PHÂN TÍCH ĐỘNG TẤM U-BOOT TRÊN NỀN ĐÀN NHỚT CHỊU TẢI TRỌNG DI ĐỘNG

Luận văn phân tích động tấm U-boot trên nền đàn nhớt chịu tải trọng di động. Nghiên cứu ứng xử động của tấm U-boot trong kỹ thuật xây dựng công trình. Tài liệu tham khảo hữu ích.

• Tác giả: Nguyễn Thanh Sơn
• Người hướng dẫn: PGS. Lương Văn Hải
• Trường học: Trường Đại học Bách Khoa - Đại học Quốc gia Tp. Hồ Chí Minh
• Chuyên ngành: Kỹ thuật xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp
• Đề tài: Phân tích động tấm U-boot trên nền đàn nhớt chịu tải trọng di động
• Loại tài liệu: Luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2017
• Địa điểm: Tp.HCM

Tóm tắt

I. Tấm U Boot Tổng quan về ứng dụng và phân tích động

Với sự phát triển của khoa học kỹ thuật, việc cải tiến bê tông thân thiện với môi trường luôn là mục tiêu hàng đầu. Tấm U-boot được sản xuất từ nhựa tái chế, là một giải pháp sàn rỗng sử dụng các khối rỗng đặc biệt. Các khối U-boot được thiết kế để chịu được tải trọng bản thân của bê tông và tải trọng thi công. Mỗi hộp U-boot có 4 chân hình côn, tạo khoảng hở cần thiết cho bê tông lấp đầy. Các hộp này liên kết với nhau bằng thanh nhựa, tạo hệ dầm gân trực giao. Hiện nay có hai loại phổ biến: hộp đơn và hộp kép. Cấu tạo của sàn U-boot, các loại hộp và phụ kiện được thể hiện trong các nghiên cứu trước đây. Sàn U-boot mang lại nhiều ưu điểm như tăng thêm tầng, giảm trọng lượng bản thân, và giảm tải trọng động đất. Tuy nhiên, cũng có nhược điểm như khó khăn trong việc đầm bê tông phía dưới đáy hộp.

1.1. Cấu tạo và vật liệu chế tạo tấm U Boot

Tấm U-Boot được cấu tạo từ nhựa tái chế, thân thiện với môi trường. Mỗi hộp có hình dạng đặc biệt với các chân hình côn. Các hộp U-Boot được liên kết với nhau bằng thanh nhựa. Cấu tạo này tạo ra một hệ thống dầm gân trực giao trong sàn. Hiện nay, có hai loại hộp U-Boot thông dụng là hộp U-Boot đơn và hộp U-Boot kép. Mỗi loại hộp có các chiều cao khác nhau phù hợp với từng mục đích sử dụng và đáp ứng các yêu cầu thiết kế. Cần lưu ý đến kích thước và hình dạng của hộp U-Boot để đảm bảo hiệu quả thi công và chịu lực.

1.2. Ưu và nhược điểm khi sử dụng tấm U Boot

Sàn U-Boot có nhiều ưu điểm vượt trội so với sàn truyền thống. Với cùng chiều cao, công trình có khả năng tăng thêm tầng. Khả năng vượt nhịp lớn nhờ giảm trọng lượng bản thân của sàn. Phân bố mặt bằng cột thuận tiện, giảm số lượng cột. Tải trọng truyền xuống cột và móng giảm, tối ưu hóa tiết diện. Giảm khối lượng tham gia dao động, giảm tải trọng động đất. Hạn chế truyền âm, cải thiện khả năng cách âm. An toàn cao khi xảy ra cháy. Vận chuyển thuận lợi, không cần thiết bị phức tạp. Cách nhiệt tốt, thích hợp cho tầng áp mái. Tuy nhiên, cũng có nhược điểm như khó khăn trong việc đầm bê tông, không thích hợp cho khu vực thấm cao.

