I. Tổng Quan Lý Thuyết Hàm Nhiều Biến Phức Khám Phá
Lý thuyết hàm nhiều biến phức là một lĩnh vực toán học sâu sắc, nghiên cứu các hàm phức xác định trên không gian nhiều chiều. Lĩnh vực này bắt đầu thu hút sự quan tâm từ nửa sau thế kỷ 20, với sự đóng góp của nhiều nhà toán học lớn. Nghiên cứu tập trung vào các hàm đa điều hòa dưới, đối tượng chính của lý thuyết đa thế vị, và các công cụ liên quan. Nhiều kết quả đã đạt được về lý thuyết đa thế vị, đặc biệt là các lớp con của hàm đa điều hòa dưới có năng lượng Monge-Ampère hữu hạn. Cegrell đã đưa ra nhiều lớp năng lượng hữu hạn trên miền siêu lồi trong Cn như E0 (Ω), E(Ω), F(Ω).
1.1. Lịch Sử Phát Triển Lý Thuyết Hàm Nhiều Biến Phức
Lý thuyết hàm nhiều biến phức bắt đầu từ các công trình của Poincaré và Hartogs vào cuối thế kỷ 19 và đầu thế kỷ 20. Tuy nhiên, sự phát triển mạnh mẽ của nó diễn ra vào nửa sau thế kỷ 20 với sự đóng góp của nhiều nhà toán học lớn. Theo tài liệu, lý thuyết này thu hút được nhiều sự quan tâm và đầu tư nghiên cứu của các nhà toán học lớn trên thế giới bắt đầu từ nửa sau của thế kỷ thứ XX.
1.2. Các Khái Niệm Cơ Bản trong Giải Tích Nhiều Biến Phức
Các khái niệm cơ bản bao gồm đa tạp phức, hàm chỉnh hình, hàm đa điều hòa dưới, toán tử Monge-Ampère, và dung lượng. Hàm chỉnh hình là hàm phức khả vi phức trên một miền mở của không gian phức nhiều chiều. Hàm đa điều hòa dưới đóng vai trò trung tâm trong lý thuyết đa thế vị. Toán tử Monge-Ampère là một công cụ quan trọng để nghiên cứu các hàm này.
II. Thách Thức Bài Toán Mở trong Hàm Nhiều Biến Phức
Mặc dù đã có nhiều tiến bộ, lý thuyết hàm nhiều biến phức vẫn còn nhiều thách thức và bài toán mở. Một trong những thách thức là mở rộng các kết quả từ hàm một biến phức sang hàm nhiều biến phức, do sự khác biệt lớn về cấu trúc và tính chất. Việc xây dựng các công cụ mới và phát triển các kỹ thuật chứng minh mạnh mẽ là rất quan trọng. Cần nghiên cứu xây dựng lớp mới từ lớp Eχ (Ω), có tính chất địa phương và có mối quan hệ địa phương toàn cục với lớp Eχ (Ω) tương tự như cặp E(Ω) và F(Ω).
2.1. Bài Toán Levi và Các Vấn Đề Liên Quan
Bài toán Levi là một bài toán cổ điển trong giải tích nhiều biến phức, liên quan đến sự tồn tại của các hàm chỉnh hình trên các miền Levi-convex. Nghiên cứu về bài toán này vẫn tiếp tục được quan tâm, với nhiều kết quả mới được công bố. Bài toán Levi còn nhiều hướng để phát triển và đào sâu.
2.2. Sự Hội Tụ Theo Dung Lượng trên Đa Tạp Kähler
Nghiên cứu sự hội tụ theo dung lượng của dãy các hàm đa điều hòa dưới trên đa tạp Kähler compact vẫn là một vấn đề quan trọng. Việc tìm ra các điều kiện đủ để đảm bảo sự hội tụ theo dung lượng là một thách thức lớn. Nghiên cứu sự hội tụ theo dung lượng của các hàm tựa đa điều hòa dưới khi chúng được thu hẹp trên một siêu mặt trơn của đa tạp Kähler compact.
