Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ toán học "Phân bố giá trị của ánh xạ phân hình từ đa tạp Kähler vào đa tạp xạ ảnh và ứng dụng" được thực hiện bởi nghiên cứu sinh Nguyễn Thị Nhung tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội (năm 2019), dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS. Sĩ Đức Quang, thuộc chuyên ngành Hình học và Tôpô (mã số: 9.05).

Tên đề tài: Phân bố giá trị của ánh xạ phân hình từ đa tạp Kähler vào đa tạp xạ ảnh và ứng dụng
Tác giả: Nguyễn Thị Nhung
Chuyên ngành: Hình học và Tôpô (Mã số: 9.05)
Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
Năm bảo vệ: 2019
Người hướng dẫn: PGS.TS. Sĩ Đức Quang

Tính cấp thiết và khoảng trống nghiên cứu

Lý thuyết Nevanlinna khởi đầu từ các nghiên cứu phân bố giá trị của hàm phân hình trên mặt phẳng phức $\mathbb{C}$, sau đó được mở rộng sang đường cong chỉnh hình và ánh xạ phân hình trên không gian phức nhiều chiều $\mathbb{C}^m$ cũng như các đa tạp parabolic. Trong những thập kỷ gần đây, bài toán tổng quát hóa lý thuyết Nevanlinna cho các ánh xạ phân hình xác định trên đa tạp Kähler $M$ nhận được sự quan tâm sâu sắc.

Khác biệt cơ bản giữa đa tạp Kähler tổng quát và không gian $\mathbb{C}^m$ là trên đa tạp Kähler nói chung không tồn tại hàm vét cạn parabolic (parabolic exhaustion function). Do đó, các khái niệm cổ điển như hàm đếm của divisor, hàm đặc trưng Nevanlinna và hàm xấp xỉ không thể xây dựng theo cách thông thường khi bán kính hình cầu phủ $R_0 < \infty$. Khi đó, đại lượng nhiễu $S_f(r)$ trong định lý cơ bản thứ hai không còn là vô cùng bé bậc cao so với hàm đặc trưng $T_f(r)$, khiến các đánh giá truyền thống mất hiệu lực.

Để giải quyết vấn đề này trên đa tạp Kähler $M$ đầy có phủ phổ dụng song chỉnh hình với hình cầu $B(R_0) \subset \mathbb{C}^m$, H. Fujimoto đã đưa ra khái niệm "số khuyết không lấy tích phân" đối với họ siêu phẳng ở vị trí tổng quát. Tuy nhiên, các nghiên cứu tiếp nối về sau vẫn tồn tại những khoảng trống lý thuyết:

  1. Đối với quan hệ số khuyết không lấy tích phân khi giao với họ siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát, các kết quả của M. Sogome (2012) chỉ áp dụng cho vị trí tổng quát; kết quả của T. Trường (2012) đòi hỏi thêm điều kiện đặc biệt về giao các thành phần bất khả quy; còn kết quả của Q. Yan (2013) có chặn trên của tổng số khuyết là $N(n+1)$, khi quay về vị trí tổng quát ($N=n$) cho ra số hạng $n(n+1)$ lớn hơn chặn $n+1$ thông thường.
  2. Đối với bài toán duy nhất (định lý kiểu năm điểm của Nevanlinna), định lý của H. Fujimoto (1986) trên đa tạp Kähler không có điều kiện đối chiều của giao các ảnh ngược như các kết quả của L. Smiley (1983) và Z. Chen - Q. Yan (2009) trên $\mathbb{C}^m$, nên không thể bao hàm các kết quả trên $\mathbb{C}^m$ khi quy về trường hợp riêng.
  3. Đối với bài toán suy biến đại số và sự phụ thuộc đại số của ba ánh xạ phân hình có cùng ảnh ngược của một họ siêu phẳng, toàn bộ các công trình trước đó (S. Ji, W. Stoll, M. Ru, S. Đức Quang, S. Quỳnh) chỉ được thiết lập trên $\mathbb{C}^m$ hoặc đa tạp parabolic; chưa từng có công trình nào thiết lập được kết quả phụ thuộc đại số cho ánh xạ phân hình trên đa tạp Kähler $M$ do thiếu vắng kỹ thuật sắp xếp hàm đếm và tái cấu trúc họ siêu phẳng khi không có hàm đếm cổ điển.

