Một Số Vấn Đề Của Phương Trình Phản Ứng Khuếch Tán Địa Phương và Không Địa Phương

Phương trình phản ứng khuếch tán là một trong những công cụ quan trọng trong mô hình hóa các hiện tượng vật lý. 124 trang · Đại học Quốc gia TP. HCM · 2022.

• Tác giả: Trà Quốc Khanh
• Người hướng dẫn: PGS. Võ Hoàng Hưng
• Trường học: Đại học Quốc gia TP. HCM
• Chuyên ngành: Toán giải tích
• Đề tài: Một Số Vấn Đề Của Phương Trình Phản Ứng Khuếch Tán Địa Phương Và Không Địa Phương
• Loại tài liệu: luận án tiến sĩ
• Năm xuất bản: 2022
• Địa điểm: Thành phố Hồ Chí Minh

Mục lục chi tiết

• LỜI CAM ĐOAN
• 1. CHƯƠNG 1: MỞ ĐẦU. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
• 1.1. Giải tích thực.1 Không gian Lp
• 1.2. Biến đổi Fourier
• 1.3. Laplacian không địa phương
• 1.4. Một vài không gian hàm được xét trong luận án
• 1.5. Hàm Bessel và các tính chất liên quan
• 1.6. Một vài bất đẳng thức được sử dụng trong luận án
• 1.7. Định lý ánh xạ co
• 1.8. Bài toán không chỉnh
• 2. CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT NGƯỢC ĐỐI XỨNG TRÊN ĐĨA TRÒN
• 2.1. Các kết quả chính
• 2.2. Thử nghiệm số
• 2.3. Kết luận Chương 2
• 3. CHƯƠNG 3: BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT NGƯỢC PHI TUYẾN ĐỐI XỨNG TRÊN HÌNH CẦU
• 3.1. Các kết quả chính
• 3.2. Phương pháp phương trình tích phân
• 3.3. Ước lượng hội tụ
• 3.4. Thử nghiệm số
• 3.5. Kết luận Chương 3
• 4. CHƯƠNG 4: BÀI TOÁN NGƯỢC THỜI GIAN CHO PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN VỚI TOÁN TỬ LAPLACE KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG
• 4.1. Các kết quả chính
• 4.2. Bài toán 3a và phương pháp chặt cụt Fourier
• 4.3. Thử nghiệm số
• 4.4. Kết luận Chương 4
• KẾT LUẬN
• CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ CÔNG BỐ
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Tổng Quan Về Nghiên Cứu Phương Trình Phản Ứng Khuếch Tán

Phương trình phản ứng khuếch tán là một trong những công cụ quan trọng trong mô hình hóa các hiện tượng vật lý. Chúng thường được sử dụng để mô tả sự phân tán của nhiệt độ, chất hóa học, hoặc các thông số khác trong không gian và thời gian. Nghiên cứu này tập trung vào hai dạng chính: khuếch tán địa phương và khuếch tán không địa phương. Mỗi dạng có những đặc điểm và ứng dụng riêng, từ việc mô hình hóa truyền nhiệt đến các ứng dụng trong tài chính.

1.1. Định Nghĩa Phương Trình Phản Ứng Khuếch Tán

Phương trình phản ứng khuếch tán có thể được định nghĩa là một phương trình vi phân mô tả sự thay đổi của một đại lượng theo thời gian và không gian. Nó thường có dạng parabolic, thể hiện sự tương tác giữa phản ứng và khuếch tán.

1.2. Lịch Sử Nghiên Cứu Phương Trình Khuếch Tán

Lịch sử nghiên cứu phương trình khuếch tán bắt đầu từ những năm 1960, với nhiều nhà toán học nổi tiếng như Jacques-Louis Lions và Andrey N. Tikhonov. Họ đã đặt nền móng cho các nghiên cứu hiện đại về các bài toán ngược và không chỉnh.

II. Thách Thức Trong Nghiên Cứu Phương Trình Khuếch Tán

Một trong những thách thức lớn nhất trong nghiên cứu phương trình phản ứng khuếch tán là tính không ổn định của nghiệm. Các bài toán ngược thường không có nghiệm duy nhất hoặc nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu. Điều này dẫn đến những khó khăn trong việc áp dụng các phương pháp tính toán số liệu.

2.1. Vấn Đề Không Chỉnh Trong Phương Trình Khuếch Tán

Các bài toán không chỉnh có thể có nhiều nghiệm hoặc không có nghiệm nào. Điều này gây khó khăn trong việc tìm kiếm các giải pháp ổn định cho các bài toán thực tiễn.

2.2. Ảnh Hưởng Của Sai Số Dữ Liệu

Sai số trong quá trình đo đạc có thể dẫn đến những sai lệch lớn trong nghiệm. Điều này làm cho việc thiết lập các mô hình chính xác trở nên cần thiết và cấp bách.

III. Phương Pháp Giải Quyết Bài Toán Khuếch Tán Địa Phương

Để giải quyết các bài toán khuếch tán địa phương, nhiều phương pháp đã được phát triển. Các phương pháp này bao gồm phương pháp tựa giá trị biên và phương pháp chặt cụt phổ toán tử. Mỗi phương pháp có những ưu điểm và nhược điểm riêng.

3.1. Phương Pháp Tựa Giá Trị Biên

Phương pháp tựa giá trị biên thay đổi điều kiện cuối để tạo ra một bài toán chỉnh. Điều này giúp tìm kiếm nghiệm xấp xỉ cho bài toán ban đầu, từ đó cải thiện độ chính xác của kết quả.

3.2. Phương Pháp Chặt Cụt Phổ Toán Tử

Phương pháp này loại bỏ thông tin về nghiệm ở tần số cao, giúp tạo ra một bài toán chính với nghiệm xấp xỉ. Đây là một trong những phương pháp hiệu quả nhất trong nghiên cứu khuếch tán.

IV. Ứng Dụng Thực Tiễn Của Phương Trình Khuếch Tán

Phương trình phản ứng khuếch tán có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực như vật lý, hóa học, và tài chính. Chúng được sử dụng để mô hình hóa các hiện tượng như truyền nhiệt, sự phân tán chất, và định giá quyền chọn trong tài chính.

4.1. Ứng Dụng Trong Vật Lý

Trong vật lý, phương trình khuếch tán được sử dụng để mô tả sự truyền nhiệt trong các vật liệu. Điều này giúp các nhà nghiên cứu hiểu rõ hơn về cách nhiệt độ thay đổi theo thời gian.

4.2. Ứng Dụng Trong Tài Chính

Trong tài chính, phương trình khuếch tán được áp dụng để định giá các quyền chọn. Mô hình Black-Scholes là một ví dụ điển hình cho việc sử dụng phương trình này trong lĩnh vực tài chính.

V. Kết Luận Về Nghiên Cứu Phương Trình Khuếch Tán

Nghiên cứu phương trình phản ứng khuếch tán với dạng khuếch tán địa phương và không địa phương vẫn đang là một lĩnh vực nghiên cứu sôi động. Các thách thức trong việc tìm kiếm nghiệm ổn định và chính xác vẫn cần được giải quyết. Tương lai của nghiên cứu này hứa hẹn sẽ mang lại nhiều ứng dụng thực tiễn hơn.

5.1. Tương Lai Của Nghiên Cứu

Nghiên cứu trong lĩnh vực này sẽ tiếp tục phát triển, với nhiều phương pháp mới được đề xuất để giải quyết các bài toán ngược và không chỉnh.

5.2. Tầm Quan Trọng Của Nghiên Cứu

Phương trình phản ứng khuếch tán không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có nhiều ứng dụng thực tiễn trong các lĩnh vực khác nhau, từ khoa học đến công nghệ.

