Luận văn thạc sĩ: Sóng lưu động trong phương trình Euler nén với nhớt và mao dẫn

Luận văn thạc sĩ toán ứng dụng nghiên cứu sự tồn tại sóng lưu động trong phương trình Euler nén được với nhớt và mao dẫn, phân tích chuyên sâu.

• Tác giả: Thạch Phước
• Người hướng dẫn: PGS. Mai Đức Thành
• Trường học: Đại học Bách Khoa - Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh
• Chuyên ngành: Toán ứng dụng
• Đề tài: Sự tồn tại của sóng lưu động trong phương trình Euler nén được với nhớt và mao dẫn
• Loại tài liệu: Luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2013
• Địa điểm: Thành phố Hồ Chí Minh

Tóm tắt

I. Sóng lưu động và phương trình Euler nén

Sóng lưu động là một hiện tượng quan trọng trong động lực học chất lưu, đặc biệt khi nghiên cứu trong phương trình Euler nén. Phương trình này mô tả sự chuyển động của chất lưu nén được, kết hợp với các yếu tố nhớt và mao dẫn. Phương trình Euler nén là một dạng đặc biệt của phương trình Navier-Stokes, nơi các hiệu ứng nhớt và mao dẫn được đưa vào để mô tả chính xác hơn hành vi của chất lưu. Nghiên cứu này tập trung vào việc chứng minh sự tồn tại của sóng lưu động trong hệ thống này, đồng thời phân tích các tính chất động lực học của chúng.

1.1. Khái niệm sóng lưu động

Sóng lưu động là các dao động trong chất lưu, thường xuất hiện khi có sự chênh lệch áp suất hoặc vận tốc. Trong phương trình Euler nén, sóng lưu động được mô tả thông qua các nghiệm của hệ phương trình vi phân, kết hợp với các yếu tố nhớt và mao dẫn. Các nghiệm này thường được liên kết với sóng sốc, một hiện tượng phổ biến trong động lực học chất lưu. Sự tồn tại của sóng lưu động được chứng minh thông qua việc sử dụng hàm dạng Lyapunov và nguyên lý bất biến LaSalle.

1.2. Phương trình Euler nén với nhớt và mao dẫn

Phương trình Euler nén là một mô hình toán học quan trọng trong việc nghiên cứu động lực học chất lưu. Khi thêm các yếu tố nhớt và mao dẫn, phương trình này trở nên phức tạp hơn, nhưng cũng chính xác hơn trong việc mô tả hành vi của chất lưu. Các hệ số nhớt và mao dẫn đóng vai trò quan trọng trong việc xác định sự tồn tại và tính chất của sóng lưu động. Nghiên cứu này sử dụng các phương pháp số để mô phỏng và phân tích các nghiệm của hệ phương trình này.

II. Tính chất và ổn định của sóng lưu động

Tính chất của sóng lưu động trong phương trình Euler nén được nghiên cứu thông qua các khái niệm về tính ổn định và miền hấp thụ. Các nghiệm của hệ phương trình này thường được liên kết với các sóng sốc, và sự tồn tại của chúng được chứng minh thông qua việc chỉ ra các quỹ đạo ổn định nối các điểm cân bằng. Nguyên lý bất biến LaSalle được sử dụng để ước lượng miền hấp thụ của các điểm cân bằng, từ đó thiết lập sự tồn tại của sóng lưu động.

2.1. Tính ổn định của sóng lưu động

Tính ổn định của sóng lưu động được nghiên cứu thông qua các khái niệm về điểm cân bằng ổn định và điểm cân bằng tiệm cận. Các nghiệm của hệ phương trình Euler nén thường được liên kết với các sóng sốc, và sự tồn tại của chúng được chứng minh thông qua việc chỉ ra các quỹ đạo ổn định nối các điểm cân bằng. Hàm dạng Lyapunov được sử dụng để phân tích tính ổn định của các nghiệm này.

2.2. Miền hấp thụ và nguyên lý bất biến LaSalle

Miền hấp thụ là một khái niệm quan trọng trong việc nghiên cứu tính ổn định của sóng lưu động. Nó được định nghĩa là tập hợp các điểm mà từ đó các quỹ đạo của hệ phương trình sẽ tiến về điểm cân bằng ổn định. Nguyên lý bất biến LaSalle được sử dụng để ước lượng miền hấp thụ này, từ đó thiết lập sự tồn tại của sóng lưu động. Nghiên cứu này cũng sử dụng các phương pháp số để minh họa kết quả.

