Phân Bố Giá Trị Ánh Xạ Phân Hình Từ Đa Tạp Kähler

Lý thuyết Nevanlinna bắt đầu bằng những nghiên cứu về phân bố giá trị của các hàm phân hình trên mặt phẳng phức. Nevanlinna đã mở rộng định lý Picard nhỏ bằng cách chứng minh hai định lý quan trọng mà thường được gọi là định lý cơ bản thứ nhất và định lý cơ bản thứ hai. Công trình của R. Nevanlinna ngay lập tức được quan tâm mạnh mẽ và đã có nhiều kết quả quan trọng được công bố bởi các tác giả như A. Cartan đã mở rộng lý thuyết Nevanlinna cho đường cong chỉnh hình trong không gian xạ ảnh phức và sau đó L. Ahlfors [1] đưa ra cách tiếp cận hình học cho các kết quả của H.Cartan và Weyls. Vào những năm tiếp theo, W. Stoll [35] và một số nhà toán học khác như P. Shiffman đã tổng quát các kết quả trên cho trường hợp nhiều biến phức và đồng thời phát triển lên cho trường hợp ánh xạ phân hình từ đa tạp parabolic vào đa tạp xạ ảnh.

Trong những thập kỷ vừa qua, nhiều nhà toán học đã quan tâm đến bài toán tổng quát lý thuyết Nevanlinna lên cho trường hợp ánh xạ phân hình từ đa tạp Kähler vào đa tạp xạ ảnh. Fujimoto [14] đã xây dựng lý thuyết phân bố giá trị cho trường hợp đa tạp Kähler M đầy và có phủ song chỉnh hình với một hình cầu B(R0) trong không gian phức nhiều chiều Cm. Điểm khác biệt là trên đa tạp Kähler tổng quát không có hàm vét cạn parabolic, do đó không thể xây dựng được các khái niệm thông thường cho hàm đem của divisor, hàm đặc trưng cũng như hàm xấp xỉ của các ánh xạ. Để vượt qua khó khăn này, dựa vào tính giảm khoảng cách của không gian cơ sở so với không gian phủ, Fujimoto chuyển các bài toán cho ánh xạ phân hình f từ M thành bài toán cho f từ B(R0) vào không gian xạ ảnh Pn(C).

Cho M là đa tạp Kähler đầy có chiều m. Giả sử f : M −→ Pn(C) là ánh xạ phân hình, Ωf là kéo lùi bởi f của dạng Fubini-Study Ω trong Pn(C). Trên M − Σ với dạng Kähler ω = √−1 ∑ hij dzi ∧ dzj , ta định nghĩa Ricω = ddclog(det(hij )). Với ρ ≥ 0, ta nói rằng f thỏa mãn điều kiện (Cρ) nếu tồn tại hàm thực h khác không, liên tục bị chặn trên M sao cho ρΩf + ddclogh2 ≥ Ricω, ở đây, d = ∂ + ∂ và dc = (∂ − ∂). Với mỗi số nguyên dương µ0 và siêu mặt Q bậc d trong Pn(C) thỏa mãn f (M ) ⊂ Q, ký hiệu νf (Q)(p) là bội giao của ảnh của f và Q tại f (p). Số khuyết không lấy tích phân của f đối với siêu mặt Q chặn bởi bởi µ0, ký hiệu là δfµ0, được định nghĩa như sau: δfµ0 := 1 − inf{η ≥ 0 : η thỏa mãn điều kiện (∗)}.

Fujimoto [14] thiết lập một quan hệ số khuyết không lấy tích phân cho ánh xạ phân hình và họ siêu phẳng ở vị trí tổng quát qua định lý sau. Cho M là đa tạp Kähler đầy có chiều m. Giả sử rằng phủ phổ dựng của M song chính hình với một hình cầu trong Cm. Giả sử f : M → Pn(C) là ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính và thỏa mãn điều kiện (Cρ) với ρ ≥ 0. Nếu H1, . , Hq là các siêu phẳng của Pn(C) ở vị trí tổng quát thì ta có Σq δfn ≤ n + 1 + ρn(n + 1).

