I. Tổng Quan Về Tập Ngẫu Nhiên và Lý Thuyết Xác Suất
Lý thuyết tập ngẫu nhiên là một lĩnh vực tương đối mới trong lý thuyết xác suất. Những ý tưởng then chốt được giới thiệu bởi Choquet (1953), Kendall (1974) và Matheron (1975). Tài liệu về lý thuyết này và các ứng dụng của nó ngày càng trở nên quan trọng. Mặc dù có những khó khăn do tính phức tạp của phân tích giá trị tập và sự thiếu hụt các mô hình tập ngẫu nhiên dễ xử lý, lý thuyết này vẫn thu hút sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu. Luận văn này giới thiệu tổng quan về tập ngẫu nhiên và nghiên cứu chúng trên các không gian hữu hạn.
1.1. Giới thiệu các khái niệm cơ bản về xác suất
Để thảo luận về tập ngẫu nhiên, cần nắm vững các khái niệm cơ bản về lý thuyết xác suất. Mô hình toán học cho một phép thử ngẫu nhiên là không gian xác suất (Ω, A, P), trong đó Ω là không gian mẫu, A là σ-đại số biểu diễn các biến cố, và P là độ đo xác suất. Một biến ngẫu nhiên X là một ánh xạ từ Ω tới R sao cho X⁻¹(B(R)) ⊆ A. Luật xác suất của X là độ đo xác suất trên U được định nghĩa bởi PX = P X⁻¹.
1.2. Hàm phân bố của biến ngẫu nhiên Định nghĩa và tính chất
Hàm phân bố của biến ngẫu nhiên X là hàm F: R → [0, 1] được định nghĩa bởi F(x) = PX((-∞, x]). Hàm F này đơn điệu không giảm, có giới hạn bằng 1 khi x tiến tới +∞ và bằng 0 khi x tiến tới -∞, và liên tục phải trên R. Có một song ánh giữa các hàm thỏa mãn các tính chất này và các độ đo xác suất trên B(R). Hàm phân bố F của X là hàm F: Rd → [0, 1], F(x) = P(X ≤ x) = P(X1 ≤ x1, ..., Xd ≤ xd) = P X⁻¹((-∞, x]), ∀x = (x1, ..., xd) ∈ Rd.
II. Cách Xác Định Tập Ngẫu Nhiên Trong Thống Kê Toán Học
Phần này chỉ ra sự tồn tại của các tập ngẫu nhiên, đặc biệt là trong lý thuyết thống kê toán học. Các ví dụ được đưa ra bao gồm miền tin cậy và thống kê Bayes mạnh. Việc xây dựng miền tin cậy tốt nhất cho ϕ(θ) có thể được thực hiện mà không cần sử dụng khái niệm hình thức về các tập ngẫu nhiên và các phân bố của tập ngẫu nhiên.
2.1. Miền tin cậy Định nghĩa và ứng dụng ước lượng tham số
Xét một mô hình thống kê tham số hóa. X là biến ngẫu nhiên có hàm mật độ f(x, θ), cho trước một mẫu ngẫu nhiên X1, X2, ..., Xn của X. Bản chất của việc ước lượng miền tin cậy là tìm một tập ngẫu nhiên C(X1, X2, ..., Xn) mà chứa ϕ(θ0), θ0 là tham số thực, với xác suất lớn. Cụ thể, tập ngẫu nhiên C(X1, X2, ..., Xn) là một tập tin cậy cho ϕ(θ) với mức tin cậy 1 − α ∈ (0, 1) nếu ∀θ ∈ : Pθ(ϕ(θ) ∈ C(X1, X2, ..., Xn)) ≥ 1 − α.
2.2. Thống kê Bayes mạnh Tiếp cận với xác suất không chính xác
Trước khi nói về hệ phương pháp Bayes mạnh, ta đưa ra một ví dụ của trường hợp "các xác suất không chính xác". Cho X là một biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong {a, b, c, d} ⊆ R với mật độ f0 không hoàn chỉnh được xác định. Bài toán gốc liên quan đến biến ngẫu nhiên X có mật độ không hoàn chỉnh có thể được biến đổi thành một bài toán liên quan đến tập ngẫu nhiên S với "mật độ" φ đã biết.
2.3. Phân tích dữ liệu thô Quan sát tập thay vì điểm
Dữ liệu thô là một trường hợp điển hình mà các quan sát là các tập thay vì các điểm trong một không gian mẫu. Khi dữ liệu có sẵn là không chính xác hoặc do sự sai sót của phương pháp thu thập dữ liệu dẫn đến dữ liệu có chất lượng thấp và gọi là dữ liệu thô. Thay vì cố gắng gán các giá trị duy nhất cho các quan sát, ta nên đưa ra các kết quả của phép thử ngẫu nhiên chính là các tập con mà chứa các giá trị quan sát "đúng".
III. Mô Hình CAR và Ứng Dụng Trong Tập Ngẫu Nhiên
Mô hình CAR (Coarsening at Random) là một mô hình hữu ích cho sự làm thô dữ liệu. Trong mô hình này, sự làm thô xảy ra một cách ngẫu nhiên. Ta sẽ nghiên cứu mô hình này trong chương sau. Ví dụ, cho U ⊆ R là miền giá trị của X, và {A1, ..., Ak} là một phân hoạch (đo được) của U.
3.1. Định nghĩa và ý nghĩa của mô hình CAR
Một tập ngẫu nhiên S được gọi là một sự làm thô của X nếu S chứa X hầu chắc chắn, có nghĩa là X là một bộ chọn hầu chắc chắn của S. Chú ý rằng X đã được cho trước, và S là một mô hình tập ngẫu nhiên cho X. Một mô hình hữu ích cho sự làm thô là mô hình CAR, trong đó CAR là viết tắt của "coarsenning at radom", có nghĩa là sự làm thô ngẫu nhiên.