II. Phân tích động tấm U Boot Thách thức và phương pháp

Việc phân tích ứng xử của kết cấu dưới tác động của tải động là một vấn đề được quan tâm từ lâu. Các nghiên cứu trước đây thường sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM). Tuy nhiên, FEM gặp khó khăn khi tải trọng di chuyển gần biên. Để giải quyết vấn đề này, phương pháp phần tử chuyển động (MEM) đã được phát triển. MEM có ưu điểm là tải không bao giờ đến biên vì phần tử luôn chuyển động, không cần cập nhật véc tơ tải trọng, và cho phép phần tử có kích thước không bằng nhau. Nghiên cứu cho thấy MEM là một phương pháp thích hợp để phân tích các bài toán động lực học cho kết cấu tấm trên nền đàn nhớt.

2.1. Giới thiệu về phương pháp phần tử chuyển động MEM

Phương pháp phần tử chuyển động (MEM) là một phương pháp phân tích kết cấu mới nổi, đặc biệt hiệu quả trong việc giải quyết các bài toán tải trọng di động. Khác với phương pháp phần tử hữu hạn (FEM), MEM xem các phần tử kết cấu di chuyển cùng với tải trọng, giúp tránh các vấn đề liên quan đến biên của miền hữu hạn phần tử. Điều này giúp giảm thiểu chi phí tính toán và thời gian giải quyết bài toán. MEM cho phép sử dụng các phần tử có kích thước không bằng nhau, tạo sự linh hoạt trong mô hình hóa kết cấu.

2.2. So sánh MEM và FEM trong phân tích động tấm

Trong phân tích động tấm chịu tải trọng di động, FEM gặp khó khăn khi tải trọng tiến gần biên của miền hữu hạn phần tử và di chuyển vượt ra ngoài biên. Điều này đòi hỏi việc cập nhật liên tục vị trí của véc tơ tải trọng, tăng chi phí tính toán. Ngược lại, MEM khắc phục được nhược điểm này bằng cách xem các phần tử tấm di chuyển cùng với tải trọng. MEM giúp đơn giản hóa quá trình phân tích và mang lại kết quả chính xác hơn trong một số trường hợp.

2.3. Lựa chọn phương pháp phù hợp cho bài toán động lực học

Việc lựa chọn giữa FEM và MEM phụ thuộc vào đặc điểm cụ thể của bài toán động lực học. Nếu tải trọng di chuyển trên một phạm vi lớn so với kích thước tấm, MEM có thể là lựa chọn tốt hơn. Tuy nhiên, nếu tải trọng cố định hoặc di chuyển trong một phạm vi nhỏ, FEM có thể đủ hiệu quả. Cần xem xét các yếu tố như độ phức tạp của mô hình, yêu cầu về độ chính xác và chi phí tính toán để đưa ra quyết định phù hợp.

III. Mô hình hóa nền đàn nhớt và tải trọng di động cho U Boot

Để phân tích chính xác ứng xử của tấm U-boot, việc mô hình hóa nền đàn nhớt và tải trọng di động là rất quan trọng. Nền đàn nhớt thường được mô hình hóa bằng các mô hình như Winkler hoặc Pasternak, với các tham số như độ cứng và hệ số cản. Tải trọng di động có thể là tải trọng bánh xe hoặc tải trọng người đi bộ. Việc lựa chọn mô hình nền đàn nhớt và tải trọng di động phù hợp sẽ ảnh hưởng lớn đến kết quả phân tích. Cần xem xét các đặc tính của đất nền và loại tải trọng để đưa ra lựa chọn chính xác.

3.1. Các mô hình nền đàn nhớt thường được sử dụng

Trong phân tích kết cấu trên nền đất, mô hình Winkler và mô hình Pasternak là hai mô hình phổ biến nhất. Mô hình Winkler giả định rằng độ lún tại một điểm chỉ phụ thuộc vào ứng suất tại điểm đó, trong khi mô hình Pasternak bổ sung thêm yếu tố liên kết giữa các điểm. Việc lựa chọn mô hình phù hợp phụ thuộc vào đặc tính của đất nền và độ chính xác yêu cầu của bài toán.

