Luận văn dạy học phân tích đa thức thành nhân tử ở trung học cơ sở

Khám phá phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử qua hướng dẫn chi tiết, giúp học sinh THCS nắm vững kiến thức toán học cơ bản.

• Tác giả: Nguyễn Thị Thùy Linh
• Người hướng dẫn: Trung
• Trường học: Đại học Sư phạm TP.HCM
• Chuyên ngành: Didactic
• Đề tài: Phân tích đa thức thành nhân tử
• Loại tài liệu: Luận văn
• Địa điểm: Thành phố Hồ Chí Minh

Mục lục chi tiết

• LỜI CẢM ƠN
• 1. CHƯƠNG 1: MỘT SỐ YẾU TỐ CỦA TRƯỜNG SINH THÁI XOAY QUANH BÀI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
• 1.1. Chuyển đổi didactic liên quan đến đối tượng đa thức
• 1.2. Khái niệm đa thức ở tri thức khoa học
• 1.2.1. Khái niệm đa thức ở tri thức phổ thông
• 1.2.2. Vành đa thức ở chương trình đại học
• 1.2.3. Khái niệm đa thức ở chương trình Toán THCS
• 1.3. Sự chênh lệch về đối tượng đa thức từ cấp độ Đại học đến cấp độ phổ thông
• 1.4. Vành hệ số của các đa thức trong chương trình toán THCS
• 1.5. Bài toán “phân tích đa thức thành nhân tử” (PTĐTTNT) trong kết cấu chương trình toán trung học cơ sở (THCS)
• 2. CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ - MỘT PHÂN TÍCH THỂ CHẾ
• 2.1. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung
• 2.2. Xác định các hợp đồng didactic
• 2.3. Vai trò công cụ của kỹ thuật PTĐTTNT bằng cách đặt nhân tử chung
• 2.4. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức
• 2.5. Sự tiến triển của quy tắc hợp đồng didactic QT-HS 1
• 2.6. Phân tích đa thức thành nhân tử với vai trò công cụ trong kiểu nhiệm vụ T-tìm x
• 2.7. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử
• 2.8. Sự tiến triển quy tắc hợp đồng didactic QT-HS 1
• 2.9. Phân tích đa thức thành nhân tử với vai trò công cụ trong kiểu nhiệm vụ T-tìm x
• 2.10. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp
• 2.11. Sự tiến triển của quy tắc hợp đồng QT-HS 2
• 2.12. Phân tích đa thức thành nhân tử với vai trò công cụ trong kiểu nhiệm vụ T-tìm x
• 3. CHƯƠNG 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM
• 3.1. Giới thiệu thực nghiệm
• 3.2. Phân tích tiên nghiệm
• 3.3. Phân tích hậu nghiệm
• 3.4. Kết luận thực nghiệm
• MỞ ĐẦU
• 0.1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
• 0.2. Khung lý thuyết tham chiếu
• 0.3. Phương pháp nghiên cứu
• 0.4. Cấu trúc luận văn
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Giới thiệu về phân tích đa thức thành nhân tử

Phân tích đa thức thành nhân tử (PTĐTTNT) là một trong những nội dung quan trọng trong chương trình Toán học bậc trung học cơ sở (THCS). Nội dung này không chỉ giúp học sinh nắm vững kiến thức toán học mà còn phát triển tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề. Việc phân tích đa thức thành nhân tử giúp học sinh hiểu rõ hơn về cấu trúc của đa thức và các phương pháp giải toán liên quan. Đặc biệt, việc áp dụng các phương pháp như đặt nhân tử chung, sử dụng hằng đẳng thức hay nhóm hạng tử sẽ giúp học sinh có cái nhìn sâu sắc hơn về mối quan hệ giữa các thành phần trong đa thức. Theo chương trình Toán THCS, nội dung này được giảng dạy chủ yếu ở lớp 8 và lớp 9, với các bài tập thực hành phong phú nhằm củng cố kiến thức cho học sinh.