Nội dung chính

Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ toán học của nghiên cứu sinh Trà Quốc Khanh có tiêu đề "Một số vấn đề của phương trình phản ứng khuếch tán với dạng khuếch tán địa phương và không địa phương", chuyên ngành Toán giải tích (mã số: 62460102), được bảo vệ tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh năm 2022. Công trình được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. Võ Hoàng Hưng (hướng dẫn chính) và TS. Vũ Đỗ Huy Cường (hướng dẫn phụ).

Phương trình phản ứng khuếch tán là phương trình đạo hàm riêng dạng parabolic bắt nguồn từ việc mô tả các hiện tượng vật lý, điển hình là hiện tượng truyền nhiệt miêu tả sự biến thiên của nhiệt độ trong một miền không gian theo thời gian, cùng nhiều ứng dụng trong hóa học, xử lý ảnh, hải dương học và định giá quyền chọn trong tài chính (mô hình Black-Scholes). Trong thực tế đo đạc, dữ liệu nhiệt độ ở thời điểm hiện tại hoặc tương lai thường thu được kèm sai số, trong khi việc truy nguyên lịch sử nhiệt độ tại các thời điểm trước đó dẫn đến bài toán ngược thời gian. Tất cả các bài toán ngược thời gian được khảo sát trong luận án đều là bài toán không chỉnh theo nghĩa Hadamard (Hadamard ill-posed problems), tức vi phạm ít nhất một trong ba điều kiện: tồn tại nghiệm, duy nhất nghiệm, và nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ liệu ban đầu. Sai số rất nhỏ từ dữ liệu đo đạc có thể gây ra sai lệch lớn ở nghiệm, khiến các tính toán số trực tiếp không đáng tin cậy. Do đó, yêu cầu cấp thiết đặt ra là phải thiết lập các mô hình chỉnh hóa (regularization models) nhằm tìm kiếm các nghiệm xấp xỉ ổn định và xác lập tốc độ hội tụ tương ứng.

Khoảng trống nghiên cứu được tác giả xác định cụ thể như sau:

1. Đối với bài toán truyền nhiệt ngược đối xứng trục trên đĩa tròn, các công trình trước đây chủ yếu dừng lại ở trường hợp thuần nhất với các đánh giá hội tụ chưa tối ưu tại thời điểm ban đầu $t=0$, đồng thời thiếu vắng các thử nghiệm tính toán số minh họa; trường hợp tuyến tính có nguồn $f(r,t)$ chưa được giải quyết trọn vẹn.
2. Đối với bài toán truyền nhiệt ngược đối xứng tâm trên hình cầu, các nghiên cứu công bố trước đó mới khảo sát trường hợp thuần nhất, hoàn toàn chưa xét đến trường hợp phi tuyến khi hàm nguồn $f(r,t,u)$ phụ thuộc vào chính nghiệm nhiệt độ $u$.
3. Đối với phương trình khuếch tán với toán tử Laplace không địa phương biểu diễn quá trình khuếch tán dị thường, các nghiên cứu hiện có chủ yếu tập trung vào trường hợp thuần nhất, việc chỉnh hóa trường hợp không thuần nhất cùng các bài toán tiệm cận khi nguồn triệt tiêu hoặc khi bậc phân thứ tiệm cận tới 1 vẫn còn bỏ ngỏ.

Luận án giải quyết ba bài toán nghiên cứu chính (được đánh số theo văn bản):

• Bài toán 1: Bài toán truyền nhiệt ngược thời gian tuyến tính đối xứng trên đĩa tròn. Giả sử $u \in C([0,T]; L^2([0, r_0]; r))$ thỏa mãn hệ: $$\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t} - \frac{\partial^2 u}{\partial r^2} - \frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r} = f(r,t), & 0 < r < r_0, 0 < t < T, \ u(r_0, t) = 0, & 0 < t < T, \ u(r,t) \text{ bị chặn khi } r \to 0, & 0 < t < T, \ u(r, T) = g(r), & 0 < r < r_0, \end{cases}$$ với dữ liệu đo $g^\varepsilon \in L^2([0, r_0]; r)$ thỏa mãn $|g - g^\varepsilon|_{L^2([0,r_0];r)} \le \varepsilon$. Mục tiêu là tìm nghiệm xấp xỉ ổn định của $u(r,t)$ với $0 \le t < T$.
• Bài toán 2: Bài toán truyền nhiệt ngược thời gian phi tuyến đối xứng trên hình cầu. Cho $T > 0$ và $r_0 > 0$, hàm $u \in C([0,T]; L^2([0, r_0]; r^2))$ thỏa mãn: $$\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t} - \frac{\partial^2 u}{\partial r^2} - \frac{2}{r}\frac{\partial u}{\partial r} = f(r,t, u(r,t)), & 0 < r < r_0, 0 < t < T, \ u_r(r_0, t) = 0, & 0 < t < T, \ u(r,t) \text{ bị chặn khi } r \to 0, & 0 < t < T, \ u(r, T) = g(r), & 0 < r < r_0, \end{cases}$$ với dữ liệu đo $g^\varepsilon \in L^2([0, r_0]; r^2)$ thỏa mãn $|g - g^\varepsilon|_{L^2([0,r_0];r^2)} \le \varepsilon$. Mục tiêu là xây dựng nghiệm chỉnh hóa và đánh giá sai số.
• Bài toán 3: Bài toán ngược thời gian cho phương trình khuếch tán với toán tử Laplace không địa phương bậc $\alpha$ ($1/2 < \alpha < 1$): $$\begin{cases} u_t(x,t) + (-\Delta)^\alpha u(x,t) = f(x,t), & (t,x) \in [0,T) \times \mathbb{R}, \ u(x,T) = g(x), & x \in \mathbb{R}. \end{cases}$$ Bài toán này bao gồm ba câu hỏi cụ thể:
  • 3a. Tìm hàm xấp xỉ cho phân bố nhiệt độ quá khứ $u(x,t)$ khi có dữ liệu đo $g^\varepsilon \in L^2(\mathbb{R})$ thỏa mãn $|g - g^\varepsilon|_{L^2(\mathbb{R})} \le \varepsilon$.
  • 3b. Giả sử dãy hàm ${f_n}$ thỏa mãn $f_n \to 0$ khi $n \to \infty$, tìm điều kiện của $f_n$ và $g$ để nghiệm $u_n$ hội tụ về nghiệm $v$ của bài toán thuần nhất tương ứng trong $L^2(\mathbb{R})$.
  • 3c. Gọi $u_\alpha$ là nghiệm của bài toán với toán tử Laplace không địa phương và $u_1$ là nghiệm của bài toán truyền nhiệt cổ điển với toán tử Laplace thông thường ($u_t - u_{xx} = f$), xác định điều kiện trên $f$ và $g$ để $u_\alpha \to u_1$ trong $L^2(\mathbb{R})$ khi $\alpha \to 1^-$.

Về phạm vi nghiên cứu, luận án giới hạn không gian đối xứng trục trên đĩa tròn hai chiều bán kính $r_0$ (Chương 2), miền đối xứng tâm trên hình cầu ba chiều bán kính $r_0$ (Chương 3), và toàn không gian thực một chiều $\mathbb{R}$ đối với toán tử không địa phương (Chương 4). Phạm vi thời gian xét trong đoạn hữu hạn $t \in [0, T]$.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Lý thuyết bài toán ngược và bài toán không chỉnh bắt đầu phát triển mạnh mẽ từ thập niên 60 của thế kỷ XX với các công trình nền tảng của Jacques-Louis Lions, Andrey N. Tikhonov và Mikhail Lavrentyev. Xét mô hình toán học tổng quát: $$u_t + Au = 0, \quad 0 < t < T; \quad u(T) = g,$$ trong đó $A: D(A) \subset H \to H$ là toán tử tuyến tính không bị chặn, xác định dương trên không gian Hilbert $H$. Năm 1967, Lattès và Lions đưa ra phương pháp tựa đảo (quasi-reversibility method), thay thế toán tử $A$ bằng toán tử xấp xỉ $A_\varepsilon = A - \varepsilon A^2$ ($\varepsilon > 0$), sau đó được phát triển thêm bởi Showalter (1974) và Miller (1973). Gajewski và Zacharias (1972) đề xuất biến thể thay thế $A_\varepsilon = A(I + \varepsilon A)^{-1}$, còn gọi là phương pháp phương trình Sobolev, phương pháp này gần đây được Đinh Nho Hào cùng cộng sự ứng dụng thành công cho phương trình khuếch tán với đạo hàm thời gian bậc phân thứ.

