Nghiên cứu về soliton trong quang học phi tuyến tại Đại học Vinh

Khám phá sự tồn tại của nghiệm soliton trong hệ phương trình liên kết sóng họa âm bậc hai và sóng tới, mở ra hướng nghiên cứu mới trong vật lý.

• Tác giả: Nguyễn Thị Dung
• Người hướng dẫn: TS. Võ Ngọc Sáu
• Trường học: Đại học Vinh
• Chuyên ngành: Quang học
• Đề tài: Sự Tồn Tại Các Nghiệm Soliton Từ Hệ Phương Trình Liên Kết Sáng Hóa Ám Bạc Hai Và Sáng Tối
• Loại tài liệu: luận văn
• Năm xuất bản: 2005
• Địa điểm: Vinh

Mục lục chi tiết

• 1. CHƯƠNG 1: Quang häc phi tuyÕn vµ c¸c soliton quang häc
• 1.1. HÖ ph­¬ng tr×nh Maxwell
• 1.2. C¬ së cña quang häc phi tuyÕn
• 1.3. Sù ph©n cùc cña ®iÖn m«i
• 1.4. Ph­¬ng tr×nh lan truyÒn sãng trong m«i tr­êng phi tuyÕn
• 1.5. C¸c hiÖu øng phi tuyÕn
• 1.6. HiÖu øng chØnh l­u quang häc
• 1.7. HiÖu øng ®iÖn quang
• 1.8. HiÖu øng Kerr
• 1.9. Soliton thêi gian vµ ph­¬ng tr×nh lan truyÒn
• 1.10. Soliton kh«ng gian vµ ph­¬ng tr×nh lan truyÒn
• 2. CHƯƠNG II: C¸c qu¸ tr×nh trén sãng phi tuyÕn
• 2.1. C¸c qu¸ tr×nh liªn hîp
• 2.2. Trén sãng phi tuyÕn bËc hai
• 2.3. Ph¸t tÇn sè tæng
• 2.4. PhÊn tÇn sè hiÖu
• 2.5. Ph¸t hoµ ©m bËc hai
• 2.6. HiÖu øng trén bèn sãng
• 3. CHƯƠNG III: Sù tån t¹i c¸c nghiÖm soliton tõ hÖ ph­¬ng tr×nh liªn kÕt sãng Hßa ©m bËc hai vµ sãng tíi
• 3.1. Ph­¬ng tr×nh liªn kÕt hai sãng
• 3.2. KiÓm chøng PainlevÐ
• 3.3. Ph­¬ng ph¸p sãng tuyÕn Hirota
• 3.4. NghiÖm sãng dÞch chuyÓn
• Lời mở đầu
• Lời cám ơn
• Mở đầu
• KÕt luËn
• Tµi liÖu tham kh¶o

Tóm tắt

I. Tổng Quan Nghiên Cứu Soliton Quang Học Phi Tuyến tại ĐH Vinh

Nghiên cứu về soliton quang học phi tuyến đang phát triển mạnh mẽ, đặc biệt tại các trung tâm nghiên cứu như Đại học Vinh. Lĩnh vực này có ứng dụng to lớn trong công nghệ laser, viễn thông, truyền tải và xử lý thông tin. Các vật liệu phi tuyến trở thành thành phần cơ bản trong các hệ điện quang khác nhau. Quang học phi tuyến còn là công cụ nghiên cứu cơ bản trong hóa học, sinh học và vật lý. Nó bao gồm các hiện tượng xảy ra khi ánh sáng cường độ lớn đi qua môi trường. Dưới tác động của trường ánh sáng mạnh, các tính chất quang học của môi trường như chiết suất, độ phân cực sẽ phụ thuộc vào cường độ trường. Sự phụ thuộc này gây ra các hiệu ứng phi tuyến. Tùy thuộc vào tính chất môi trường và cường độ trường ngoài, các hiệu ứng phi tuyến khác nhau sẽ xảy ra.