3.2. Phân loại và đặc điểm của tải trọng di động

Tải trọng di động có thể được phân loại dựa trên nhiều tiêu chí khác nhau, như loại tải trọng (bánh xe, người đi bộ), tốc độ di chuyển và hình dạng phân bố. Việc xác định chính xác đặc điểm của tải trọng di động là rất quan trọng để đảm bảo tính chính xác của kết quả phân tích. Cần xem xét các yếu tố như khối lượng, tốc độ và tần số của tải trọng để lựa chọn mô hình phù hợp.

3.3. Ảnh hưởng của tương tác giữa tải trọng di động và tấm

Khi tải trọng di chuyển, nó tác động lên tấm và gây ra các dao động. Tương tác giữa tải trọng di chuyển và tấm có thể làm tăng đáng kể độ võng và ứng suất trong tấm. Việc phân tích tương tác này đòi hỏi các phương pháp tính toán phức tạp, như phương pháp phần tử hữu hạn kết hợp với các thuật toán giải bài toán động lực học.

IV. Ứng dụng phần mềm ANSYS ABAQUS phân tích tấm U Boot

Các phần mềm ANSYS và ABAQUS là những công cụ mạnh mẽ để phân tích kết cấu, bao gồm cả tấm U-boot. Các phần mềm này cung cấp nhiều tính năng để mô hình hóa vật liệu, tải trọng, và điều kiện biên. Việc sử dụng ANSYS và ABAQUS giúp kỹ sư có thể dự đoán chính xác ứng xử của tấm U-boot dưới tải trọng di động trên nền đàn nhớt. Tuy nhiên, cần có kiến thức chuyên sâu về phần mềm và lý thuyết kết cấu để sử dụng hiệu quả các công cụ này. Việc lựa chọn phần mềm phù hợp phụ thuộc vào độ phức tạp của bài toán và yêu cầu về độ chính xác.

4.1. Hướng dẫn sử dụng ANSYS cho bài toán động tấm

ANSYS cung cấp nhiều công cụ mạnh mẽ để phân tích động tấm. Để bắt đầu, cần tạo mô hình hình học của tấm, xác định vật liệu và gán điều kiện biên. Sau đó, cần định nghĩa tải trọng động và lựa chọn phương pháp giải phù hợp. ANSYS cung cấp nhiều phương pháp giải khác nhau, như Newmark, Wilson-theta, và HHT. Cần lựa chọn phương pháp phù hợp với đặc điểm của bài toán.

4.2. Hướng dẫn sử dụng ABAQUS cho bài toán động tấm

ABAQUS cũng là một phần mềm mạnh mẽ để phân tích động tấm. Tương tự như ANSYS, cần tạo mô hình hình học, xác định vật liệu và gán điều kiện biên. ABAQUS có ưu điểm là khả năng mô hình hóa vật liệu phi tuyến và tương tác giữa các thành phần kết cấu. Điều này giúp ABAQUS trở thành lựa chọn tốt cho các bài toán phức tạp.

4.3. So sánh và lựa chọn phần mềm phù hợp

Cả ANSYS và ABAQUS đều là những phần mềm mạnh mẽ, nhưng có những ưu điểm và nhược điểm riêng. ANSYS có giao diện thân thiện hơn, trong khi ABAQUS có khả năng mô hình hóa vật liệu phi tuyến tốt hơn. Việc lựa chọn phần mềm phù hợp phụ thuộc vào kinh nghiệm của người dùng, độ phức tạp của bài toán và yêu cầu về độ chính xác.