Năm 1983, Showalter đề xuất phương pháp tựa giá trị biên (quasi-boundary value method - QBV), thay đổi điều kiện cuối $u(T) = g$ thành điều kiện không địa phương $\varepsilon u(0) + u(T) = g$ với $\varepsilon > 0$. Phương pháp này cũng từng được Vabishchevich đề cập vào năm 1981. Gần đây, phương pháp tựa giá trị biên được phát triển hoàn chỉnh cho các phương trình parabolic thuần nhất và phi tuyến bởi Denche và Bessila (2005), Đinh Nho Hào cùng cộng sự (2009, 2011), Đặng Đức Trọng cùng cộng sự (2010), Phạm Hoàng Quân cùng cộng sự (2012). Năm 2010, Đặng Đức Trọng và Nguyễn Huy Tuấn đề xuất phương pháp Fourier lọc tần số cao cho bài toán phi tuyến với giả thiết nguồn Lipschitz toàn cục. Sau đó, trường hợp nguồn Lipschitz địa phương được giải quyết bởi Đặng Đức Trọng và Nguyễn Huy Tuấn (2011), Đinh Nho Hào cùng cộng sự (2014, 2015). Ngoài ra, các phương pháp khác gồm phương pháp Tikhonov, phương pháp nửa nhóm, phương pháp xấp xỉ bằng hàm lọc, phương pháp biến điệu mollification, biến đổi wavelet Shannon, và các sơ đồ sai phân Crank-Nicolson.

Đối với hệ tọa độ cực và tọa độ cầu, nghiên cứu bài toán ngược bắt đầu được chú ý trong hai thập niên gần đây:

• Trên đĩa tròn, Cheng và Fu (2009) áp dụng phương pháp chặt cụt phổ toán tử cho phương trình thuần nhất, đạt ước lượng hội tụ dạng mũ cho $0 < t < T$, nhưng tại $t=0$ vế phải ước lượng phụ thuộc vào điều kiện tiên nghiệm mạnh $|u(\cdot, t)|_{H^p} \le E$. Năm 2010, Cheng và Fu áp dụng phương pháp Tikhonov thu được ước lượng dạng Hölder-Logarithm. Cả hai công trình đều chưa có thử nghiệm số và chưa xét trường hợp tuyến tính có nguồn $f(r,t)$.
• Trên hình cầu, Cheng cùng cộng sự (2011, 2014) khảo sát bài toán thuần nhất gắn với phương trình sản xuất và khuếch tán khí Heli bằng phương pháp chặt cụt phổ toán tử và phương pháp Tikhonov, đưa ra ước lượng dạng Hölder-Logarithm nhưng hoàn toàn không có ví dụ số và chưa xét hàm nguồn phi tuyến $f(r,t,u)$.
• Đối với toán tử Laplace không địa phương $(-\Delta)^\alpha$ liên quan đến khuếch tán dị thường không tuân theo định luật Fick, Zheng và Zhang (2015, 2017, 2018) nghiên cứu bài toán khôi phục nhiệt độ ban đầu $u(x,0)$ trong trường hợp thuần nhất bằng phương pháp chỉnh hóa logarithm, chỉnh hóa mũ âm và Tikhonov phân thứ, cho các đánh giá dạng logarithm và logarithm đôi. Trường hợp không thuần nhất $f(x,t) \ne 0$ và tính tiệm cận của nghiệm chưa được nghiên cứu đầy đủ.

Vị trí của luận án: Luận án giải quyết trực tiếp các khoảng trống trên bằng cách mở rộng bài toán trên đĩa tròn sang trường hợp tuyến tính không thuần nhất kết hợp phương pháp tựa giá trị biên và mô phỏng số; giải quyết trường hợp phi tuyến trên hình cầu qua phương pháp phương trình tích phân; và hoàn thiện bài toán không thuần nhất cho toán tử Laplace không địa phương bằng phương pháp chặt cụt Fourier cùng phân tích tiệm cận định lượng.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Luận án sử dụng các hệ thống lý thuyết, khái niệm và công cụ giải tích hàm sau:

• Không gian hàm và không gian Sobolev: Không gian $L^p(\Omega)$, không gian Hilbert $L^2(\Omega)$, và không gian liên tục $C([0,T]; X)$ với chuẩn $|f|{C([0,T];X)} = \sup{t\in[0,T]} |f(t)|X$. Không gian hàm Sobolev phân thứ $H^p(\mathbb{R}^n) = {f \in L^2(\mathbb{R}^n) : |f|{H^p} = (\int_{\mathbb{R}^n} (1+|\xi|^2)^p |\hat{f}(\xi)|^2 d\xi)^{1/2} < \infty}$.
• Không gian trọng số trên hình học đĩa và cầu:
  • Trên đĩa tròn: Không gian Hilbert trọng số $L^2([0, r_0]; r)$ với tích vô hướng $(u, v) = \int_0^{r_0} r u(r) v(r) dr$ và chuẩn tương ứng $|u|_{L^2([0,r_0];r)} = (\int_0^{r_0} r |u(r)|^2 dr)^{1/2}$.
  • Trên hình cầu: Không gian Hilbert trọng số $L^2([0, r_0]; r^2)$ với tích vô hướng $(u, v) = \int_0^{r_0} r^2 u(r) v(r) dr$ và chuẩn $|u|_{L^2([0,r_0];r^2)} = (\int_0^{r_0} r^2 |u(r)|^2 dr)^{1/2}$.
• Biến đổi Fourier và toán tử Laplace không địa phương: Biến đổi Fourier $\hat{f}(\xi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\mathbb{R}} f(x) e^{-ix\xi} dx$, đẳng thức Parseval-Plancherel. Lớp hàm Schwartz $\mathcal{S}(\mathbb{R})$. Toán tử Laplace không địa phương bậc $\alpha$ ($0 < \alpha < 1$) định nghĩa thông qua tích phân kỳ dị chính giá Cauchy: $$(-\Delta)^\alpha f(x) = c_\alpha \lim_{\tau \to 0^+} \int_{|y-x|>\tau} \frac{f(x) - f(y)}{|x-y|^{1+2\alpha}} dy, \quad c_\alpha = \frac{4^\alpha \Gamma(1/2+\alpha)}{\sqrt{\pi}|\Gamma(-\alpha)|}.$$ Biểu diễn Fourier tương ứng là $\mathcal{F}((-\Delta)^\alpha f)(\xi) = |\xi|^{2\alpha} \hat{f}(\xi)$.
• Hàm Bessel và hàm cầu Bessel:
  • Hàm Bessel loại 1 cấp $\nu$ ($J_\nu(x)$) và cấp 0 ($J_0(x)$). Dãy nghiệm dương $0 < \lambda_1 < \lambda_2 < \dots < \lambda_n \to \infty$ của phương trình $J_0(x) = 0$. Họ ${J_0(\frac{\lambda_n r}{r_0})}_{n=1}^\infty$ tạo thành cơ sở trực giao trong $L^2([0, r_0]; r)$ với đẳng thức chuẩn tích phân: $\int_0^{r_0} r J_0^2(\frac{\lambda_n r}{r_0}) dr = \frac{r_0^2}{2} J_1^2(\lambda_n)$.
  • Hàm cầu Bessel loại 1 cấp $m$ ($j_m(x)$), đặc biệt cấp 0: $j_0(x) = \frac{\sin x}{x}$. Dãy nghiệm dương $0 < \vartheta_1 < \vartheta_2 < \dots < \vartheta_n \to \infty$ của phương trình $x = \tan x$. Họ ${j_0(\frac{\vartheta_n r}{r_0})}_{n=1}^\infty$ lập thành cơ sở trực giao trong $L^2([0, r_0]; r^2)$.
• Các bất đẳng thức giải tích kỹ thuật: Bất đẳng thức Grönwall; bất đẳng thức Hölder, Cauchy-Schwarz, Minkowski; cùng các đánh giá hàm mũ giải tích thực như: $$\frac{1}{\varepsilon x + e^{-\beta x}} \le \frac{1}{\varepsilon (1 + \ln(\beta/\varepsilon))}, \quad \forall x > 0, \beta > 0, \varepsilon \in (0, \beta).$$
• Công cụ ánh xạ co: Định lý điểm bất động Banach trên tập đóng của không gian Banach.
• Phương pháp chỉnh hóa thực tế:
  • Phương pháp tựa giá trị biên (QBV): Chuyển điều kiện cuối $u(r,T)=g$ thành $\varepsilon u(r,0) + u(r,T) = g$.
  • Phương pháp phương trình tích phân kết hợp ánh xạ co cho bài toán phi tuyến.
  • Phương pháp chặt cụt Fourier (Fourier truncation method): Loại bỏ các thành phần tần số cao $|\xi| > \xi_{\max}(\varepsilon)$.

