Nghiên cứu các phương pháp đa tỉ lệ kết cấu tấm không đồng nhất

Chuyên khảo phân tích Nghiên cứu các phương pháp đa tỉ lệ kết cấu tấm không đồng nhất, đánh giá các khía cạnh quan trọng, đề xuất hướng nghiên cứu tiếp theo.

• Tác giả: Nguyễn Hoàng Phương
• Người hướng dẫn: PGS. Nguyễn Trung Kiên
• Trường học: Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật Thành Phố Hồ Chí Minh
• Chuyên ngành: Cơ Kỹ Thuật
• Đề tài: Nghiên Cứu Phương Pháp Đa Tỉ Lệ Kết Cấu Tấm Không Đồng Nhất
• Loại tài liệu: luận án tiến sĩ
• Năm xuất bản: 2021
• Địa điểm: Hồ Chí Minh

Tóm tắt

I. Tổng Quan Nghiên Cứu Phương Pháp Đa Tỉ Lệ Kết Cấu Tấm

Nghiên cứu về phương pháp đa tỉ lệ trong phân tích kết cấu tấm không đồng nhất đang ngày càng trở nên quan trọng. Các phương pháp này cho phép mô phỏng chính xác hơn ứng xử của vật liệu và kết cấu phức tạp, đặc biệt là khi vật liệu có cấu trúc vi mô ảnh hưởng đáng kể đến tính chất vĩ mô. Luận án này tập trung vào việc phát triển và ứng dụng các phương pháp đa tỉ lệ để phân tích kết cấu tấm, bao gồm cả miền đàn hồi và ngoài miền đàn hồi. Các phương pháp này sử dụng phần tử đại diện (RVE) để mô hình hóa cấu trúc vi mô và sau đó đồng nhất hóa để thu được các tính chất vĩ mô hiệu quả. Điều này cho phép các kỹ sư thiết kế các kết cấu nhẹ hơn, mạnh hơn và bền hơn. Nghiên cứu này có ý nghĩa lớn trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật, từ hàng không vũ trụ đến xây dựng và cơ khí.

1.1. Giới Thiệu Chung Về Kết Cấu Tấm Không Đồng Nhất

Kết cấu tấm không đồng nhất là loại kết cấu mà tính chất vật liệu thay đổi theo vị trí. Điều này có thể do thành phần vật liệu thay đổi, cấu trúc vi mô thay đổi hoặc do các quá trình sản xuất. Các kết cấu này thường được sử dụng trong các ứng dụng đòi hỏi cao về hiệu suất, chẳng hạn như trong ngành hàng không vũ trụ, nơi mà việc giảm trọng lượng là rất quan trọng. Việc phân tích các kết cấu này đòi hỏi các phương pháp phức tạp hơn so với các kết cấu đồng nhất, vì cần phải tính đến sự thay đổi của tính chất vật liệu. Phương pháp đa tỉ lệ là một trong những phương pháp hiệu quả nhất để giải quyết vấn đề này.

1.2. Ứng Dụng Thực Tế Của Phương Pháp Đa Tỉ Lệ

Phương pháp đa tỉ lệ được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật. Trong ngành hàng không vũ trụ, nó được sử dụng để thiết kế các bộ phận máy bay nhẹ hơn và mạnh hơn. Trong ngành xây dựng, nó được sử dụng để thiết kế các tòa nhà cao tầng có khả năng chịu động đất tốt hơn. Trong ngành cơ khí, nó được sử dụng để thiết kế các bộ phận máy móc có tuổi thọ cao hơn. Các ứng dụng này cho thấy tiềm năng to lớn của phương pháp đa tỉ lệ trong việc cải thiện hiệu suất và độ bền của các kết cấu.

II. Thách Thức Phân Tích Kết Cấu Tấm Không Đồng Nhất

Việc phân tích kết cấu tấm không đồng nhất đặt ra nhiều thách thức đáng kể. Một trong những thách thức lớn nhất là sự phức tạp của cấu trúc vi mô. Cấu trúc vi mô có thể ảnh hưởng đáng kể đến tính chất vĩ mô của vật liệu, và việc mô hình hóa chính xác cấu trúc này là rất khó khăn. Thêm vào đó, việc tính toán các tính chất hiệu quả của vật liệu từ cấu trúc vi mô đòi hỏi các phương pháp tính toán phức tạp và tốn kém. Một thách thức khác là sự không chắc chắn trong tính chất vật liệu. Tính chất vật liệu có thể thay đổi theo vị trí và theo thời gian, và việc dự đoán chính xác sự thay đổi này là rất khó khăn. Do đó, cần có các phương pháp phân tích mạnh mẽ và đáng tin cậy để giải quyết các thách thức này.