1.1. Khái niệm và vai trò của đa thức

Đa thức là một biểu thức đại số được tạo thành từ các hạng tử, mỗi hạng tử là một tích của số và biến. Khái niệm này được định nghĩa rõ ràng trong chương trình Toán học, giúp học sinh nhận biết và phân loại các loại đa thức khác nhau. Đa thức có vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán thực tiễn, từ đó giúp học sinh phát triển khả năng tư duy và phân tích. Việc hiểu rõ về đa thức cũng là nền tảng để học sinh tiếp cận các khái niệm phức tạp hơn trong toán học, như phương trình và bất phương trình. Đặc biệt, trong chương trình Toán THCS, đa thức được giới thiệu từ sớm, tạo điều kiện cho học sinh làm quen và thực hành với các bài toán liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử.

II. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Có nhiều phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử, mỗi phương pháp có những ưu điểm và ứng dụng riêng. Phương pháp đầu tiên là đặt nhân tử chung, trong đó học sinh sẽ tìm ra nhân tử chung của các hạng tử trong đa thức và đưa ra biểu thức tương ứng. Phương pháp này giúp học sinh nhận diện được các yếu tố chung và rút gọn đa thức một cách hiệu quả. Tiếp theo là phương pháp sử dụng hằng đẳng thức, trong đó học sinh sẽ áp dụng các hằng đẳng thức đã học để phân tích đa thức. Phương pháp này không chỉ giúp học sinh nhớ lâu hơn về các hằng đẳng thức mà còn phát triển khả năng tư duy sáng tạo khi giải quyết các bài toán. Cuối cùng, phương pháp nhóm hạng tử cũng là một kỹ thuật hữu ích, cho phép học sinh phân nhóm các hạng tử theo cách hợp lý để dễ dàng tìm ra nhân tử chung.

2.1. Phương pháp đặt nhân tử chung

Phương pháp đặt nhân tử chung là một trong những kỹ thuật cơ bản và quan trọng trong việc phân tích đa thức thành nhân tử. Học sinh sẽ tìm kiếm các hạng tử có nhân tử chung và rút gọn đa thức thành một tích của nhân tử chung và một đa thức khác. Ví dụ, với đa thức 6x² - 8xy, học sinh có thể nhận thấy rằng 2x là nhân tử chung, từ đó có thể viết lại thành 2x(3x - 4y). Phương pháp này không chỉ giúp học sinh làm quen với việc nhận diện nhân tử mà còn phát triển khả năng tư duy logic khi phân tích các hạng tử trong đa thức. Việc thực hành thường xuyên với các bài tập liên quan đến phương pháp này sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức và áp dụng hiệu quả trong các bài toán phức tạp hơn.

III. Ứng dụng thực tiễn của phân tích đa thức thành nhân tử

Phân tích đa thức thành nhân tử không chỉ là một nội dung lý thuyết trong chương trình học mà còn có nhiều ứng dụng thực tiễn trong đời sống và các lĩnh vực khác nhau. Trong toán học, việc phân tích đa thức giúp giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình và bất phương trình, từ đó tìm ra nghiệm của các bài toán. Ngoài ra, trong lĩnh vực khoa học và kỹ thuật, phân tích đa thức thành nhân tử được sử dụng để mô hình hóa các hiện tượng tự nhiên, giúp các nhà khoa học và kỹ sư có thể dự đoán và kiểm soát các quá trình. Hơn nữa, việc nắm vững kỹ năng phân tích đa thức còn giúp học sinh chuẩn bị tốt cho các kỳ thi và các môn học nâng cao trong tương lai.