Nguồn tư liệu và dữ liệu: Luận án hoàn toàn dựa trên dữ liệu giải tích lý thuyết và dữ liệu mô phỏng số học (synthetic numerical data) thông qua tạo nhiễu ngẫu nhiên phân phối đều $U(0, 1)$ hoặc đoạn $[-1, 1]$ được sinh bằng hàm rand(·).

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Chương 1 hệ thống hóa toàn bộ các kiến thức giải tích nền tảng làm tiền đề cho ba chương nghiên cứu tiếp theo. Nội dung chương bao gồm:

• Trình bày định nghĩa không gian $L^p(\Omega)$, $L^\infty(\Omega)$, tính chất không gian Hilbert của $L^2(\Omega)$, định lý Riesz-Fischer, các bất đẳng thức Hölder, Cauchy-Schwarz, Minkowski.
• Nhắc lại biến đổi Fourier trong $L^1(\mathbb{R}^n)$ và $L^2(\mathbb{R}^n)$, tính chất tuyến tính, biến đổi đạo hàm, đẳng thức Parseval-Plancherel; định nghĩa hàm Gamma $\Gamma(z)$.
• Định nghĩa lớp hàm giảm nhanh Schwartz $\mathcal{S}(\mathbb{R})$, toán tử Laplace không địa phương $(-\Delta)^\alpha$ bậc $0 < \alpha < 1$ và hằng số chuẩn hóa $c_\alpha$.
• Giới thiệu các không gian Sobolev $H^p(\mathbb{R}^n)$, không gian hàm liên tục nhận giá trị trong không gian định chuẩn $C([0, T]; X)$, và đặc biệt là hai không gian Hilbert trọng số $L^2([0, r_0]; r)$ và $L^2([0, r_0]; r^2)$.
• Trình bày chi tiết lý thuyết hàm Bessel loại 1 cấp $\nu$ ($J_\nu(x)$), cấp 0 ($J_0(x)$), các hệ thức truy hồi vi phân, tính trực giao của họ ${J_0(\frac{\lambda_n r}{r_0})}{n=1}^\infty$ tương ứng với các không điểm của $J_0$. Định nghĩa các hàm cầu Bessel loại 1 ($j_m(x)$), phương trình $x = \tan x$, và tính trực giao của cơ sở ${j_0(\frac{\vartheta_n r}{r_0})}{n=1}^\infty$.
• Chứng minh các bất đẳng thức kỹ thuật hỗ trợ ước lượng đại lượng hàm mũ suy biến và định lý ánh xạ co Banach.
• Trình bày định nghĩa tính chỉnh và không chỉnh theo nghĩa Hadamard đối với phương trình toán tử $Kx = y$.

Chương 2. Bài toán truyền nhiệt ngược đối xứng trên đĩa tròn

Chương 2 trình bày các kết quả nghiên cứu đối với Bài toán 1, sử dụng phương pháp tựa giá trị biên để chỉnh hóa bài toán truyền nhiệt ngược tuyến tính trên đĩa tròn bán kính $r_0$.

• Phân tích tính không chỉnh: Bằng khai triển Fourier-Bessel theo họ ${J_0(\frac{\lambda_n r}{r_0})}$, nghiệm chính xác dạng yếu (mild solution) của bài toán có biểu diễn: $$u(r,t) = \sum_{n=1}^\infty \frac{2}{r_0^2 J_1^2(\lambda_n)} \left[ g_n e^{\frac{\lambda_n^2}{r_0^2}(T-t)} - \int_t^T e^{\frac{\lambda_n^2}{r_0^2}(s-t)} f_n(s) ds \right] J_0\left(\frac{\lambda_n r}{r_0}\right),$$ với $g_n = \int_0^{r_0} r g(r) J_0(\frac{\lambda_n r}{r_0}) dr$ và $f_n(t) = \int_0^{r_0} r f(r,t) J_0(\frac{\lambda_n r}{r_0}) dr$. Tác giả chứng minh tính không ổn định bằng cách xét dãy dữ liệu nhiễu $g_p(r) = g(r) + \frac{1}{\lambda_p} J_0(\frac{\lambda_p r}{r_0})$. Khi $p \to \infty$, $|g_p - g| \to 0$, nhưng hiệu nghiệm $|u_p(\cdot, t) - u(\cdot, t)| = \frac{r_0}{\sqrt{2}\lambda_p} J_1(\lambda_p) e^{\frac{\lambda_p^2}{r_0^2}(T-t)} \to \infty$ với mọi $t < T$, do $\lambda_n \to \infty$.
• Mô hình chỉnh hóa: Thay điều kiện cuối bằng điều kiện biên tựa $\varepsilon u^\varepsilon(r,0) + u^\varepsilon(r,T) = g(r)$ ($\varepsilon \in (0, \mathcal{T})$, $\mathcal{T} = \min{T, 1}$). Nghiệm chỉnh hóa thu được dưới dạng: $$u^\varepsilon(r,t) = \sum_{n=1}^\infty \frac{2}{r_0^2 J_1^2(\lambda_n)} \frac{1}{\varepsilon + e^{-\frac{\lambda_n^2}{r_0^2}T}} \left[ g_n e^{-\frac{\lambda_n^2}{r_0^2}t} + \varepsilon \int_0^t e^{\frac{\lambda_n^2}{r_0^2}(s-t)} f_n(s) ds - \int_t^T e^{-\frac{\lambda_n^2}{r_0^2}(t+T-s)} f_n(s) ds \right] J_0\left(\frac{\lambda_n r}{r_0}\right).$$
• Các điều kiện giả thiết:
  • (A1): $|u(\cdot, 0)|_{L^2([0, r_0]; r)} \le P_1$.
  • (A2): Tồn tại $P_2 > 0$ sao cho đại lượng tích phân nguồn bị chặn tương ứng.
  • (A3): Tồn tại $N > 0$ sao cho $|u_t(\cdot, t)|_{L^2([0, r_0]; r)} \le N$ với mọi $t \in (0, T)$.
• Các định lý chính:
  • Định lý 2.1 (Tính ổn định): Nghiệm chỉnh hóa thỏa mãn $|v^\varepsilon(\cdot, t) - w^\varepsilon(\cdot, t)| \le \frac{1}{\varepsilon} |g - h|$.
  • Định lý 2.3 (Ước lượng hội tụ với dữ liệu chính xác): Khi $0 < t < T$, ta có $|u(\cdot, t) - u^\varepsilon(\cdot, t)| \le C \varepsilon^{\frac{t}{T}}$, với $C = P_1 + P_2$.
  • Định lý 2.4 (Ước lượng hội tụ tại $t = 0$): Với mỗi $\varepsilon > 0$, tồn tại $t_\varepsilon \in (0, T)$ sao cho $|u(\cdot, 0) - u^\varepsilon(\cdot, t_\varepsilon)| \le E (\ln(1/\varepsilon))^{-1/4}$, với $E = 2\max{N, C}\sqrt{T}$.
  • Định lý 2.5 (Ước lượng tổng quát với dữ liệu đo $g^\varepsilon$): $$|U^\varepsilon(\cdot, t) - u(\cdot, t)| \le (1+C)\varepsilon^{\frac{t}{T}} \quad (0 < t < T),$$ $$|U^\varepsilon(\cdot, 0) - u(\cdot, 0)| \le (\varepsilon + E)\left(\ln\frac{1}{\varepsilon}\right)^{-1/4}.$$
• Thử nghiệm số: Khảo sát Ví dụ 2.1 và 2.2 với độ mịn lưới $h = r_0/M$. Đánh giá sai số tuyệt đối $e_2(t)$ và sai số tương đối $re_2(t)$: $$e_2(t) = \sqrt{\frac{r_0}{M} \sum_{i=1}^M r_i |U_{t,i}^\varepsilon - u_{t,i}|^2}, \quad re_2(t) = \frac{e_2(t)}{|u(\cdot, t)|}.$$ Kết quả tính toán với các mức nhiễu $\varepsilon = 10^{-1}, 10^{-3}, 10^{-5}$ cho thấy nghiệm chỉnh hóa bám sát nghiệm chính xác. Tại Ví dụ 2.2, tác giả so sánh thời gian tính toán giữa phương pháp tựa giá trị biên (QBV) và phương pháp chặt cụt phổ toán tử của Cheng và Fu (2009) trên máy tính Intel Core i5-460M, 4.00GB RAM:

Phương pháp	Thời gian ($Q = 100$)	Thời gian ($Q = 300$)
Phương pháp tựa giá trị biên (QBV)	Ghi nhận trong Bảng 2.3	Ghi nhận trong Bảng 2.4
Chặt cụt phổ toán tử (Cheng & Fu)	Ghi nhận trong Bảng 2.3	Ghi nhận trong Bảng 2.4

Chương 3. Bài toán truyền nhiệt ngược phi tuyến đối xứng trên hình cầu

Chương 3 giải quyết Bài toán 2 về bài toán truyền nhiệt ngược phi tuyến đối xứng tâm trên hình cầu bán kính $r_0$ trong không gian $L^2([0, r_0]; r^2)$.

• Hệ phương trình được phân tích với toán tử Laplace đối xứng cầu $\frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + \frac{2}{r}\frac{\partial u}{\partial r}$ cùng điều kiện biên đạo hàm triệt tiêu $u_r(r_0, t) = 0$ và tính bị chặn tại gốc tọa độ $r \to 0$. Phương trình này gắn với phương trình sản xuất và khuếch tán khí Heli.
• Phương pháp phương trình tích phân: Tác giả chuyển bài toán vi phân ngược phi tuyến thành phương trình tích phân tương đương thông qua khai triển hệ hàm cầu Bessel ${j_0(\frac{\vartheta_n r}{r_0})}_{n=1}^\infty$ với $\vartheta_n$ là các nghiệm của phương trình $x = \tan x$.
• Thiết lập tính giải được: Giả thiết hàm nguồn phi tuyến $f(r, t, u)$ thỏa điều kiện Lipschitz đối với biến $u$. Áp dụng định lý ánh xạ co Banach trên không gian định chuẩn $C([0, T]; L^2([0, r_0]; r^2))$, chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán chỉnh hóa.
• Đánh giá sai số: Thiết lập ước lượng hội tụ giữa nghiệm chỉnh hóa và nghiệm chính xác trong chuẩn không gian $L^2([0, r_0]; r^2)$, chỉ ra tốc độ hội tụ phụ thuộc vào mức độ sai số $\varepsilon$ của dữ liệu đo $g^\varepsilon$.
• Thử nghiệm số: Khảo sát tính toán với các mức nhiễu $\varepsilon_1 = 10^{-3}, \varepsilon_2 = 10^{-5}, \varepsilon_3 = 10^{-7}$, ghi nhận sai số $e_2(\cdot)$ và $re_2(\cdot)$ tại các thời điểm $t = 0$ và $t = 0.2$ tương ứng với $T = 0.5$ (Bảng 3.1). Đồ thị Hình 3.1, 3.2, 3.3 minh họa sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ về nghiệm giải tích khi sai số $\varepsilon$ tiến về 0.

Chương 4. Bài toán ngược thời gian cho phương trình khuếch tán với toán tử Laplace không địa phương

Chương 4 nghiên cứu Bài toán 3 đối với phương trình khuếch tán chứa toán tử phân thứ $(-\Delta)^\alpha$ ($1/2 < \alpha < 1$) trên toàn trục thực $\mathbb{R}$.

• Bài toán 3a và phương pháp chặt cụt Fourier: Chuyển phương trình sang miền tần số bằng biến đổi Fourier: $$\hat{u}t(\xi, t) + |\xi|^{2\alpha} \hat{u}(\xi, t) = \hat{f}(\xi, t), \quad \hat{u}(\xi, T) = \hat{g}(\xi).$$ Nghiệm trong miền tần số chứa thừa số tăng trưởng mũ $e^{|\xi|^{2\alpha}(T-t)}$. Tác giả áp dụng phương pháp chặt cụt Fourier, loại bỏ các tần số cao vượt ngưỡng $R\varepsilon$ được chọn phụ thuộc vào mức sai số $\varepsilon$: $$\hat{u}^\varepsilon(\xi, t) = \hat{u}(\xi, t) \chi_{[-R_\varepsilon, R_\varepsilon]}(\xi).$$ Chứng minh tính ổn định và thiết lập tốc độ hội tụ của nghiệm chỉnh hóa về nghiệm chính xác trong chuẩn $L^2(\mathbb{R})$.
• Bài toán 3b (Tính tiệm cận khi nguồn triệt tiêu): Khảo sát dãy nghiệm $u_n$ tương ứng với dãy hàm nguồn $f_n$. Tác giả xác lập các điều kiện giải tích đủ trên $f_n$ và $g$ để đảm bảo nghiệm $u_n(\cdot, t)$ hội tụ mạnh trong $L^2(\mathbb{R})$ về nghiệm $v(\cdot, t)$ của bài toán thuần nhất tương ứng khi $n \to \infty$.
• Bài toán 3c (Tính tiệm cận khi $\alpha \to 1^-$): So sánh nghiệm $u_\alpha$ của phương trình khuếch tán không địa phương với nghiệm $u_1$ của phương trình truyền nhiệt cổ điển chứa toán tử Laplace địa phương cấp 2. Tác giả chứng minh rằng dưới các điều kiện chính quy thích hợp của $f$ và $g$, nghiệm $u_\alpha$ hội tụ về nghiệm cổ điển $u_1$ trong không gian $L^2(\mathbb{R})$ khi $\alpha \to 1^-$.
• Thử nghiệm số: Thực hiện mô phỏng số so sánh với phương pháp sai phân hữu hạn. Các thử nghiệm được tiến hành tại các giá trị bậc phân thứ $\alpha = 0.6, 0.7, 0.8$, minh họa sai số và đồ thị dạng nghiệm tại Bảng 4.1, Bảng 4.2 và các Hình 4.1 đến 4.7.

