MỞ ĐẦU Phương trình phản ứng khuếch tán là phương trình dạng parabolic có xuất phát từ việc mô tả các hiện tượng vật lý. Một trong những hiện tượng phỗ biến được mô tả bơi phương trình này có lẽ là hiện tượng truyền nhiệt, miêu tả sự biến thiên của nhiệt độ trong một miền cho trước theo thời gian. Ngày nay, các phương trình phản ứng khuếch tán còn được biết đến thông qua rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác như trong' hóa học, xứ lý ảnh, hải dương học, tài chính. Trong luận án này, chúng tôi quan tám đến một số bài toán "ngược" liên quan đến phương trình phản ứng khuếch tán với dạng khuếch tán địa phương và không địa phương.
Cụ thể, các vấn đề dược nghiên cứu trong hiận án bao gồm: • Dối với phương trình phản ứng khuếch tán với dạng khuếch tán địa phương, chúng tôi nghiên cứu hai bài toán sau đây: - Bài toán truyền nhiệt ngược thời gian (tuyến tính) đối xứng trên đĩa tròn; và, - Bài toán truyền nhiệt ngược thời gian (phi tuyến) đối xứng trên hình cầu. • Dối vối phương trình phản ứng khuếch tán với dạng khuếch tán không dịa phương, chúng tôi nghiên cứu bài toán ngược thời gian tuyến tính cho phương trình khuếch tán với toán tử Laplace không địa phương. Các bài toán ngược thời gian được nêu ở trên đều là các bài toán không chỉnh theo nghĩa CTÌa Hadamard, tức là có ít nhất một trong ba trường hợp sau xảy ra: i. Bài toán không có nghiệm.i toán có nghiệm nhưng nghiệm không duy nhất.
Bài toán có nghiệm nhưng nghiệm không ổn định. Hay nói cách khác, nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu. Từ thập niên 60 của thế kỷ XX, các bài toán ngược đã được nghiên cứu một cách sâu rộng bơi các nhà toán học nổi tiếng như Jacques-Louis Lions, Andrey N. Tikhonov, Mikhail Lavrentyev.
Cho đến ngày nay, lĩnh vực bài toán ngược và không chỉnh vẫn là một lĩnh vực nghiên cứu sôi động, thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu trong và ngoài nưóc. Thông thường, các bài toán ngược nếu có nghiệm thì nghiệm sẽ không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu. Trong thực tế, dữ liệu thu được từ các quá trình đo đạc luôn có một sai số nhất định. Vì nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu nên một sai số rất nhó trong quá trình đo đạc có thể dẫn đến một sai lệch đáng kể của nghiệm.
Diều này làm cho các tính toán số liệu có thể mang lại những kết quả không đáng tin cậy. Do đó, một yêu cầu cấp thiết đặt ra là việc thiết lập các xấp xỉ on định cho nghiệm của các bài toán trên. Quá trình thiết lập các xấp xỉ ổn định này dưực gọi là quá trình xây dựng các mô hình chinh hóa. Khi đã thiết lập được các mô hình chỉnh hóa, các tính toán số liệu trên nghiệm chính xác có thổ được xấp xỉ tốt bói các tính toán trên nghiệm xấp xỉ dựa trên mô hình chỉnh hóa đề ra.
Chính vì vậy mà việc khảo sát tính ổn định của nghiệm và xây dựng các mô hình chỉnh hóa là những đề tài nghiên cứu thu hút được nhiều sự quan tâm và là một lĩnh vực khá phát triển hiện nay. Mô hình toán học của bài toán ngược thời gian liên kết với phương trình khuếch tán có thể được miêu tả như sau: Cho T > 0, ta xét bài toán khôi phục tz(í) vói 0 < t < T vơi ?z(i) thỏa hệ sau Ut + Au = 0, 0 < t < T { 2 u(T) = g, (0.1) trong đó A : D (A) c II —> ỉỉ là một toán tử tuyến tính không bị chặn, xác định dương trên không gian con u (.4) của không gian Hilbert H, g E H là dữ liệu tại 2 thời điểm cuối.1) là một bài toán không chỉnh theo nghĩa Hadamard và đã được nghiên cứu từ những năm 60 của thế kỷ trước. Năm 1967, Lattes và Lion [30] đưa ra phương pháp tựa (lảo (phitơng pháp quasi-reversibility) dể chỉnh hóa bài toán (0. Ý tưởng chính của phương pháp tựa đảo là thay thế toán tử A bằng một toán tử xấp xỉ Ae = A - eA2,e > 0, để dẫn đến bài một bài toán chỉnh.