1.1. Giới thiệu về Soliton và Ứng Dụng trong Quang Học

Soliton là sóng duy trì hình dạng khi lan truyền, nhờ sự cân bằng giữa tán sắc và phi tuyến. Trong quang học, soliton có tiềm năng lớn trong truyền dẫn thông tin quang, xử lý tín hiệu và các ứng dụng khác. Nghiên cứu về soliton tập trung vào việc tạo ra, điều khiển và ứng dụng chúng trong các hệ thống quang học khác nhau. Các nghiên cứu tại Đại học Vinh đóng góp vào sự hiểu biết sâu sắc hơn về soliton quang học phi tuyến.

1.2. Vai trò của Đại học Vinh trong Nghiên cứu Quang Học Phi Tuyến

Đại học Vinh là một trong những trung tâm nghiên cứu mạnh về quang học phi tuyến tại Việt Nam. Các giáo sư Đại học Vinh và sinh viên tham gia nhiều công trình khoa học soliton, hội thảo khoa học quang học, và công bố bài báo khoa học soliton trên các tạp chí khoa học quang học uy tín. Trường cũng nhận được quỹ nghiên cứu khoa học để thúc đẩy các dự án liên quan đến soliton và quang học phi tuyến.

II. Thách Thức Nghiên Cứu Truyền Dẫn Soliton trong Sợi Quang

Khi ánh sáng cường độ lớn lan truyền trong môi trường, thường xảy ra các hiệu ứng phi tuyến như nhiễu xạ, tán sắc, tự biến điệu pha. Khi ứng dụng ánh sáng cường độ mạnh vào kỹ thuật truyền tải và xử lý thông tin, tín hiệu có thể bị phá hủy hoặc thay đổi. Tuy nhiên, trong một số trường hợp, nếu lựa chọn môi trường và tín hiệu phù hợp, sẽ có những hiệu ứng triệt tiêu. Khi đó, tín hiệu lan truyền trong môi trường sẽ có hàm bao xung không bị thay đổi, và ta gọi chúng là các soliton quang học. Soliton quang học là một giải pháp hữu ích trong truyền tải và xử lý thông tin.

2.1. Ảnh hưởng của Tán Sắc và Phi Tuyến đến Soliton

Tán sắc và phi tuyến là hai yếu tố quan trọng ảnh hưởng đến sự hình thành và lan truyền của soliton. Tán sắc làm cho các thành phần tần số khác nhau của xung truyền đi với tốc độ khác nhau, gây ra sự mở rộng xung. Phi tuyến tạo ra sự phụ thuộc của chiết suất vào cường độ ánh sáng, có thể bù trừ cho hiệu ứng tán sắc. Sự cân bằng giữa hai hiệu ứng này cho phép soliton duy trì hình dạng khi lan truyền.

2.2. Vấn đề Suy Hao Tín Hiệu và Giải Pháp Khuếch Đại Quang Học

Trong quá trình truyền dẫn, soliton có thể bị suy hao do hấp thụ và tán xạ trong môi trường. Để khắc phục vấn đề này, cần sử dụng các bộ khuếch đại quang học để bù đắp cho sự suy hao. Các bộ khuếch đại quang học sử dụng các vật liệu phi tuyến để tạo ra sự khuếch đại tín hiệu. Nghiên cứu về các bộ khuếch đại quang học hiệu quả là một lĩnh vực quan trọng trong quang học phi tuyến.

2.3. Yêu cầu về Vật Liệu Phi Tuyến và Kỹ Thuật Quang Học

Để tạo ra và điều khiển soliton hiệu quả, cần có các vật liệu phi tuyến có hệ số phi tuyến cao và tổn thất thấp. Các kỹ thuật quang học tiên tiến như điều khiển pha, điều khiển phân cực, và điều khiển không gian cũng đóng vai trò quan trọng. Nghiên cứu về các vật liệu phi tuyến mới và các kỹ thuật quang học tiên tiến là một hướng đi quan trọng trong lĩnh vực này.

