I. Nghiên Cứu Tổng Quan Về Bất Đẳng Thức Tích Phân Quan Trọng
Bất đẳng thức Hermite-Hadamard (HH) là một công cụ mạnh mẽ trong giải tích, cung cấp các ước lượng chặn trên và chặn dưới cho giá trị trung bình tích phân của một hàm lồi trên một khoảng đóng. Hermite đưa ra bất đẳng thức này lần đầu tiên vào năm 1883. Hadamard phát hiện lại nó vào năm 1893. Nếu f : [a, b] → R là hàm lồi liên tục, ta có: f((a+b)/2) ≤ (1/(b-a)) ∫[a,b] f(x)dx ≤ (f(a)+f(b))/2. Bất đẳng thức này liên hệ giá trị của hàm tại trung điểm với giá trị trung bình của nó trên đoạn. Sự xuất hiện của khái niệm hàm lồi đóng vai trò then chốt. Ý tưởng cơ bản của bất đẳng thức hàm là dựa trên đánh giá các giá trị của hàm thông qua các trung bình số học.
1.1. Lịch sử và tầm quan trọng của Bất Đẳng Thức HH
Bất đẳng thức Hermite-Hadamard (HH), được Hermite [41] nêu ra lần đầu tiên vào năm 1883 và được phát hiện lại mười năm sau đó bởi Hadamard [37], cho ta các ước lượng chặn trên và chặn dưới đối với giá trị trung bình tích phân của một hàm lồi trên một khoảng đóng, liên quan đến trung điểm và các điểm cuối của miền xác định. Nhiều kết quả cổ điển liên quan đến bất đẳng thức này có thể được tìm thấy trong chuyên khảo của Pečarić, Proschan và Tong [75]. Bất đẳng thức HH thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học và trở thành viên đá nền móng quan trọng trong giải tích toán học và tối ưu. Đặc biệt, trong hai thập kỷ gần đây, nó đã nhận được rất nhiều sự chú ý.
1.2. Khái niệm hàm lồi Jensen và vai trò của nó
Khái niệm hàm lồi được đề xuất một cách chính thức muộn hơn bởi Jensen [53] vào cuối năm 1906. Jensen đã sử dụng hạng tử đầu và hạng tử cuối trong (HH) để định nghĩa hàm lồi thông qua bất đẳng thức hàm. Cụ thể hơn, nếu I ⊂ R là một khoảng và f : I → R là một hàm thì f được gọi là hàm lồi theo nghĩa Jensen hay J-lồi trên I khi f((x+y)/2) ≤ (f(x) + f(y))/2 với mọi x, y ∈ I. Ý tưởng cơ bản của bất đẳng thức hàm (JC) là dựa trên đánh giá các giá trị của hàm thông qua các trung bình số học. Đây là một đóng góp to lớn của Jensen cho sự phát triển của toán học mà ngày nay dường như nó bao phủ rộng khắp các lĩnh vực khác nhau của toán học [30].
II. Thách Thức Tổng Quát Hóa Bất Đẳng Thức Tích Phân Như Thế Nào
Một thách thức tự nhiên là làm thế nào để tổng quát hóa khái niệm tính lồi. Một hướng tiếp cận là thay thế các trung bình số học có trọng trong bất đẳng thức định nghĩa hàm lồi bằng các cặp trung bình tổng quát hơn. Dựa trên ý tưởng này, xây dựng một khái niệm suy rộng mới về trung bình được định nghĩa trên một khoảng thực. Từ đó, giới thiệu và nghiên cứu một khái niệm mới về hàm lồi suy rộng. Điều này có nghĩa là một hàm lồi suy rộng là một hàm số phải thỏa mãn một bất đẳng thức với các trung bình suy rộng.
2.1. Giới thiệu về Trung Bình Tổng Quát và Hàm Lồi Suy Rộng
Để tổng quát hóa khái niệm tính lồi, một vấn đề tự nhiên là thay thế các trung bình số học có trọng trong bất đẳng thức (CF) bởi các cặp trung bình tổng quát hơn. Dựa vào ý tưởng này, trước hết, chúng tôi xây dựng một khái niệm suy rộng mới về trung bình được định nghĩa trên một khoảng thực. Sau đó, dựa vào trung bình suy rộng như vậy, một khái niệm mới về hàm lồi suy rộng sẽ được giới thiệu và nghiên cứu. Điều này có nghĩa là một hàm lồi suy rộng là một hàm số phải thỏa mãn bất đẳng thức f(GM1(x, y)) <= GM2(f(x), f(y)) với mọi x, y lấy các giá trị thuộc miền xác định của f, trong đó GM1 , GM2 là các trung bình suy rộng nào đó.
