CHƯƠNG 1 MÔ HÌNH ĐỘNG LỰC HỌC CỦA PHƯƠNG TIỆN HÀNG HẢI Mô hình động lực học của phương tiện hàng hải được xây dựng dựa trên lý thuyết cơ học, những nguyên lý của động học và tĩnh học. Mô hình động lực học của phương tiện hàng hải được sử dụng để thiết kế các hệ thống điều khiển cho phương tiện này đáp ứng những mục tiêu cụ thể. Trong chương này, tóm tắt cách biểu diễn mô hình động lực học của phương tiện hàng hải dựa trên những kết quả trong [19, 21]. Các tính chất vật lý đặc trưng và các yêu cầu về điều khiển hệ thống lái tàu cũng được phân tích kỹ lưỡng để phục vụ cho phần tổng hợp bộ điều khiển và khảo sát tính ổn định cho hệ thống kín.
Các ký hiệu được sử dụng như chiều chuyển động, lực và momen tác động, tốc độ và vị trí cho các phương tiện hàng hải [19] được biểu diễn trong Bảng 1-1 và Hình 1-1 tuân thủ theo hiệp hội SNAME Đối với chuyển động của phương tiện hàng hải, 6 tọa độ độc lập là đủ để xác định vị trí và hướng của phương tiện. Sáu biến chuyển động khác nhau của phương tiện hàng hải gồm chuyển động tiến (surge), chuyển động dạt (sway), chuyển động lên xuống (heave), chuyển động quay lắc (roll), chuyển động quay lật (pitch) và chuyển động quay hướng (yaw) được định nghĩa như trong Hình 1-1 và Bảng 1-1. Các biến chuyển động của phương tiện hàng hải ( nguồn [19] ) Bảng 1-1. Các ký hiệu của SNAME Bậc tự Lực và Tốc độ dài Vị trí và do mô-men và tốc độ góc góc Euler 5 1 Chuyển động tiến theo trục 𝑥 𝑋 𝑢 𝑥 2 Chuyển động tiến theo trục 𝑦 𝑌 𝑣 𝑦 3 Chuyển động tiến theo trục 𝑧 𝑍 𝑧 4 Chuyển động quay quanh trục 𝑥 𝐾 𝑝 5 Chuyển động quay quanh trục 𝑦 𝑀 𝑞 6 Chuyển động quay quanh trục 𝑧 𝑁 𝑟 𝜓 Ba tọa độ đầu tiên (𝑥, 𝑦, 𝑧) là vị trí của phương tiện hàng hải và đạo hàm của chúng theo thời gian (𝑢, 𝑣, ) là vận tốc chuyển động tịnh tiến của phương tiện dọc theo trục 𝑥, 𝑦, 𝑧.
Ba tọa độ cuối (, , 𝜓) là các góc miêu tả hướng của phương tiện quanh các trục 𝑥, 𝑦, 𝑧 và đạo hàm theo thời gian của chúng (𝑝, 𝑞, 𝑟) là tốc độ quay xung quanh các trục này. Để phân tích chuyển động của phương tiện hàng hải trong 6 bậc tự do, các khung tọa độ sau cần được xét: các khung tọa độ gắn tâm trái đất và các khung tọa độ quy chiếu cần để miêu tả chuyển động của phương tiện hàng hải. Các khung tọa độ quy chiếu ( nguồn [19]) Khung tọa độ quy chiếu gắn tâm trái đất (Earth-Centered Reference Frames) gồm: ECI (i-frame) là khung tọa độ quán tính để định vị trái đất (ứng với khung quy chiếu không gia tốc trong định luật Newton để ứng dụng xét các chuyển động). Gốc của khung tọa độ ECI 𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝑧𝑖 được đặt tại tâm của trái đất với các trục được chỉ ra ở Hình 1-2 ECEF (e- frame) 𝑥𝑒 𝑦𝑒 𝑧𝑒 có gốc gắn với thân trái đất nhưng trục quay so với khung quán tính ECI, với tốc độ quay là ωe = 7.
Đối với những phương tiện hàng hải, sự quay của trái đất có thể được bỏ qua và do đó khung e-frame có thể xem như là khung quán tính. Khung tọa độ e–frame được sử dụng cho việc dẫn đường, định vị và điều khiển nói chung. Ví dụ khi phải miêu tả chuyển động và vị trí con tàu quá cảnh giữa các đại dương. Khung tọa độ quy chiếu địa lý (Geographic Reference Frames) gồm: 6 NED (n-frame) hệ tọa độ North-East-Down 𝑥𝑛 𝑦𝑛 𝑧𝑛.
Đó là hệ trục tọa độ chúng ta thường đề cập đến trong cuộc sống hàng ngày. Nó thường được định nghĩa như mặt phẳng tiếp tuyến trên bề mặt của trái đất và chuyển động cùng với phương tiện, trục 𝑥 chỉ theo hướng bắc, trục 𝑦 chỉ theo hướng đông, trục 𝑧 chỉ theo hướng tới bề mặt trái đất. Vị trí của n-frame so với e-frame được xác định bằng hai góc l (kinh độ) và (vĩ độ). Đối với những phương tiện hàng hải hoạt động trong vùng cục bộ, kinh độ và vĩ độ gần như không đổi, có thể sử dụng mặt phẳng tiếp tuyến trên bền mặt trái đất để định vị cho phương tiện.