2.1. Khó Khăn Trong Mô Hình Hóa Vật Liệu Composite

Vật liệu composite là một loại vật liệu không đồng nhất phổ biến, và việc mô hình hóa chúng đặt ra nhiều khó khăn. Các vật liệu composite thường có cấu trúc phức tạp, bao gồm nhiều pha khác nhau với các tính chất khác nhau. Việc mô hình hóa sự tương tác giữa các pha này là rất khó khăn. Thêm vào đó, các vật liệu composite thường có tính dị hướng, nghĩa là tính chất của chúng khác nhau theo các hướng khác nhau. Điều này làm cho việc phân tích chúng trở nên phức tạp hơn.

2.2. Yêu Cầu Tính Toán Lớn Của Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) là một phương pháp phổ biến để phân tích kết cấu, nhưng nó có thể đòi hỏi yêu cầu tính toán lớn, đặc biệt là khi phân tích các kết cấu phức tạp. Khi phân tích kết cấu tấm không đồng nhất bằng FEM, cần phải sử dụng một lưới phần tử rất mịn để mô hình hóa chính xác sự thay đổi của tính chất vật liệu. Điều này dẫn đến số lượng phần tử lớn và thời gian tính toán dài. Do đó, cần có các phương pháp giảm bậc tự do hiệu quả để giảm yêu cầu tính toán.

III. Phương Pháp Đa Tỉ Lệ Đàn Hồi Cho Kết Cấu Tấm Phẳng

Luận án trình bày chi tiết phương pháp đa tỉ lệ trong miền đàn hồi cho kết cấu tấm phẳng. Phương pháp này sử dụng phần tử đại diện (RVE) để mô hình hóa cấu trúc vi mô của vật liệu. Biến dạng tại một điểm vật liệu thuộc cấp độ vĩ mô được chuyển về điều kiện biên động học cho RVE. Trường chuyển vị tổng của bài toán vi mô được xấp xỉ hóa bằng phương pháp phần tử hữu hạn. Điều kiện biên tuần hoàn và tuyến tính được áp đặt thông qua mối liên hệ của chuyển vị tại các nút đối xứng và chuyển vị tại các nút góc. Kỹ thuật rút gọn bậc tự do được sử dụng nhằm khử đi các bậc tự do phụ thuộc trong điều kiện biên. Kỹ thuật đồng nhất hóa hay trung bình thể tích RVE được thực hiện nhằm xác định được các thông số của ma trận hằng số vật liệu.

3.1. Điều Kiện Biên Tuần Hoàn Và Tuyến Tính Trong RVE

Việc áp đặt điều kiện biên tuần hoàn và tuyến tính là rất quan trọng trong phương pháp đa tỉ lệ. Điều kiện biên tuần hoàn đảm bảo rằng RVE đại diện cho một phần vô hạn của vật liệu. Điều kiện biên tuyến tính cho phép mô phỏng các biến dạng đồng nhất trong RVE. Việc lựa chọn điều kiện biên phù hợp phụ thuộc vào cấu trúc vi mô của vật liệu và loại tải trọng tác dụng.

3.2. Kỹ Thuật Đồng Nhất Hóa Để Xác Định Hằng Số Vật Liệu

Kỹ thuật đồng nhất hóa là một bước quan trọng trong phương pháp đa tỉ lệ. Kỹ thuật này cho phép tính toán các tính chất hiệu quả của vật liệu từ cấu trúc vi mô. Các tính chất hiệu quả này sau đó được sử dụng để phân tích kết cấu ở cấp độ vĩ mô. Có nhiều kỹ thuật đồng nhất hóa khác nhau, và việc lựa chọn kỹ thuật phù hợp phụ thuộc vào cấu trúc vi mô của vật liệu.