3.1. Phân tích đa thức trong các bài toán thực tiễn

Trong thực tế, nhiều bài toán có thể được mô hình hóa bằng các đa thức, và việc phân tích chúng thành nhân tử sẽ giúp tìm ra giải pháp hiệu quả. Ví dụ, trong kinh tế, các mô hình dự báo doanh thu hoặc chi phí thường được biểu diễn dưới dạng đa thức. Việc phân tích các đa thức này sẽ giúp các nhà quản lý đưa ra quyết định chính xác hơn. Hơn nữa, trong các lĩnh vực như vật lý hay hóa học, nhiều hiện tượng cũng có thể được mô tả bằng các đa thức, và việc phân tích chúng sẽ giúp hiểu rõ hơn về bản chất của các hiện tượng đó. Do đó, việc học và thực hành phân tích đa thức thành nhân tử không chỉ có giá trị trong học tập mà còn có ý nghĩa thực tiễn sâu sắc.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Phân tích đa thức thành nhân tử (PTĐTTNT) là một nội dung trọng tâm trong chương trình Toán trung học cơ sở (THCS) tại Việt Nam, đặc biệt ở lớp 8, với thời lượng chiếm khoảng 1/3 chương trình đại số. Theo ước tính, đa số các đa thức trong chương trình thuộc vành đa thức hệ số nguyên (ĐT-Z) và hữu tỉ (ĐT-Q), trong đó ĐT-Z chiếm ưu thế với tỷ lệ khoảng 80%. Bài toán PTĐTTNT không chỉ được xem là một đối tượng toán học mà còn đóng vai trò công cụ quan trọng trong việc giải phương trình và biến đổi biểu thức đại số. Tuy nhiên, việc phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình hiện hành chưa làm rõ phạm vi vành đa thức áp dụng, dẫn đến nhiều kết quả phân tích khác nhau được chấp nhận hoặc loại trừ dựa trên quy tắc ngầm định của thể chế dạy học.

Mục tiêu nghiên cứu nhằm làm sáng tỏ các quy tắc hợp đồng didactic trong dạy học PTĐTTNT, xác định các kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ phân tích đa thức thành nhân tử, đồng thời khảo sát quan niệm và thực hành của học sinh trong quá trình học tập. Nghiên cứu tập trung vào chương trình Toán lớp 8 tại các trường THCS ở TP. Hồ Chí Minh, với phạm vi thời gian nghiên cứu trong năm học gần đây, nhằm đánh giá tính hợp thức của các kỹ thuật và kết quả phân tích đa thức trong thực tế giảng dạy và học tập.

Kết quả nghiên cứu có ý nghĩa quan trọng trong việc nâng cao hiệu quả dạy học đại số, giúp giáo viên hiểu rõ hơn về các quy tắc ngầm định trong chương trình, đồng thời hỗ trợ học sinh phát triển tư duy toán học chính xác và linh hoạt hơn khi giải quyết bài toán PTĐTTNT.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Nghiên cứu dựa trên ba lý thuyết chính: lý thuyết nhân chủng học về thể chế dạy học, lý thuyết tình huống và hợp đồng didactic. Lý thuyết nhân chủng học giúp phân tích mối quan hệ giữa tri thức toán học, giáo viên và học sinh trong thể chế dạy học THCS. Lý thuyết tình huống được sử dụng để mô hình hóa các kiểu nhiệm vụ và kỹ thuật giải quyết bài toán PTĐTTNT. Hợp đồng didactic được áp dụng để xác định các quy tắc ngầm định mà học sinh và giáo viên tuân thủ trong quá trình dạy học, đặc biệt là các quy tắc về tính hợp thức của kết quả phân tích đa thức.

Ba khái niệm chuyên ngành quan trọng được sử dụng gồm: đa thức bất khả quy (không thể phân tích tiếp trên vành đa thức xác định), vành đa thức (ĐT-Z, ĐT-Q, ĐT-R) và kỹ thuật phân tích đa thức thành nhân tử (đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm hạng tử, phối hợp nhiều phương pháp). Các kỹ thuật này được xem là công cụ giải quyết kiểu nhiệm vụ T-nhantu (phân tích đa thức thành nhân tử).

Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sử dụng phương pháp phân tích thể chế kết hợp nghiên cứu thực nghiệm. Nguồn dữ liệu chính bao gồm chương trình, sách giáo khoa, sách bài tập và sách giáo viên Toán THCS hiện hành, cùng các tài liệu tham khảo về đại số đại cương và lý thuyết nhân tử hóa đa thức ở bậc đại học. Phân tích nội dung chương trình và tài liệu giúp xác định các kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ PTĐTTNT và các quy tắc hợp đồng didactic.