V. Kiểm chứng kết quả phân tích và ứng dụng thực tiễn

Việc kiểm chứng kết quả phân tích là rất quan trọng để đảm bảo độ tin cậy. Kết quả có thể được kiểm chứng bằng cách so sánh với kết quả từ các nghiên cứu khác hoặc kết quả thực nghiệm. Nếu có sự khác biệt lớn, cần xem xét lại mô hình và các giả thiết. Ứng dụng thực tiễn của phân tích động tấm U-boot rất đa dạng, bao gồm thiết kế sàn nhà chịu tải trọng rung động, cầu, và các công trình khác. Việc áp dụng các kết quả nghiên cứu vào thực tế giúp cải thiện hiệu quả và an toàn của công trình.

5.1. Các phương pháp kiểm chứng kết quả phân tích động

Có nhiều phương pháp để kiểm chứng kết quả phân tích động, bao gồm so sánh với kết quả thực nghiệm, so sánh với kết quả từ các nghiên cứu khác, và kiểm tra tính hợp lý của kết quả. Việc so sánh với kết quả thực nghiệm là phương pháp trực quan nhất, nhưng đòi hỏi chi phí và thời gian. So sánh với kết quả từ các nghiên cứu khác là một phương pháp hiệu quả và ít tốn kém hơn.

5.2. Ứng dụng thực tiễn trong thiết kế công trình

Phân tích động tấm U-boot có nhiều ứng dụng thực tiễn trong thiết kế công trình, đặc biệt là các công trình chịu tải trọng rung động. Kết quả phân tích giúp kỹ sư thiết kế có thể lựa chọn kích thước và vật liệu phù hợp, đảm bảo an toàn và hiệu quả của công trình. Các ứng dụng bao gồm thiết kế sàn nhà, cầu, và các công trình khác.

VI. Kết luận Hướng nghiên cứu cho ứng xử động tấm U Boot

Phân tích động tấm U-boot trên nền đàn nhớt chịu tải trọng di động là một lĩnh vực nghiên cứu quan trọng. Các kết quả nghiên cứu giúp kỹ sư hiểu rõ hơn về ứng xử của kết cấu và thiết kế các công trình an toàn và hiệu quả. Hướng nghiên cứu trong tương lai có thể tập trung vào việc phát triển các mô hình phức tạp hơn, xem xét ảnh hưởng của các yếu tố như vật liệu phi tuyến và tương tác giữa các thành phần kết cấu. Việc nghiên cứu sâu hơn về lĩnh vực này sẽ góp phần vào sự phát triển của ngành xây dựng.

6.1. Tổng kết các kết quả nghiên cứu chính

Các kết quả nghiên cứu về phân tích động tấm U-boot trên nền đàn nhớt chịu tải trọng di động đã cho thấy sự quan trọng của việc mô hình hóa chính xác nền đàn nhớt và tải trọng di động. Phương pháp phần tử chuyển động (MEM) là một công cụ hiệu quả để giải quyết các bài toán này. Việc sử dụng các phần mềm ANSYS và ABAQUS giúp kỹ sư có thể dự đoán chính xác ứng xử của kết cấu.

6.2. Các hướng nghiên cứu tiềm năng

Trong tương lai, các nghiên cứu có thể tập trung vào việc phát triển các mô hình phức tạp hơn, xem xét ảnh hưởng của vật liệu phi tuyến và tương tác giữa các thành phần kết cấu. Ngoài ra, việc nghiên cứu về ảnh hưởng của các yếu tố môi trường, như nhiệt độ và độ ẩm, cũng rất quan trọng. Các nghiên cứu này sẽ góp phần vào sự phát triển của ngành xây dựng.

Trích đoạn nội dung tài liệu

CHƯƠNG 1.1 Giới thiệu tấm U-Boot Với sự phát triển vượt bậc của khoa học kỹ thuật, các kỹ sư luôn suy nghĩ cải tiến bê tông thân thiện với môi trường. Vật liệu U-boot được sản xuất từ nhựa tái chế. Tấm U-boot là tấm sàn rỗng sử dụng các khối rỗng được gọi là U-boot. Ngoài ra, U- Boot được tính toán để chịu được tải trọng bản thân của bê tông, tải trọng trong quá trình thi công, nên hộp U-Boot không bị dễ dập vỡ (sức chịu tải của một hộp U- Boot khoảng 150kg).

