CHƯƠNG 1. GIỚI THIỆU THIẾT BỊ LÁI TỰ CÂN BẰNG Nguyên mẫu thực tế: • Thiết kế mô hình nhỏ thử nghiệm thuật toán. • Thiết kế bộ khung cơ khí của nguyên mẫu. • Thiết kế hệ thống truyền động, cung cấp năng lượng, điều khiển.
• Lập trình hệ thống. Đặng Tiến Nam - K61 Vật lý Chuẩn 14 Chương 2 Cơ sở lý thuyết 15 CHƯƠNG 2.1 Phương pháp tính động lực học Có nhiều phương pháp dùng để tính động lực học [1]. Ví dụ như: phương pháp Newton, phương pháp Lagrange, phương pháp theo năng lượng,. Nhưng trong khuôn khổ bài đề tài này, phương pháp Newton được sử dụng với những ưu điểm có thể kể đến như sau: • Phương pháp Newton sử dụng các phương pháp tính cơ học thông thường.
• Các công thức và hệ phương trình trong quá trình tính không quá phức tạp. • Kết quả tính động lực học của mô hình con lắc ngược phổ biến hiện nay trong các tài liệu tham khảo được sử dụng để kiểm tra sai sót trong quá trình tính toán động lực học của mô hình xe hai bánh tự cân bằng. Bên cạnh ba ưu điểm trên, phương pháp Newton vẫn có nhược điểm là phải tuyến tính hoá tính toán tại vị trí góc θ = 0◦. Tuy nhiên việc này không gây ảnh hưởng quá nhiều tới mô hình xe hai bánh cân bằng được xây dựng trong đề tài này, vì mô hình chỉ hoạt động xung quanh vị trí 0◦ (±10◦ ).1 Nền tảng lý thuyết từ con lắc ngược Hình 2.1: Mô hình con lắc ngược Đặng Tiến Nam - K61 Vật lý Chuẩn 16 CHƯƠNG 2.
CƠ SỞ LÝ THUYẾT Ta xem xét mô hình toán học của con lắc ngược thông qua một hệ thống bao gồm một con lắc ngược được gắn vào một xe đẩy có gắn động cơ. Con lắc ngược là một hệ thống con lắc mà khối tâm nằm ngay trên trục của nó, cho nên sự thăng bằng có thể đạt được là không hề ổn định, rất khó đạt đến mức cân bằng. Hệ thống con lắc ngược là một ví dụ thường thấy trong các giáo trình về hệ thống điều khiển và các tài liệu nghiên cứu khác. Sự phổ biến của nó xuất phát một phần từ thực tế là nó không ổn định nếu không có sự kiểm soát, nghĩa là, con lắc đơn giản sẽ rơi xuống nếu như xe đẩy không được di chuyển để cân bằng nó.
Ngoài ra, các phương trình động lực học của hệ là phi tuyến. Mục tiêu của hệ thống điều khiển là cân bằng được con lắc ngược bằng cách tác dụng một lực đẩy lên xe đẩy mà con lắc được gắn vào. Hiện nay có nhiều thuật toán điều khiển được sử dụng để có thể giải quyết được vấn đề này, chẳng hạn như: bộ điều khiển PID, mạng neural, điều khiển mờ, thuật toán di truyền,. Mô hình nghiên cứu gồm hai phần: 1.
Một con lắc gắn với xe bởi một khớp bản lề. Lực F tác động vào xe theo phương nằm ngang. Mô hình gồm hai biến đầu ra: 1. Độ dịch chuyển của xe (x).