III. Phương Pháp Mô Phỏng và Giải Phương Trình Soliton

Vấn đề tìm ra các phương trình cho nghiệm soliton đang là một vấn đề tiêu điểm. Luận văn lựa chọn đề tài: “Sự tồn tại các nghiệm soliton từ hệ phương trình liên kết sóng hòa âm bậc hai và sóng tới”. Nội dung của luận văn được trình bày theo bố cục gồm: Mở đầu, ba chương nội dung, kết luận, tài liệu tham khảo.

3.1. Phương trình Schrödinger Phi Tuyến và Nghiệm Soliton

Phương trình Schrödinger phi tuyến (NLSE) là một mô hình toán học quan trọng để mô tả sự lan truyền của soliton trong môi trường phi tuyến. Nghiệm của phương trình này cho phép dự đoán các đặc tính của soliton, như hình dạng, tốc độ, và năng lượng. Các phương pháp giải phương trình NLSE bao gồm phương pháp giải tích, phương pháp số, và phương pháp gần đúng.

3.2. Kỹ thuật Mô phỏng Số và Phân Tích Kết Quả Soliton

Mô phỏng soliton bằng các phương pháp số như phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp sai phân hữu hạn, và phương pháp phổ cho phép nghiên cứu sự lan truyền của soliton trong các điều kiện khác nhau. Phân tích kết quả mô phỏng soliton giúp hiểu rõ hơn về các yếu tố ảnh hưởng đến sự ổn định và hiệu quả của soliton.

3.3. Ứng dụng Phần Mềm Chuyên Dụng trong Nghiên Cứu Soliton

Các phần mềm chuyên dụng như COMSOL, MATLAB, và RSoft được sử dụng rộng rãi trong nghiên cứu soliton. Các phần mềm này cung cấp các công cụ mạnh mẽ để mô phỏng soliton, giải phương trình, và phân tích kết quả. Việc sử dụng các phần mềm này giúp tăng tốc quá trình nghiên cứu và đưa ra các kết quả chính xác.

IV. Ứng Dụng Soliton trong Xử Lý Tín Hiệu và Truyền Thông Quang

Soliton có nhiều ứng dụng tiềm năng trong xử lý tín hiệu quang học và truyền thông quang. Khả năng duy trì hình dạng khi lan truyền giúp soliton trở thành một ứng cử viên lý tưởng cho việc truyền tải thông tin quang đường dài. Soliton cũng có thể được sử dụng để thực hiện các phép toán logic quang học, chuyển đổi bước sóng, và các chức năng xử lý tín hiệu khác.

4.1. Soliton trong Hệ Thống Truyền Thông Quang Tốc Độ Cao

Trong các hệ thống truyền thông quang tốc độ cao, soliton có thể được sử dụng để truyền tải dữ liệu với tốc độ hàng terabit trên giây. Việc sử dụng soliton giúp giảm thiểu sự méo dạng tín hiệu và tăng khoảng cách truyền dẫn. Các nghiên cứu hiện nay tập trung vào việc phát triển các hệ thống truyền thông quang soliton hiệu quả và ổn định.

4.2. Ứng dụng Soliton trong Mạch Quang Tích Hợp

Mạch quang tích hợp (PIC) là một nền tảng hứa hẹn cho việc thu nhỏ và tích hợp các thiết bị quang học. Soliton có thể được sử dụng trong PIC để thực hiện các chức năng xử lý tín hiệu phức tạp. Việc tích hợp soliton vào PIC mở ra nhiều khả năng mới cho các ứng dụng quang học.

4.3. Tiềm năng của Soliton trong Tính Toán Quang Tử

Tính toán quang tử là một lĩnh vực mới nổi, hứa hẹn mang lại những đột phá trong khả năng tính toán. Soliton có thể được sử dụng để biểu diễn và xử lý thông tin trong các hệ thống tính toán quang tử. Việc nghiên cứu về soliton trong tính toán quang tử có thể dẫn đến những ứng dụng tiềm năng trong tương lai.