Phần thực nghiệm được tiến hành trên 116 học sinh lớp 8 thuộc ba trường THCS tại TP. Hồ Chí Minh, với hình thức khảo sát qua bộ câu hỏi gồm ba câu hỏi liên quan đến việc phân tích đa thức thành nhân tử và nhận định về biểu thức phân thức. Phân tích dữ liệu thực nghiệm nhằm kiểm chứng giả thuyết về quy tắc hợp đồng didactic và tìm hiểu quan niệm của học sinh về tính hợp thức của các kết quả phân tích đa thức.

Timeline nghiên cứu kéo dài trong một học kỳ, tập trung vào giai đoạn đầu học kỳ I khi học sinh đã học qua nội dung biến đổi biểu thức hữu tỉ và bài toán rút gọn phân thức.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. Phân bố vành đa thức trong chương trình: Khoảng 80% đa thức trong chương trình Toán THCS thuộc vành ĐT-Z, 20% thuộc ĐT-Q, và đa thức thuộc ĐT-R gần như không xuất hiện trong các nhiệm vụ PTĐTTNT. Điều này cho thấy thể chế ưu tiên sử dụng đa thức hệ số nguyên trong dạy học PTĐTTNT.

2. Kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ PTĐTTNT: Bốn kỹ thuật chính được xác định gồm: đặt nhân tử chung (τNTC), dùng hằng đẳng thức (τHDT), nhóm hạng tử (τNHT) và phối hợp nhiều phương pháp (τ). Trong đó, τNTC và τHDT là kỹ thuật cơ sở, chiếm tỷ lệ xuất hiện cao trong các bài tập và ví dụ.

3. Quy tắc hợp đồng didactic (QT-HS): Học sinh được kỳ vọng ưu tiên phân tích đa thức thành tích các đa thức bất khả quy có hệ số nguyên. Quy tắc này được củng cố qua thực nghiệm khi đa số học sinh đánh giá cao kết quả phân tích theo kỹ thuật τNTC với đa thức hệ số nguyên bất khả quy, đồng thời ít chấp nhận kết quả phân tích có hệ số hữu tỉ hoặc thực.

4. Thực nghiệm với học sinh: Trong khảo sát với 116 học sinh, phần lớn học sinh ưu tiên cho điểm cao nhất đối với kết quả phân tích đa thức thành nhân tử theo kỹ thuật đặt nhân tử chung với hệ số nguyên (chiếm khoảng 70%). Kết quả phân tích có hệ số hữu tỉ hoặc chưa phân tích triệt để thường bị cho điểm thấp hơn hoặc không được chấp nhận. Điều này phản ánh sự tuân thủ quy tắc hợp đồng didactic trong thực hành giải toán của học sinh.

Thảo luận kết quả

Kết quả nghiên cứu cho thấy sự thống nhất giữa nội dung chương trình, kỹ thuật dạy học và quan niệm của học sinh về bài toán PTĐTTNT. Việc ưu tiên đa thức hệ số nguyên bất khả quy trong phân tích thành nhân tử phản ánh một quy tắc ngầm định trong thể chế dạy học, giúp đảm bảo tính nhất quán và dễ hiểu cho học sinh trong quá trình học tập.

So sánh với các nghiên cứu trong và ngoài nước, hiện tượng này tương đồng với thực tiễn dạy học ở Pháp, nơi giáo viên cũng chỉ chấp nhận một số kết quả phân tích nhất định dựa trên quy tắc hợp đồng didactic. Tuy nhiên, sự hạn chế trong việc chấp nhận kết quả phân tích có hệ số hữu tỉ hoặc thực có thể làm giảm tính linh hoạt và sáng tạo của học sinh trong giải toán.

Dữ liệu thực nghiệm có thể được trình bày qua biểu đồ phân bố điểm số cho từng kết quả phân tích đa thức, minh họa sự ưu tiên của học sinh đối với kết quả theo quy tắc hợp đồng didactic. Bảng tổng hợp các kỹ thuật giải quyết và tỷ lệ xuất hiện trong chương trình cũng giúp làm rõ sự tiến triển và trọng tâm của dạy học PTĐTTNT.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Đa dạng hóa kỹ thuật dạy học: Giáo viên cần khuyến khích học sinh vận dụng linh hoạt các kỹ thuật phân tích đa thức thành nhân tử, bao gồm cả việc chấp nhận kết quả có hệ số hữu tỉ trong một số trường hợp phù hợp, nhằm phát triển tư duy sáng tạo và khả năng giải quyết vấn đề đa dạng.