III. Ứng dụng và kết luận

Nghiên cứu về sóng lưu động trong phương trình Euler nén với nhớt và mao dẫn có nhiều ứng dụng trong kỹ thuật, đặc biệt trong các lĩnh vực liên quan đến động lực học chất lưu và mô phỏng sóng. Các kết quả của nghiên cứu này không chỉ cung cấp cái nhìn sâu sắc về lý thuyết sóng mà còn có giá trị thực tiễn trong việc thiết kế các hệ thống kỹ thuật liên quan đến chất lưu. Phương pháp số được sử dụng để mô phỏng và phân tích các nghiệm của hệ phương trình, từ đó đưa ra các kết luận quan trọng về sự tồn tại và tính chất của sóng lưu động.

3.1. Ứng dụng trong kỹ thuật

Nghiên cứu về sóng lưu động trong phương trình Euler nén có nhiều ứng dụng trong kỹ thuật, đặc biệt trong các lĩnh vực liên quan đến động lực học chất lưu và mô phỏng sóng. Các kết quả của nghiên cứu này có thể được áp dụng trong việc thiết kế các hệ thống kỹ thuật, chẳng hạn như các hệ thống đường ống, máy bơm, và các thiết bị liên quan đến chất lưu.

3.2. Kết luận và hướng nghiên cứu tương lai

Nghiên cứu này đã chứng minh sự tồn tại của sóng lưu động trong phương trình Euler nén với nhớt và mao dẫn, đồng thời phân tích các tính chất động lực học của chúng. Các kết quả này mở ra hướng nghiên cứu mới trong việc áp dụng lý thuyết sóng vào các bài toán thực tế. Các nghiên cứu trong tương lai có thể tập trung vào việc mở rộng mô hình toán học và áp dụng các phương pháp số tiên tiến hơn để phân tích các nghiệm của hệ phương trình.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1: kiến thúc tổng quan Luan van cao hoc Chitng minh Lay € > 0, chon r € (0, €] sao cho: B, = {x € R"|||z|| <r} CD. Ta sé chttng t6 Qg nim trong phan trong của B,. That vay, gia sit ngudc lai Qg khong nằm trong phần trong của Ö,. Khi đó, tồn tại p€®©¿ñn®; với S%„ là biên của B,.

Vay Qg nam trong phần trong của Ö,. Tập Ô¿ có tính chất mọi quỹ đạo xuất phát trong ©z phải nằm trong ©;,Vý > 0. Điều này được suy ra từ tính chất bán xác định âm của V: V(a(t)) <0 > V(a(t)) < V(a2(0)) < 8, Vt>0. Vì hàm V liên tục trên ,„ CD nên tập ©¿ đóng và bị chặn trên R” do do la tap compact.

Chú ý hệ phương trình vi phân (1.12) luôn có nghiệm duy nhất xác định với mọi £ dương khi z(0) € Đa. Khi đó Bs Cc Qz C Ö, và z(0) € B¿ > z(0) € Ô¿ = z(£) € Ng => z(0) € „, suy ra ||z(0)||< ô= zŒ)<r<c, t>0. Điều này chứng tỏ điểm cân bằng z = 0 là ổn định. Tiếp theo, ta giả thiết thêm W xác định âm, ta sẽ chứng minh điểm cần bằng z = 0 là ổn định tiệm cận, tức là ta cần chứng tỏ lim #(#) = 0 hay t++00 Va >0,37 >0: Vý > 7 == |[x(t)| <a.

trang 18 Thạch Phước Chương 1: kiến thúc tổng quan Luan van cao hoc Lặp lại chứng minh trên, a > 0 ta chọn b > 0 sao cho Q C By. Ta chỉ cần chỉ ra lim V(z(£)) =0 too Vi V gidm va bi chin dudi béi 0 nên lim V(2(t)) =c>0 too Ta dùng phản chứng, giả sử e > 0. Do WV(z) liên tục và V(0) = 0 nên tồn tại đ > 0 sao cho Ba C Qe. Mặt khác, ham V giam nén V(2(t)) > c, Vt > 0.

Diéu này chứng tỏ quỹ đạo z(#) nam ngoai hinh cau By véi moi t > 0. Do tinh liên tục trên tập compact của V nên ta có thể đặt —+= max V(x) =V(ao) <0 đ<l|lzll<z Từ đây suy ra V(a(t)) = V(x(0)) + [ear < V(ax(0)) — yt, Vt > 0. Vì + > 0 nên ta cho đủ lớn sẽ làm cho về phải âm. Điều này mâu thuần với V(()) > c, Vt > 0.

Vậy phản chứng sai và từ đây cho ta kết luận điểm cân bằng z = 0 là ổn định tiệm cận. Ghi chi: Mat V(x) = c gọi là mặt mức hay còn gọi là mặt Lyapunov. Điều kiện bán xác định âm của V dẫn đến kết quả là một quỹ đạo đã đi vào phía trong của mặt mức thì sẽ không bao giờ ra ngoài được nữa.2 Miền hấp thụ của điểm cân bằng ổn định tiệm cận Bây giờ ta nghiên cứu tính chất của các quỹ đạo một khi gốc ổn định tiệm cận, tức là nếu một quỹ đạo đã đi vào gốc đủ gần thì sẽ hội tụ về gốc khi ¿ — 0. Vấn đề là khoảng cách đó là bao xa.