V. Kết Luận và Hướng Phát Triển Nghiên Cứu Soliton tại ĐH Vinh

Nghiên cứu về soliton quang học phi tuyến tại Đại học Vinh đã đạt được những thành tựu đáng kể. Các nghiên cứu này đóng góp vào sự hiểu biết sâu sắc hơn về soliton và mở ra nhiều hướng ứng dụng tiềm năng. Trong tương lai, nghiên cứu về soliton sẽ tiếp tục phát triển mạnh mẽ, tập trung vào việc tạo ra các hệ thống quang học hiệu quả và ổn định.

5.1. Tổng kết Các Kết Quả Nghiên Cứu Chính về Soliton

Các kết quả nghiên cứu chính về soliton bao gồm việc phát triển các phương pháp tạo ra soliton ổn định, nghiên cứu các đặc tính của soliton trong các môi trường khác nhau, và ứng dụng soliton trong các hệ thống truyền thông quang và xử lý tín hiệu quang học.

5.2. Hợp tác Quốc Tế và Trao Đổi Khoa Học về Quang Học

Hợp tác quốc tế về quang học và trao đổi khoa học đóng vai trò quan trọng trong việc thúc đẩy sự phát triển của lĩnh vực này. Đại học Vinh tích cực tham gia các chương trình hợp tác quốc tế về quang học, trao đổi sinh viên và nhà nghiên cứu, và tham gia các hội thảo khoa học quang học quốc tế.

5.3. Đề xuất Các Hướng Nghiên Cứu Mới về Soliton

Các hướng nghiên cứu mới về soliton bao gồm việc nghiên cứu soliton trong các vật liệu phi tuyến mới, phát triển các phương pháp điều khiển soliton tiên tiến, và ứng dụng soliton trong các lĩnh vực mới như tính toán quang tử và cảm biến quang học.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Tr­êng ®¹i häc vinh -------------------- NguyÔn thÞ dung sù tån t¹i c¸c nghiÖm soliton tõ hÖ ph­¬ng tr×nh liªn kÕt sãng häa ©m bËc hai vµ sãng tíi LuËn v¨n th¹c sü vËt lý Vinh, 2005 Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Tr­êng ®¹i häc vinh -------------------- NguyÔn thÞ dung sù tån t¹i c¸c nghiÖm soliton tõ hÖ ph­¬ng tr×nh liªn kÕt sãng häa ©m bËc hai vµ sãng tíi LuËn v¨n th¹c sü vËt lý Chuyªn ngµnh: Quang häc M· sè: 60.11 Ng­êi h­íng dÉn khoa häc: TS. Vò Ngäc S¸u Vinh, 2005 Lêi c¶m ¬n Trong qu¸ tr×nh häc tËp t¹i tr­êng §¹i Häc Vinh t«i ®· nhËn ®­îc nhiÒu kiÕn thøc quý b¸u tõ c¸c thÇy c« gi¸o. §iÒu ®ã ®· ®éng viªn t«i rÊt nhiÒu trong qu¸ tr×nh thùc hiÖn luËn v¨n. B¶n luËn v¨n nµy ®­îc h×nh thµnh nhê qu¸ tr×nh nç lùc phÊn ®Êu cña b¶n th©n vµ sù h­íng dÉn tËn t×nh cña thÇy gi¸o TS Vò Ngäc S¸u.

Nh©n dÞp nµy t«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c ®Õn thÇy gi¸o v× sù gióp ®ì quý b¸u ®ã. Xin ch©n thµnh c¶m ¬n ®Õn c¸c thÇy gi¸o GS.TS Cao Long V©n, GS.TS Golsteins, PGS.TS §inh Xu©n Khoa, PGS.TS Hå Quang Quý, PGS.TS NguyÔn Huy C«ng ®· gãp ý, chØ dÉn cho t«i trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ nghiªn cøu. Xin c¶m ¬n Ban chñ nhiÖm Khoa VËt lý, ban chñ nhiÖm Khoa §µo t¹o sau ®¹i häc ®· t¹o ®iÒu kiÖn thuËn lîi cho t«i trong thêi gian qua. Xin c¶m ¬n tËp thÓ Cao häc 11 VËt lý ®· san sÎ niÒm vui, gióp t«i v­ît qua nh÷ng khã kh¨n trong häc tËp vµ trong qu¸ tr×nh lµm luËn v¨n.