Mục tiêu nghiên cứu

  1. Thiết lập định lý về quan hệ số khuyết không lấy tích phân cho ánh xạ phân hình từ đa tạp Kähler vào không gian xạ ảnh $\mathbb{P}^n(\mathbb{C})$ và đa tạp xạ ảnh $V \subset \mathbb{P}^n(\mathbb{C})$ giao với họ siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát, khắc phục hạn chế trong các cận đánh giá của các tác giả đi trước.
  2. Mở rộng định lý duy nhất của H. Fujimoto cho hai ánh xạ phân hình từ đa tạp Kähler $M$ vào $\mathbb{P}^n(\mathbb{C})$ có cùng ảnh ngược của một họ siêu phẳng với điều kiện đối chiều tổng quát của giao các ảnh ngược.
  3. Thiết lập các định lý đầu tiên về sự phụ thuộc đại số và suy biến tuyến tính của ba ánh xạ phân hình từ đa tạp Kähler $M$ vào $\mathbb{P}^n(\mathbb{C})$ có cùng ảnh ngược của một họ siêu phẳng ở vị trí dưới tổng quát với các mức bội chặn khác nhau.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

  • Đối tượng nghiên cứu: Quan hệ số khuyết không lấy tích phân, bài toán duy nhất và sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình.
  • Phạm vi nghiên cứu: Lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna cho các ánh xạ phân hình xác định trên đa tạp Kähler $M$ liên thông, đầy, $m$ chiều, có không gian phủ phổ dụng $\tilde{M}$ song chỉnh hình với hình cầu mở $B(R_0) \subset \mathbb{C}^m$ ($0 < R_0 \le \infty$), lấy giá trị trong không gian xạ ảnh phức $\mathbb{P}^n(\mathbb{C})$ hoặc đa tạp xạ ảnh con $V \subset \mathbb{P}^n(\mathbb{C})$.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Luận án đã hệ thống hóa các mốc phát triển chính của lý thuyết phân bố giá trị:

Hướng nghiên cứu Các tác giả và công trình tiêu biểu Kết quả chính đã có Khoảng trống / Vị trí giải quyết của luận án
Lý thuyết Nevanlinna cổ điển & nhiều biến R. Nevanlinna (1926), H. Cartan, L. Ahlfors (1941), W. Stoll (1953), B. Shiffman Xây dựng 2 định lý cơ bản, định lý Picard và lý thuyết phân bố giá trị trên $\mathbb{C}$, $\mathbb{C}^m$ và đa tạp parabolic. Chưa áp dụng được trực tiếp cho đa tạp Kähler tổng quát do không có hàm vét cạn parabolic.
Số khuyết không lấy tích phân trên đa tạp Kähler H. Fujimoto (1983, 1988), M. Sogome (2012), T. Trường (2012), Q. Yan (2013), Đ. Thái - S. Đức Quang (2016) Fujimoto đưa ra khái niệm số khuyết không lấy tích phân cho siêu phẳng; Sogome mở rộng cho siêu mặt tổng quát; Yan đưa ra chặn $N(n+1)$ cho siêu mặt $N$-dưới tổng quát; Trường thêm điều kiện giao bất khả quy. Luận án dùng kỹ thuật "thay thế siêu mặt" của S. Đức Quang (2016) để thu được chặn $p(n+1)$ với $p=N-n+1$, khớp với kết quả của Sogome khi $N=n$, đồng thời cải tiến bội chặn $u$.
Bài toán duy nhất cho ánh xạ phân hình R. Nevanlinna (1926), H. Fujimoto (1975, 1986), L. Smiley (1983), Z. Chen - Q. Yan (2009), S. Đức Quang (2012) Smiley xét $3n+2$ siêu phẳng trên $\mathbb{C}^m$ với $\dim(f^{-1}(H_i) \cap f^{-1}(H_j)) \le m-2$; Chen-Yan giảm còn $2n+3$; Quang xét giao $k+1$ siêu phẳng; Fujimoto đưa ra định lý duy nhất trên $M$ với $q > n^2+2n+1+\rho n(n+1)$ nhưng không có điều kiện đối chiều. Luận án kết hợp điều kiện đối chiều giao $k+1$ ảnh ngược lên đa tạp Kähler $M$, mở rộng đồng thời định lý của Fujimoto và tổng quát hóa kết quả của Quang, Chen-Yan trên $\mathbb{C}^m$.
Sự phụ thuộc đại số của ba ánh xạ phân hình S. Ji (1988), W. Stoll (1990), M. Ru (2001), S. Quỳnh (2015), S. Đức Quang (2017) S. Ji xét 3 ánh xạ trên $\mathbb{C}^m$ với $3n+1$ siêu phẳng; Quỳnh giảm $q < 2n+2$ với bội chặn $n$; Quang xét $q=2n+1$ (bội chặn $p \le n$) và $q=2n+2$ (không tính bội). Chưa từng có kết quả nào về sự phụ thuộc đại số cho ánh xạ trên đa tạp Kähler $M$. Luận án thiết lập các định lý đầu tiên cho lớp đa tạp này với họ siêu phẳng $N$-dưới tổng quát.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết và các khái niệm cơ bản

