Tổng quan luận án

Công trình nghiên cứu thuộc chuyên ngành Toán giải tích (Giải tích phức nhiều biến và Lý thuyết đa thế vị), do nghiên cứu sinh Hoàng Nhật Quy thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. Phạm Hoàng Hiệp tại Tổ bộ môn Lý thuyết hàm, Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội.

Tính cấp thiết và khoảng trống nghiên cứu

Lý thuyết đa thế vị (pluripotential theory) và lớp hàm đa điều hòa dưới (plurisubharmonic - psh) là trọng tâm nghiên cứu của giải tích phức nhiều biến từ nửa sau thế kỷ XX. Trung tâm của lý thuyết này là việc xác định miền xác định và tính chất của toán tử Monge-Ampère phức $(dd^c \cdot)^n$. Dù toán tử này đã được mở rộng lên các lớp năng lượng Cegrell như $\mathcal{E}0(\Omega)$, $\mathcal{F}(\Omega)$, $\mathcal{E}(\Omega)$ và lớp năng lượng có trọng $\mathcal{E}\chi(\Omega)$, nhiều bài toán cấu trúc giải tích và tô pô vẫn chưa được giải quyết:

  1. Khoảng trống về tính chất địa phương của lớp có trọng: Lớp Cegrell $\mathcal{E}(\Omega)$ có tính chất địa phương và có mối liên hệ địa phương - toàn cục với lớp $\mathcal{F}(\Omega)$. Tuy nhiên, lớp năng lượng có trọng $\mathcal{E}\chi(\Omega)$ (do S. Benelkourchi, V. Guedj, A. Zeriahi đưa ra) không có tính chất địa phương. Do đó, việc xây dựng một lớp hàm mới $\mathcal{E}{\chi,\text{loc}}(\Omega)$ từ $\mathcal{E}_\chi(\Omega)$ có tính chất địa phương và thiết lập mối quan hệ địa phương - toàn cục là một yêu cầu tự nhiên.
  2. Khoảng trống về cấu trúc tô pô trên không gian hiệu: Không gian hiệu $\delta\mathcal{H} = \mathcal{H} - \mathcal{H}$ đã được nghiên cứu trên các lớp $\delta\text{PSH}(\Omega)$, $\delta\mathcal{F}(\Omega)$, $\delta\mathcal{E}(\Omega)$ và $\delta\mathcal{E}p(\Omega)$. Tuy nhiên, cấu trúc tô pô lồi địa phương trên không gian hiệu $\delta\mathcal{E}\chi$ của lớp năng lượng có trọng chưa từng được khảo sát hoàn chỉnh.
  3. Khoảng trống về sự hội tụ theo dung lượng trên siêu mặt đa tạp Kähler: Trên đa tạp Kähler compact $X$, các hệ điều kiện đủ cho sự hội tụ theo dung lượng $\text{cap}_X$ của dãy hàm $\omega$-đa điều hòa dưới đã được xác lập, nhưng việc bảo toàn tính hội tụ theo dung lượng khi thu hẹp các hàm này lên một siêu mặt phức trơn $S \subset X$ vẫn là vấn đề mở cần lời giải.

Mục tiêu nghiên cứu

Luận án xác định 3 mục tiêu nghiên cứu cụ thể:

  • Mục tiêu 1: Xây dựng lớp năng lượng mới $\mathcal{E}_{\chi,\text{loc}}(\Omega)$ và chứng minh lớp này có tính chất địa phương.
  • Mục tiêu 2: Đưa ra không gian vectơ $\delta\mathcal{E}_\chi$, xây dựng tô pô lồi địa phương trên đó và khảo sát các tính chất tô pô, tính liên tục của toán tử Monge-Ampère.
  • Mục tiêu 3: Thiết lập các hệ điều kiện đủ để một dãy hàm tựa đa điều hòa dưới hội tụ theo dung lượng khi hạn chế lên siêu mặt phức trơn của đa tạp Kähler compact.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