Kết quả và những đóng góp mới

Các đóng góp khoa học chính của luận án bao gồm:

1. Đối với bài toán truyền nhiệt ngược tuyến tính đối xứng trên đĩa tròn:
   • Xây dựng thành công nghiệm chỉnh hóa bằng phương pháp tựa giá trị biên (QBV) cho trường hợp không thuần nhất có hàm nguồn $f(r,t)$.
   • Thiết lập đánh giá ổn định và ước lượng hội tụ dạng Hölder cỡ $O(\varepsilon^{t/T})$ với $0 < t < T$.
   • Giải quyết triệt để sự suy giảm tốc độ hội tụ tại thời điểm ban đầu $t = 0$ bằng việc xác định tham số thời gian chuyển tiếp $t_\varepsilon$, thu được ước lượng hội tụ dạng logarithm $(\ln(1/\varepsilon))^{-1/4}$ với điều kiện tiên nghiệm thực tế hơn so với công trình của Cheng và Fu (2009).
   • Cung cấp các thử nghiệm số học cụ thể, phân tích sai số rời rạc và so sánh thời gian tính toán với phương pháp chặt cụt phổ toán tử.
2. Đối với bài toán truyền nhiệt ngược phi tuyến đối xứng trên hình cầu:
   • Đề xuất phương pháp phương trình tích phân kết hợp cơ sở cầu Bessel cấp 0 để giải bài toán trong trường hợp nguồn phi tuyến $f(r,t,u)$.
   • Chứng minh sự tồn tại, tính duy nhất và tính ổn định của nghiệm chỉnh hóa thông qua nguyên lý ánh xạ co Banach.
   • Xác lập ước lượng sai số định lượng trong không gian trọng số $L^2([0, r_0]; r^2)$ và thực hiện mô phỏng số kiểm chứng lý thuyết.
3. Đối với phương trình khuếch tán với toán tử Laplace không địa phương:
   • Áp dụng thành công phương pháp chặt cụt Fourier để chỉnh hóa bài toán ngược thời gian không thuần nhất với dữ liệu đo có sai số trong $L^2(\mathbb{R})$.
   • Tìm ra điều kiện giải tích cụ thể để nghiệm của bài toán không thuần nhất hội tụ về nghiệm của bài toán thuần nhất khi nguồn $f_n \to 0$.
   • Chứng minh về mặt định lượng sự hội tụ của nghiệm bài toán khuếch tán dị thường $u_\alpha$ về nghiệm của bài toán truyền nhiệt cổ điển $u_1$ khi tham số phân thứ $\alpha \to 1^-$.

Luận án không đề xuất các khuyến nghị chính sách xã hội mà tập trung kiến nghị học thuật: áp dụng quy trình chỉnh hóa tựa giá trị biên và chặt cụt phổ vào các bài toán biên đối xứng trong tính toán mô phỏng vật lý và địa vật lý.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Hạn chế của luận án được xác định trực tiếp từ phạm vi nghiên cứu đã công bố:

• Luận án mới chỉ khảo sát các bài toán trong các miền hình học có tính đối xứng cao (đĩa tròn đối xứng trục, hình cầu đối xứng tâm) hoặc toàn không gian một chiều $\mathbb{R}$, chưa xét đến các miền không gian tổng quát nhiều chiều không có tính đối xứng.
• Về điều kiện hàm nguồn phi tuyến ở Chương 3, luận án giả định hàm nguồn $f(r,t,u)$ thỏa mãn điều kiện Lipschitz toàn cục đối với biến nghiệm $u$; chưa mở rộng cho trường hợp Lipschitz địa phương hoặc hàm nguồn phi tuyến có đạo hàm tăng trưởng đa thức.
• Về mô hình toán tử không địa phương ở Chương 4, bài toán mới được khảo sát trên không gian một chiều $\mathbb{R}$; chưa xem xét bài toán giá trị biên trên miền bị chặn với các điều kiện biên ngoài (exterior boundary conditions) đặc thù của toán tử không địa phương.
• Dữ liệu thử nghiệm số là dữ liệu nhân tạo (mô phỏng kèm nhiễu ngẫu nhiên), chưa kiểm chứng trực tiếp trên các tập dữ liệu đo đạc thực nghiệm vật lý hay hải dương học.

Các hướng nghiên cứu mở rộng được gợi ý gồm:

• Khảo sát bài toán ngược thời gian phi tuyến trên các miền hai chiều và ba chiều bất kỳ không có tính đối xứng.
• Mở rộng nghiên cứu cho các toán tử khuếch tán phân thứ tổng quát kết hợp đạo hàm phân thứ theo cả biến thời gian (fractional diffusion-wave equations).
• Nghiên cứu các quy tắc chọn tham số chỉnh hóa hậu nghiệm (a-posteriori parameter choice rules) tối ưu hơn để cải thiện tốc độ hội tụ.

Giá trị tham khảo

Luận án là tài liệu tham khảo chuyên khảo hữu ích cho:

• Nghiên cứu sinh và học viên cao học chuyên ngành Toán giải tích, Toán ứng dụng và Phương pháp toán sơ cấp đang theo đuổi hướng nghiên cứu phương trình vi phân đạo hàm riêng, bài toán ngược và lý thuyết không chỉnh. Phần đáng tham khảo nhất là Chương 1 với hệ thống bổ đề kỹ thuật về hàm Bessel, hàm cầu Bessel, toán tử Laplace phân thứ và kỹ thuật xử lý bất đẳng thức giải tích thực.
• Giảng viên và nhà nghiên cứu giải tích số: Chương 2 và Chương 3 cung cấp quy trình chi tiết từ việc thiết lập toán tử, biến đổi hệ phương trình sang dạng tích phân, áp dụng giải thuật chỉnh hóa đến lập trình mô phỏng số tính sai số rời rạc $e_2(t)$ và sai số tương đối $re_2(t)$.
• Các nhà nghiên cứu trong lĩnh vực vật lý toán, mô hình hóa địa vật lý và kỹ thuật: Mô hình tính toán nhiệt độ bên trong đĩa tròn và hình cầu (liên quan đến phương trình khuếch tán khí Heli) cung cấp công thức giải tích cụ thể để tái tạo trường nhiệt độ quá khứ từ dữ liệu biên và dữ liệu đo thời điểm cuối.

Câu hỏi thường gặp

1. Tại sao bài toán truyền nhiệt ngược thời gian lại không chỉnh theo nghĩa Hadamard?

Trong công thức nghiệm chính xác của phương trình truyền nhiệt ngược (ví dụ công thức 2.4 trên đĩa tròn), nghiệm được biểu diễn dưới dạng chuỗi các hàm Bessel nhân với thành phần hàm mũ $e^{\frac{\lambda_n^2}{r_0^2}(T-t)}$. Do dãy trị riêng $\lambda_n \to \infty$ khi $n \to \infty$, các số hạng hàm mũ tăng trưởng vô hạn với mọi $t < T$. Nếu dữ liệu đo $g(r)$ xuất hiện nhiễu tần số cao dù rất nhỏ, sai số này sẽ bị phóng đại theo cấp lũy thừa mũ qua toán tử giải, dẫn tới nghiệm bị phân kỳ và không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu ban đầu.

2. Ý tưởng cốt lõi của phương pháp tựa giá trị biên (QBV) áp dụng trong Chương 2 là gì?

Phương pháp tựa giá trị biên không thay đổi phương trình vi phân chính mà thay đổi điều kiện biên-thời gian. Cụ thể, điều kiện thời điểm cuối $u(r,T) = g(r)$ được thay thế bằng điều kiện tích hợp thời gian ban đầu và thời điểm cuối: $\varepsilon u(r,0) + u(r,T) = g(r)$ với tham số chỉnh hóa $\varepsilon > 0$. Điều này dẫn đến sự xuất hiện của mẫu số $\varepsilon + e^{-\frac{\lambda_n^2}{r_0^2}T}$ trong biểu thức nghiệm chỉnh hóa, triệt tiêu tính kỳ dị tăng trưởng mũ vô hạn và biến bài toán thành bài toán chỉnh.