Hộp U-Boot còn đóng vai trò như cốp pha để tạo khoảng rỗng trong sàn, mỗi hộp U-Boot đều có 4 chân hình côn với chiều cao khoảng 5cm đến 10cm tùy thuộc chiều cao U-Boot tương ứng, các chân hộp U-Boot được đặt trực tiếp lên cốp pha sàn, tạo nên khoảng hở cần thiết cho phép bê tông lắp đầy khoảng hở giữa cốp pha sàn và mặt đáy U-Boot. Ngoài ra các hộp U-Boot được liên kết với nhau bởi các thanh liên kết bằng nhựa. Các thanh này có thể điều chỉnh dễ dàng để tạo ra khoảng hở cần thiết giữa các hộp U-Boot với nhau. Các khoảng hở này tạo ra một hệ thống dầm gân trực giao trong sàn U-Boot.

Hiện nay có 2 loại hộp U-Boot thông dụng là hộp U-Boot đơn và hộp U-Boot kép. Mỗi loại hộp có các chiều cao khác nhau phù hợp với từng mục đích sử dụng và đáp ứng các yêu cầu thiết kế. Cấu tạo của sàn U-Boot điển hình, các loại hộp U-Boot cũng như phụ kiện đi kèm được thể hiện ở Hình 1. Hình a Loại U-Boot đơn Hình b Loại U-Boot kép Tổng quan 2 Hình 1.

Cấu tạo sàn U-Boot và phụ kiện đi kèm Ưu và nhược điểm sàn U-Boot Ưu điểm:  Do là sàn phằng không dầm, nên với cùng chiều cao, công trình có khả năng tăng thêm tầng, bố trí kiến trúc linh hoạt hơn khi sử dụng.  Nhờ giảm trọng lượng bản thân của sàn nên có khả năng vượt nhịp lớn.  Thuận tiện trong việc phân bố mặt bằng cột vì số lượng cột giảm.  Do tải trọng truyền xuống cột giảm nên tiết diện cột được tối ưu.

 Do trọng lượng sàn và cột giảm nên tải trọng truyền xuống móng giảm. Giảm kích thước móng do vậy giảm công tác đào đất.  Trọng lượng bản thân sàn và cột giảm nên giảm khối lượng tham gia dao động dẫn đến giảm tải trọng động đất.  Do đặc tính cấu tạo rỗng của sàn U-Boot nên hạn chế việc truyền âm qua sàn, cải thiện khả năng cách âm.

 An toàn cao khi xẩy ra cháy.  Vận chuyển rất thuận lợi và không cần các thiết bị vận chuyển và nâng hạ phức tạp.  Cách nhiệt tốt, đặc biệt rất thích hợp đối với các tầng áp mái. Nhược điểm: Tổng quan 3  Do kích thước đáy hộp 52cmx52cm là khá lớn nên việc bê tông lắp đầy hết phía dưới đáy hộp là khá khó khăn do vậy cần đổ bê tông với độ sụt lớn.

 Vì chổ tiếp giáp giữa thành và cánh tạo thành những góc vuông, cho nên khả năng chịu ứng suất cục bộ ngay chỗ tiếp giáp này không được tốt.  Không thích hợp cho các khu vực có tính thấm cao.  Khó khăn trong việc đầm phần bê tông phía dưới mặt đáy U-Boot.2 Giới thiệu về phương pháp phần tử chuyển động Phân tích ứng xử của kết cấu dưới tác động của tải động là một chủ đề được quan tâm từ rất lâu, nhiều công trình nghiên cứu về vấn đề này đã ra đời. Khi nghiên cứu ứng xử động hay tĩnh về tải trọng chuyển động trên phần tử tấm trước đây, thì hầu như các nghiên cứu đều sử dụng phương pháp PTHH (FEM) (Hình 1.