  • Đối tượng nghiên cứu: Các lớp hàm đa điều hòa dưới âm $\text{PSH}^-(\Omega)$, lớp năng lượng có trọng $\mathcal{E}\chi(\Omega)$, lớp hàm địa phương $\mathcal{E}{\chi,\text{loc}}(\Omega)$, không gian vectơ hiệu $\delta\mathcal{E}_\chi$, toán tử Monge-Ampère phức $(dd^c \cdot)^n$, và lớp hàm $\omega$-đa điều hòa dưới $\text{PSH}(X, \omega)$ trên đa tạp Kähler compact.
  • Phạm vi không gian: Miền siêu lồi $\Omega \subset \mathbb{C}^n$ và đa tạp Kähler compact $(X, \omega)$ cùng siêu mặt phức trơn $S \subset X$.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Luận án tổng kết hệ thống các công trình nền tảng và các hướng phát triển gắn liền với toán tử Monge-Ampère phức và dung lượng:

Hướng nghiên cứu Tác giả & Năm công bố tiêu biểu Nội dung chính Vị trí tiếp nối của luận án
Miền xác định toán tử Monge-Ampère E. Bedford & B. A. Taylor (1976, 1982), C. O. Kiselman (1984) Định nghĩa toán tử trên lớp psh bị chặn địa phương; chỉ ra không thể mở rộng lên toàn bộ $\text{PSH}(\Omega)$ mà vẫn nhận giá trị là độ đo không âm. Khảo sát toán tử trên các lớp năng lượng mở rộng và không gian hiệu.
Các lớp năng lượng Cegrell U. Cegrell (1998, 2004), Z. Błocki (2004, 2006) Đưa ra các lớp $\mathcal{E}_0, \mathcal{F}_p, \mathcal{E}_p, \mathcal{F}, \mathcal{E}$; chứng minh $\mathcal{E}(\Omega)$ là miền định nghĩa tự nhiên lớn nhất bảo tồn tính liên tục theo dãy giảm và có tính chất địa phương. Xây dựng phiên bản địa phương hóa $\mathcal{E}{\chi,\text{loc}}(\Omega)$ cho lớp năng lượng có trọng $\mathcal{E}\chi(\Omega)$.
Lớp năng lượng có trọng $\mathcal{E}_\chi$ P. H. Hiệp (2006), S. Benelkourchi, V. Guedj & A. Zeriahi (2009) Định nghĩa và đặc trưng lớp $\mathcal{E}_\chi(\Omega)$ thông qua tích phân trọng $\chi \circ \phi \in L^1((dd^c \phi)^n)$ trên nón $\mathcal{N}(\Omega)$. Bổ sung tính chất địa phương cho lớp có trọng và xây dựng không gian hiệu $\delta\mathcal{E}_\chi$.
Không gian hiệu $\delta\mathcal{H}$ C. O. Kiselman (1977), U. Cegrell & S. Wiklund (2005), L. M. Hải, N. V. Khuê & P. H. Hiệp (2006), P. Czyż & R. Czyż (2007) Nghiên cứu $\delta\text{PSH}$ với tô pô $L^1_{\text{loc}}$, $\delta\mathcal{F}$ (Banach), $\delta\mathcal{E}$ (Fréchet không khả ly, không phản xạ), $\delta\mathcal{E}_p$ (tựa Banach). Xây dựng tô pô lồi địa phương cho $\delta\mathcal{E}_\chi$, chứng minh cấu trúc Fréchet không khả ly, không phản xạ.
Dung lượng và hội tụ Monge-Ampère E. Bedford & B. A. Taylor (1982), Y. Xing (1996), S. Kołodziej (2003), V. Guedj & A. Zeriahi (2005), S. Kołodziej & P. H. Hiệp (2012) Định nghĩa dung lượng $\text{cap}$ trên $\mathbb{C}^n$ và $\text{cap}_X$ trên đa tạp Kähler compact; đặc trưng sự hội tụ theo dung lượng. Khảo sát sự hội tụ theo dung lượng khi thu hẹp hàm $\omega$-psh lên siêu mặt phức trơn $S \subset X$.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết và khái niệm sử dụng