3.3. Ứng Dụng Cho Vật Liệu Có Cốt Sợi Và Lỗ Rỗng

Phương pháp này được áp dụng thành công cho vật liệu composite có cốt sợi và vật liệu có lỗ rỗng. Các ví dụ số cho thấy rằng phương pháp này có thể dự đoán chính xác các tính chất hiệu quả của vật liệu. Kết quả nghiên cứu cũng cho thấy rằng cấu trúc vi mô có ảnh hưởng đáng kể đến tính chất vĩ mô của vật liệu.

IV. Mở Rộng Phương Pháp Đa Tỉ Lệ Cho Kết Cấu 3D

Nghiên cứu mở rộng phương pháp đa tỉ lệ cho kết cấu 3D. Thay vì sử dụng phần tử đại diện (RVE) hai chiều, phương pháp này sử dụng RVE ba chiều để mô hình hóa cấu trúc vi mô. Điều này cho phép mô phỏng chính xác hơn ứng xử của vật liệu và kết cấu phức tạp. Phương pháp này cũng được áp dụng cho kết cấu tấm chịu uốn, trong đó lực tác dụng vuông góc với mặt phẳng tấm. Các ví dụ số cho thấy rằng phương pháp này có thể dự đoán chính xác các tính chất hiệu quả của vật liệu và ứng xử của kết cấu.

4.1. Mô Hình Hóa Phần Tử Đại Diện Không Gian Ba Chiều

Việc mô hình hóa phần tử đại diện (RVE) ba chiều đòi hỏi nhiều tài nguyên tính toán hơn so với mô hình hóa RVE hai chiều. Tuy nhiên, nó cho phép mô phỏng chính xác hơn cấu trúc vi mô của vật liệu. Việc lựa chọn kích thước và hình dạng của RVE là rất quan trọng để đảm bảo rằng nó đại diện cho một phần vô hạn của vật liệu.

4.2. Ứng Dụng Cho Kết Cấu Tấm Nhiều Lớp Và Vật Liệu FGM

Phương pháp này được áp dụng cho kết cấu tấm nhiều lớp và vật liệu cơ lý biến thiên (FGM). Các ví dụ số cho thấy rằng phương pháp này có thể dự đoán chính xác ứng xử của các kết cấu này. Kết quả nghiên cứu cũng cho thấy rằng cấu trúc lớp và sự thay đổi của tính chất vật liệu có ảnh hưởng đáng kể đến ứng xử của kết cấu.

V. Nghiên Cứu Miền Chảy Dẻo Vật Liệu Tiêu Chuẩn Hill

Luận án nghiên cứu miền chảy dẻo cho vật liệu tuân theo tiêu chuẩn Hill. Bài toán phân tích giới hạn cho phần tử đại diện (RVE) vi mô được thực hiện nhằm xác định được các ứng suất giới hạn tại điểm vật liệu của cấp độ vĩ mô. Bài toán phân tích giới hạn được triển khai dưới dạng bài toán tối ưu hóa với hàm mục tiêu là năng lượng tiêu tán dẻo và các ràng buộc, như là điều kiện tương thích, điều kiện chuẩn hóa tổng công ngoại, điều kiện biên tuần hoàn và điều kiện trung bình hóa biến dạng cấp độ vi mô. Hàm mục tiêu, năng lượng tiêu tán dẻo, được xây dựng thông qua luật chảy dẻo kết hợp nhằm chuyển về hàm theo biến dạng.

5.1. Phân Tích Giới Hạn Động Học Cho Vật Liệu Hill

Phân tích giới hạn động học là một phương pháp hiệu quả để xác định miền chảy dẻo của vật liệu. Phương pháp này dựa trên nguyên lý công ảo và cho phép tính toán tải trọng giới hạn của kết cấu mà không cần phải giải bài toán đàn dẻo đầy đủ.

5.2. Ứng Dụng Cho Thiết Kế Dẻo Tấm Có Lỗ Và Cốt Sợi

Phương pháp này được áp dụng cho thiết kế dẻo tấm có lỗ và cốt sợi. Các ví dụ số cho thấy rằng phương pháp này có thể dự đoán chính xác tải trọng giới hạn của các kết cấu này. Kết quả nghiên cứu cũng cho thấy rằng hình dạng và kích thước của lỗ và cốt sợi có ảnh hưởng đáng kể đến tải trọng giới hạn.