2. Rõ ràng về phạm vi vành đa thức: Chương trình và sách giáo khoa nên làm rõ phạm vi vành đa thức áp dụng trong các bài toán PTĐTTNT, giúp học sinh và giáo viên hiểu rõ hơn về tính hợp thức của kết quả phân tích, tránh nhầm lẫn và hạn chế sự loại trừ không cần thiết.

3. Tăng cường thực nghiệm và khảo sát giáo viên: Nghiên cứu tiếp theo nên mở rộng thực nghiệm với giáo viên để làm rõ quan điểm và mong đợi của họ về kết quả phân tích đa thức có hệ số hữu tỉ, từ đó điều chỉnh hợp đồng didactic phù hợp với thực tế giảng dạy.

4. Phát triển tài liệu hỗ trợ: Xây dựng tài liệu hướng dẫn chi tiết về các kỹ thuật phân tích đa thức thành nhân tử, kèm theo ví dụ minh họa đa dạng, giúp giáo viên dễ dàng áp dụng và học sinh tiếp cận hiệu quả hơn.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Giáo viên Toán THCS: Nắm bắt các quy tắc hợp đồng didactic và kỹ thuật phân tích đa thức thành nhân tử để nâng cao chất lượng giảng dạy, đồng thời điều chỉnh phương pháp phù hợp với năng lực học sinh.

2. Nhà quản lý giáo dục và biên soạn chương trình: Sử dụng kết quả nghiên cứu để hoàn thiện chương trình và sách giáo khoa, làm rõ phạm vi áp dụng vành đa thức, đảm bảo tính nhất quán và khoa học trong dạy học đại số.

3. Nghiên cứu sinh và học giả trong lĩnh vực giáo dục toán học: Tham khảo phương pháp nghiên cứu thể chế kết hợp thực nghiệm, cũng như các phát hiện về hợp đồng didactic trong dạy học đại số, làm cơ sở cho các nghiên cứu tiếp theo.

4. Học sinh và phụ huynh quan tâm đến phương pháp học tập: Hiểu rõ các kỹ thuật phân tích đa thức và quy tắc ưu tiên trong giải toán, từ đó nâng cao hiệu quả học tập và hỗ trợ học sinh phát triển tư duy toán học.

Câu hỏi thường gặp

1. Phân tích đa thức thành nhân tử là gì?
   Phân tích đa thức thành nhân tử là quá trình biến đổi một đa thức từ dạng tổng thành tích của các đa thức nhỏ hơn, giúp đơn giản hóa biểu thức và giải các bài toán liên quan như giải phương trình.

2. Tại sao chương trình ưu tiên đa thức hệ số nguyên trong phân tích?
   Đa thức hệ số nguyên dễ hiểu, dễ thao tác và phù hợp với trình độ học sinh THCS, đồng thời giúp đảm bảo tính nhất quán trong dạy học và đánh giá kết quả.

3. Có thể phân tích đa thức thành nhân tử với hệ số hữu tỉ hay thực không?
   Về mặt toán học là có thể, nhưng trong chương trình THCS hiện hành, kết quả phân tích có hệ số hữu tỉ hoặc thực thường ít được chấp nhận do quy tắc hợp đồng didactic và mục tiêu giảng dạy.

4. Các kỹ thuật phân tích đa thức phổ biến là gì?
   Bao gồm đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm hạng tử và phối hợp nhiều phương pháp. Hai kỹ thuật đầu là cơ sở và được sử dụng nhiều nhất trong chương trình.

5. Làm thế nào để giáo viên đánh giá kết quả phân tích đa thức của học sinh?
   Giáo viên thường ưu tiên kết quả phân tích thành tích các đa thức bất khả quy có hệ số nguyên, đồng thời xem xét tính triệt để của phân tích và khả năng vận dụng các kỹ thuật phù hợp.