III. Cách Xây Dựng Lớp Hàm Mới Eχ loc Ω và Tính Chất
Luận án nghiên cứu về phương trình và toán tử Monge-Ampère của hàm đa điều hòa dưới trên miền siêu lồi trong Cn và của hàm tựa đa điều hòa dưới trên đa tạp Kähler compact. Mục tiêu là xây dựng lớp năng lượng mới Eχ,loc (Ω) và chứng minh rằng lớp đó có tính chất địa phương. Từ đó, xây dựng và nghiên cứu một số tính chất của tô pô trên không gian đó. Nghiên cứu sự hội tụ theo dung lượng của các hàm tựa đa điều hòa dưới khi chúng được hạn chế trên siêu mặt trơn của đa tạp Kähler compact.
3.1. Định Nghĩa và Tính Chất Cơ Bản của Eχ loc Ω
Lớp Eχ,loc (Ω) được định nghĩa dựa trên lớp Eχ (Ω) và tính chất địa phương. Một hàm thuộc Eχ,loc (Ω) nếu nó thuộc Eχ (D) cho mọi miền con D của Ω. Theo tài liệu, Eχ,loc (Ω) = {ϕ ∈ PSH− (Ω) : hϕD,Ω ∈ Eχ (Ω), ∀ D b Ω}.
3.2. Chứng Minh Tính Chất Địa Phương của Eχ loc Ω
Việc chứng minh tính chất địa phương của Eχ,loc (Ω) đòi hỏi các kỹ thuật tinh tế, sử dụng các bổ đề và các công cụ giải tích phức. Cần sử dụng điều kiện (1.1) của hàm χ để chứng minh tính chất địa phương. Theo tài liệu, để có thể chứng minh được tính chất địa phương của lớp Eχ,loc (Ω), ta cần phải giả sử thêm tính chất sau đây của hàm χ.
3.3 Mối Quan Hệ Giữa Eχ Ω và Eχ loc Ω
Lớp Eχ,loc(Ω) là lớp địa phương hóa của Eχ(Ω). Điều này có nghĩa là một hàm thuộc Eχ,loc(Ω) nếu và chỉ nếu nó cục bộ giống như một hàm thuộc Eχ(Ω). Việc này giúp ta có thể tận dụng các tính chất của lớp Eχ(Ω) để nghiên cứu lớp Eχ,loc(Ω) mà vẫn đảm bảo tính chất địa phương mong muốn.
IV. Cách Xây Dựng Tô Pô trên Không Gian δEχ Hướng Dẫn
Một vấn đề khác trong lý thuyết đa thế vị thu hút được nhiều sự quan tâm đó là nghiên cứu sự hội tụ theo dung lượng của dãy các hàm đa điều hòa dưới. Luận án này sẽ đưa ra và nghiên cứu lớp δEχ với tô pô được sinh bởi một họ các tập lồi, cân, hấp thụ. Và với tô pô này không gian δEχ là không gian Fréchet không khả ly và không phản xạ.
4.1. Định Nghĩa và Tính Chất của Không Gian δEχ
Không gian δEχ là không gian các hàm có thể biểu diễn dưới dạng hiệu của hai hàm thuộc Eχ. Việc nghiên cứu tô pô trên không gian này giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc và tính chất của các hàm thuộc Eχ. Luận án này sẽ đưa ra và nghiên cứu lớp δEχ với tô pô được sinh bởi một họ các tập lồi, cân, hấp thụ.
4.2. Xây Dựng Tô Pô Lồi Địa Phương trên δEχ
Tô pô trên δEχ được xây dựng bằng cách sử dụng một họ các tập lồi, cân, hấp thụ. Chứng minh rằng không gian δEχ là không gian Fréchet không khả ly và không phản xạ. Các kết quả về sau trên lớp δH đều được nghiên cứu với tô pô cảm sinh từ chuẩn Monge-Ampère.