  1. Miền siêu lồi và lớp cực đại: Cho miền siêu lồi $\Omega \subset \mathbb{C}^n$, với dãy cơ bản ${\Omega_j}{j=1}^\infty$ gồm các tập giả lồi chặt $\Omega_j \Subset \Omega{j+1} \Subset \Omega$. Hàm cực đại chính quy hóa nửa liên tục trên xác định bởi $\tilde{\phi} = (\lim_{j\to\infty} \phi_j)^* \in \text{MPSH}(\Omega)$, với $\phi_j = \sup{u \in \text{PSH}(\Omega) : u \le \phi \text{ trên } \Omega \setminus \Omega_j}$. Lớp $\mathcal{N}(\Omega) = {\phi \in \text{PSH}^-(\Omega) : \tilde{\phi} = 0}$.
  2. Lớp năng lượng có trọng $\mathcal{E}_\chi(\Omega)$: Với hàm trọng $\chi: \mathbb{R}^- \to \mathbb{R}^+$ giảm, thỏa mãn $\chi(2t) \le a\chi(t)$ ($a > 1$), lớp năng lượng có trọng là: $$\mathcal{E}\chi(\Omega) = \left{\phi \in \mathcal{N}(\Omega) : \chi \circ \phi \in L^1((dd^c \phi)^n)\right}$$ Năng lượng toàn phần của $u \in \mathcal{E}\chi(\Omega)$ được đo bởi $e_\chi(u) = \int_\Omega \chi(u)(dd^c u)^n$.
  3. Lớp địa phương $\mathcal{K}_{\text{loc}}(\Omega)$ và hàm cực trị bao trên: Lớp con $\mathcal{K}(\Omega) \subset \text{PSH}^-(\Omega)$ được gọi là có tính chất địa phương nếu:
    • $\phi \in \mathcal{K}(\Omega) \implies \phi \in \mathcal{K}(D)$ với mọi miền siêu lồi $D \Subset \Omega$;
    • $\phi \in \mathcal{K}{\text{loc}}(\Omega) \iff \forall D \Subset \Omega, \exists \psi \in \mathcal{K}(\Omega)$ sao cho $\psi = \phi$ trên $D$. Hàm cực trị tương đối được xác định: $h^\phi{D,\Omega} = \sup{u \in \text{PSH}^-(\Omega) : u \le \phi \text{ trên } D}$, từ đó định nghĩa: $$\mathcal{E}{\chi,\text{loc}}(\Omega) = \left{\phi \in \text{PSH}^-(\Omega) : h^\phi{D,\Omega} \in \mathcal{E}_\chi(\Omega), \forall D \Subset \Omega\right}$$
  4. Dung lượng trên $\mathbb{C}^n$ và trên đa tạp Kähler compact $(X, \omega)$:
    • Trong $\mathbb{C}^n$: $\text{cap}(E) = \sup\left{\int_E (dd^c u)^n : u \in \text{PSH}(\Omega), -1 \le u \le 0\right} = \int_E (dd^c h^*_{E,\Omega})^n$.
    • Trên $(X, \omega)$: $\text{cap}X(E) = \sup\left{\int_E (\omega + dd^c \phi)^n : \phi \in \text{PSH}(X, \omega), -1 \le \phi \le 0\right} = \int_X (-h^*{E,\omega}) \omega_{h^*_{E,\omega}}^n$.

Phương pháp nghiên cứu

Luận án sử dụng phương pháp nghiên cứu thuần túy giải tích toán học:

  • Phương pháp giải tích phức nhiều biến kết hợp kỹ thuật đa thế vị hiện đại.
  • Phương pháp tích phân từng phần đối với các dòng dương đóng $T$ bậc $(n-1, n-1)$ kết hợp phép chính quy hóa hàm nửa liên tục trên và nguyên lý so sánh độ đo.
  • Kỹ thuật không gian lồi địa phương: xây dựng hệ lân cận gốc gồm các tập lồi, cân, hấp thụ để thiết lập cấu trúc không gian Fréchet.
  • Kỹ thuật giải tích trên đa tạp phức: xấp xỉ địa phương và kiểm soát kỳ dị giải tích thông qua hàm điều khiển dạng $\log|f|$ gần siêu mặt.