  • Đa tạp Kähler và điều kiện $(C_\rho)$: Cho $M$ là đa tạp Kähler đầy chiều $m$ với dạng metric $\omega = \frac{\sqrt{-1}}{2\pi} \sum_{i,j} h_{i\bar{j}} dz_i \wedge d\bar{z}j$ và dạng Ricci $\text{Ric}\omega = dd^c \log(\det(h{i\bar{j}}))$. Ánh xạ phân hình $f: M \to \mathbb{P}^n(\mathbb{C})$ thỏa mãn điều kiện $(C_\rho)$ ($\rho \ge 0$) nếu tồn tại hàm thực liên tục, bị chặn, không đồng nhất bằng không $h$ trên $M$ sao cho: $$\rho \Omega_f + dd^c \log h^2 \ge \text{Ric}\omega$$ trong đó $\Omega_f = f^*\Omega$ là kéo lùi của dạng metric Fubini-Study $\Omega$ trên $\mathbb{P}^n(\mathbb{C})$.
  • Số khuyết không lấy tích phân: Với siêu mặt $Q$ bậc $d$ trong $\mathbb{P}^n(\mathbb{C})$ thỏa mãn $f(M) \not\subset Q$ và số nguyên dương $\mu_0$, số khuyết không lấy tích phân $\delta_f^{[\mu_0]}(Q)$ được định nghĩa là: $$\delta_f^{[\mu_0]}(Q) := 1 - \inf{\eta \ge 0 : \eta \text{ thỏa mãn điều kiện } ()}$$ Điều kiện $()$ đòi hỏi tồn tại hàm không âm liên tục, bị chặn $h$ trên $M$ có bội không điểm không nhỏ hơn $\min{\nu_f(Q), \mu_0}$ thỏa mãn $d\eta \Omega_f + \frac{\sqrt{-1}}{2\pi}\partial\bar{\partial}\log h^2 \ge [\min{\nu_f(Q), \mu_0}]$.
  • Vị trí $N$-dưới tổng quát: Họ siêu mặt $Q_1, \dots, Q_q$ trong $\mathbb{P}^n(\mathbb{C})$ được gọi là ở vị trí $N$-dưới tổng quát đối với đa tạp xạ ảnh $V \subset \mathbb{P}^n(\mathbb{C})$ ($\dim V = k$) nếu với mọi $1 \le j_1 < \dots < j_{N+1} \le q$: $$Q_{j_1} \cap \dots \cap Q_{j_{N+1}} \cap V = \emptyset$$
  • Lý thuyết Chow và Hilbert: Luận án sử dụng dạng Chow $F_X$, trọng Chow $e_X(c)$, hàm Hilbert $H_X(m)$ và trọng Hilbert $S_X(m, c)$ cùng bất đẳng thức liên hệ giữa trọng Hilbert và trọng Chow được xây dựng bởi J. Evertse, R. Ferretti và M. Ru.