4.3. Quan Hệ Giữa Tô Pô và Sự Hội Tụ Theo Dung Lượng
Chứng minh rằng sự hội tụ trên không gian tô pô δEχ mạnh hơn sự hội tụ theo dung lượng. Sự hội tụ theo dung lượng là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết đa thế vị, và việc so sánh nó với sự hội tụ trong tô pô δEχ giúp làm sáng tỏ mối quan hệ giữa hai khái niệm này.
V. Kết Quả Hội Tụ Theo Dung Lượng Siêu Mặt Phức Trơn
Luận án nghiên cứu về phương trình và toán tử Monge-Ampère của hàm đa điều hòa dưới trên miền siêu lồi trong Cn và của hàm tựa đa điều hòa dưới trên đa tạp Kähler compact. Đặc biệt trong [24], các tác giả S. Hiệp đã đưa ra nhiều hệ điều kiện đủ để một dãy các hàm tựa đa điều hòa dưới là hội tụ theo dung lượng trên đa tạp Kähler compact.
5.1. Điều Kiện Đủ Cho Sự Hội Tụ Theo Dung Lượng
Đưa ra các hệ điều kiện đủ cho sự hội tụ theo dung lượng trên siêu mặt phức trơn của đa tạp Kähler compact. Các hệ điều kiện này có thể liên quan đến tính bị chặn của năng lượng Monge-Ampère hoặc các tính chất khác của dãy hàm. Đặc biệt trong [24], các tác giả S. Hiệp đã đưa ra nhiều hệ điều kiện đủ để một dãy các hàm tựa đa điều hòa dưới là hội tụ theo dung lượng trên đa tạp Kähler compact.
5.2. Chứng Minh Sự Hội Tụ Trên Siêu Mặt Phức Trơn
Chứng minh rằng khi các hàm tựa đa điều hòa dưới bị thu hẹp lên một siêu mặt phức trơn trong đa tạp Kähler compact, chúng vẫn hội tụ theo dung lượng nếu thỏa mãn các điều kiện đã đưa ra. Các kết quả đạt được trong luận án giúp chúng tôi hiểu biết sâu hơn về các lớp năng lượng và sự hội tụ theo dung lượng của dãy các hàm tựa đa điều hòa dưới trên siêu mặt Kähler compact.
5.3. Ứng Dụng của Kết Quả Hội Tụ
Kết quả về sự hội tụ theo dung lượng có nhiều ứng dụng trong lý thuyết đa thế vị và giải tích phức. Ví dụ, chúng có thể được sử dụng để nghiên cứu sự tồn tại và tính chất của các nghiệm của phương trình Monge-Ampère.
VI. Ứng Dụng Thực Tiễn và Hướng Phát Triển Hàm Phức
Các kết quả đạt được trong luận án có thể được áp dụng để nghiên cứu các vấn đề liên quan đến lý thuyết đa thế vị, giải tích phức, và các lĩnh vực liên quan. Việc hiểu rõ hơn về cấu trúc và tính chất của các hàm đa điều hòa dưới và sự hội tụ theo dung lượng có thể giúp giải quyết các bài toán phức tạp trong toán học và vật lý.
6.1. Ứng Dụng trong Vật Lý và Kỹ Thuật
Hàm nhiều biến phức có ứng dụng trong vật lý lý thuyết, đặc biệt là trong lý thuyết dây và lý thuyết trường lượng tử. Chúng cũng được sử dụng trong kỹ thuật, ví dụ như trong xử lý tín hiệu và thiết kế mạch.
6.2. Các Hướng Nghiên Cứu Mở Rộng
Các hướng nghiên cứu mở rộng có thể bao gồm nghiên cứu các lớp hàm mới, phát triển các công cụ mới để nghiên cứu toán tử Monge-Ampère, và khám phá các ứng dụng mới của lý thuyết hàm nhiều biến phức.