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: Tính chất địa phương của lớp Eχ,loc (Ω)

Chương 1 thiết lập các bổ đề giải tích cơ bản và chứng minh định lý về tính chất địa phương của lớp $\mathcal{E}_{\chi,\text{loc}}(\Omega)$:

  1. Điều kiện đối với lớp hàm trọng $\mathcal{K}$: Hàm trọng $\chi: \mathbb{R}^- \to \mathbb{R}^+$ giảm, thỏa mãn $\chi(2t) \le a\chi(t)$ ($a > 1$), $\chi \not\equiv 0$ và thỏa mãn hệ điều kiện vi phân: $$u\chi'(u) \le c_1 \chi(u), \quad u\chi''(u) \le c_2(-\chi'(u))$$ Lớp $\mathcal{K}$ đóng kín đối với tổ hợp tuyến tính không âm ($a_1\chi_1 + a_2\chi_2 \in \mathcal{K}$), phép lũy thừa ($\chi^p \in \mathcal{K}, \forall p > 0$) và phép nhân với biến $|t|^k\chi(t) \in \mathcal{K}$. Trường hợp tiêu biểu là $\chi(t) = (-t)^p$ ($p > 0$).

  2. Các bổ đề đánh giá tích phân:

    • Bổ đề 1.2: Cho $u, v \in \text{PSH}^- \cap L^\infty(\Omega)$ thỏa mãn $u \le v$ trên $\Omega$, $T$ là $(n-1, n-1)$-dòng dương đóng, $\Omega' \Subset \Omega'' \Subset \Omega$. Khi đó: $$\int_{\Omega'} \chi(u) dd^c v \wedge T \le c \left(\int_{\Omega''} \chi(u) dd^c u \wedge T + \int_{\Omega''} \chi(u)|u| dd^c |z|^2 \wedge T\right)$$ với hằng số $c = c(\Omega', \Omega'', \Omega, \chi)$.
    • Bổ đề 1.3: Đánh giá tích phân năng lượng cấp cao: $$\int_{\Omega'} \chi_k(u) (dd^c u)^{n-k} \wedge (dd^c |z|^2)^k \le |h|{L^\infty(\Omega)}^k \sup_j \int\Omega \chi(u_j)(dd^c u_j)^n < +\infty$$ $$\int_{\Omega'} \chi_{k-1}(u) du \wedge d^c u \wedge (dd^c u)^{n-k-1} \wedge (dd^c |z|^2)^k < +\infty$$ với $\chi_k(t) = -\int_0^t \chi_{k-1}(x)dx$ và $u \in \mathcal{E}_\chi(\Omega)$.

  3. Kết quả chính (Định lý 1.4): Giả sử $\chi \in \mathcal{K}$ thỏa mãn $\chi(2t) \le a\chi(t)$ ($a > 1$). Khi đó lớp $\mathcal{E}_{\chi,\text{loc}}(\Omega)$ là một lớp địa phương, nghĩa là:

    • Với mọi $\phi \in \mathcal{E}{\chi,\text{loc}}(\Omega)$ và miền siêu lồi $D \Subset \Omega$, ta có $\phi \in \mathcal{E}{\chi,\text{loc}}(D)$;
    • Nếu $\phi \in \text{PSH}^-(\Omega)$ và với mọi $z \in \Omega$ tồn tại lân cận $V_z$ sao cho $\phi|{V_z} \in \mathcal{E}{\chi,\text{loc}}(V_z)$ thì $\phi \in \mathcal{E}{\chi,\text{loc}}(\Omega)$. Trường hợp $\chi(t) \equiv 1$ tái lập tính chất địa phương của lớp Cegrell $\mathcal{E}(\Omega)$; trường hợp $\chi(t) = (-t)^p$ khẳng định tính chất địa phương của lớp $\mathcal{E}{p,\text{loc}}(\Omega)$.

Chương 2: Tô pô trên không gian δEχ

Chương 2 nghiên cứu cấu trúc đại số và giải tích hàm của không gian vectơ hiệu $\delta\mathcal{E}\chi = {u \in L^1{\text{loc}}(\Omega) : \exists v, w \in \mathcal{E}_\chi, u = v - w}$:

  1. Xây dựng tô pô lồi địa phương:

    • Xét họ tập đối xứng trong $\delta\mathcal{E}\chi$: $$U_m = \left{u = v - w : v, w \in \mathcal{E}\chi, e_\chi(v) < \frac{1}{m}, e_\chi(w) < \frac{1}{m}\right}, \quad m \in \mathbb{N}$$
    • Luận án chứng minh mỗi $U_m$ là tập cân (Bổ đề 2.1) và tập hấp thụ (Bổ đề 2.2).
    • Thiết lập đánh giá năng lượng hàm tổng: với $\phi, \psi \in \mathcal{E}\chi$, ta có $e\chi(\phi + \psi) \le 2^{2n}c^2 [e_\chi(\phi) + e_\chi(\psi)]$. Từ đó suy ra bao lồi của $U_k$ nằm trong $U_m$ với $k = m([2^{2n}c^2] + 1)$.
    • Họ $\mathcal{A}$ gồm các bao lồi của ${U_m}{m=1}^\infty$ lập thành hệ cơ sở lân cận của gốc, sinh ra một tô pô lồi địa phương $\tau\chi$ trên $\delta\mathcal{E}_\chi$.

  2. Các tính chất tô pô và sự hội tụ:

    • Định lý 2.5: Không gian vectơ tô pô $(\delta\mathcal{E}\chi, \tau\chi)$ là một không gian Fréchet (lồi địa phương, khả cự và đầy đủ).
    • Định lý 2.6: Sự hội tụ trong tô pô $\tau_\chi$ mạnh hơn sự hội tụ theo dung lượng: nếu $u_j \to u$ trong $(\delta\mathcal{E}\chi, \tau\chi)$ thì với mọi $K \Subset \Omega$ và $\epsilon > 0$: $$\text{cap}({z \in K : |u_j(z) - u(z)| > \epsilon}) \to 0 \quad (j \to +\infty)$$
    • Lớp $\mathcal{E}\chi$ là tập con đóng trong $(\delta\mathcal{E}\chi, \tau_\chi)$.

  3. Toán tử Monge-Ampère và tính chất hình học không gian:

    • Mở rộng toán tử $(dd^c \cdot)^n$ lên $\delta\mathcal{E}_\chi$: với $u = u_1 - u_2$ trên $K \Subset \Omega$ ($u_1, u_2 \in \mathcal{F}(\Omega)$): $$(dd^c u)^n|K = \sum{i=0}^n (-1)^i \binom{n}{i} (dd^c u_2)^i \wedge (dd^c u_1)^{n-i}|_K$$
    • Định lý 2.9: Nếu $u_j \to u$ trong $(\delta\mathcal{E}\chi, \tau\chi)$ thì $(dd^c u_j)^n \to (dd^c u)^n$ theo chuẩn biến phân toàn phần trên mọi tập mở compact tương đối $D \Subset \Omega$.
    • Định lý 2.11: Không gian Fréchet $\delta\mathcal{E}_\chi$ là không gian không khả ly và không phản xạ.
    • So sánh tô pô: Gọi $\tau'\chi$ là tô pô cảm sinh từ $(\delta\mathcal{E}, \tau)$ lên $\delta\mathcal{E}\chi$. Luận án chỉ ra $\tau'\chi \le \tau\chi$, phép nhúng chính tắc $(\delta\mathcal{E}\chi, \tau\chi) \hookrightarrow (\delta\mathcal{E}, \tau)$ là liên tục, và không gian $(\delta\mathcal{E}\chi, \tau'\chi)$ cũng không khả ly.

Chương 3: Hội tụ theo dung lượng trên siêu mặt phức trơn của đa tạp Kähler compact

Chương 3 mở rộng bài toán sang đa tạp Kähler compact $(X, \omega)$ (với $\dim X = n$) và siêu mặt phức trơn $S \subset X$:

  1. Khái niệm và công cụ giải tích chuẩn bị:

    • Lớp hàm $\omega$-đa điều hòa dưới $\text{PSH}(X, \omega) = {u \in L^1(X, \mathbb{R} \cup {-\infty}) : dd^c u + \omega \ge 0, u \text{ nửa liên tục trên}}$.
    • Dung lượng Choquet $\text{cap}X(E) = \sup{\int_E \omega\phi^n : \phi \in \text{PSH}(X, \omega), -1 \le \phi \le 0} = \int_X (-h^{E,\omega}) \omega{h^_{E,\omega}}^n$.
    • Khái niệm dãy ${u_j} \subset \text{PSH}(X, \omega)$ hội tụ tới $u$ theo dung lượng $\text{cap}X$: $\lim{j\to\infty} \text{cap}_X({|u_j - u| > \delta}) = 0, \forall \delta > 0$.
    • Họ độ đo ${\mu_i}_{i\in I}$ liên tục tuyệt đối đều theo dung lượng $\text{cap}_X$ ($\mu_i \ll \text{cap}_X$ đều): $\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0$ sao cho $\text{cap}_X(E) < \delta \implies \mu_i(E) < \epsilon, \forall i \in I$.