Xin c¶m ¬n nh÷ng ng­êi th©n yªu ®· ®éng viªn, gióp ®ì vµ t¹o ®iÒu kiÖn cho t«i hoµn thµnh luËn v¨n nµy. Th¸ng 10 n¨m 2005 NguyÔn ThÞ Dung 1 Môc lôc Më ®Çu 3 Ch­¬ng I: Quang häc phi tuyÕn vµ c¸c soliton quang häc 5 1. HÖ ph­¬ng tr×nh Maxwell 5 1. C¬ së cña quang häc phi tuyÕn 7 1.

Sù ph©n cùc cña ®iÖn m«i 8 1. Ph­¬ng tr×nh lan truyÒn sãng trong m«i tr­êng phi tuyÕn 13 1. C¸c hiÖu øng phi tuyÕn 14 1. HiÖu øng chØnh l­u quang häc 14 1.

HiÖu øng ®iÖn quang 15 1. HiÖu øng Kerr 16 1. Soliton thêi gian vµ ph­¬ng tr×nh lan truyÒn 20 1. Soliton kh«ng gian vµ ph­¬ng tr×nh lan truyÒn 22 Ch­¬ng II.

C¸c qu¸ tr×nh trén sãng phi tuyÕn 24 2. C¸c qu¸ tr×nh liªn hîp 24 2. Trén sãng phi tuyÕn bËc hai 25 2. Ph¸t tÇn sè tæng 25 2.

PhÊn tÇn sè hiÖu 31 2.3 Ph¸t hoµ ©m bËc hai 34 2. HiÖu øng trén bèn sãng 42 2 Ch­¬ng III. Sù tån t¹i c¸c nghiÖm soliton tõ hÖ ph­¬ng tr×nh liªn kÕt sãng Hßa ©m bËc hai vµ sãng tíi 46 3. Ph­¬ng tr×nh liªn kÕt hai sãng 46 3.

KiÓm chøng PainlevÐ 48 3. Ph­¬ng ph¸p sãng tuyÕn Hirota 55 3. NghiÖm sãng dÞch chuyÓn 61 KÕt luËn 63 Tµi liÖu tham kh¶o 65 3 Më ®Çu Trong nh÷ng n¨m gÇn ®©y, quang häc phi tuyÕn ph¸t triÓn nh­ vò b·o vµ ®· cã nh÷ng øng dông to lín trong c¸c lÜnh vùc nh­ c«ng nghÖ laser, viÔn th«ng, truyÒn t¶i vµ xö lý th«ng tin. C¸c vËt liÖu phi tuyÕn ®­îc t¹o ra trë thµnh c¸c thµnh phÇn c¬ b¶n trong c¸c hÖ ®iÖn quang kh¸c nhau.

Ngoµi ra quang häc phi tuyÕn ®· trë thµnh mét c«ng cô trong nghiªn cøu c¬ b¶n cña c¸c lÜnh vùc khoa häc nh­ ho¸ häc, sinh häc… ch­a nãi ®Õn chÝnh lÜnh vùc vËt lý. Quang phi tuyÕn bao gåm c¸c hiÖn t­îng vµ c¸c hiÖu øng x¶y ra khi cho ¸nh s¸ng cã c­êng ®é lín ®i qua m«i tr­êng. D­íi t¸c ®éng cña tr­êng ¸nh s¸ng c­êng ®é lín nh­ tr­êng bøc x¹ laser, c¸c tÝnh chÊt quang häc cña m«i tr­êng nh­ chiÕt suÊt, ®é ph©n cùc sÏ trë nªn phô thuéc vµo c­êng ®é cña tr­êng. ChÝnh nh÷ng sù phô thuéc ®ã ®· g©y nªn c¸c hiÖu øng phi tuyÕn.