3. Tốc độ hội tụ của nghiệm chỉnh hóa tại thời điểm ban đầu $t = 0$ trong Chương 2 đạt được mức nào?

Tại $0 < t < T$, tốc độ hội tụ đạt bậc Hölder $O(\varepsilon^{t/T})$. Tuy nhiên, tại $t = 0$, số mũ $t/T = 0$ làm mất đi tính ổn định theo $\varepsilon$. Để khắc phục, tác giả chọn một thời điểm tiệm cận $t_\varepsilon = \frac{T \ln(\ln(1/\varepsilon))}{2 \ln(1/\varepsilon)}$ phụ thuộc vào $\varepsilon$, qua đó chứng minh được sai số giữa nghiệm chính xác tại $t=0$ và nghiệm chỉnh hóa tại $t_\varepsilon$ đạt tốc độ hội tụ dạng logarithm: $$|u(\cdot, 0) - u^\varepsilon(\cdot, t_\varepsilon)| \le E \left(\ln\frac{1}{\varepsilon}\right)^{-1/4},$$ với hằng số $E = 2\max{N, C}\sqrt{T}$ độc lập với $\varepsilon$.

4. Toán tử Laplace không địa phương $(-\Delta)^\alpha$ trong Chương 4 được hiểu như thế nào và có vai trò gì?

Toán tử Laplace không địa phương bậc $\alpha \in (1/2, 1)$ được định nghĩa trên lớp hàm Schwartz $\mathcal{S}(\mathbb{R})$ thông qua tích phân kỳ dị chính giá Cauchy đối với hiệu giá trị hàm $[f(x) - f(y)] / |x-y|^{1+2\alpha}$. Toán tử này đặc trưng cho các tương tác tầm xa, được sử dụng để mô hình hóa hiện tượng khuếch tán dị thường vi phạm định luật Fick cổ điển. Trong không gian Fourier, toán tử này tương ứng với phép nhân với hàm $|\xi|^{2\alpha}$.

5. Trong Chương 4, tác giả đã chứng minh mối liên hệ gì giữa bài toán khuếch tán không địa phương và bài toán truyền nhiệt cổ điển?

Tại Bài toán 3c, tác giả chứng minh rằng khi bậc phân thứ $\alpha \to 1^-$, nghiệm $u_\alpha$ của phương trình khuếch tán không địa phương $u_t + (-\Delta)^\alpha u = f$ sẽ hội tụ mạnh trong không gian $L^2(\mathbb{R})$ về nghiệm $u_1$ của phương trình truyền nhiệt cổ điển $u_t - u_{xx} = f$ với cùng điều kiện cuối $g$ và nguồn $f$, xác lập tính tương thích giải tích giữa mô hình khuếch tán dị thường và mô hình khuếch tán địa phương chuẩn.

Kết luận

Luận án của nghiên cứu sinh Trà Quốc Khanh là một công trình giải tích toán học nghiên cứu chuyên sâu về tính không chỉnh và kỹ thuật chỉnh hóa cho các bài toán ngược thời gian của phương trình phản ứng khuếch tán. Bằng việc phối hợp linh hoạt phương pháp tựa giá trị biên, phương pháp phương trình tích phân và phương pháp chặt cụt Fourier trên các hệ tọa độ đối xứng và không gian toàn phần, tác giả đã giải quyết trọn vẹn các bài toán tuyến tính, phi tuyến và không địa phương đặt ra. Các kết quả lý thuyết về tính ổn định và tốc độ hội tụ đều được chứng minh tường minh và kiểm chứng thông qua các thử nghiệm số học cụ thể. Công trình đóng góp các kết quả có giá trị khoa học cho chuyên ngành Toán giải tích và lý thuyết phương trình đạo hàm riêng hiện đại.

Trích đoạn nội dung tài liệu

MỞ ĐẦU Phương trình phản ứng khuếch tán là phương trình dạng parabolic có xuất phát từ việc mô tả các hiện tượng vật lý. Một trong những hiện tượng phỗ biến được mô tả bơi phương trình này có lẽ là hiện tượng truyền nhiệt, miêu tả sự biến thiên của nhiệt độ trong một miền cho trước theo thời gian. Ngày nay, các phương trình phản ứng khuếch tán còn được biết đến thông qua rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác như trong' hóa học, xứ lý ảnh, hải dương học, tài chính. Trong luận án này, chúng tôi quan tám đến một số bài toán "ngược" liên quan đến phương trình phản ứng khuếch tán với dạng khuếch tán địa phương và không địa phương.

Cụ thể, các vấn đề dược nghiên cứu trong hiận án bao gồm: • Dối với phương trình phản ứng khuếch tán với dạng khuếch tán địa phương, chúng tôi nghiên cứu hai bài toán sau đây: - Bài toán truyền nhiệt ngược thời gian (tuyến tính) đối xứng trên đĩa tròn; và, - Bài toán truyền nhiệt ngược thời gian (phi tuyến) đối xứng trên hình cầu. • Dối vối phương trình phản ứng khuếch tán với dạng khuếch tán không dịa phương, chúng tôi nghiên cứu bài toán ngược thời gian tuyến tính cho phương trình khuếch tán với toán tử Laplace không địa phương. Các bài toán ngược thời gian được nêu ở trên đều là các bài toán không chỉnh theo nghĩa CTÌa Hadamard, tức là có ít nhất một trong ba trường hợp sau xảy ra: i. Bài toán không có nghiệm.i toán có nghiệm nhưng nghiệm không duy nhất.

Bài toán có nghiệm nhưng nghiệm không ổn định. Hay nói cách khác, nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu. Từ thập niên 60 của thế kỷ XX, các bài toán ngược đã được nghiên cứu một cách sâu rộng bơi các nhà toán học nổi tiếng như Jacques-Louis Lions, Andrey N. Tikhonov, Mikhail Lavrentyev.

Cho đến ngày nay, lĩnh vực bài toán ngược và không chỉnh vẫn là một lĩnh vực nghiên cứu sôi động, thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu trong và ngoài nưóc. Thông thường, các bài toán ngược nếu có nghiệm thì nghiệm sẽ không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu. Trong thực tế, dữ liệu thu được từ các quá trình đo đạc luôn có một sai số nhất định. Vì nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu nên một sai số rất nhó trong quá trình đo đạc có thể dẫn đến một sai lệch đáng kể của nghiệm.

Diều này làm cho các tính toán số liệu có thể mang lại những kết quả không đáng tin cậy. Do đó, một yêu cầu cấp thiết đặt ra là việc thiết lập các xấp xỉ on định cho nghiệm của các bài toán trên. Quá trình thiết lập các xấp xỉ ổn định này dưực gọi là quá trình xây dựng các mô hình chinh hóa. Khi đã thiết lập được các mô hình chỉnh hóa, các tính toán số liệu trên nghiệm chính xác có thổ được xấp xỉ tốt bói các tính toán trên nghiệm xấp xỉ dựa trên mô hình chỉnh hóa đề ra.

Chính vì vậy mà việc khảo sát tính ổn định của nghiệm và xây dựng các mô hình chỉnh hóa là những đề tài nghiên cứu thu hút được nhiều sự quan tâm và là một lĩnh vực khá phát triển hiện nay. Mô hình toán học của bài toán ngược thời gian liên kết với phương trình khuếch tán có thể được miêu tả như sau: Cho T > 0, ta xét bài toán khôi phục tz(í) vói 0 < t < T vơi ?z(i) thỏa hệ sau Ut + Au = 0, 0 < t < T { 2 u(T) = g, (0.1) trong đó A : D (A) c II —> ỉỉ là một toán tử tuyến tính không bị chặn, xác định dương trên không gian con u (.4) của không gian Hilbert H, g E H là dữ liệu tại 2 thời điểm cuối.1) là một bài toán không chỉnh theo nghĩa Hadamard và đã được nghiên cứu từ những năm 60 của thế kỷ trước. Năm 1967, Lattes và Lion [30] đưa ra phương pháp tựa (lảo (phitơng pháp quasi-reversibility) dể chỉnh hóa bài toán (0. Ý tưởng chính của phương pháp tựa đảo là thay thế toán tử A bằng một toán tử xấp xỉ Ae = A - eA2,e > 0, để dẫn đến bài một bài toán chỉnh.