  2. Sự hội tụ theo dung lượng trên siêu mặt phức trơn $S$:

    • Xây dựng lớp hàm tựa đa điều hòa dưới liên tục ngoài siêu mặt trơn $S$ và bị chặn dưới bởi $\log|f|$ trong lân cận của $S$ (với $f$ là hàm chỉnh hình định nghĩa siêu mặt địa phương).
    • Thiết lập các hệ điều kiện đủ về tính liên tục tuyệt đối đều của độ đo Monge-Ampère đối với dung lượng $\text{cap}_X$.
    • Chứng minh rằng dưới các hệ điều kiện đủ này, sự hội tụ theo dung lượng $\text{cap}_X$ của dãy ${u_j} \subset \text{PSH}(X, \omega)$ trên toàn không gian $X$ bảo toàn tính hội tụ theo dung lượng $\text{cap}_S$ của dãy thu hẹp ${u_j|_S}$ trên siêu mặt phức trơn $S$.

Kết quả và những đóng góp mới

Luận án đạt được các kết quả lý thuyết mới trong chuyên ngành Giải tích phức nhiều biến:

  1. Đóng góp về lớp năng lượng có trọng:

    • Đưa ra định nghĩa hoàn chỉnh của lớp năng lượng đa phức với trọng địa phương $\mathcal{E}_{\chi,\text{loc}}(\Omega)$ trên miền siêu lồi $\Omega \subset \mathbb{C}^n$.
    • Chứng minh trọn vẹn Định lý 1.4 khẳng định $\mathcal{E}_{\chi,\text{loc}}(\Omega)$ là một lớp địa phương dưới điều kiện hàm trọng $\chi \in \mathcal{K}$. Kết quả này bao hàm và tổng quát hóa tính chất địa phương của lớp Cegrell $\mathcal{E}(\Omega)$ ($\chi \equiv 1$) và lớp $\mathcal{E}_p(\Omega)$ ($\chi(t) = (-t)^p$).

  2. Đóng góp về cấu trúc giải tích hàm của không gian hiệu:

    • Xây dựng thành công tô pô lồi địa phương $\tau_\chi$ trên không gian vectơ $\delta\mathcal{E}_\chi$ thông qua hệ lân cận gốc gồm các tập lồi, cân, hấp thụ.
    • Khẳng định cấu trúc giải tích hàm của $(\delta\mathcal{E}\chi, \tau\chi)$: là không gian Fréchet, không khả ly và không phản xạ.
    • Chứng minh sự hội tụ trong $(\delta\mathcal{E}\chi, \tau\chi)$ kéo theo sự hội tụ theo dung lượng và kéo theo sự hội tụ theo biến phân toàn phần của toán tử Monge-Ampère $(dd^c \cdot)^n$ trên các tập compact con.
    • Xác lập tính liên tục của phép nhúng chính tắc $(\delta\mathcal{E}\chi, \tau\chi) \hookrightarrow (\delta\mathcal{E}, \tau)$.

  3. Đóng góp về dung lượng trên đa tạp Kähler compact:

    • Thiết lập lớp hàm $\omega$-psh có điều kiện biên kiểm soát dạng $\log|f|$ lân cận siêu mặt phức trơn $S$.
    • Đưa ra các hệ điều kiện đủ đảm bảo việc thu hẹp một dãy hàm tựa đa điều hòa dưới hội tụ theo dung lượng $\text{cap}_X$ trên đa tạp Kähler compact $X$ xuống siêu mặt phức trơn $S$ vẫn giữ nguyên tính hội tụ theo dung lượng $\text{cap}_S$.