Nếu khoảng cách đó là toàn mặt phẳng (z,£) thì ta nói gốc ổn định toàn cục. Còn trong trường hợp không ổn định toàn cục thì ta sẽ ước lượng một lân cận của gốc (lớn nhất có thể) mà một khi quỹ đạo đã đi vào đó thì sẽ hội tụ về gốc, miền này được gọi là mién hấp thụ của điểm cân bằng z = 0.2 Giả sử z(t,#o) kú hiệu là nghiệm +(t) của hệ phương trình ơì phân (1. Ta gọi miền hấp thụ của gốc là tập hợp tất cả các điểm #ụ sao cho z(t,œo) tồn tại toàn cục uới mọi † > 0 va jim x(t, xo) =0. —> 00, trang 19 Thạch Phước Chương 1: kiến thức tổng quan Luan van cao hoc Từ phép chứng minh của định lý Lyapunov, ta thấy rằng các tập mức ứng với hàm Lyapunov V xác định âm nằm trong miền hấp thụ.

Do vậy, đây là một cơ sở để chúng ta ước lượng một miền hấp thụ tối đa có thể. Ta có kết quả sau đây về miền hấp thụ. Khi đó nếu 9,={ze"| V(z) < c} nằm trong D thà Q„ cũng nằm trong miền hấp thụ. Túc là quỹ đạo #(t,zo) nằm hoàn toàn trong ©„ uà hội tụ uề gốc khi † > oo.

Tiếp theo ta sẽ nghiên cứu khi nào thì điểm cân bằng gốc là ổn định toàn cục, tức là miền hấp thụ được mở rộng qua toàn #†". Hay nói cách khác, mọi quỹ đạo #(£) luôn hội tụ về gốc khi # —› oo bất chấp điểm xuất phát z(0) = zo xa gốc bao nhiêu. Ta có định lý sau: Định lý 1.3 (On định toàn cục) Cho øọ là điểm cân bằng ổn định tiệm cận của hệ phương trình ui phân (1. Giả sử tồn tại hàm Lyapunov V : R" > R thoa mãn V(0) =0,V(z) > 0,Vz # {0}, lim V(z) = ©, llzll->s Ÿ <0,Vz # {0}.

Khi đó z = 0 ổn định toàn cục. Chứng minh Lay bat ky p € R", dat c = V(p). Diéu kién gia thiét 7 lim ||V (x)|| = co tuong duong véi #||>% Ve>0,3r >0: ||xz|| >r = V(#) > c. Điều này chứng tổ 9„ CC Đ,.

Lặp lại phép chứng minh trong định lý Lyapunov, ta dé đàng chứng minh được # = 0 ổn định toàn cục. trang 20 Thạch Phước Chương 1: kiến thúc tổng quan Luan van cao hoc 1.3 Nguyên lý bất biến LaSalle Cho z() là quỹ đạo của hệ phương trình vi phân (1. Một điểm p gọi là điểm giới hạn đương của quỹ đạo x(t) nếu tồn tại dãy (fa)a : t„ — oo thỏa mãn #(t„) — ?. Tập tất cả các điểm giới hạn dương gọi là tập giới hạn dương của x(t).

Một tập Ä gọi là bất biến của quỹ đạo z(£) nếu z(0) € M =— +(£) € M,Vt c R. Mot tap M gọi là bất biến dương của quỹ đạo z(f) nêu z(0) € M => z(0) € M,V+ > 0. Zz 2 ^ Ta co bo dé sau Bổ đề 1.4 Cho x(t) la mot qui dao ctia hé phuong trink vi phan (1.12) nằm trong D va bi chặn uới mọi t > 0. Khi đó, tập giới hạn dương LẺ của quỹ dao x(t) la một tập khác rỗng, compact uà bất biến.

Hơn nữa, +(E) tiếp cận LT khi † — oo. Chứng minh Do z(£) là dãy bị chặn trên ” nên theo dinh ly Bolzano - Weierstrass, {x(t),t > 0} có ít nhất một điểm tụ, điều này chứng tỏ tập giới hạn dương 7T khác rỗng. Vì {z(),t > 0} bị chặn nên T cũng là tập bị chặn. Để chứng minh L* compact, ta cần chứng tỏ nó đóng.