Góc lệch của con lắc so với phương thẳng đứng (θ).2: Sơ đồ khối các biến lối vào và biến lối ra của mô hình con lắc ngược Đặng Tiến Nam - K61 Vật lý Chuẩn 17 CHƯƠNG 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT Để giải quyết bài toán này, trước hết ta có các tham số như sau: M Khối lượng xe (kg) m Khối lượng con lắc (kg) b Ma sát của xe (N) L Chiều dài 1/2 con lắc (m) I Momen quán tính của con lắc (Nm) F Lực tác động vào xe (N) x Vị trí của xe (m) θ Góc của con lắc so với phương thẳng đứng (rad) Phân tích các lực tác dụng lên xe và con lắc, ta có: Hình 2.3: Sơ đồ các lực tác dụng lên xe và con lắc Tổng hợp lực tác dụng lên xe theo phương ngang: M ẍ + bẋ + N = F (2.1) Tổng hợp lực tác dụng lên con lắc theo phương ngang: N = mẍ + mLθ̈ cos θ − mLθ̇2 sin θ (2.1) ta được phương trình chuyển động đầu tiên của hệ: (M + m)ẍ + bẋ + mLθ̈ cos θ − mLθ̇2 sin θ = F (2.3) Đặng Tiến Nam - K61 Vật lý Chuẩn 18 CHƯƠNG 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT Tổng hợp lực tác dụng lên con lắc theo phương vuông góc: P sin θ + N cos θ + mg sin θ = mLθ̈ + mẍ cos θ (2.4) Tổng momen tại khối tâm con lắc: −P L sin θ − N L cos θ = I θ̈ (2.5) Kết hợp phương trình (2.5) ta được phương trình chuyển động thứ hai của hệ: (I + mL2 )θ̈ − mgL sin θ = −mLẍ cos θ (2.6) ta được hệ phương trình chuyển động của hệ: ( (M + m)ẍ + bẋ + mLθ̈ cos θ − mLθ̇2 sin θ = F (2.7) (I + mL2 )θ̈ − mgL sin θ = −mLẍ cos θ Xấp xỉ tuyến tính hoá hai phương trình của hệ (2.7) tại 0◦ : ( (M + m)ẍ + bẋ + mLθ̈ = F (2.9) θ̇ 0 0 0 1 θ θ̈ mLb mgL(M + m) θ̇ 0 2 2 0 I(M + m) + M mL I(M + m) + M mL 0 I + mL2 I(M + m) + M mL2 + F 0 −mL I(M + m) + M mL2 Đặng Tiến Nam - K61 Vật lý Chuẩn 19 CHƯƠNG 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT Biến đầu ra: x x 1 0 0 0 ẋ + 0 F = (2.10) θ 0 0 1 0 θ 0 θ̇ Nếu cho b 1 và I 1, ta được dạng đơn giản hơn của hàm trạng thái: 0 1 0 0 0 ẋ −mg x 1 ẍ 0 0 0 ẋ = M + M F (2.2 Động lực học mô hình xe tự cân bằng Mô hình xe tự cân bằng bao gồm một khung gầm mang theo các thành phần điện tử như động cơ DC, bảng mạch, các cảm biến.; một thanh thép dọc gắn với thân xe, trên thanh dọc có lắp một số quả nặng để "mô phỏng" khối lượng của người lái; các bánh xe được gắn trực tiếp với động cơ DC.4: Định nghĩa các biến đầu vào và nhiễu của hàm trạng thái Đặng Tiến Nam - K61 Vật lý Chuẩn 20 CHƯƠNG 2.
CƠ SỞ LÝ THUYẾT Hình 2.4 cho thấy chiếc xe có 3 bậc tự do. Nó có thể xoay quanh trục z (pitch), chuyển động này được mô tả bằng góc θP với vận tốc góc tương ứng là ωP. Chuyển động tuyến tính của khung gầm được đặc trưng bởi vị trí xRM và vận tốc vRM. Ngoài ra, chiếc xe còn có thể xoay quanh trục thẳng đứng y (yaw) với sự kết hợp của góc δ và vận tốc góc δ̇.