VI. Miền Chảy Dẻo Vật Liệu Tiêu Chuẩn Tsai Wu Nghiên Cứu

Nghiên cứu mở rộng cho miền chảy dẻo vật liệu theo tiêu chuẩn Tsai-Wu. Tiêu chuẩn này tổng quát hơn tiêu chuẩn Hill và cho phép mô hình hóa vật liệu có khả năng chịu kéo khác khả năng chịu nén theo mỗi phương chịu lực. Bài toán phân tích giới hạn kết cấu vi mô được triển khai dưới dạng bài toán tối ưu hóa ràng buộc nón. Các hệ số của hàm tiêu chuẩn dẻo hữu hiệu dạng tiêu chuẩn dẻo Hill và Tsai-Wu được ước lượng thông qua kỹ thuật bình phương cực tiểu.

6.1. Phân Tích Giới Hạn Kết Cấu Vi Mô Tsai Wu

Việc phân tích giới hạn kết cấu vi mô theo tiêu chuẩn Tsai-Wu phức tạp hơn so với tiêu chuẩn Hill do hàm tiêu chuẩn dẻo phức tạp hơn. Tuy nhiên, nó cho phép mô hình hóa chính xác hơn ứng xử của vật liệu có khả năng chịu kéo khác khả năng chịu nén.

6.2. Ứng Dụng Cho Hỗn Hợp Gia Cường Cốt Sợi Và Lỗ Rỗng

Phương pháp này được áp dụng cho hỗn hợp gia cường cốt sợi và vật liệu có lỗ rỗng. Các ví dụ số cho thấy rằng phương pháp này có thể dự đoán chính xác miền chảy dẻo của các vật liệu này. Kết quả nghiên cứu cũng cho thấy rằng cấu trúc vi mô có ảnh hưởng đáng kể đến miền chảy dẻo.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1 Tổng quan 1.1 Giới thiệu Với sự tiến bộ khoa học kỹ thuật ngày càng mạnh mẽ, các vật liệu mới với cấu trúc phức tạp được sử dụng ngày càng rộng rãi. Việc trộn lẫn các vật liệu khác nhau nhằm tận dụng được các thuộc tính có lợi ngày càng trở nên phổ biến. Điều này có thể tạo ra những vật liệu có khả năng chịu va đập, mài mòn, nhiệt độ để làm việc trong các môi trường đặc biệt. Vật liệu trong tự nhiên và nhân tạo nói chung được xem là đa tỉ lệ, bởi vì cấu trúc cấp độ lớn được cấu tạo từ các cấu trúc cấp độ nhỏ hơn.

Phương pháp tính toán đa tỉ lệ được xây dựng nhằm xem xét mối liên hệ giữa hai cấp độ, cấp độ vi mô và cấp độ vĩ mô. Tính toán đồng nhất hóa đạt được hiệu quả khi xem xét trung bình tổng thể thay vì tính toán từng kết cấu vi mô đơn lẻ. Mô hình bài toán vi mô thường có kết cấu phức tạp về hình dáng, thành phần và sự phân bố các pha vật liệu khác nhau. Điều này ảnh hưởng mạnh mẽ đến quá trình mô phỏng vật liệu có kết cấu phức tạp như là dữ liệu bị quá tải và khó xuất ra thông tin mong muốn.

Phương pháp đa tỉ lệ có thể giải quyết được vấn đề này bằng cách tận dụng sự chính xác của kết cấu vi mô và sự hiệu quả của các bài toán đồng nhất quen thuộc. Phương pháp đạt được hiệu quả trong việc giảm khối lượng tính toán và đồng thời cung cấp độ chính xác mong muốn. Đặc biệt khi xét về kết cấu tấm, các lý thuyết tấm nhiều lớp (laminate plate theory) hoặc “the rule of mixture” thường được sử dụng để kể đến sự phức tạp theo chiều dày tấm khi xác định các thuộc tính hữu hiệu cho kết cấu tấm. Nhưng việc tính toán sẽ gặp khó khăn trong việc mô phỏng cấu tạo phức tạp trên toàn bộ kết cấu.