Khi đó trái đất được coi như một mặt phẳng định vị và để đơn giản nó được ký hiệu là n-frame. Khi định vị trái đất là mặt phẳng và n-frame là khung tọa độ quán tính thì định luật Newton vẫn được áp dụng. BODY (b-frame) khung quy chiếu gắn thân 𝑥𝑏 𝑦𝑏 𝑧𝑏 là khung tọa độ được gắn với phương tiện, di chuyển cùng phương tiện. Vị trí và hướng của phương tiện được miêu tả trong khung tọa độ quy chiếu quán tính n- frame (vì khung tọa độ e-frame và n-frame xấp xỉ bằng nhau đối với phương tiện hàng hải), trong khi vận tốc góc và vận tốc dài của phương tiện thường được biểu diễn trong khung tọa độ gắn thân b-frame.
Với tàu đại dương nói chung, vị trí thông dụng nhất của khung tọa độ gắn thân là tạo ra sự đối xứng xung quanh mặt phẳng 𝑜𝑏 𝑥𝑏 𝑧𝑏 và sự xấp xỉ đối xứng xung quanh mặt phẳng 𝑜𝑏 𝑦𝑏 𝑧𝑏. Theo nghĩa này, trục gắn thân xb, yb và zb được chọn trùng với trục chính của quán tính và chúng thường được xác định như (Hình 1-1). xb – longitudinal axis – trục dọc (hướng từ đuôi tới mũi tàu) yb – transverse axis – trục ngang (hướng sang mạn phải của tàu) zb – normal axis – trục thẳng đứng (hướng từ đỉnh tới đáy tàu) Dựa trên những ký hiệu trong Bảng 1-1, chuyển động của phương tiện hàng hải được miêu tả bởi những véc-tơ sau: 𝜼 = [𝜼1𝑇 , 𝜼𝑇2 ]𝑇 ∈ 𝑅 6 ; với 𝜼1 = [𝑥, 𝑦, 𝑧]𝑇 ∈ 𝑅 3 ; 𝜼2 = [, , 𝜓]𝑇 ∈ 𝑅 3 = [1 , 2 ] ∈ 𝑅 6 ; 𝑇 𝑇 𝑇 với 1 = [𝑢, 𝜐, ]𝑇 ∈ 𝑅 3 ; 2 = [𝑝, 𝑞, 𝑟]𝑇 ∈ 𝑅 3 𝑻 𝑻 𝑇 6 𝝉 = [𝝉1 , 𝝉2 ] ∈ 𝑅 ; với 𝝉1 = [𝑋, 𝑌, 𝑍]𝑇 ∈ 𝑅 3 ; 𝝉2 = [𝐾, 𝑀, 𝑁]𝑇 ∈ 𝑅 3 trong đó 𝜼 ký hiệu véc-tơ vị trí và hướng với khung tọa độ gắn trái đất e-frame, ký hiệu véc-tơ vận tốc dài và vận tốc góc với hệ tọa gắn thân b-frame, 𝝉 ký hiệu lực và momen tác động lên tàu trong khung tọa độ gắn thân. Nghiên cứu về động lực học của phương tiện hàng hải có thể được chia thành hai phần [19]: − Phân tích về vị trí và hướng của chuyển động (kinematic) − Phân tích về những lực gây ra chuyển động (dynamic).1 Phân tích về vị trí và hướng chuyển động của tàu Đạo hàm bậc nhất theo thời gian của véc-tơ vị trí 𝜼1 có mối liên hệ với véc-tơ 1 thông qua sự chuyển đổi sau: 𝜼̇ 1 = 𝑱1 (𝜼2 )1 (1.1) trong đó 𝑱1 (𝜼2 ) là một ma trận chuyển đổi, gồm các hàm của các góc , , 𝜓.