Sáu biến của hàm trạng thái này mô tả đầy đủ động lực học của một hệ 3 bậc tự do. Tuy nhiên chúng ta chỉ xem xét chuyển động xoay quanh trục z của xe nên chỉ cần quan tâm đến đạo hàm bậc nhất và bậc hai của xRM và θP để mô tả động lực học của hệ 2 bậc tự do. Chiếc xe được điều khiển bằng cách áp dụng momen xoắn CL và CR đến các bánh xe tương ứng. Để có thể kiểm soát được hệ thống thành công, các biến của hàm không gian phải được xác định, hoặc thông qua đo lường trực tiếp hoặc phải được quan sát cẩn thận.
Góc và tốc độ góc của chuyển động theo trục z có thể được xác định dễ dàng bằng cảm biến tích hợp gia tốc kế và con quay hồi chuyển. Hệ thống điều khiển dựa trên bộ điều khiển trạng thái nhằm điểu khiển sự ổn định xung quanh trục z nằm ngang (pitch). Bộ điều khiển sẽ tạo ra một giá trị riêng của momen xoắn cho từng bánh xe, tín hiệu này sẽ được đưa đến động cơ tương ứng.5: Giản đồ lực của mô hình xe hai bánh tự cân bằng Đặng Tiến Nam - K61 Vật lý Chuẩn 21 CHƯƠNG 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT Dựa vào giản đồ lực hình 2.5, ta có: • Đối với bánh trái (tương tự với bánh phải): ẍRL MRL = HT L − HL (2.12) ÿRL MRL = VT L − MRL g − VL (2.13) θ̈RL JRL = CL − HT L R (2.14) • Đối với thân xe: ẍP MP = HR + HL (2.15) ÿP MP = VL + VR − MP g + FCθ (2.17) Trong đó: JP : Momen quán tính của khung gầm xe (Nm2 ) JRL , JRR : Momen quán tính của bánh xe trái và bánh xe phải (Nm2 ) MP : Khối lượng của khung gầm xe (kg) MRL , MRR : Khối lượng của bánh xe trái và bánh xe phải (kg) JW : Momen trung bình của bánh (Nm2 ) MW : Khối lượng trung bình của bánh (kg) R : Bán kính của bánh xe (m) D : Khoảng cách giữa hai bánh xe (m) L : Khoảng cách giữa trục z và trọng tâm của khung gầm xe (m) θ : Góc lật (rad) θW : Góc lật trung bình (rad) Tổng quát ta được phương trình: JP θ̈ = (VL + VR )L sin θ − (HL + HR )L cos θ − (CL + CR ) (2.18) xP MP = HL + HR (2.19) CL + CR y¨P MP = VL + VR − MP g + sin θ (2.20) L Đặng Tiến Nam - K61 Vật lý Chuẩn 22 CHƯƠNG 2.
CƠ SỞ LÝ THUYẾT Thế (2.18) ta có: CL + CR JP θ̈ = (y¨P MP + MP g − )L sin2 θ − ẍP MP L cos θ − (CL + CR ) (2.22) Xét với mỗi bánh trái và bánh phải: ( ẍRL MRL = HT L − HL (2.23) ẍRR MRR = HT R − HR Mà: MW MRL = MRR = ; ẍRL + ẍRR = 2ẍRM (2.24) 2 Cộng hai vế của hệ phương trình (2.23) ta được: MW ẍRM = HT L + HT R − HL − HR (2.25) Lại có: JRL θ̈RL = CL − HT L R; ẍP MP = HL + HR (2.24) ta được: CL + CR − (JRL θ̈RL + JRR θ̈RR ) MW ẍRM = − ẍP MP (2.27) R Đối với momen xoắn của bánh trái và bánh phải ta có: ( CL = 12 Cθ + 2i1 Cδ (2.28) CR = 12 Cθ − 2i1 Cδ Cộng hai vế của hệ phương trình (2.28) ta được Cθ là giá trị trung bình của CL và CR : CL + CR = Cθ (2.29) Phương trình (2.27) trở thành: Cθ JW θ̈W 2MW ẍRM = −2 − ẍP MP (2.30) R R Đặng Tiến Nam - K61 Vật lý Chuẩn 23 CHƯƠNG 2.31) xP = xRM + L sin θ ( ẏP = −θL sin θ (2.