Kết luận

• Bài toán phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung trọng tâm trong chương trình Toán THCS, tập trung chủ yếu ở lớp 8 với vai trò kép: đối tượng và công cụ.
• Các kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ PTĐTTNT gồm đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm hạng tử và phối hợp nhiều phương pháp, trong đó ưu tiên kỹ thuật đặt nhân tử chung với đa thức hệ số nguyên.
• Quy tắc hợp đồng didactic quy định học sinh ưu tiên phân tích đa thức thành tích các đa thức bất khả quy có hệ số nguyên, được kiểm chứng qua thực nghiệm với học sinh.
• Kết quả nghiên cứu đề xuất cần làm rõ phạm vi vành đa thức áp dụng, đa dạng hóa kỹ thuật dạy học và mở rộng khảo sát giáo viên để nâng cao hiệu quả dạy học đại số.
• Hướng nghiên cứu tiếp theo tập trung vào khảo sát quan điểm giáo viên và phát triển tài liệu hỗ trợ giảng dạy PTĐTTNT.

Mời quý độc giả và các nhà giáo dục tiếp tục đồng hành, áp dụng và phát triển các kết quả nghiên cứu nhằm nâng cao chất lượng dạy học Toán THCS, đặc biệt trong lĩnh vực đại số và phân tích đa thức.

Trích đoạn nội dung tài liệu

chương 1 cho thấy môi trường sinh thái của đa thức trong chương trình toán THCS đã xác định phần lớn môi trường sinh thái của đa thức trong bài toán PTĐTTNT. Tuy thể chế đã không chỉ rõ vành đa thức xác định tập các đa thức, nhưng với sự lựa chọn về nội dung đa thức được trình bày trong chương trình, một cách ngầm ẩn môi trường sinh thái của đa thức là vành ĐT-Z, ĐT-Q, ĐT-R mà vùng sống chủ yếu tập trung ở tập các ĐT-Z và ĐT-Q. 19 Theo đó chúng tôi muốn tìm hiểu xem các kết quả phân tích thành nhân tử có còn tập trung vào hai vành đa thức này không? Và với lựa chọn ngầm ẩn như vậy có hình thành lên HS những quan niệm nào trong thực hành giải toán PTĐTTNT hay không? 20 CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ - MỘT PHÂN TÍCH THỂ CHẾ Mục tiêu của chương Bài toán phân tích đa thức thành nhân tử được đưa vào giảng dạy ở đầu chương trình toán 8 tập 1- chương I. PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC, phân bổ chính thức trong 4 nội dung bài học (như đã thống kê ở mục 1.3, chương 1) trên tổng số 12 bài.

Điều này cho thấy thời lượng dành cho nó tương đối nhiều, chiếm 1/3 nội dung chương. Thời lượng được ưu tiên như thế, đã nói lên vị trí khá quan trọng của bài toán PTĐTTNT trong mối quan hệ giữa các đối tượng tri thức trong chương trình. Với mong muốn tìm hiểu đặc trưng bài toán PTĐTTNT trong thể chế THCS, chúng tôi đi vào phân tích từng nội dung bài học với những quan tâm cụ thể sau: - Xác định những tổ chức toán học liên quan đến bài toán này. - Xác định những tình huống hay bài toán mà việc PTĐTTNT sẽ đóng vai trò một phần kĩ thuật giải.

- Cố gắng mô hình hoá các quy tắc của hợp đồng didactic liên quan đến những mong đợi của thể chế về vấn đề phân tích đa thức thành nhân tử. Quan điểm của chương trình 2002: Với nguyên tắc “không coi trọng tính cấu trúc, tính chính xác của hệ thống kiến thức toán học trong chương trình… ; tăng tính thực tiễn và tính sư phạm”, chương trình mới chú trọng đến quy tắc thực hành, tạo điều kiện cho HS nắm vững và vận dụng tốt các quy tắc, các phương pháp cụ thể, các phép biến đổi biểu thức hữu tỷ… [GV8.8] Điều này khiến chúng tôi có thể dự đoán: yếu tố công nghệ-lý thuyết của các tổ chức toán học (OM) không có cơ hội xuất hiện một cách tường minh hoặc đầy đủ. Thay vào đó, thể chế sẽ tập trung vào các phương pháp hay cách thức vận dụng để giải bài toán PTĐTTNT. Do vậy, việc tiếp cận và phân tích các kỹ thuật được trình bày trong mỗi bài học cho phép ta xác định được những đặc trưng tồn tại của bài toán PTĐTTNT trong chương trình.