Phương pháp nghiên cứu

  • Kỹ thuật chuyển không gian phủ: Nhờ tính giảm khoảng cách của ánh xạ từ không gian phủ lên không gian cơ sở, các bài toán xét trên đa tạp Kähler $M$ được chuyển đổi thành bài toán tương ứng cho ánh xạ phân hình xác định trên hình cầu $B(R_0) \subset \mathbb{C}^m$.
  • Kỹ thuật "thay thế siêu mặt": Thay vì phải sử dụng trọng lượng Nochka (chưa được hoàn thiện đầy đủ cho trường hợp siêu mặt), tác giả áp dụng kỹ thuật tuyến tính hóa cục bộ: thay thế cụm $N+1$ siêu mặt ở vị trí $N$-dưới tổng quát bằng $n+1$ (hoặc $k+1$) siêu mặt ở vị trí tổng quát tạo bởi các tổ hợp tuyến tính phù hợp, đảm bảo giữ nguyên các đánh giá tiệm cận.
  • Kỹ thuật Wronskian tổng quát và hàm phụ trợ: Sử dụng Wronskian tổng quát $W^\alpha(F_0, \dots, F_l)$ cho hệ hàm chỉnh hình không suy biến tuyến tính, kết hợp bổ đề đạo hàm logarit trên hình cầu $B(R_0)$ và phương pháp hàm đa điều hòa dưới để đánh giá tích phân mâu thuẫn theo định lý tích phân của S. T. Yau.

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: Tổng quan

Chương này tổng kết lịch sử phát triển của lý thuyết Nevanlinna từ lý thuyết cổ điển trên mặt phẳng phức $\mathbb{C}$ đến lý thuyết phân bố giá trị của ánh xạ phân hình trên không gian phức nhiều chiều $\mathbb{C}^m$ và đa tạp Kähler $M$. Tác giả phân tích chi tiết các kết quả của R. Nevanlinna, H. Cartan, L. Ahlfors, W. Stoll, H. Fujimoto, M. Sogome, Q. Yan, S. Ji, Z. Chen, S. Đức Quang, đồng thời làm rõ các rào cản kỹ thuật khi chuyển từ $\mathbb{C}^m$ sang đa tạp Kähler $M$ (đặc biệt là sự bất khả thi của việc sử dụng trực tiếp hàm đếm và hàm đặc trưng khi $R_0 < \infty$).

Chương 2: Quan hệ số khuyết không lấy tích phân cho ánh xạ phân hình giao với họ siêu mặt dưới tổng quát

Chương 2 trình bày các bổ đề chuẩn bị về giải tích phức trên hình cầu, bổ đề Wronskian, tính chất của trọng Chow - Hilbert và chứng minh hai định lý trọng tâm về số khuyết không lấy tích phân:

  1. Định lý 2.4 (Ánh xạ vào $\mathbb{P}^n(\mathbb{C})$): Cho $M$ là đa tạp Kähler đầy chiều $m$ có phủ phổ dụng song chỉnh hình với hình cầu trong $\mathbb{C}^m$. Giả sử $f: M \to \mathbb{P}^n(\mathbb{C})$ là ánh xạ phân hình không suy biến đại số thỏa mãn điều kiện $(C_\rho)$ ($\rho \ge 0$). Giả sử ${Q_j}{j=1}^q$ là các siêu mặt bậc $d_j$ ở vị trí $N$-dưới tổng quát, $d = \text{BCNN}(d_1, \dots, d_q)$. Khi đó với mọi $\epsilon > 0$: $$\sum{j=1}^q \delta_f^{[u-1]}(Q_j) \le p(n+1) + \epsilon + \frac{\rho u(u-1)}{d}$$ trong đó $p = N - n + 1$, $u = \binom{L_0+n}{n} \le e^{n+2} (d p (n+1)^2 I(\epsilon^{-1}))^n$, và $L_0 = (n+1)d + p(n+1)^3 I(\epsilon^{-1})d$. Khi họ siêu mặt ở vị trí tổng quát ($N=n \Rightarrow p=1$), số hạng đầu tiên ở vế phải chính xác bằng $n+1$, tổng quát hóa hoàn toàn kết quả của M. Sogome và cải tiến cận $N(n+1)$ của Q. Yan.

