Chương 1: “Tổng quan về các phương pháp giải bài toán ổn định đàn hồi và dao động phi tuyến hệ một bậc tự do”. Trình bày các mô hình ổn định, các bài toán ổn định đàn hồi, bài toán dao động phi tuyến một bậc tự do và một số hệ dao động phi tuyến thường gặp đồng thời tổng quan về các phương pháp giải bài toán ổn định và dao động phi tuyến, các phương pháp tính toán gần đúng phương pháp số dư trọng số, Galerkin và phân tích tính chất trực giao trong các phương pháp này. Chương 2: “Phương pháp tuyến tính hóa tương đương”, trình bày các phương pháp tuyến tính hóa tương đương và phân tích ưu nhược điểm của các phương pháp, ý tưởng tuyến tính hóa đối ngẫu có trọng số cho bài toán ổn định và bài toán dao động phi tuyến làm cơ sở phát triển tính chất trực giao áp dụng trong chương 3, chương 4. Chương 3: “Phát triển tính chất trực giao áp dụng trong phân tích bài toán ổn định”.
Phát triển tính chất trực giao thông qua tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số (WDC) và bằng phép lấy trung bình cục bộ có trọng số (WLA) tại một giá trị cục bộ 𝑟 với một hàm cục bộ là 𝑟 𝑓(𝑟). Áp dụng tuyến tính hóa đối ngẫu có trọng số, GWLA, SGWLA, chọn hàm trọng số, khảo sát số với các bài toán ổn định đàn hồi tiết diện không đổi, tiết diện thay đổi và kết luận về hiệu quả của kỹ thuật được đề xuất. Chương 4: “Phát triển tính chất trực giao áp dụng trong phân tích bài toán dao động phi tuyến”. Xây dựng cơ sở lý thuyết, phát triển tính chất trực giao, xây dựng qui trình tuyến tính hóa và khảo sát số với các bài toán dao động tiền định phi tuyến và kết luận về hiệu quả của kỹ thuật tính toán được đề xuất.
Kết luận và đóng góp mới của luận án và hướng nghiên cứu tiếp theo. Danh sách các công trình đã công bố có liên quan đến nội dung luận án Các tài liệu trích dẫn trong luận án trình bày trong phần tài liệu tham khảo. TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH ĐÀN HỒI VÀ DAO ĐỘNG PHI TUYẾN HỆ MỘT BẬC TỰ DO 1.1 Ổn định đàn hồi Tính chất ổn định của công trình sẽ thay đổi khi tăng giá trị của các tải trọng tác dụng trên công trình và tính chất đó có thể mất đi thì lúc đó công trình không còn khả năng chịu tải trọng và được gọi là “không ổn định”. Vị trí của công trình hoặc dạng cân bằng ban đầu trong trạng thái biến dạng của công trình sẽ ở hai khả năng ổn định hoặc không ổn định Vị trí của công trình hay dạng cân bằng ban đầu trong trạng thái biến dạng công trình được gọi là ổn định dưới tác dụng của tải trọng trong trường hợp công trình có một độ lệch rất nhỏ ra khỏi vị trí cân bằng ban đầu hoặc dạng cân bằng ban đầu do một nguyên nhân bất kỳ khác với tải trọng đã có (còn được gọi là nhiễu) và khi loại bỏ nguyên nhân đó đi thì công trình sẽ có khuynh hướng quay trở về trạng thái ban đầu.
Với các nguyên nhân gây ra cho công trình các biến dạng đàn hồi hay đàn dẻo, công trình sẽ phục hồi trạng thái ban đầu hoàn toàn hoặc không hoàn toàn. Ngược lại khi vị trí của công trình hay dạng cân bằng ban đầu trong trạng thái biến dạng của công trình được gọi là không ổn định dưới tác dụng của tải trọng lúc này có một độ lệch rất nhỏ khỏi vị trí cân bằng ban đầu hoặc dạng cân bằng ban đầu do nguyên nhân bất kỳ khác với tải trọng đã có và sau khi không còn nguyên nhân đó thì công trình sẽ không trở lại trạng thái ban đầu. Đặc biệt, trong trường hợp này độ lệch của công trình không có khuynh hướng giảm dần mà có thể tiếp tục thay đổi tăng cho đến khi công trình đạt đến một vị trí mới hoặc dạng cân bằng mới. Hiện tượng mất ổn định về vị trí xảy ra khi cả công trình được xem là tuyệt đối cứng, nó không giữ được vị trí ban đầu mà buộc phải chuyển sang vị trí khác.
Hiện tượng ổn định và mất ổn định về vị trí được minh họa trong Hình 1. [13] thông qua các vị trí khác nhau của viên bi. Có thể thấy viên bi vẫn cân bằng ở cả ba vị trí, song có sự khác nhau cơ bản giữa ba trường hợp đó khi có một tác nhân bất kỳ đưa viên bi lệch khỏi vị trí cân bằng ban đầu với dịch chuyển vô cùng bé rồi thả ra. Vị trí A được gọi là cân bằng ổn định (với thế năng hòn bi là cực tiểu tại vị trí này), vị trí B được gọi là cân bằng không ổn định (với thế năng của bi là cực đại), vị trí C là vị trí được gọi là cân bằng phiếm định (với thế năng của hòn bi là không đổi).
Trong trường hợp này, trạng thái cân bằng ổn định ở mức nhỏ nếu tổng thế năng là tối thiểu. Cách 9 tiếp cận này hoàn toàn tương đương với cách tiếp cận động học (được Whittaker đưa ra trong [14]) đối với các hệ bảo toàn, và nó được biết đến như là phương pháp năng lượng, định nghĩa về sự ổn định này cần được chú ý đặc biệt và nó sẽ là cũng là một phương pháp được xem xét chi tiết trong bài toán ổn định. Đặc điểm của các vị trí cân bằng tĩnh Các bài toán mất ổn định của cấu kiện đã được nghiên cứu trong nhiều thế kỷ gần đây. Tuy nhiên việc xem xét vấn đề mất ổn định thông qua các phân tích lý thuyết của các cấu kiện như vậy (cột dài) mới chỉ được thực hiện khoảng hai trăm năm trước.