Tuú thuéc vµo tÝnh chÊt cña m«i tr­êng vµ c­êng ®é tr­êng ngoµi mµ sÏ x¶y ra nh÷ng hiÖu øng phi tuyÕn kh¸c nhau. C¸c hiÖu øng phi tuyÕn cã thÓ x¶y ra nh­ hiÖu øng Kerr, hiÖu øng Pockels, qu¸ tr×nh ph¸t tÇn sè tæng, ph¸t tÇn sè hiÖu, ph¸t hoµ ©m bËc hai, ph¸t hoµ ©m bËc ba… Ph¸t hoµ ©m bËc hai trong tinh thÓ phi tuyÕn lµ mét trong nh÷ng hiÖu øng quan träng. MÆc dï ph¸t hoµ ©m bËc hai ®­îc ph¸t hiÖn tõ rÊt sím vµo n¨m 1961 do Franken vµ c¸c céng sù t×m ra, nh­ng ®Õn nay nh÷ng øng dông cña nã vÉn ngµy cµng ®­îc më réng. Ngµy nay ng­êi ta ®· thùc hiÖn ®­îc viÖc n©ng cao tÇn sè ph¸t hoµ ©m bËc hai lªn kh¸ cao nhê ¸p dông mét lo¹t c¸c biÖn ph¸p kü thuËt víi viÖc lùa chän c¸c tinh thÓ phi tuyÕn cã ®é phÈm chÊt cao, sö dông nhiÒu hÖ quang häc, vµ hä còng ®· t×m ®­îc nh÷ng tinh thÓ phi tuyÕn cho ph¸t hoµ ©m bËc hai.

Ph¸t hoµ ©m bËc hai lµ mét trong nh÷ng biÖn ph¸p ®¬n gi¶n ®Ó n©ng cao tÇn sè bøc x¹ cña laser. V× khi ¸nh s¸ng cã c­êng ®é lín lan truyÒn trong m«i tr­êng th­êng x¶y ra nh÷ng hiÖu øng phi tuyÕn nh­ hiÖu øng nhiÔu x¹, hiÖu øng t¸n s¾c, hiÖu øng tù biÕn ®iÖu pha…Nªn khi øng dông ¸nh s¸ng c­êng ®é m¹nh vµo kü thuËt truyÒn t¶i vµ xö lý th«ng tin, tÝn hiÖu cã thÓ bÞ ph¸ huû hoÆc thay ®æi. Tuy nhiªn trong 4 mét sè tr­êng hîp, nÕu ta lùa chän m«i tr­êng vµ tÝn hiÖu vµo cã tÝnh chÊt phï hîp sÏ cã nh÷ng hiÖu øng triÖt tiªu. Khi ®ã tÝn hiÖu lan truyÒn trong m«i tr­êng sÏ cã hµm bao xung kh«ng bÞ thay ®æi, vµ ta gäi chóng lµ c¸c soliton quang häc.

Soliton quang häc lµ mét gi¶i ph¸p h÷u Ých trong truyÒn t¶i vµ xö lý th«ng tin. V× vËy trong nh÷ng n¨m gÇn ®©y, vÊn ®Ò t×m ta c¸c ph­¬ng tr×nh cho nghiÖm soliton ®ang lµ mét vÊn ®Ò tiªu ®iÓm. XuÊt ph¸t tõ lý do ®ã chóng t«i ®· lùa chän ®Ò tµi: “Sù tån t¹i c¸c nghiÖm soliton tõ hÖ ph­¬ng tr×nh liªn kÕt sãng hßa ©m bËc hai vµ sãng tíi”. Néi dung cña luËn v¨n ®­îc tr×nh bµy theo bè côc gåm: Më ®Çu, ba ch­¬ng néi dung, kÕt luËn, tµi liÖu tham kh¶o.