Kết quả của Yan trong Định lý C chưa là một tổng quát hóa kết quả của H. Fujimoto. Thật vậy, khi họ siêu mặt ở vị trí tổng quát, tức là N = n, số hạng đầu tiên trong vế phải của bất đẳng thức về quan hệ số khuyết là n(n + 1), lớn hơn n + 1 như thông thường. Như đã nói trong phần Mở đầu, năm 2012, T. Trường trong [38] đưa ra một quan hệ số khuyết không lấy tích phân cho họ siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát và cho số hạng này bằng n + 1. Tuy nhiên, định nghĩa “dưới tổng quát” của các tác giả khá đặc biệt, khi cần thêm một điều kiện về giao của thành phần bất khả quy của q siêu mặt này (xem định nghĩa 1.1).

Thông thường, khi giải quyết trường hợp họ siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát, ta phải tổng quát khái niệm trong Nochka. Tuy nhiên, đối với trường hợp siêu mặt, trong Nochka chưa được xây dựng đầy đủ. Để vượt qua khó khăn này, chúng tôi sử dụng kỹ thuật “thay thế siêu mặt” của S. Quang đưa ra trong [28]. Ý tưởng của kỹ thuật này là tránh dùng trong Nochka bằng cách sau: “Mỗi lần thực hiện các đánh giá trong các hàm phụ trợ, N + 1 siêu mặt trong họ được thay bằng n + 1 siêu mặt khác ở vị trí tổng quát mà không làm thay đổi các ước lượng”.

Do vậy, mục đích tiếp theo của chúng tôi trong luận án là mở rộng định lý duy nhất của H. Fujimoto và đồng thời tổng quát các kết quả đã đạt được trên Cm. Khi số siêu phẳng không đủ lớn thì ta không thể suy ra kết luận trong bài toán duy nhất. Tuy nhiên, với một số điều kiện nhất định, ta có thể chỉ ra được các ánh xạ được xét có liên hệ đại số với nhau.

Bài toán về sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) được bắt đầu nghiên cứu trong bài báo của S. Ji [18] và cho đến nay đã có nhiều kết quả được công bố. Một số kết quả tốt nhất gần đây thuộc về Z. Từ đó, một cách tự nhiên, chúng tôi đặt ra câu hỏi: “Có thể mở rộng các kết quả về sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình từ Cm thành ánh xạ từ M vào Pn(C) được không?”

Từ những lý do như trên, chúng tôi lựa chọn đề tài “Phân bố giá trị của ánh xạ phân hình từ đa tạp Kähler vào đa tạp xạ ảnh và ứng dụng”, để đi sâu vào nghiên cứu việc thiết lập quan hệ số khuyết không lấy tích phân cho trường hợp ánh xạ phân hình và các siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát, đồng thời nghiên cứu bài toán duy nhất cũng như bài toán về sự phụ thuộc đại số cho những ánh xạ phân hình giao với họ các siêu phẳng.

Đối tượng nghiên cứu của luận án là quan hệ số khuyết không lấy tích phân, vấn đề duy nhất và vấn đề phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình từ đa tạp Kähler vào đa tạp xạ ảnh. Đề tài được nghiên cứu trong phạm vi của lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ phân hình trên đa tạp Kähler.

Luận án góp phần làm sâu sắc hơn các kết quả về quan hệ số khuyết không lấy tích phân cho ánh xạ phân hình từ đa tạp Kähler vào đa tạp xạ ảnh với họ siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát. Bên cạnh làm phong phú thêm các bài toán về sự duy nhất, luận án cũng đưa ra được những kết quả mới cho sự phụ thuộc đại số của những ánh xạ phân hình từ đa tạp Kähler vào không gian xạ ảnh với họ siêu phẳng. Luận án có thể là tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học và nghiên cứu sinh theo hướng nghiên cứu này.

Cấu trúc của luận án bao gồm bốn chương chính. Chương Tổng quan dành để phân tích một số kết quả nghiên cứu của những tác giả trong và ngoài nước liên quan đến nội dung của đề tài. Ba chương còn lại trình bày các kiến thức chuẩn bị cũng như những chứng minh chi tiết cho các kết quả mới của đề tài. Chương II. Quan hệ số khuyết không lấy tích phân cho ánh xạ phân hình giao với họ siêu mặt dưới tổng quát. Chương III. Vấn đề duy nhất cho ánh xạ phân hình có cùng ảnh ngược của một số siêu phẳng. Chương IV. Sự phụ thuộc đại số của ba ánh xạ phân hình có cùng ảnh ngược của một số siêu phẳng.