Khi xem xét trang thái cân bằng của hệ ta cần phải xét tới trạng thái cân bằng đó là trạng thái cân bằng ổn định hay là trạng thái không ổn định. Trong lịch sử công trình bị phá hoại do mất ổn định được thống kê khá nhiều và trong sự phát triển của công nghệ xây dựng đã ghi nhận không ít tai nạn nghiêm trọng xảy ra ở nhiều nước (kể cả các nước phát triển) vì nguyên nhân thiết kế nhưng không xem xét và tính đến đầy đủ các phản ứng động cũng như tính đến sự mất ổn định. Có nhiều vật liệu đã được sử dụng trong những kết cấu hiện đại như kết cấu nhà cao tầng như thép và các hợp kim với cường độ cao. Các vật liệu tổng hợp sử dụng cho các silo, bể chứa, các cầu vượt sóng, vỏ tàu thủy và thân máy bay dẫn đến phải sử dụng các cấu kiện thanh, thanh thành mỏng, tấm và vỏ mỏng chịu nén và hình dạng của các cấu kiện này tất yếu dẫn đến hiện tượng mất ổn định đàn hồi trở thành những bài toán được đặc biệt cần quan tâm.
Trong tài liệu [15] cho thấy nhiều công trình bị sập đổ do mất ổn định: cầu đường sắt ở Kevđa – Nga năm 1875, dàn cầu Quebéc ở Canada, năm 1907, cầu Tacoma ở Mỹ bị phá hủy tháng 11/1940 do bị mất ổn định vì tác dụng của gió. Phân tích lý thuyết đầu tiên là do Leonhard Euler. Một số nghiên cứu tiếp theo trong thế kỷ 18 và 19 có liên quan đến các nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm về các bài toán ổn định là Fr. Jasinski, Lagrange, và M.
Một tài liệu tổng quan giá trị về các bài toán ổn định được đưa ra bởi Hoff (1956) [16] và Timoshenko (1953) [17]. Các bài toán về ổn định của các kết cấu đã được nghiên cứu bằng nhiều phương pháp, chẳng hạn như phương pháp năng lượng [18], phương pháp lặp biến phân [19], [20], phương pháp nhiễu loạn đồng luân [21], [22] và phương pháp cầu phương vi phân [23]. Một phương pháp mới để phân tích uốn và mất ổn định của các tấm nano hình chữ nhật được kê đơn giản đã được đề xuất bởi Mousavi và cộng sự [24]. Một bài trình bày đầy đủ về dạng mạnh của phương trình chi phối hệ và các điều kiện biên được thiết lập dựa trên chuỗi vô hạn các phương trình cấu thành phi cục bộ cải tiến.
Bán kính hội tụ cho chuỗi được tính toán để đảm bảo các phân tích là hợp lệ và đáng tin cậy. Nghiên cứu về mất ổn định của các cột là trọng tâm nghiên cứu của nhiều nhà nghiên cứu và trở nên có hệ thống hơn trong suốt những thập kỷ qua. Các phương pháp giải bài toán ổn định được trình bày trong [13] gồm các nhóm phương pháp chính là Phương pháp tĩnh học, Phương pháp động lực học, Phương pháp năng lượng. Với nhóm phương pháp tĩnh học bản chất là tạo cho hệ một dạng cân bằng lệch khỏi dạng cân bằng ban đầu, sau đó tìm trị số lực tới hạn, xác định từ phương trình đặc trưng (hay còn gọi là phương trình cân bằng ổn định).
Để giải các phương trình này chúng ta sẽ sử dụng phương pháp thiết lập và giải phương trình vi phân, phương pháp lực, phương pháp chuyển vị hoặc phương pháp hỗn hợp, phương pháp thông số ban đầu, phương pháp dây xích, phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp nghiệm đúng dần, phương pháp giải đúng dần tại từng thời điểm và phương pháp Bubnov-Galerkin. Nhược điểm khi áp dụng phương pháp tĩnh học để tìm nghiệm chính xác cho các bài toán ổn định thường gặp nhiều khó khăn, và có thể không thể thực hiện được. Với nhóm phương pháp động lực học, cách giải quyết dựa trên việc thiết lập và giải phương trình dao động riêng của hệ, sau đó tìm lực tới hạn bằng cách xem xét tính chất nghiệm của chuyển động: trong trường hợp dao động của hệ có biên độ tăng không ngừng theo thời gian lúc này dạng cân bằng ban đầu là không ổn định; trong trường hợp ngược lại, nếu hệ luôn dao động bé quanh vị trí cân bằng ban đầu hoặc tắt dần thì lúc này đó là ổn định. Với nhóm phương pháp năng lượng, cách tiếp cận của phương pháp là giả thiết trước dạng biến dạng của hệ ở trạng thái lệch khỏi dạng cân bằng ban đầu.
Sau đó, 11 thiết lập biểu thức thế năng biến dạng và công của ngoại lực để có phương trình điều kiện tới hạn của hệ và tìm giá trị của lực tới hạn bằng cách áp dụng các phương pháp năng lượng sau: nguyên lý Lejeune-Dirichlet, phương pháp Rayleigh-Ritz, phương pháp Timoshenko. Ta nhận thấy với giả thiết biến dạng của hệ nên kết quả lực tới hạn tìm được thường là gần đúng và cho kết quả lớn hơn giá trị của lực tới hạn chính xác.