Phương pháp tựa đảo sau đó tiếp tục được phát triển bơi các tác giả Showalter [41] và Miller [33]. Một phiên bản khác của phương pháp tựa đảo cũng được đề xuất bởi Gajewski và Zacharias [17] năm 1972 với toán tử xấp xỉ A£ - /1(1 + s. Phương pháp này thỉnh thoảng còn được gọi là phương pháp phương trình Sobolev. Gần đây, phương pháp phương trình Sobolev còn được tác giả Dinh Nho Hào cùng các cộng sự áp dụng rất thành công vào bài toán ngược thời gian cho phương trình khuếch tán với đạo hàm bậc phân thứ theo biến thời gian [23].

Năm 1983, Showalter [42] đưa ra phương pháp tựa giá trị biên (phương pháp quasi-boundary value) áp dụng rất hiệu quả vào bài toán Cauchy cho phương trình hyper-parabolic. Phương pháp này còn được gọi là phương pháp bài toán biên giá trị không địa phương. Gần đây, phương pháp tựa giá trị biên cũng được áp dụng một cách khá hoàn chỉnh vào các trường hợp thuần nhất hoặc phi tuyến của bài toán (0.1) trong các các công trình Denche và Bessila [13], Dinh Nho Hào cùng các cộng sự [21, 22], Dang Due Trong cùng các cộng sự [46] và Pham Hoang Quan cùng các cộng sự [38]. Khác với ý tưởng của phương pháp tựa đảo là thay dổi phương trình chính, phương pháp tựa giá trị biên thay dổi điều kiện cuối để đưa ra một bài toán chỉnh, với nghiệm xấp xỉ nghiệm của bài toán ban đầu.

Cụ thể, diều kiện cuối u(T) = g được thay thế bằng diều kiện eu(0) + u(T) = <7, với £ > 0. Trong một số tài liệu, phương pháp tựa giá trị biên được xem là đề xuất lần đầu tiên bôi Vabishchevich [61] vào năm 1981. Năm 2010, tác giả Dang Dưc Trong và Nguyen Huy Tưan [54] đề xuất phương pháp Fourier áp dụng 3 vào trường hợp phi tuyến của bài toán (0. Khác với phương pháp tựa đảo và phương pháp tựa giá trị biên, ý tương của.

phương pháp Fourier là loại bỏ những thông tin về nghiệm ở "tần số cao", từ đó có thể đưa ra một bài toán chính với nghiệm xấp xỉ nghiệm của bài toán gốc. Ta lưu ý rằng trong các cồng trình [21, 54], hàm nguồn phi tuyến được giả định là hàm Lipschitz toàn cục. Trường hợp hàm nguồn là hàm Lipschitz địa phirơng cũng được giải quyết trong các công trình gần đầy, tiêu biểu như công trình của các tác giả Dang Due Trong và Nguyen Huy Tuan [56], Dinh Nho Hào cùng các cộng sự trong [24, 25]. Một số phương pháp khác có thể được liệt kê như phương pháp xấp xỉ bằng hàm lọc [58], phương pháp Tikhonov [4], phương pháp nửa nhóm [3, 26, 27, 32] và phương pháp Fourier hiệu chinh [53].

Như đã đề cập ỏ trên, đối vói phương trình phản ứng khuếch tán với dạng khuếch tán địa phương, chúng tôi nghiên cứu các bài toán ngược cho phương trình nhiệt. Dây là các bài toán khá cổ điển và có khá nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khoa học kỹ thuật. Dơn củ’ như trong Dịa vật lý, chúng ta thương gặp các bài toán xác định nhiệt độ bên trong trái đất hoặc một phần nào đó bên trong trái đất tại thời điểm t từ nhiệt độ được đo đạc tại thời điểm T > t. Hoặc nhu' trong lĩnh vực tài chính, việc định giá.

một loại quyền chọn (quyền chọn mua. (call option) hoặc quyền chọn bán (put option)) theo mô hình Black-Scholes có thể được mô hình hóa bằng một bài toán ngược cho phương trình parabolic. Trong trường hệ tọa Descartes, mô hình toán học của bài toán được miêu tả như sau Ut(x, t) — Au(x, í) = F, (t, x) e [0, T) X Q, < u(x, t) = 0, t c [0, ĩ1 iX ẽ ỠQ, (0.2) jz(x,T) = ớ(rr), X e Q, vói c R và A là toán tử Laplace. Bài toán không chỉnh (0.2) nhận được rất nhiều sự quan tâm trong khoảng vài thập niên gần đây trong cả ba trường hợp: trường hợp thuần nhất (F — 0), không thuần nhất (F — F(x,t)) và phi tuyến 4 (F = F(x,t,u)).

Một số phương pháp tiêu biểu đã áp dụng thành công vào bài >■ toán (0.2) trong' các trường hợp trên có thê được liệt kê như sau: • Trong trường hợp thuần nhất F — 0: Phương pháp mollification [20], phương pháp Fourier [16], phương pháp Shannon wavelet [62], phương pháp tựa giá trị biên [60, 37], phương pháp tựa đảo kết hợp với phương pháp Euler và Crank Nicolson [44. • Trong trường hợp tuyến tính (còn gọi là trường hợp không thuần nhất) F - F(x, tỵ. Phương pháp tựa đảo [47], phương pháp Fourier [49. 35], phương pháp tựa giá trị biên [48], phương pháp thống kê phi tham số trong trường hợp dữ liệu rời rạc [34], phương pháp hàm lọc [52], phương pháp lập kết hợp với phương pháp Crank-Nicolson [43].

• Trong trường phi tuyến F = F(x,t,u); Phương pháp Fourier [55], phương pháp tựa giá trị biên [38, 46, 57], pháp phương trình tích phân [15, 59]. Trong khoảng hai thập niên gần đây, bài toán ngược thời gian cho phương trình nhiệt trong hệ tọa độ cực hoặc hệ tọa độ cầu dã bắt đầu được các nhà nghiên cứu quan tâm. Trong trường hợp này, toán tử Laplace tương ứng trong tọa độ cực (u = u (r, y?)) và tọa độ cầu (u = u (r, (/>, ớ)) được định nghĩa như sau d2u 1 du 1 ỡ2 u dr2 + r dì' ■*” r2 ớtp2 ’ (0-3) hay </ (0.4) Trong một công bố năm 2009 của Cheng và Fu [9], các tác giả nghiên cứu bài 5 toán truyền nhiệt ngược trên một đĩa tròn như sau ' du Ố~u 1 du 0 < T < ro, 0 < t < T, di dr2 r dr u(r0,t) = ữ, u(r, t) bị chặn khi r —> 0, u(r,7) = _ợ(r), 0 < r < ro. Trong bài toán này.

hàm g được giả định là một hàm đối xứng trục, tức là g chỉ phụ thuộc vào biến tọa độ bán kính r và không phụ thuộc vào tọa độ góc ip. nghiệm của bài toán (0.5) chỉ phụ thuộc vào tọa độ bán kính r và thời gian í, tức là u = u(r, t).5) là một bài toán không chỉnh, vì nghiệm (nếu tồn tại) không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu. Trong [9], các tác giả đã áp dụng phương pháp chặt cụt phổ toán tử (hay còn gọi là phương pháp chặt cụt Fourier) để dưa ra một xấp xỉ ổn dinh cho nghiệm của bài toán (0. Trong công bố này, các tác giả đã chứng minh rằng nếu như ta có điều kiện tiên nghiệm H-,0) P(|0«M - E < +00’ (0.