy Cauchy) trong X hội tụ tới một điểm trong X, hay nói cách khác X là không gian định chuẩn đầy đủ.
M6t anh xạ được cho bởi ():X xX > K, (x,y) + (x,y) được gọi là một tích vô hướng trên X nếu thỏa mãn các tính chất sau () (+,) = (,+) với mọi z,t € X. (iii) (ax, y) = a(x, 0) với mọi +, € X và œ € K. Một khong gian vecto X trén trudng K cing với một tích vô hướng trên X như trên được gọi là không gian tiền Hilbert. Từ đó ta có định nghĩa về không gian Hilbert chính là một không gian tiền Hilbert mà đồng thời cũng là một không gian Banach với chuẩn ||+|| = \/(x, x), Vx € X.
[1], [2| Một tập M trong khong gian metric X được gọi là compact nếu mọi dãy trong ⁄ đều chứa một dãy con hội tụ tới một điểm thuộc Ä⁄. Từ đó ta có tính chất: một tập compact trong không gian metric thì sẽ đóng và hoàn toàn bị chặn, nhưng mệnh đề ngược thì chưa chắc đúng, ví dụ đơn giản như hình cầu đóng trong không gian định chuẩn vô hạn chiều thì không compact. Tap M được gọi là compact tương đối (hay tién compact) néu nhu bao đóng của nó là compact. Nói cách khác, Ä được gọi là compact tương déi néu mọi dãy trong Ä⁄ đều chứa một dãy con hội tụ trong không gian X.
Tập Ä/ sẽ được gọi là hoàn toàn bị chặn nếu với mọi e > 0 cho trước, bao giờ cũng tỔn tại một phủ gồm hữu hạn các hình cầu mở (5,) với bán kính e chứa /. Và ta có tính chất là một tập hoàn toàn bị chặn thì sẽ bị chặn. /7J Định lý Heine-Borel: Một tập M trong không gian meftric Ä được gọi là compact nếu và chỉ nêu mọi phủ mỏ của M đêều chứa một phủ con hữu hạn vẫn chứa M. Giả sử AM có tính chất Heine-Borel.
Xét một dãy bất kì („) C ẢM. Cho A; là bao đóng của A¿, và G¡ = X \ Ay. Với mỗi tập hữu hạn 7 C {1,2,.}, rõ ràng (,c; Á¿ # Ø, cho nên (,.; A¿ # Ø, và do đó X \ Uz. tức là hợp các tập mở Œ„ (k € 7) không phủ được X.
Vì điều này đúng với mọi họ hữu hạn {Œ¿, k € 7} nên theo tính chất Heine-Borel thì cả họ cũng không thể phủ được M. Vay phải có # £ Œy = X \ 4ÿ, tức là € 4; Vk = 1,2,. Từ đây dễ dàng suy ra một dãy con (z„„) hội tụ. Thật vậy, với mỗi k, vì # € A; nên hình cầu tâm Z bán kính 1/k phải chứa một #„„ € (#„).
Để chứng minh phần đảo, giả sit M compact nhung c6 mét phi mé {G,} không chứa một phủ con hữu hạn nào. Ta lấy một dãy bất kỳ các số dương En — 0. Vì ă compact nên nó có thể phủ bằng một số hữu hạn hình cầu bán kính £¡. Trong số các hình cau nay at phải có một hình cầu, giả sử là Š¡ sao cho 1h = MỊf 5: không thể phủ được bằng một số hữu hạn tập Œ,„ (nếu không thì JM sẽ phủ được bằng một số hữu hạn tập Œ,„).
Tập Ä⁄¡ cũng compact (vì là tập con đóng của một tập compact) nên có thể phủ được bằng một số hữu hạn các hình cầu bán kính ›, trong số đó có một cái, giả sử Š› sao cho Ma = Mì al So khong thé phii dudc bang mot sé hitu han tap Gy. Tap Mo cing 1a compact nén có thể phủ được bằng một số hữu hạn hình cầu bán kính zs. Tiếp tục như thế, ta sẽ thu được một dãy hình cầu Š„ và tập M„ = Mĩ, 1ƒ 5» (n = 1,2,. Ta lấy trong mỗi tập Ä⁄„ một điểm z„.C M nên #„ € ă và vì ă compact nên có một dãy con (z„„) hội tụ tới một điểm #ọ € ẢM.
Ta có #g € Ga, nào đó và do Œ„„ mở nên có một hình cầu Kh tâm zọ và nằm trọn trong G„„. Gọi ? là bán kính của Ứ£, ta chọn kọ đủ lớn để đ(œo,#„„„) < 7/2 vaen, < 7/4. Khi dé v6i moi x € My, ,d(x,20) < d(x, Xn,) +d(Xn,,,L0) < 2en,, +7/2 <r, chting to M,,, CK C Goo, nghĩa la Mp, có thé phi bang mét tap G,,,, trai v6i cách xây dựng của nó. Vậy mọi phủ của Ä⁄ phải có một phủ con hữu hạn.
/7j Định ly Hausdorff: Trong mét khéng gian metric day đủ (nghĩa là mọi dãy Cauchy đều hội tụ tới một điển trong không gian ban đâu), một tập là compact nếu và chỉ nếu nó đóng và hoàn toàn bị chặn. 1) 2) Ta đã biết một tính chất là tập compact thì phải đóng. Bây giờ giả sử tập M compact nhưng không hoàn toàn bị chặn. Thế thì có một e > 0 nào đó sao cho không thể nào phủ được M bang mét số hữu hạn hình cầu bán kính e.