Qua các quá trình nghiên cứu trên có thể thấy với tải trọng chuyển động trên tấm thì sẽ gặp khó khăn khi tải trọng tiến đến gần biên của miền hữu hạn phần tử và di chuyển vượt ra ngoài biên, ngoài ra phương pháp này còn yêu cầu phải luôn cập nhật vị trí của véc tơ tải trọng. Do đó, việc giải quyết bài toán tấm sẽ tốn nhiều chi phí tính toán và mất nhiều thời gian. Trong những năm gần đây, nhiều nhà nghiên cứu trên thế giới đã tìm ra những phương pháp mới tiên tiến hơn nhằm mục đích tạo thêm những công cụ mới hơn thuận lợi trong quá trình phân tích thay vì sử dụng phương pháp truyền thống. Một trong những phương pháp đó phương pháp phần tử chuyển động (Moving Element Method-MEM) (Hình 1.

Điểm thuận lợi của phương pháp này là: tải di động sẽ không bao giờ đến biên vì phần tử được đề xuất luôn chuyển động. Điểm thuận lợi thứ hai là tải di động sẽ không phải chạy từ phần tử này đến phần tử khác, do đó tránh được việc cập nhật véc tơ tải trọng. Điểm thuận lợi thứ ba là phương pháp này cho phép phần tử hữu hạn có kích thước không bằng nhau và điều này có thể hữu ích khi các tải tác dụng tại các điểm tùy ý. Nghiên cứu này cho thấy MEM là một trong những phương pháp thích hợp để phân tích các bài toán động lực học cho kết cấu tấm trên nền đàn nhớt.

Tổng quan 4 Chuyển động y s Đứng yên P kf cf kf cf kf cf x,r kf cf kf cf kf cf kf cf kf cf kf cf Hình 1. Mô hình tải trọng chuyển động, tấm cố định (FEM) y Đứng yên s Chuyển động P kf cf kf cf kf cf x,r kf cf kf cf kf cf kf cf kf cf kf cf Hình 1. Mô hình phần tử tấm chuyển động, tải trọng cố định (MEM) 1.3 Tình hình nghiên cứu 1.1 Các công trình nghiên cứu ngoài nước Bài toán lực di động tác dụng lên kết cấu là một trong những bài toán động lực học đầu tiên cho hệ thống mặt đường. Bằng phương pháp biến đổi Fourier (Fourier Transform Method - FTM) và một hệ thống phối hợp di chuyển, Mathews (1958) [1], (1959) [2] đã giải quyết vấn đề động lực của một tải tùy ý di chuyển dọc theo một dầm có chiều dài vô hạn tựa trên một nền đàn hồi.

FTM, thực chất là một phương pháp miền tần số, đã được thông qua bởi các nhà nghiên cứu khác. Jezequel Tổng quan 5 (1981) [3] xét một dầm Euler-Bernoulli dài vô hạn tựa trên nền đàn hồi chịu một lực tập trung di chuyển với vận tốc không đổi, có tính đến độ cứng xoay theo phương ngang. Hệ thống phối hợp di chuyển đã được sử dụng bằng phương pháp chuyển đổi Galilean. Phương pháp biến đổi Fourier cũng được sử dụng để giải quyết vấn đề.

Công việc tương tự bằng cách sử dụng FTM đã được thực hiện bởi Trochanis và cộng sự (1987) [4], Ono và Yamada (1989) [5]. Đến đây, cần chú ý rằng phương pháp FTM có thể cho lời giải chính xác nhưng trở nên bế tắc khi giải quyết bài toán phức tạp, hệ thống nhiều bậc tự do, hoặc lực di động có liên quan đến việc tăng tốc hoặc giảm tốc. Vào đầu những năm 1974, bằng phương pháp chồng chất Timoshenko (1974) [6] đã giải phương trình vi phân tổng quát trong miền thời gian cho một dầm đơn giản chịu tác dụng của tải di động. Warburton (1976) [7] đã khảo sát cùng một vấn đề và thấy rằng khuếch đại động lớn nhất trong độ võng xảy ra cho một vận tốc cụ thể của tải di chuyển.