Phương pháp tựa đảo sau đó tiếp tục được phát triển bơi các tác giả Showalter [41] và Miller [33]. Một phiên bản khác của phương pháp tựa đảo cũng được đề xuất bởi Gajewski và Zacharias [17] năm 1972 với toán tử xấp xỉ A£ - /1(1 + s. Phương pháp này thỉnh thoảng còn được gọi là phương pháp phương trình Sobolev. Gần đây, phương pháp phương trình Sobolev còn được tác giả Dinh Nho Hào cùng các cộng sự áp dụng rất thành công vào bài toán ngược thời gian cho phương trình khuếch tán với đạo hàm bậc phân thứ theo biến thời gian [23].
Năm 1983, Showalter [42] đưa ra phương pháp tựa giá trị biên (phương pháp quasi-boundary value) áp dụng rất hiệu quả vào bài toán Cauchy cho phương trình hyper-parabolic. Phương pháp này còn được gọi là phương pháp bài toán biên giá trị không địa phương. Gần đây, phương pháp tựa giá trị biên cũng được áp dụng một cách khá hoàn chỉnh vào các trường hợp thuần nhất hoặc phi tuyến của bài toán (0.1) trong các các công trình Denche và Bessila [13], Dinh Nho Hào cùng các cộng sự [21, 22], Dang Due Trong cùng các cộng sự [46] và Pham Hoang Quan cùng các cộng sự [38]. Khác với ý tưởng của phương pháp tựa đảo là thay dổi phương trình chính, phương pháp tựa giá trị biên thay dổi điều kiện cuối để đưa ra một bài toán chỉnh, với nghiệm xấp xỉ nghiệm của bài toán ban đầu.
Cụ thể, diều kiện cuối u(T) = g được thay thế bằng diều kiện eu(0) + u(T) = <7, với £ > 0. Trong một số tài liệu, phương pháp tựa giá trị biên được xem là đề xuất lần đầu tiên bôi Vabishchevich [61] vào năm 1981. Năm 2010, tác giả Dang Dưc Trong và Nguyen Huy Tưan [54] đề xuất phương pháp Fourier áp dụng 3 vào trường hợp phi tuyến của bài toán (0. Khác với phương pháp tựa đảo và phương pháp tựa giá trị biên, ý tương của.
phương pháp Fourier là loại bỏ những thông tin về nghiệm ở "tần số cao", từ đó có thể đưa ra một bài toán chính với nghiệm xấp xỉ nghiệm của bài toán gốc. Ta lưu ý rằng trong các cồng trình [21, 54], hàm nguồn phi tuyến được giả định là hàm Lipschitz toàn cục. Trường hợp hàm nguồn là hàm Lipschitz địa phirơng cũng được giải quyết trong các công trình gần đầy, tiêu biểu như công trình của các tác giả Dang Due Trong và Nguyen Huy Tuan [56], Dinh Nho Hào cùng các cộng sự trong [24, 25]. Một số phương pháp khác có thể được liệt kê như phương pháp xấp xỉ bằng hàm lọc [58], phương pháp Tikhonov [4], phương pháp nửa nhóm [3, 26, 27, 32] và phương pháp Fourier hiệu chinh [53].