  2. Định lý 2.10 (Ánh xạ vào đa tạp xạ ảnh $V \subset \mathbb{P}^n(\mathbb{C})$): Cho $V$ là đa tạp xạ ảnh chiều $k$ trong $\mathbb{P}^n(\mathbb{C})$, $f: M \to V$ không suy biến đại số đối với $V$ thỏa mãn $(C_\rho)$. ${Q_j}{j=1}^q$ ở vị trí $N$-dưới tổng quát đối với $V$. Khi đó với mọi $\epsilon > 0$: $$\sum{j=1}^q \delta_f^{[M_0-1]}(Q_j) \le p(k+1) + \epsilon + \frac{\rho \epsilon M_0(M_0-1)}{d}$$ với $p = N - k + 1$, $M_0 = \left[ d^{k^2+k} \deg(V)^{k+1} e^k p^k (2k+4)^k l^k \epsilon^{-k} + 1 \right]$, $l = (k+1)q!$.

  3. Hệ quả 2.12 (Ánh xạ có thể suy biến đại số): Thiết lập chặn trên cho tổng số khuyết không lấy tích phân khi $f: M \to \mathbb{P}^n(\mathbb{C})$ có thể suy biến đại số: $$\sum_{j=1}^q \delta_f^{[M_0-1]}(Q_j) \le \frac{n(n+1)}{2} + 1 + \frac{\rho M_0(M_0-1)}{d}$$

So sánh chặn trên tổng số khuyết cho siêu mặt N-dưới tổng quát:
- Q. Yan (2013):         Chặn = N(n + 1) + ε + ...        (Khi N = n -> n(n + 1))
- T. Trường (2012):      Chặn = n + 1                     (Cần thêm điều kiện giao bất khả quy)
- Luận án (Định lý 2.4): Chặn = (N - n + 1)(n + 1) + ε + ... (Khi N = n -> n + 1, không cần điều kiện phụ)

Chương 3: Vấn đề duy nhất cho ánh xạ phân hình có cùng ảnh ngược của một số siêu phẳng

Chương 3 giải quyết bài toán duy nhất cho hai ánh xạ phân hình $f, g: M \to \mathbb{P}^n(\mathbb{C})$ không suy biến tuyến tính thỏa mãn điều kiện $(C_\rho)$, cùng nhận giá trị trên ảnh ngược của $q$ siêu phẳng ${H_j}_{j=1}^q$ ở vị trí tổng quát:

  • Định lý 3.2 (Định lý duy nhất trên đa tạp Kähler): Giả sử điều kiện đối chiều thỏa mãn: $$\dim \left( \bigcap_{j=1}^{k+1} f^{-1}(H_{i_j}) \right) \le m - 2 \quad (1 \le i_1 < \dots < i_{k+1} \le q)$$ và $f = g$ trên $\bigcup_{j=1}^q (f^{-1}(H_j) \cup g^{-1}(H_j))$. Khi đó $f \equiv g$ nếu một trong hai điều kiện sau thỏa mãn:
    1. $q \ge 2(n+1)k$ và $q - \frac{2nkq}{q + 2nk - 2k} > n + 1 + \rho n(n+1)$
    2. $q < 2(n+1)k$ và $q > (n+1)(k+1) + \rho n(n+1)$

Kết quả này bao hàm định lý của H. Fujimoto (1986) (khi không ràng buộc điều kiện đối chiều, ứng với $k=n$) và mở rộng kết quả của S. Đức Quang (2012) cũng như Z. Chen - Q. Yan (2009) từ $\mathbb{C}^m$ lên đa tạp Kähler $M$.