Cai và cộng sự (1988) [8] cũng sử dụng phương pháp chồng chất để giải quyết vấn đề của tải di chuyển trên một dầm đồng nhất vô hạn trên con lăn hỗ trợ tuần hoàn. Chen và Huang (2000) [9] đã xét một tải không đổi di chuyển với vận tốc cố định dọc theo một dầm Timoshenko dài vô hạn trên nền đàn nhớt. Phương trình tổng quát cho một dầm vô hạn được thiết lập trong lúc phối hợp di chuyển. Các ma trận độ cứng động lực cho các dầm bán vô hạn thu được trong lúc số bước sóng phức tạp và các hình dạng chuyển vị phức tạp.

Các công trình nghiên cứu nêu trên đều xét dầm liên tục và sử dụng phương pháp giải tích để giải phương trình vi phân tổng quát. Phương pháp này không phù hợp hoặc gặp bế tắc khi áp dụng cho bài toán hệ chuyển động có nhiều bậc tự do chứ không phải là một lực di chuyển. Do đó việc sử dụng phương pháp này để phân tích động học cho bài toán là khá hạn chế. Bài toán phân tích ứng xử của tấm cũng được nghiên cứu từ rất sớm.

Michael và Edward (1988) [10] thực hiện phân tích dao động của tấm chịu tải trọng chuyển động dựa trên phương pháp phần tử hữu hạn. Sau đó Michael và Edward (1988) [11] giải quyết bài toán trên sử dụng phương pháp SIM (Structural Impedence Tổng quan 6 Method). Sau đó Gbadeyan và Oni (1995) [12] thực hiện phân tích động của dầm và tấm chữ nhật chịu tác động của tải trọng chuyển động dựa trên phương pháp Struble’s hiệu chỉnh. Bài toán này giải quyết cho các trường hợp dầm và tấm có điều kiện biên bất kỳ, và số lượng vật chuyển động cũng bất kỳ.

Tiếp tục với công trình nghiên cứu của mình,Gbadeyan và Dada (2006) [13] thực hiện phân tích phản ứng động của tấm chữ nhật Mindlin chịu vật thể chuyển động có khối lượng phân bố đều. Trong bài báo này các tác giả tập trung vào các yếu tố khác biệt trong trường hợp tấm dày, dùng lý thuyết Mindlin có kể đến biến dạng trượt, thực hiện so sánh với lý thuyết tấm Kirchhoff. Kim (2004) [14] đã thực hiện phân tích phản ứng động của tấm trên nền đàn nhớt Winkler chịu tải trọng động sử dụng phương pháp Fourier transform theo thời gian và không gian, đồng thời cũng đã khảo sát mức độ gồ ghề của mặt đường đến dao động của vật chuyển động. Tiếp theo đó các công trình nghiên cứu về tấm trên nền đàn hồi dần được phát triển.

Kim và Rosset (1988) [15] đã nghiên cứu đến trạng thái ứng xử của một tấm vô hạn trên nền đàn hồi chịu tải trọng chuyển động điều hòa không đổi. Sun (2003) [16] đã xây dựng lời giải giải tích cho tấm Kirchhoff trên nền đàn nhớt chịu tải điều hòa bằng chuỗi Fourier. Fryba (1999) [17] nghiên cứu dao động riêng của một tấm dài vô hạn hoặc hữu hạn cho nhiều điều kiện biên khác nhau.Huang và Thambiratnam (2001) [18] đã sử dụng phương pháp dải hữu hạn để phân tích ứng xử của kết cấu tấm cố định trên nền đàn hồi. Javad (2013) [19] sử dụng phương pháp EEM (Eigenfunction Expansion Method) để nghiên cứu sự ổn định và ứng xử động lực học của tấm Mindlin chịu tác động của tải trọng di động.

Cheng (1986) [20] đã tiến hành phân tích ứng xử động của tấm trên nền đàn hồi chịu tải trọng di động bằng phương pháp biến phân.