Lấy một điểm bất kỳ z¡ € Ä⁄. Hình cầu tâm z¡ bán kính e không phủ được Ä⁄, cho nên có ít nhất một diém x. € Ä⁄ với khoảng cach d(a1,22) > e. Hai hình cầu tâm z¡ và zs bán kính e cũng không phủ được Ä, cho nên có ít nhat mét diém x3 € M sao cho d(a1, 273) > € va d(x2,23) > ¢.
Tiép tuc cach dé ta sé dude mét day z, € M véi A(n,tm) Den Amn, m =1,2,. R6 rang bất cứ dãy con nào của (2p) cing khong thé là dãy cơ bản, do đó không thể hội tụ. Như vậy mâu thuẫn với giả thiết IM compact. Vậy Ä⁄ phải đóng và hoàn toàn bị chặn.
Ngược lại, giả sử tập MM đóng và hoàn toàn bị chặn trong một không gian đầy đủ X và xét một dãy vô hạn bất kì z = (z„) C _Ä. Vì tập Ä có thể phủ được bằng một số hữu hạn hình cầu bán kính I, nên một trong các hình cầu này, chẳng hạn $j, phải chứa vô số phần tử của dãy ơ. Gọi dãy con của dãy ø chứa trong S; 1a 01. Tap hop Ä⁄ cũng có thể phủ được bằng một số hữu hạn hình cầu bán kính 1/2, nên một trong các hình cầu này, giả sử 5, phải chứa vô số phần tử của øơ.
Gọi dãy con của ø¡ chứa trong 5; là øa. Tiếp tục theo cách đó ta sẽ có các dãy ơi, ơa, Ø3,.), trong đó Š, là hình cầu bán kính 1/k. Vì mỗi dãy ø¿ có vô số phần tử nên có thể chọn trong ơi một phần tử Lys rồi trong z› một phần tử Ln, VIN: > 1, trong o3 mot phần tử z„„ v6i nz > ny va ctf thé tiép tục quá trình. Dãy (z„,) là một dãy con của ø = (z„), và có thể thấy rằng đó là một dãy hội tụ trong X.
Thật vậy với k < Ï thì ø; C ơy C5 nên #„„,,„, cùng thuộc hình cầu % do đó đ(2„„,#„„) < 2/k — 0 khi k,Ì —> œ, chứng tỏ rằng (z„) là một dãy cơ bản, tức hội tụ vì theo giả thiết X là không gian đủ. Tóm lại mọi dãy (tn) C M đều chứa một dãy con hội tụ. Vì Ä⁄/ là tập đóng nên giới hạn của dãy con này thuộc /. Vay M la tap compact.
Cho X, Y là các không gian định chuẩn. T' là toán tử tuyến tính di tit X vao Y. Khi dé, T la compact néu va chi néu moi day (%„) bị chặn trong X đêu chứa một dãy con (Xp,) sao cho day (Txpn,) héi tu trong Y. (i) Gia stt (@p)nen C X bi chin.
Dé T compact thi dãy (7'z„)„en phải com- (ii) pact tương đối trong Y”. Theo giả thiết, (z„)„en chứa dãy con (2p,) sao cho (Tz„„) C (T'#„)»en và (T+„,) hội tụ trong Y. Sử dụng định nghĩa về compact tương đối, ta suy ra 7' là toán tử compact. Giả sử 7' compact.
Lấy (#„)„en bị chặn trong X, suy ra dãy (T'#„)»eN compact tương đối trong Y”. Do đó từ dãy (#„)„en. ta sẽ trích ra được một dãy con (#„„) mà (7z„„) C (Tza)»en và (7+„„) hội tụ trong Y. Oo Sau đây chúng tôi sẽ đưa ra một tiêu chuẩn để chứng minh một tập là com- pact.
Chúng tôi phát biểu lại Định lý Arzelà-Ascoli ở dạng đơn giản như sau: Cho D là tập con compact trong R”. Gia stv day ham {fntnen C C°(D) théa man hai tính chất: (i) Bi chan diém trén D, ttic voi Vx € D, tap { ƒ„(#) }„en là bị chặn; (ï) Đồng liên tục đều, tức Ve > 0,Vz € JD,3ổ = 6(x,€) > 0 sao cho véi Vn €Ñ,Vụ € B(+,ð)ñ D ta luôn có |f„() — ƒfa(#)| < c. Khi ấy tồn tại dãy con {/ƒ„„)}„en (trong đó ¿ : Ñ —> Ñ là hàm tăng) và hàm ƒ €Œ90)) sao cho fn) JLlxy f khin > ow. Các bước chứng minh: « Bước 1.
Chỉ ra thực chất dãy hàm { ƒ„}„ew là đồng liên tục đều. Lây A = Dn Q" là tập con trù mật đếm được của 7. Sử dụng kỹ thuật "điagonal extracton" để chỉ ra có một dãy ¿(m) chung cho mọi x € Amà ƒ („)(+) — f(x), 6 day f(x) la két qua gidi han dãy. Diagonal extraction: Giả sử có họ đếm được các dãy {u'"},„„-q, trong đó dãy wu” = {u’"},qy, thỏa mãn tính chất Vụ € Ñ dãy "* có một dãy con hội tụ đến điểm mà ta ký hiệu là +".
Khi ấy có thể chọn dãy chỉ số chung cho tất cả các dãy con mà vẫn đảm bảo kết quả hội tụ cho mỗi dãy, tức tồn tai ham y : N > N tang sao cho wen) = u¿" đúng với mọi mm € Ñ. Mỏ rộng từ 4 lên D dé có ƒ„„)(z) “Ÿ ƒ(z) với mọi z € D, ở đây ƒ(z) là kết quả giới hạn dãy. Tức dãy { ƒ„(„)}„en là hội tụ điểm trên 1D.