2.2. Các loại trung bình đặc biệt Số học Hình học Logarit
Các loại trung bình như trung bình số học có trọng, trung bình hình học có trọng, trung bình logarit, trung bình logarit suy rộng, trung bình có trọng Gini lần lượt được cho bởi các công thức. Việc chọn một cặp trung bình sẽ dẫn đến một kiểu hàm lồi suy rộng. Về các kiểu hàm lồi đặc biệt, các công trình [14,84] có thể cho chúng ta một cái nhìn tổng quan. Các trung bình này có nhiều ứng dụng.
III. Phương Pháp Bất Đẳng Thức Fejér Cho Hàm Lồi Tựa Trung Bình
Chương 1 tập trung vào việc trình bày các nghiên cứu về bất đẳng thức kiểu Fejér cho lớp hàm lồi theo cặp tựa trung bình số học. Đưa ra các bất đẳng thức nội suy kiểu Fejér mà chúng đặc trưng cho bản chất tự nhiên của các hàm (Mφ , Mψ )-lồi liên tục. Kiểu hàm lồi này phủ một lớp rộng các lớp hàm lồi khác. Do đó, bất đẳng thức kiểu Fejér cho lớp hàm này phủ một lớp rộng các bất đẳng thức đã biết kiểu Hermite-Hadamard và Fejér của các kiểu hàm lồi khác. Nghiên cứu này cung cấp một phương pháp hiệu quả trong việc thiết lập các bất đẳng thức cho tích phân bậc không nguyên và một số áp dụng vào hàm Gamma.
3.1. Giới thiệu về Bất Đẳng Thức Kiểu Fejér và Tính Chất
Trong chương này, chúng tôi trình bày các bất đẳng thức kiểu Fejér cho lớp hàm lồi theo cặp tựa trung bình số học, cụ thể là đưa ra các bất đẳng thức nội suy kiểu Fejér mà chúng đặc trưng cho bản chất tự nhiên của các hàm (Mφ , Mψ )-lồi liên tục. Hơn nữa, kiểu hàm lồi này phủ một lớp rộng các lớp hàm lồi khác và do đó bất đẳng thức kiểu Fejér cho lớp hàm này phủ một lớp rộng các bất đẳng thức đã biết kiểu Hermite-Hadamard và Fejér của các kiểu hàm lồi khác.
3.2. Áp Dụng Bất Đẳng Thức Fejér vào Tích Phân Bậc Không Nguyên
Nghiên cứu này cung cấp một phương pháp hiệu quả trong việc thiết lập các bất đẳng thức cho tích phân bậc không nguyên và một số áp dụng vào hàm Gamma. Các khái niệm và kỹ thuật được xây dựng trong chương này có thể thúc đẩy những nghiên cứu sâu hơn trong lĩnh vực đáng quan tâm này. Nội dung của chương này được viết chủ yếu dựa vào [28].
3.3. Vai trò trung bình số học Mφ Mψ trong bất đẳng thức
Lớp hàm (Mφ , Mψ )-lồi được xây dựng dựa trên các tựa trung bình số học bao phủ rất nhiều kiểu hàm lồi đã biết và do đó bất đẳng thức kiểu Hermite-Hadamard và Fejér của lớp hàm này cũng bao phủ một lớp rộng các bất đẳng thức kiểu này đối với nhiều kiểu hàm lồi khác nhau.
IV. Giải Pháp Bất Đẳng Thức Jensen và Ứng Dụng Của Nó Như Thế Nào
Ngoài bất đẳng thức Hermite-Hadamard và bất đẳng thức Fejér, bất đẳng thức nổi tiếng Jensen dưới dạng rời rạc và dạng tích phân cũng gắn liền với khái niệm hàm lồi. Các bất đẳng thức này là những đóng góp đầu tiên của Jensen trong lĩnh vực hàm lồi và bất đẳng thức. Bất đẳng thức Jensen có dạng tích phân: f(∫ wgdµ) ≤ ∫ wf(g)dµ. Bất đẳng thức Jensen được xem là các bất đẳng thức cơ bản nhất trong lý thuyết bất đẳng thức. Rất nhiều bất đẳng thức cổ điển khác được suy ra từ nó, chẳng hạn như bất đẳng thức Hölder.
4.1. Dạng Tích Phân và Rời Rạc của Bất Đẳng Thức Jensen
Ngoài bất đẳng thức Hermite-Hadamard và bất đẳng thức Fejér, gắn liền với khái niệm hàm lồi là bất đẳng thức nổi tiếng Jensen dưới dạng rời rạc và dạng tích phân. Các bất đẳng thức này là những đóng góp đầu tiên của Jensen trong lĩnh vực hàm lồi và bất đẳng thức. Cho f : I ⊂ R → R là hàm lồi và liên tục, trong đó I là một khoảng và (Ω, A, µ) là một không gian đo bao gồm tập Ω, σ-đại số A các tập con của Ω và độ đo µ xác định trên A.