Quang häc phi tuyÕn vµ c¸c soliton quang häc Ch­¬ng nµy tr×nh bµy tæng quan vÒ quang häc phi tuyÕn nh­ sù ph©n cùc cña ¸nh s¸ng trong m«i tr­êng phi tuyÕn, c¸c hiÖu øng phi tuyÕn tiªu biÓu. ViÕt ra ph­¬ng tr×nh lan truyÒn ¸nh s¸ng trong m«i tr­êng phi tuyÕn. Tr×nh bµy c¬ së vµ ph­¬ng tr×nh lan tuyÒn cña soliton kh«ng gian, thêi gian. Ch­¬ng II.

C¸c qu¸ tr×nh trén sãng phi tuyÕn Tr×nh bµy hÖ thèng vÒ c¸c qu¸ tr×nh trén sãng phi tuyÕn, thµnh lËp hÖ ph­¬ng tr×nh liªn kÕt ph¸t tÇn sè tæng, tÇn sè hiÖu, ph¸t hoµ ©m bËc hai cho tr­êng hîp xung lan truyÒn bÞ h¹n chÕ c¶ thµnh phÇn kh«ng gian vµ thêi gian. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh ®ã trong mét sè tr­êng hîp cô thÓ. §Æc biÖt lµ ®· gi¶i thÝch cÆn kÏ vÒ c¬ chÕ ph¸t hoµ ©m bËc hai theo quan ®iÓm bøc x¹ l­îng tö. Gi¶i thÝch hiÖu øng trén bèn sãng theo quan ®iÓm bøc x¹ l­îng tö.

Ch­¬ng III. Sù tån t¹i c¸c nghiÖm soliton tõ hÖ ph­¬ng tr×nh liªn kÕt sãng häa ©m bËc hai vµ sãng tíi. Trong ch­¬ng nµy tr×nh bµy viÖc dïng kiÓm chøng PainlevÐ kiÓm tra tÝnh kh¶ tÝch cña hÖ ph­¬ng tr×nh liªn kÕt sãng hoµ ©m bËc hai vµ sãng tíi. Tõ kÕt qu¶ thu ®­îc lùa chän ph­¬ng ph¸p gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh, cô thÓ lµ b»ng ph­¬ng ph¸p song tuyÕn Hirota, t×m ra c¸c nghiÖm sãng dÞch chuyÓn.

5 Ch­¬ng I Quang häc phi tuyÕn vµ c¸c soliton quang häc 1.HÖ ph­¬ng tr×nh Maxwell §Õn ®Çu thÕ kû XIX, ng­êi ta vÉn nghiªn cøu c¸c ®iÖn tÝch vµ c¸c ®iÖn tr­êng cña chóng t¸ch rêi c¸c dßng ®iÖn vµ tõ tr­êng liªn ®íi, hä vÉn cho r»ng c¸c tr­êng nµy kh«ng cã g× liªn hÖ víi nhau. Cho ®Õn khi Faraday chØ ra r»ng tõ tr­êng biÕn thiªn theo thêi gian ph¸t sinh ra ®iÖn tr­êng vµ ®iÖn tr­êng biÕn thiªn sinh ra tõ tr­êng biÕn thiªn. Tuy nhiªn Faraday l¹i kh«ng t×m ra ®­îc c¸c ph­¬ng tr×nh liªn hÖ c¸c thµnh phÇn tr­êng. N¨m 1860 Maxwell ®· chøng minh ®­îc mét lÝ thuyÕt hîp nhÊt vµ c¸c ph­¬ng tr×nh m« t¶ ®ång thêi ®iÖn tr­êng vµ tõ tr­êng vµ «ng ®· chøng minh r»ng gi¶ thuyÕt cña Faraday lµ ®óng.