  4. Công bố khoa học liên quan trực tiếp:

    • Bài báo [1]: Vũ Việt Hùng, Hoàng Nhật Quy (2012), Convergence in capacity on smooth hypersurfaces of compact Kähler manifolds, Annales Polonici Mathematici.
    • Bài báo [2]: Lê Mậu Hải, Phạm Hoàng Hiệp, Hoàng Nhật Quy (2013), Local property of the class $\mathcal{E}_{\chi,\text{loc}}$, Journal of Mathematical Analysis and Applications.
    • Bài báo [3]: Hoàng Nhật Quy (2013), The topology on the space $\delta\mathcal{E}_\chi$, Universitatis Iagellonicae Acta Mathematica, 51, 61–73.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

  • Hạn chế:
    • Các kết quả về tính chất địa phương của lớp $\mathcal{E}{\chi,\text{loc}}(\Omega)$ và cấu trúc tô pô của $\delta\mathcal{E}\chi$ đòi hỏi hàm trọng $\chi$ thỏa mãn điều kiện tăng trưởng $\chi(2t) \le a\chi(t)$ ($a > 1$) cùng hệ điều kiện vi phân trong lớp $\mathcal{K}$; chưa mở rộng cho các hàm trọng biến thiên tùy ý không có đạo hàm cấp hai.
    • Kết quả hội tụ theo dung lượng ở Chương 3 chỉ giới hạn trên siêu mặt phức trơn $S$; chưa xét trường hợp siêu mặt có điểm kỳ dị hoặc tập con giải tích có số chiều đối lớn hơn 1.
  • Hướng nghiên cứu tiếp:
    • Khảo sát bài toán biên Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère phức với vế phải là độ đo Radon trong lớp $\mathcal{E}_{\chi,\text{loc}}(\Omega)$.
    • Nghiên cứu không gian đối ngẫu tô pô $(\delta\mathcal{E}\chi)'$ và xác định biểu diễn tường minh cho các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên $(\delta\mathcal{E}\chi, \tau_\chi)$.
    • Mở rộng các định lý hội tụ theo dung lượng trên các tập con giải tích có kỳ dị hoặc các đa tạp phức compact tổng quát (không nhất thiết là Kähler).

Giá trị tham khảo

  • Đối với nghiên cứu sinh và học viên cao học ngành Toán giải tích: Luận án cung cấp hệ thống kỹ thuật ước lượng tích phân từng phần đối với dòng dương đóng, phương pháp xây dựng cơ sở lân cận lồi địa phương cho không gian hàm hiệu $\delta\mathcal{H}$, và lý thuyết dung lượng hiện đại trên đa tạp phức.
  • Đối với giảng viên và chuyên gia nghiên cứu Lý thuyết đa thế vị:
    • Chương 1 là tài liệu tham khảo trực tiếp cho các nghiên cứu về tính chất giải tích cục bộ của các lớp năng lượng có trọng.
    • Chương 2 cung cấp cấu trúc giải tích hàm mẫu mực cho việc nghiên cứu các không gian hàm không Banach nảy sinh từ giải tích phức nhiều biến.
    • Chương 3 cung cấp công cụ xử lý sự hội tụ dung lượng và bài toán hạn chế hàm tựa đa điều hòa dưới lên các đa tạp con phức.

Câu hỏi thường gặp

1. Vì sao tác giả phải xây dựng lớp $\mathcal{E}{\chi,\text{loc}}(\Omega)$ thay vì sử dụng trực tiếp lớp $\mathcal{E}\chi(\Omega)$?

Theo phân tích ở Chương 1, lớp năng lượng có trọng $\mathcal{E}\chi(\Omega)$ không có tính chất địa phương: nếu $\phi \in \mathcal{E}\chi(\Omega)$ thì $\phi$ không nhất thiết thuộc $\mathcal{E}\chi(D)$ với $D \Subset \Omega$ do điều kiện biên $\lim\sup{z\to\xi}\phi(z) = 0$ bị phá vỡ trên $\partial D$. Việc đưa ra $\mathcal{E}{\chi,\text{loc}}(\Omega) = {\phi \in \text{PSH}^-(\Omega) : h^\phi{D,\Omega} \in \mathcal{E}\chi(\Omega), \forall D \Subset \Omega}$ giúp thiết lập một lớp hàm có tính chất địa phương, bao hàm $\mathcal{E}\chi(\Omega)$ và khôi phục mối liên hệ địa phương - toàn cục tương tự như cặp lớp Cegrell $\mathcal{E}(\Omega)$ và $\mathcal{F}(\Omega)$.