3.2. Ứng dụng mô hình CAR trong ước lượng hàm mật độ
Giả sử rằng hàm mật độ xác suất chưa biết của X có dạng tham số hóa, tức là f(x|θ), θ ∈ . Sj, j = 1, 2, ..., n là một mẫu độc lập và có cùng phân phối với S. Khi đó, hàm hợp lý dựa trên một mẫu của tập ngẫu nhiên S là: L(θ|S1, ..., Sn) = ∏ ∫ f(x|θ)dx (j=1 to n, Sj). Do đó, công thức ước lượng hợp lý cực đại của θ có thể được tính mà chỉ cần sử dụng S1, ..., Sn.
IV. Lấy Mẫu Xác Suất và Liên Hệ Với Tập Ngẫu Nhiên
Để hiểu vì sao việc lấy mẫu xác suất có liên hệ với tập ngẫu nhiên, ta xét ví dụ sau: Cho tập U có |U| = N, để chọn ngẫu nhiên một tập con của U với kích cỡ là n cho trước, ta có thể tạo ra một mô hình ngẫu nhiên đều với xác suất 1 / (N choose n). Từ đó ta có định nghĩa về lấy mẫu xác suất sinh ra một tập ngẫu nhiên.
4.1. Định nghĩa và tính chất của lấy mẫu xác suất
Cho (Ω, A, P) là một không gian xác suất và U là một tập hữu hạn. Lấy mẫu xác suất sinh ra một tập ngẫu nhiên S được định nghĩa trên không gian (Ω, A, P) nhận các giá trị là các tập con của U. S: Ω → 2U với S(w) = A, w ∈ Ω, A ⊆ U. Một tập ngẫu nhiên như vậy được gọi là một tập ngẫu nhiên hữu hạn, độ đo xác suất của nó được định rõ trên tập lũy thừa của 2U.
4.2. Hàm phủ của tập ngẫu nhiên Định nghĩa và ứng dụng
Cho S là tập ngẫu nhiên có mật độ xác suất là f. Hàm π: U → [0, 1] với π(u) = Σ f(A) (A: A ∋ u) = P(u ∈ S) được gọi là hàm phủ của tập ngẫu nhiên S. Giá trị π(u) là xác suất mà u xuất hiện trong phép lấy mẫu được "rút" ngẫu nhiên và phụ thuộc vào mật độ f. Một phép tính quan trọng về hàm phủ π đó là kỳ vọng của lực lượng của tập ngẫu nhiên S.
V. Nghiên Cứu Tập Ngẫu Nhiên Trên Không Gian Hữu Hạn
Trong lý thuyết xác suất cổ điển, ban đầu ta xét biến ngẫu nhiên nhận giá trị trên các không gian hữu hạn, từ đó đi mở rộng xét biến ngẫu nhiên trên các không gian xác suất tổng quát dựa vào hệ tiên đề Kolmogorov. Tương tự như vậy, ta cũng sẽ xét tập ngẫu nhiên trên các không gian hữu hạn trước và từ các kết quả thu được của tập ngẫu nhiên trên các không gian hữu hạn, ta có thể mong đợi sẽ thu được trong các không gian trừu tượng hơn.
5.1. Định nghĩa tập ngẫu nhiên hữu hạn và tính chất
U là một tập hữu hạn. Lực lượng của một tập con A của U được ký hiệu bởi |A| hoặc #(A). (Ω, A, P) là một không gian xác suất. Một tập ngẫu nhiên hữu hạn nhận giá trị trong 2^U là một ánh xạ X: Ω → 2^U sao cho: X⁻¹({A}) = {ω ∈ Ω: X(ω) = A} ∈ A, ∀A ⊆ U.
5.2. Hàm phân bố của tập ngẫu nhiên Tính chất và ứng dụng
Dựa vào hàm phân bố của các biến ngẫu nhiên, ta sẽ định nghĩa rõ ràng khái niệm hàm phân bố cho các tập ngẫu nhiên. Cho X là một tập ngẫu nhiên (khác rỗng) trên U. Khi đó F thỏa mãn các tính chất sau: (i) F(∅) = 0, F(U) = 1 (ii) Với bất kỳ số k ≥ 2, và A1, ..., Ak là các tập con của U, ta có: Σ (-1)^(|I|+1) F(⋂ Ai) ≥ 0 (I ⊆ {1, ..., k}, I ≠ ∅).
VI. Tích Phân Choquet và Đạo Hàm Radon Nikodym Của Hàm Tập
Chương 3 của luận văn trình bày về mối quan hệ 1-1 giữa hàm phân bố và hàm mật độ của các tập ngẫu nhiên. Đồng thời, chương này cũng trình bày về tích phân Choquet và đạo hàm Radon-Nikodym của các hàm tập không cộng tính. Đây là những công cụ quan trọng trong việc phân tích và ứng dụng tập ngẫu nhiên.
6.1. Mối quan hệ 1 1 giữa hàm phân bố và hàm mật độ
Chỉ ra mối quan hệ 1-1 giữa hàm phân bố và hàm mật độ của các tập ngẫu nhiên. Điều này cho phép chúng ta chuyển đổi giữa hai cách biểu diễn khác nhau của tập ngẫu nhiên, tùy thuộc vào mục đích phân tích.
6.2. Tích phân Choquet và ứng dụng trong lý thuyết tập ngẫu nhiên
Trình bày tích phân Choquet và đạo hàm Radon - Nikodym của các hàm tập không cộng tính. Tích phân Choquet là một công cụ mạnh mẽ để tích phân các hàm đối với các độ đo không cộng tính, và nó có nhiều ứng dụng trong lý thuyết tập ngẫu nhiên.