Chúng tôi sẽ phân tích OM xoay quanh kiểu nhiệm vụ T-nhantu: Phân tích đa thức thành nhân tử (KNV PTĐTTNT). Các bài học liên tiếp được xác định trong chương 1 mà chúng tôi nhắc lại ở đây : - Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung. - Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức. 21 - Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử.

- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp. (Đại số 8, tập 1) sẽ cho phép chúng tôi xác định các kĩ thuật để giải T-nhantu. Phân tích các ràng buộc trên các kiểu nhiệm vụ và kĩ thuật tương ứng cho phép dự đoán các quy tắc của hợp đồng didactic. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung Trong mục tiêu bài học, GV8.1 mong muốn: - HS hiểu thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử.

- Biết cách tìm nhân tử chung và đặt nhân tử chung.25] Nội dung trước, với nhận xét bài toán PTĐTTNT không được trình bày một cách độc lập, nó được lồng ghép vào bài học đầu tiên với nội dung liên quan trong GK8. Dự kiến phần này chúng tôi đi sâu làm rõ thuật ngữ “PTĐTTNT”, tác giả SGK này đã có hướng tiếp cận ra sao để đạt được mục tiêu mong đợi của thể chế. Bài toán PTĐTTNT được tiếp cận như sau: 1. Hãy viết 2x2-4x thành một tích của những đa thức.2=2x(x-2) Việc biến đổi 2x2-4x thành tích 2x(x-2) được gọi là phân tích đa thức thành nhân tử.

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức. Cách làm như ví dụ trên gọi là phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung (một số phương pháp khác để phân tích thành nhân tử chúng ta sẽ nghiên cứu sau) [GK8.1 tiếp cận bài toán PTĐTTNT theo trình tự: đưa ra ví dụ, trình bày cách làm, định nghĩa. Như vậy, thể chế đã đưa ra định nghĩa chính thức cho thuật ngữ “phân tích đa thức thành nhân tử”, theo đó “Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức”. Dựa trên định nghĩa, tác giả không nói rõ đặc trưng của các đa thức nhân tử được xác định trên vành đa thức nào? Dẫn đến việc xuất hiện nhiều kết quả thoả mãn nó, chẳng hạn: A.

2 So với lời giải của GK8.1, tác giả chỉ đưa ra kết quả 2 x 2 − 4 x = 2 x( x − 2). Cách làm này được gọi tên là: “Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung” (chúng tôi gọi tắt là PTĐTTNT-NTC). Phải chăng đây được xem là kết quả mong đợi của thể chế. Điều này khiến chúng tôi đặt ra câu hỏi: khi yêu cầu phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung, thể chế mong đợi điều gì? Với cách giải của mình, GK8.1 đã chỉ ra được phần chung của cả hai hạng tử là 2x.

Bằng việc viết đa thức ban đầu dưới dạng tích của phần chung với đa thức mới x - 2 là hợp thành từ phần còn lại của hai hạng tử sau khi lấy phần chung, yêu cầu bài toán được giải quyết. 2, x hoặc 2x đều được xem là phần chung của hai hạng tử. Nếu lấy phần chung là 2 thì dẫn đến kết quả B, lấy phần chung là x thì dẫn đến kết quả C, 2x- hợp thành của 2 và x, được xem là phần chung lớn nhất. Theo cách làm trên, GK8.1 đã chọn phần chung lớn đặt ra ngoài dấu ngoặc.