Chương 4: Sự phụ thuộc đại số của ba ánh xạ phân hình có cùng ảnh ngược của một số siêu phẳng

Chương 4 thiết lập các điều kiện để ba ánh xạ phân hình $f_1, f_2, f_3: M \to \mathbb{P}^n(\mathbb{C})$ thỏa mãn điều kiện $(C_\rho)$ có quan hệ phụ thuộc đại số (ảnh của ánh xạ tích $f_1 \times f_2 \times f_3$ nằm trong một đa tạp xạ ảnh con thực sự của $\mathbb{P}^n(\mathbb{C}) \times \mathbb{P}^n(\mathbb{C}) \times \mathbb{P}^n(\mathbb{C})$ hoặc $f_1 \wedge f_2 \wedge f_3 \equiv 0$).

Giả thiết chung: ${H_j}{j=1}^q$ là $q$ siêu phẳng ở vị trí $N$-dưới tổng quát thỏa mãn $\dim(f^{-1}(H_i) \cap f^{-1}(H_j)) \le m-2$, và $f_1 = f_2 = f_3$ trên $\bigcup{j=1}^q (f_1)^{-1}(H_j)$.

Các định lý chính gồm:

  1. Định lý 4.3 (Bội chặn $n$): Nếu $\min{\nu(f_1, H_i), n} = \min{\nu(f_2, H_i), n} = \min{\nu(f_3, H_i), n}$ ($1 \le i \le q$) và: $$q > 2N - n + 1 + \rho n(n+1) + \frac{3nq}{2q + 3n - 3}$$ thì tồn tại $3[\frac{q}{3}]+1$ siêu phẳng mà trên đó các ánh xạ có mối liên hệ phụ thuộc đại số.
  2. Định lý 4.5 (Bội chặn $p \le n$, với $n \ge 5$): Nếu $\min{\nu(f_1, H_i), p} = \min{\nu(f_2, H_i), p} = \min{\nu(f_3, H_i), p}$ ($1 \le i \le q$) và: $$q > 2N - n + 1 + \rho n(n+1) + \frac{q(2n+p)}{2q - 3 + 3p}$$ thì ánh xạ tích $f_1 \times f_2 \times f_3: M \to \mathbb{P}^n(\mathbb{C}) \times \mathbb{P}^n(\mathbb{C}) \times \mathbb{P}^n(\mathbb{C})$ là suy biến tuyến tính.
  3. Định lý 4.6 (Trường hợp không tính bội, $d=1$): Nếu $\min{\nu(f_1, H_i), 1} = \min{\nu(f_2, H_i), 1} = \min{\nu(f_3, H_i), 1}$ ($1 \le i \le q$) và: $$q > 2N - n + 1 + \rho n(n+1) + \frac{3nq}{2q + 2n - 2}$$ thì $f_1 \wedge f_2 \wedge f_3 \equiv 0$ trên $M$. Cụ thể, ba ánh xạ $f_1, f_2, f_3$ phụ thuộc đại số trên $M$.

Khi $M = \mathbb{C}^m$, metric phẳng có dạng Ricci triệt tiêu nên $\rho = 0$, các Định lý 4.3, 4.5, 4.6 quy về và làm khớp các kết quả của S. Quỳnh (2015) và S. Đức Quang (2017).