Như đã đề cập ỏ trên, đối vói phương trình phản ứng khuếch tán với dạng khuếch tán địa phương, chúng tôi nghiên cứu các bài toán ngược cho phương trình nhiệt. Dây là các bài toán khá cổ điển và có khá nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khoa học kỹ thuật. Dơn củ’ như trong Dịa vật lý, chúng ta thương gặp các bài toán xác định nhiệt độ bên trong trái đất hoặc một phần nào đó bên trong trái đất tại thời điểm t từ nhiệt độ được đo đạc tại thời điểm T > t. Hoặc nhu' trong lĩnh vực tài chính, việc định giá.
một loại quyền chọn (quyền chọn mua. (call option) hoặc quyền chọn bán (put option)) theo mô hình Black-Scholes có thể được mô hình hóa bằng một bài toán ngược cho phương trình parabolic. Trong trường hệ tọa Descartes, mô hình toán học của bài toán được miêu tả như sau Ut(x, t) — Au(x, í) = F, (t, x) e [0, T) X Q, < u(x, t) = 0, t c [0, ĩ1 iX ẽ ỠQ, (0.2) jz(x,T) = ớ(rr), X e Q, vói c R và A là toán tử Laplace. Bài toán không chỉnh (0.2) nhận được rất nhiều sự quan tâm trong khoảng vài thập niên gần đây trong cả ba trường hợp: trường hợp thuần nhất (F — 0), không thuần nhất (F — F(x,t)) và phi tuyến 4 (F = F(x,t,u)).
Một số phương pháp tiêu biểu đã áp dụng thành công vào bài >■ toán (0.2) trong' các trường hợp trên có thê được liệt kê như sau: • Trong trường hợp thuần nhất F — 0: Phương pháp mollification [20], phương pháp Fourier [16], phương pháp Shannon wavelet [62], phương pháp tựa giá trị biên [60, 37], phương pháp tựa đảo kết hợp với phương pháp Euler và Crank Nicolson [44. • Trong trường hợp tuyến tính (còn gọi là trường hợp không thuần nhất) F - F(x, tỵ. Phương pháp tựa đảo [47], phương pháp Fourier [49. 35], phương pháp tựa giá trị biên [48], phương pháp thống kê phi tham số trong trường hợp dữ liệu rời rạc [34], phương pháp hàm lọc [52], phương pháp lập kết hợp với phương pháp Crank-Nicolson [43].
• Trong trường phi tuyến F = F(x,t,u); Phương pháp Fourier [55], phương pháp tựa giá trị biên [38, 46, 57], pháp phương trình tích phân [15, 59]. Trong khoảng hai thập niên gần đây, bài toán ngược thời gian cho phương trình nhiệt trong hệ tọa độ cực hoặc hệ tọa độ cầu dã bắt đầu được các nhà nghiên cứu quan tâm. Trong trường hợp này, toán tử Laplace tương ứng trong tọa độ cực (u = u (r, y?)) và tọa độ cầu (u = u (r, (/>, ớ)) được định nghĩa như sau d2u 1 du 1 ỡ2 u dr2 + r dì' ■*” r2 ớtp2 ’ (0-3) hay </ (0.4) Trong một công bố năm 2009 của Cheng và Fu [9], các tác giả nghiên cứu bài 5 toán truyền nhiệt ngược trên một đĩa tròn như sau ' du Ố~u 1 du 0 < T < ro, 0 < t < T, di dr2 r dr u(r0,t) = ữ, u(r, t) bị chặn khi r —> 0, u(r,7) = _ợ(r), 0 < r < ro. Trong bài toán này.
hàm g được giả định là một hàm đối xứng trục, tức là g chỉ phụ thuộc vào biến tọa độ bán kính r và không phụ thuộc vào tọa độ góc ip. nghiệm của bài toán (0.5) chỉ phụ thuộc vào tọa độ bán kính r và thời gian í, tức là u = u(r, t).5) là một bài toán không chỉnh, vì nghiệm (nếu tồn tại) không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu. Trong [9], các tác giả đã áp dụng phương pháp chặt cụt phổ toán tử (hay còn gọi là phương pháp chặt cụt Fourier) để dưa ra một xấp xỉ ổn dinh cho nghiệm của bài toán (0. Trong công bố này, các tác giả đã chứng minh rằng nếu như ta có điều kiện tiên nghiệm H-,0) P(|0«M - E < +00’ (0.