Điều này tạo ra một nghi vấn: “Với cách tìm phần chung như trong ví dụ, phải chăng đây là sự nâng cấp việc tìm ước chung lớn nhất của tập hợp số tự nhiên, mở rộng hơn là tập hợp số nguyên trước đó?”. Nghi vấn này nhanh chóng được GV8.1 làm sáng tỏ thông qua phần B. Những điều cần lưu ý, tr.25: Cách tìm nhân tử chung với các đa thức có hệ số nguyên - Hệ số là ƯCLN của các hệ số dương của các hạng tử - Các lũy thừa bằng chữ có mặt trong mọi hạng tử với số mũ của mỗi lũy thừa là số mũ nhỏ nhất của nó.25] Đến đây kĩ thuật đầu tiên giải quyết KNV “phân tích đa thức thành nhân tử” (T- nhantu) xuất hiện và được mô hình hóa với bốn thành phần trong OM-1 [ T − nhantu , τNTC , θNTC , Θ ] .Trong đó, τ NTC là kỹ thuật giải quyết T-nhantu với hai bước: Bước 1: Tìm nhân tử chung của các hạng tử trong đa thức với các nguyên tắc sau: Hệ số là ước chung lớn nhất của các hệ số nguyên dương của các hạng tử. Các lũy thừa bằng chữ có mặt trong mọi hạng tử với số mũ của mỗi lũy thừa là số mũ nhỏ nhất của nó.

Biểu diễn hạng tử trong đa thức dưới dạng tích chứa nhân tử chung vừa tìm được.B1; trong đó F là nhân tử chung. Bước 2: Đặt nhân tử chung, viết đa thức ban đầu dưới dạng tích của đa thức nhân tử chung và đa thức mới là phần còn lại của các hạng tử sau khi lấy đi nhân tử chung, có thể là A+B=F.(A1+B1) Công nghệ θ NTC dùng giải thích kỹ thuật trên là phép nhân hai đa thức; lý thuyết Θ NTC : tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng. Với cách xác định nhân tử chung của GV8.1 cho thấy τ NTC được chỉ định đối với các đa thức có hệ số nguyên. Do vậy, nhân tử chung tìm được trong quá trình biến đổi là một đa thức với hệ số nguyên, kéo theo đa thức nhân tử còn lại phải là đa thức có hệ số nguyên.

Thêm vào nữa, các hạng tử trong mỗi một đa thức nhân tử không tồn tại phần chung. Điều này có nghĩa là: nếu mỗi hạng tử trong đa thức nhân tử có nhân tử chung thì quá trình phân tích phải được tiếp tục. Tuy nhiên, hiện tượng này là khó có thể xảy ra. Bởi lẽ, việc xác định nhân tử dựa trên quy tắc tìm ước chung lớn nhất (UCLN) đã vét cạn phần chung trong các hạng tử.

Như vậy bằng phương pháp đặt nhân tử chung, quá trình phân tích sẽ kết thúc sau hữu hạn lần đặt nhân tử chung. Vì thế, A là kết quả hợp lý nhất, các kết quả còn lại ngầm ẩn bị bỏ qua, đặc biệt là kết quả phân tích có chứa hệ số hữu tỉ hoặc hệ số thực không thể xuất hiện, mặc dù xét về bản chất chúng hoàn toàn không vi phạm định nghĩa về thuật ngữ PTĐTTNT. Tiếp theo, GK8.1 đưa thêm ví dụ 2, trang 18: Ví dụ 2. Phân tích đa thức 15x3 – 5x2 + 10x thành nhân tử Giải.2 = 5x(3x2 –x +2) Nhận thấy với kỹ thuật được cung cấp, kết quả trong ví dụ 2 đi chung trên “một con đường” với ví dụ 1.

Dẫn đến duy nhất một đáp số được chấp nhận 5x(3x2 –x +2) trong khi các đáp 1 2 2 1 số hợp lý 15 x( x 2 − x + ) ; 10 x( x 2 − x + 1) …đã không được chỉ ra. 3 3 3 2 Lúc này, chúng tôi nhận thấy đa thức cần biến đổi về dạng tích và đa thức nhân tử của nó có hệ số nguyên hay không nguyên đã không được nói rõ trong định nghĩa. Điều đáng chú ý, cả hai đa thức trong hai ví dụ mẫu đều là đa thức có hệ số nguyên. Rõ ràng, khi áp dụng kỹ thuật giải τ NTC các đa thức nhân tử phải có hệ số nguyên.

Còn đối với những đa thức có hệ số không nguyên thì sao? Liệu thể chế có chấp nhận kết quả phân tích thành nhân tử có chứa hệ số không nguyên hay không?