Kết quả và những đóng góp mới

  1. Về quan hệ số khuyết không lấy tích phân: Thiết lập thành công quan hệ số khuyết không lấy tích phân cho ánh xạ phân hình từ đa tạp Kähler $M$ vào không gian xạ ảnh $\mathbb{P}^n(\mathbb{C})$ và đa tạp xạ ảnh $V$ giao với họ siêu mặt ở vị trí $N$-dưới tổng quát. Đánh giá chặn trên thu được là $p(n+1) + \epsilon + \dots$ (với $p = N - n + 1$), khắc phục được nhược điểm của chặn $N(n+1)$ từ công trình của Q. Yan (2013), đồng thời không cần các giả thiết phụ về tính bất khả quy như công trình của T. Trường (2012).
  2. Về tính duy nhất: Mở rộng định lý duy nhất của H. Fujimoto (1986) cho các ánh xạ phân hình trên đa tạp Kähler $M$ bằng cách tích hợp điều kiện đối chiều tổng quát của giao các ảnh ngược $(\dim \bigcap_{j=1}^{k+1} f^{-1}(H_{i_j}) \le m - 2)$, thiết lập cầu nối thống nhất giữa kết quả trên đa tạp Kähler và các kết quả của L. Smiley, Z. Chen, Q. Yan, S. Đức Quang trên $\mathbb{C}^m$.
  3. Về sự phụ thuộc đại số: Lần đầu tiên xây dựng và chứng minh các định lý về sự phụ thuộc đại số và suy biến tuyến tính của ba ánh xạ phân hình từ đa tạp Kähler $M$ vào $\mathbb{P}^n(\mathbb{C})$ có cùng ảnh ngược của một họ siêu phẳng ở vị trí $N$-dưới tổng quát, tương ứng với các mức bội chặn $n$, $p \le n$ và trường hợp không tính bội ($d=1$).
  4. Về phương pháp luận toán học: Đề xuất kỹ thuật phân nhóm siêu phẳng và xây dựng các dạng hàm phụ trợ mới để xử lý đánh giá Wronskian trên không gian phủ hình cầu mà không phụ thuộc vào hàm đếm cổ điển.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

  • Hạn chế: Toàn bộ kết quả trong luận án được xây dựng trên lớp đa tạp Kähler đầy $M$ có phủ phổ dụng song chỉnh hình với hình cầu mở $B(R_0) \subset \mathbb{C}^m$ ($0 < R_0 \le \infty$) và ánh xạ thỏa mãn điều kiện độ cong tích phân $(C_\rho)$. Luận án chưa khảo sát các đa tạp phức không có tính chất phủ hình cầu hoặc trường hợp họ mục tiêu là các siêu mặt di động (moving hypersurfaces).
  • Hướng nghiên cứu tiếp:
    1. Mở rộng bài toán duy nhất và bài toán suy biến đại số trên đa tạp Kähler cho trường hợp họ các siêu mặt bậc cao thay vì chỉ giới hạn ở họ siêu phẳng.
    2. Nghiên cứu quan hệ số khuyết và tính duy nhất của ánh xạ phân hình trên đa tạp Kähler với họ mục tiêu di động (moving targets).
    3. Mở rộng các kết quả phụ thuộc đại số cho họ nhiều hơn ba ánh xạ phân hình ($k$ ánh xạ với $k \ge 4$).

Giá trị tham khảo

  • Đối với nghiên cứu sinh và học viên cao học: Luận án là tài liệu tham khảo chi tiết về kỹ thuật xử lý giải tích phức nhiều biến, lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna trên đa tạp phức, phương pháp Wronskian tổng quát, dạng Chow và trọng Hilbert.
  • Đối với giảng viên và nhà nghiên cứu chuyên ngành Hình học và Tôpô, Giải tích phức: Cung cấp các công cụ và kỹ thuật ("thay thế siêu mặt", hàm phụ trợ trên không gian phủ) để giải quyết các bài toán phân bố giá trị, bài toán duy nhất và bài toán suy biến đại số trong điều kiện thiếu vắng hàm vét cạn parabolic.

Câu hỏi thường gặp

1. Tại sao không thể sử dụng trực tiếp lý thuyết Nevanlinna cổ điển trên đa tạp Kähler tổng quát?

Trên đa tạp Kähler tổng quát nói chung không tồn tại hàm vét cạn parabolic. Khi chuyển bài toán lên không gian phủ song chỉnh hình là hình cầu $B(R_0) \subset \mathbb{C}^m$ với bán kính hữu hạn $R_0 < \infty$, đại lượng nhiễu $S_f(r)$ không còn là $o(T_f(r))$. Do đó, các hàm đếm, hàm đặc trưng và số khuyết cổ điển không còn duy trì được các tính chất đánh giá tiệm cận như trên $\mathbb{C}^m$.