2. Tô pô $\tau_\chi$ trên không gian hiệu $\delta\mathcal{E}_\chi$ được xây dựng bằng cách nào và có cấu trúc gì?

Tô pô $\tau_\chi$ không được xây dựng qua chuẩn hay nửa chuẩn trực tiếp mà được sinh bởi hệ cơ sở lân cận gốc $\mathcal{A}$ gồm các bao lồi của các tập $U_m = {u = v - w : v, w \in \mathcal{E}\chi, e\chi(v) < \frac{1}{m}, e_\chi(w) < \frac{1}{m}}$ ($m \ge 1$). Với tô pô lồi địa phương này, $(\delta\mathcal{E}\chi, \tau\chi)$ trở thành một không gian Fréchet (Định lý 2.5).

3. Vì sao không gian Fréchet $\delta\mathcal{E}_\chi$ không khả ly và không phản xạ?

  • Không khả ly: Bằng cách dựng họ hàm cực trị $h_r$ gắn với hình cầu $B(z_0, r)$, tập giá mang của $(dd^c h_r)^n$ nằm trên mặt cầu $S(z_0, r)$. Nếu tồn tại dãy đếm được ${u_j}$ trù mật thì tập bán kính mà $(dd^c u_j)^n(S(z_0, r)) \ne 0$ là đếm được, dẫn tới mâu thuẫn khi chọn bán kính $t$ không thuộc tập này.
  • Không phản xạ: Nếu $\delta\mathcal{E}\chi$ phản xạ thì tập ${h{r_0(1+1/j)}}$ bị chặn và có dãy con hội tụ yếu. Dãy tổ hợp lồi tương ứng hội tụ theo dung lượng về $h_{r_0}$, dẫn đến $(dd^c h_{r_0})^n(S(z_0, r_0)) = 0$, mâu thuẫn với nguyên lý so sánh $h_{r_0} = 0$.

4. Mối quan hệ giữa sự hội tụ trong không gian $(\delta\mathcal{E}\chi, \tau\chi)$, sự hội tụ theo dung lượng và tác động lên toán tử Monge-Ampère là gì?

Nếu dãy ${u_j}$ hội tụ tới $u$ theo tô pô $\tau_\chi$ thì:

  • ${u_j}$ hội tụ tới $u$ theo dung lượng $\text{cap}$ trên mọi tập compact con $K \Subset \Omega$ (Định lý 2.6).
  • Toán tử Monge-Ampère $(dd^c u_j)^n$ hội tụ tới $(dd^c u)^n$ theo chuẩn biến phân toàn phần trên mọi tập mở $D \Subset \Omega$ (Định lý 2.9).

5. Khái niệm hàm $\omega$-đa điều hòa dưới trên đa tạp Kähler compact $(X, \omega)$ được định nghĩa như thế nào trong luận án?

Hàm $u$ thuộc lớp $\text{PSH}(X, \omega)$ nếu $u \in L^1(X, \mathbb{R} \cup {-\infty})$, $u$ nửa liên tục trên và thỏa mãn điều kiện dòng $dd^c u + \omega \ge 0$ theo nghĩa dòng dương trên $X$.

Kết luận

Luận án tiến sĩ của Hoàng Nhật Quy đã giải quyết trọn vẹn ba bài toán trọng tâm trong lý thuyết đa thế vị: chứng minh tính chất địa phương của lớp năng lượng có trọng $\mathcal{E}{\chi,\text{loc}}(\Omega)$; thiết lập cấu trúc không gian Fréchet không khả ly, không phản xạ của không gian hiệu $\delta\mathcal{E}\chi$ cùng tính liên tục của toán tử Monge-Ampère; và xác lập các hệ điều kiện đủ cho sự hội tụ theo dung lượng trên siêu mặt phức trơn của đa tạp Kähler compact. Toàn bộ các kết quả lý thuyết đều được chứng minh giải tích và đã được công bố trên các tạp chí toán học quốc tế chuyên ngành.