4.2. Liên Hệ Giữa Bất Đẳng Thức Jensen và Các Bất Đẳng Thức Khác
Các bất đẳng thức Jensen được xem là các bất đẳng thức cơ bản nhất trong lý thuyết bất đẳng thức vì rất nhiều bất đẳng thức cổ điển khác được suy ra từ nó, chẳng hạn như bất đẳng thức Hölder, bất đẳng thức Minkowski, bất đẳng thức giữa các trung bình, bất đẳng thức Ky Fan,. Thậm chí, vế trái của bất đẳng thức (FI) cũng là một trường hợp riêng của bất đẳng thức Jensen.
4.3. Ước Lượng Giá Trị Trung Bình Của Hàm Bằng Tổng Tích Phân Riemann
Một phương pháp hữu ích khác cho phép ta ước lượng giá trị trung bình của một hàm trên một đoạn là dựa vào tính đơn điệu của tổng tích phân Riemann của nó. Trong trường hợp này, tính lồi tỏ ra là một công cụ hiệu quả cho phép ta khảo sát bài toán này. Việc xét tính đơn điệu của tổng tích phân Riemann cũng chính là nguồn gốc của nhiều bất đẳng thức quan trọng liên quan đến hàm lồi và hàm lồi suy rộng.
V. Kết Quả Nghiên Cứu Hàm Lồi Suy Rộng Kiểu Hölder và Tính Chất
Luận án tập trung vào xây dựng hàm lồi suy rộng kiểu Hölder và nghiên cứu một số tính chất của nó. Cùng với các đặc trưng khác nhau của hàm lồi suy rộng kiểu Hölder dương. Đồng thời thiết lập các bất đẳng thức kiểu Jensen, Popoviciu và Rado. Luận án cung cấp một số áp dụng của các kết quả chính vào trung bình lũy thừa, chuỗi lũy thừa và hàm Gamma. Hàm lồi suy rộng kiểu Hölder được đưa ra đã bao phủ một lớp rộng các hàm lồi đã biết trước đó.
5.1. Định Nghĩa và Đặc Trưng của Hàm Lồi Suy Rộng Hölder
Chương 4 tập trung xây dựng hàm lồi suy rộng kiểu Hölder và nghiên cứu một số tính chất của nó cùng với các đặc trưng khác nhau của hàm lồi suy rộng kiểu Hölder dương; thiết lập các bất đẳng thức kiểu Jensen, Popoviciu và Rado; đồng thời cung cấp một số áp dụng của các kết quả chính vào trung bình lũy thừa, chuỗi lũy thừa và hàm Gamma.
5.2. Các Bất Đẳng Thức Jensen Popoviciu và Rado cho Hàm Hölder
Thiết lập các bất đẳng thức kiểu Jensen, Popoviciu và Rado cho hàm lồi suy rộng kiểu Hölder. Các bất đẳng thức này mở rộng các kết quả đã biết cho các lớp hàm lồi thông thường. Chúng cung cấp các công cụ mới để phân tích và ước lượng các biểu thức liên quan đến hàm lồi suy rộng.
VI. Tương Lai Hướng Nghiên Cứu Mới Cho Bất Đẳng Thức Tích Phân
Các khái niệm và kỹ thuật được phát triển trong luận án này có thể thúc đẩy những nghiên cứu sâu hơn trong lĩnh vực bất đẳng thức tích phân và hàm lồi. Việc tổng quát hóa khái niệm hàm lồi và phát triển các bất đẳng thức tương ứng vẫn là một hướng nghiên cứu đầy tiềm năng. Luận án được viết dựa trên các công trình [27–29, 44, 45].
6.1. Mở Rộng Nghiên Cứu với Các Loại Hàm Lồi Mới
Các khái niệm và kỹ thuật được xây dựng trong luận án này có thể thúc đẩy những nghiên cứu sâu hơn trong lĩnh vực đáng quan tâm này. Việc xét các trung bình suy rộng khác nhau và các lớp hàm lồi tương ứng có thể dẫn đến các kết quả mới và ứng dụng thú vị.
6.2. Ứng Dụng của Bất Đẳng Thức Tích Phân trong Các Lĩnh Vực
Các bất đẳng thức tích phân và hàm lồi có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học, vật lý và kỹ thuật. Nghiên cứu sâu hơn về các ứng dụng này có thể mang lại những kết quả thiết thực và hữu ích.