Ma trận này được biểu diễn như sau: 𝑐𝜓𝑐 −𝑠𝜓𝑐 + 𝑐𝜓𝑠𝑠 𝑠𝜓𝑠 + 𝑐𝜓𝑐𝑠 𝑱1 (𝜼2 )= [𝑠𝜓𝑐 𝑐𝜓𝑐 + 𝑠𝑠𝑠𝜓 −𝑐𝜓𝑠 + 𝑠𝑠𝜓𝑐] (1. Mặt khác, đạo hàm bậc nhất theo thời gian của véc-tơ góc 𝜼2 có mối liên hệ với véc-tơ 2 thông qua sự chuyển đổi sau: 𝜼̇ 2 = 𝑱2 (𝜼2 )2 (1.3) trong đó ma trận chuyển đổi 1 sin tan cos tan 𝜃 𝑱2 (𝜼2 ) = [0 cos − sin ] (1.4) 0 sin ⁄cos 𝜃 cos ⁄cos 𝜃 Chú ý rằng ma trận chuyển đổi 𝑱2 (𝜼2 ) không xác định đối với góc quay lật = 900 và 𝑱2 (𝜼2 ) không thỏa mãn tính chất của ma trận trực giao. Đối với phương tiện trên bề mặt biển không hoạt động ở góc quay lật = 900, tuy nhiên tàu ngầm và máy bay đều có thể hoạt động tại điểm đặc biệt này, chi tiết được trình bày trong tài liệu [19].3) tạo ra phương trình mô tả vị trí và hướng của phương tiện hàng hải: 𝜼̇ 𝑱 (𝜼 ) 𝐎3x3 1 [ 1] = [ 1 2 ][ ] ⇔ 𝜼̇ = 𝑱(𝜼) (1.2 Phương trình chuyển động của phương tiện hàng hải (Dynamics) 1.1 Phương trình chuyển động của vật rắn Để xét chuyển động và các yếu tố ảnh hưởng đến chuyển động của tàu, trước tiên ta xét chuyển động của tàu như chuyển động của vật rắn với khung quy chiếu gắn thân 𝑥𝑏 𝑦𝑏 𝑧𝑏 , gốc tọa độ O (Hình 1-3). Ứng dụng công thức Newton-Euler cho vật rắn có khối lượng m, phương trình cân bằng lực và momen tác động lên tàu như sau [24]: 𝑚[̇ 1 + 2 × 1 + ̇ 2 × 𝒓𝑔 + 2 × (2 × 𝒓𝑔 )] = 𝝉1 (1.8) −𝐼𝑧𝑥 −𝐼𝑧𝑦 𝐼𝑧 trong đó 𝐼𝑥 , 𝐼𝑦 , và 𝐼𝑧 là những momen quán tính xung quanh trục 𝑥𝑏 , 𝑦𝑏 , 𝑧𝑏 và 𝐼𝑥𝑦 = 𝐼𝑦𝑥 , 𝐼𝑥𝑧 = 𝐼𝑧𝑥 và 𝐼𝑦𝑧 = 𝐼𝑧𝑦 là những tương tác của momen quán tính trục này lên trục khác.
Khung tọa độ quy chiếu quán tính gắn trái đất và khung tọa độ gắn thân (nguồn [24] ) Phương trình chuyển động của vật rắn được biểu diễn bằng tập các véc-tơ: 𝑴𝑅𝐵 ̇ + 𝑪𝑅𝐵 () = 𝝉𝑅𝐵 (1.9) trong đó: = [𝑢, 𝑣, , 𝑝, 𝑞, 𝑟]𝑇 là véc-tơ vận tốc tổng quát được phân tích trong khung b-frame. 𝝉𝑅𝐵 = [𝑋, 𝑌, 𝑍, 𝐾, 𝑀, 𝑁]𝑇 là véc-tơ tổng quát của lực và momen ngoài được phân tích trong khung b-frame. 𝑴𝑅𝐵 là ma trận quán tính hệ thống vật rắn. 𝑪𝑅𝐵 () là ma trận Coriolis và lực hướng tâm vật rắn.
Ma trận quán tính hệ thống của vật rắn 𝑚 0 0 0 𝑚𝑧𝑔 −𝑚𝑦𝑔 0 𝑚 0 −𝑚𝑧𝑔 0 𝑚𝑥𝑔 0 0 𝑚 𝑚𝑦𝑔 −𝑚𝑥𝑔 0 𝑴𝑅𝐵 = (1.11) 𝑚(𝑦𝑔 𝑞 + 𝑧𝑔 𝑟) −𝑚(𝑥𝑔 𝑞 − ) −𝑚(𝑥𝑔 𝑟 + 𝑣) −𝑚(𝑦𝑔 𝑝 + ) 𝑚(𝑧𝑔 𝑟 + 𝑥𝑔 𝑝) −𝑚(𝑦𝑔 𝑟 − 𝑢) −𝑚(𝑧𝑔 𝑝 − 𝑣) −𝑚(𝑧𝑔 𝑞 + 𝑢) 𝑚(𝑥𝑔 𝑝 + 𝑦𝑔 𝑞) 0 −𝐼𝑦𝑧 𝑞 − 𝐼𝑥𝑧 𝑝 + 𝐼𝑧 𝑟 𝐼𝑦𝑧 𝑟 + 𝐼𝑥𝑦 𝑝 − 𝐼𝑦 𝑞 𝐼𝑦𝑧 𝑞 + 𝐼𝑥𝑧 𝑝 − 𝐼𝑧 𝑟 0 −𝐼𝑥𝑧 𝑟 − 𝐼𝑥𝑦 𝑞 + 𝐼𝑥 𝑝 −𝐼𝑦𝑧 𝑟 − 𝐼𝑥𝑦 𝑝 + 𝐼𝑦 𝑞 𝐼𝑥𝑧 𝑟 + 𝐼𝑥𝑦 𝑞 − 𝐼𝑥 𝑝 0 ] Véc-tơ tổng quát của lực và momen ngoài 𝝉𝑅𝐵 là tổng của véc-tơ lực và momen thủy động lực học 𝝉𝐻 , véc-tơ lực và momen nhiễu từ môi trường 𝒘, véc-tơ lực và momen đẩy của tàu.