Tr­êng ®iÖn tõ t¹i mçi ®iÓm trong kh«ng gian ®­îc ®Æc tr­ng bëi bèn vÐct¬. VÐc t¬ c­êng ®é ®iÖn tr­êng E, vÐc t¬ c¶m øng tõ D, vÐc t¬ c­êng ®é tõ tr­êng H vµ vÐc t¬ c¶m øng tõ B. C¸c ®¹i l­îng nµy lµ hµm cña to¹ ®é vµ thêi gian, chóng kh«ng biÕn thiªn mét c¸ch tuú ý mµ tu©n theo nh÷ng quy luËt x¸c ®Þnh. Quy luËt biÕn thiªn cña chóng ®· ®­îc Maxwell kh¸i qu¸t ho¸ b»ng mét hÖ ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t.

HÖ ph­¬ng tr×nh Maxwell:    Dr , t    r , t  1.4  t Vµ c¸c ph­¬ng tr×nh liªn hÖ (ph­¬ng tr×nh vËt chÊt).5) 6    ë ®©y J r , t  vµ  r , t  lµ vÐct¬ mËt ®é dßng ®iÖn vµ mËt ®é ®iÖn tÝch; ,  vµ  lµ ®é ®iÖn thÈm, ®é tõ thÈm vµ ®é dÉn ®iÖn cña m«i tr­êng. Trong ch©n 1 kh«ng    0  10 9 F ,    0  4 10  7 H. 36 m m ý nghÜa cña c¸c ph­¬ng tr×nh nµy lµ: ph­¬ng tr×nh (1.1) cho thÊy nguån gèc sinh ra ®iÖn tr­êng lµ ®iÖn tÝch vµ tr­êng nµy lµ tr­êng thÕ. Ph­¬ng tr×nh (1.2) cho thÊy tõ tr­êng lµ mét tr­êng xo¸y, c¸c ®­êng søc tõ lµ nh÷ng ®­êng cong kÝn.

Cßn hai ph­¬ng tr×nh (1.4) lµ hai ph­¬ng tr×nh c¬ b¶n nhÊt cña tr­êng ®iÖn tõ, chóng ®­îc x©y dùng dùa trªn ®Þnh luËt dßng toµn phÇn vµ ®Þnh luËt c¶m øng tõ cña Faraday. Ph­¬ng tr×nh (1.3) cho thÊy tõ tr­êng biÕn thiªn sinh ra ®iÖn tr­êng vµ lµ ®iÖn tr­êng xo¸y, ph­¬ng tr×nh (1.4) cho biÕt nguån gèc sinh ra tõ tr­êng lµ do dßng ®iÖn vµ sù biÕn thiªn cña ®iÖn dÞch. C¸c ph­¬ng tr×nh (1.5) thÓ hiÖn ph¶n øng cña m«i tr­êng khi cã ®iÖn tr­êng ngoµi t¸c dông. C¸c ®Æc tr­ng c¬ b¶n cña m«i tr­êng vËt chÊt ®­¬c thÓ hiÖn qua c¸c tham sè ®iÖn tõ cña nã.

Nõu c¸c tham sè ®iÖn tõ , ,  lµ h»ng sè th× m«i tr­êng ®­îc gäi lµ ®ång nhÊt vµ ®¼ng h­íng, khi ®ã c¸c vÐct¬ tr­êng song song tõng cÆp víi     nhau E // D, B // H. M«i tr­êng ®­îc gäi lµ tuyÕn tÝnh nÕu c¸c tham sè ®iÖn tõ  ,  vµ  kh«ng phô thuéc vµo c­êng ®é ®iÖn tr­êng. Vµ c¸c ph­¬ng tr×nh (1.5) khi ®ã sÏ lµ c¸c ph­¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh. Trong tr­êng hîp c¸c tham sè ®iÖn tõ phô thuéc vµo c­êng ®é tr­êng th× m«i tr­êng ®­îc gäi lµ m«i tr­êng phi tuyÕn.