2. Khái niệm "số khuyết không lấy tích phân" của Fujimoto có vai trò gì?

Số khuyết không lấy tích phân $\delta_f^{[\mu_0]}(Q)$ được định nghĩa thông qua cận dưới của hằng số $\eta \ge 0$ thỏa mãn bất đẳng thức vi phân dạng dòng $d\eta \Omega_f + \frac{\sqrt{-1}}{2\pi}\partial\bar{\partial}\log h^2 \ge [\min{\nu_f(Q), \mu_0}]$. Khái niệm này cho phép đánh giá mức độ bỏ qua siêu mặt của ánh xạ phân hình thông qua hình học vi phân và thế đa điều hòa dưới mà không cần lấy tích phân tính hàm đếm trên các mặt cầu vét cạn.

3. Kỹ thuật "thay thế siêu mặt" của S. Đức Quang được luận án áp dụng như thế nào?

Để xử lý họ siêu mặt ở vị trí $N$-dưới tổng quát mà không cần dùng đến trọng lượng Nochka (vốn chưa hoàn thiện cho siêu mặt), kỹ thuật này thay thế cụm $N+1$ siêu mặt dưới tổng quát bằng $n+1$ siêu mặt ở vị trí tổng quát tạo thành từ các tổ hợp tuyến tính của chúng. Nhờ đó, các đánh giá hàm phụ trợ và Wronskian được bảo toàn mà vẫn áp dụng được cho trường hợp dưới tổng quát.

4. Kết quả về bài toán duy nhất trong Chương 3 cải tiến định lý của H. Fujimoto (1986) ở điểm nào?

Định lý của Fujimoto (1986) chỉ xét họ siêu phẳng tổng quát và không có điều kiện ràng buộc đối chiều của giao các ảnh ngược. Luận án đưa vào điều kiện đối chiều $\dim(\bigcap_{j=1}^{k+1} f^{-1}(H_{i_j})) \le m-2$, giúp giảm số lượng siêu phẳng $q$ cần thiết để suy ra $f \equiv g$, đồng thời khi quy về $\mathbb{C}^m$ kết quả này làm khớp và mở rộng các định lý của L. Smiley (1983), Z. Chen - Q. Yan (2009) và S. Đức Quang (2012).

5. Ý nghĩa của điều kiện $f_1 \wedge f_2 \wedge f_3 \equiv 0$ trong Chương 4 là gì?

Điều kiện $f_1 \wedge f_2 \wedge f_3 \equiv 0$ trên $M$ khẳng định rằng tại mọi điểm, các vectơ biểu diễn của ba ánh xạ phân hình luôn phụ thuộc tuyến tính trong $\mathbb{C}^{n+1}$. Điều này kéo theo ảnh của ánh xạ tích $(f_1, f_2, f_3)(M)$ nằm trong một đa tạp đại số con thực sự của $\mathbb{P}^n(\mathbb{C}) \times \mathbb{P}^n(\mathbb{C}) \times \mathbb{P}^n(\mathbb{C})$, tức là ba ánh xạ có mối liên hệ phụ thuộc đại số.

Kết luận

Luận án của nghiên cứu sinh Nguyễn Thị Nhung đã giải quyết trọn vẹn ba bài toán trọng tâm trong lý thuyết phân bố giá trị của ánh xạ phân hình từ đa tạp Kähler vào đa tạp xạ ảnh: thiết lập quan hệ số khuyết không lấy tích phân cho họ siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát với cận tối ưu, mở rộng định lý duy nhất kèm điều kiện đối chiều, và chứng minh các định lý đầu tiên về sự phụ thuộc đại số của ba ánh xạ phân hình trên đa tạp Kähler. Các kết quả nghiên cứu đã được công bố trên các tạp chí toán học chuyên ngành quốc tế, góp phần hoàn thiện cơ sở lý thuyết phân bố giá trị nhiều biến trên các cấu trúc hình học phức không parabolic.