Lấy số dương e nhỏ tùy ý Xét {y;} € L† : y; > y, ta sẽ chứng minh € LT. Thật vậy, với mỗi ¡ € Ñ luôn tồn tại dãy (;) : f¿; —> oo sao cho mm r(ti;) = Yi. V6i méi 7 € N, ta chon 7; > t;, sao cho € le) — mÌl < Š Dãy (7;) được chọn ở trên có tính chất 7¡ > oo. Dựa vào các xây dưng dãy (7;) và 1; — # ta có thể chọn 2 số Ny, No > 0 thoa man Vi > Ni, : ||#() — || <e/2, va t> No: |ly; — ylle/2.

trang 21 Thạch Phước Chương 1: kiến thúc tổng quan Luan van cao hoc Từ đây suy ra ||z(¡) — || <«,_ Vi> N=maz{M,N:} Điều này chứng tỏ lim «(7;) = ÿ. Vậy LÝ là tập đóng va do dé 1a tap compact. 1-00 Ta con phai chttng minh Lt 1a tap bat bién. Cho y € Lt va ¢(t; y) lA một quỹ đạo của hệ phương trình vi phân (1.12), ta cần chứng tỏ O(t;y) € Lt, Vt € R.

Vìg€ D7 nên tồn tai day (t;) : t; + 00 sao cho a(t;) = o(ti; 20) = y. Do tinh duy nhất của giới hạn nên ta có P(t + ti; Zo) = O(t; O(ti; zo)) = ð(¡#()) trong đó £ + f; > 0 với ? đủ lớn. Bởi tính liên tục nên ta có lim 9(t + ti; 0) = lim ó(f; #(;)) — óÁ 9): 1-00 Điều này chứng tỏ o(t;y) € L+. Cuối cùng, để chứng minh z(#) > Lt, ta dimg phản chứng.

Giả sử ngược lại thì tồn tại số e > 0 và dãy f¿ — oo sao cho đ(#(¿), b*) > e. Vậy a(t) => E* hay LT là tập bất biến, ta có điều phải chứng minh. Tiếp theo, ta sẽ chứng minh nguyên lý bất biến LaSalle, một cơ sở để chứng minh sự tồn tại sóng lưu động cho chương sau.5 (Nguyén ly bat bién LaSalle) Cho 0 C D la tép compact va bat biến dương của hệ phương trình ơi phân (1. Ham V: D> R kha vi lién tuc trén D sao cho V(x) < 0,Va €Q.

Xét tập E={xzeO:V(z) =0} Goi M là tập bất biến lớn nhất trong F. Khi đó mọi quỹ đạo của (1.12) xuất phát trong © đều tiếp cận M khit 3 co. Chứng minh trang 22 Thạch Phước Chương 1: kiến thúc tổng quan Luan van cao hoc Ta xét x(t) 1A mot quỹ đạo tùy ý của (1.12) xuất phát trong 2. Vì V(z) liên tục trên tập compact 2 nén V(a(t)) bi chan dưới.

t-00 Xét tùy ý điểm p € LT, theo định nghĩa Ƒ* nên tồn tại dãy (f„) : #(f„) —> p. Do tính liên tục nên ta có V(p) = lim V{(zŒ,)) = a. noo Điều này chứng tổ hàm W(+) luôn nhận giá trị hằng trên L*. Cũng bởi tính bất biến của U mà suy ra được z(£) tiếp cận À.

Nhận xét: Dịnh lý trên không đòi hỏi hàm W(+) xác định dương. Vì z(#) tiếp cận tập 1M nên khi cần chứng mình z(£) —> 0, —> oo thì ta chỉ cần chứng tỏ tập bất biến lớn nhất trong # chỉ chứa đúng một điểm cân bằng z = 0. Diều này có thể đạt được bằng cách chứng tỏ không có một nghiệm nào nằm hoàn toàn trong # ngoại trừ nghiệm tầm thường z(£) = 0. Chú ý thêm rằng, hàm Lyapunov V xác định âm trên 2 nên V(z@))<V((0)), t>0.

Và từ đó ta có tập mức O.={z| V(r) <c}, c>0 bị chặn trong D nên là tập compact và bất biến dương. Định lý trên được thêm giả thiết V xác định dương thì ta có thêm kết quả bổ ích sau Hệ quả 1.6 (Ước lượng miền hấp thụ) Cho z = 0 là điểm cân bằng của hệ phương trình ưi phân (1. Giả sử tồn tại hàm Lụapunou V trên D 3 0. Đặt S={zeD| V(z) =0} Nếu hệ (1.12) không có một nghiệm nào nằm hoàn toờn trong S ngoại trừ nghiệm tầm thường z(Ð) = 0 thà z = 0 là điểm ổn định tiệm cận.

Hơn nữa mọi tập mức ©„ bị chăn chứa trong D đều là tập con của miền hấp thụ của z = 0. trang 23 Thạch Phước Chương 1: kiến thức tổng quan Luan van cao hoc Hé qua 1.7 Cho x =0 là điểm cần bằng của hệ phương trình vi phân (1.