Điều này có thể được giải quyết bằng cách sử dụng một phần tử đại diện cho tấm không đồng nhất.2 Tổng quan các hướng nghiên cứu 1.1 Phương pháp đa tỉ lệ trong miền đàn hồi Đầu tiên, phương pháp cận và ước lượng khác được trình bày bởi Voigt [1] và Reuss [2]. Tiếp theo là nghiên cứu của Hashin và Shtrikman [3]. Nghiên cứu tính toán cận cho kết cấu tấm được phát triển bởi Kolpakov và các cộng sự [4, 5]. Bên cạnh đó, mô hình bài toán vi mô dựa trên FFT được đưa ra bởi Moulinec và Suquet [6].

Ngoài ra, phương pháp Voronoi Cell Finite Element Method (VCFEM) được đề xuất bởi Ghosh [7] và phương pháp đa tỉ lệ sử dụng FE2 bởi Feyel [8] Phương pháp cận Trong những thập kỉ gần đây, một khối lượng lớn các bài báo được phát triển nhằm giải quyết kĩ thuật mô hình cơ học vi mô của vật liệu không đồng nhất. Xa hơn nữa, các thuộc tính hữu hiệu của vật liệu vi mô được quan tâm. Các hướng tiếp cận được chia ra thành hai mảng lớn, thông số đàn hồi hữu hiệu và thông số dẻo hữu hiệu. Khi xem xét hỗn hợp với ứng xử tuyến tính, trường hợp cấu trúc vi mô tuần hoàn thì có thể xác định một cách chính xác các thông số đàn hồi hữu hiệu của hỗn hợp.

Trường hợp cấu trúc vi mô phân bố ngẫu nhiên thì thuộc tính hữu hiệu không thể được xác định một cách chính xác. Phương pháp cận được áp dụng để xác định biên độ dao động của ứng xử hữu hiệu. Điều này phụ thuộc vào các thông số của kết cấu vi mô, như là tỉ lệ thể tích của cốt liệu trong vật liệu nền và sự khác biệt về thuộc tính của vật liệu nền và vật liệu gia cường. Để thực hiện được điều này, rất nhiều phương pháp đồng nhất hóa đã được đề xuất.

Nghiên cứu đầu tiên của Voight [1] và Reuss [2] về tính toán biên cứng cho mô đun đàn hồi của vật liệu hỗn hợp theo tỉ lệ thể tích. Vài thập kỉ sau, Hashin và Shtrikman [3] đã trình bày phương pháp khai triển bậc hai dựa trên nguyên lý biến phân. Phương pháp cận chịu ảnh hưởng lớn bởi kích thước mẫu đại diện và chỉ được kiểm chứng khi vật thể được giả thiết là vô cùng lớn so với mẫu đại diện. Phương pháp nguyên lý biến phân tổng quát của Washizu [9] đã áp dụng trong bài toán phi tuyến, phương pháp tính toán tổng thể - cục bộ có thể được hợp nhất với sự hỗ trợ của chương trình đồng nhất hóa cho bài toán phi tuyến tổng quát.

Terada và Kukichi [10] đã đề xuất thuật toán mô phỏng hai cấp độ cho việc phân tích vật liệu không đồng nhất có cấu trúc vi mô tuần hoàn bằng cách sử dụng phát 2 biểu biến phân. Sau đó, những nghiên cứu [11–13] và [14] đã được phát triển nhằm xác định mô đun đàn hồi hữu hiệu cho vật liệu đa tinh thể dị hướng. Việc áp dụng cho kết cấu tấm chịu uốn không đồng nhất đã được thực hiện bởi Kolpakov và các cộng sự [4, 5] (hiệu chỉnh cận của Voigt and Reuss); Nguyen và các cộng sự (hiệu chỉnh cận của Hashin-Shtrikman) [15]. Tuy nhiên nhược điểm của phương pháp cận là biên độ dao động lớn khi hai pha vật liệu có sự khác biệt lớn, chưa kể đến ảnh hưởng của hình học của các pha vật liệu vi mô.

Phương pháp xấp xỉ chuỗi Walker và các cộng sự [16] sử dụng giả thuyết kết cấu vi mô tuần hoàn với xấp xỉ chuỗi Fourier để phân tích ứng xử phi tuyến nhớt dẻo của vật liệu hỗn hợp cốt sợi. Các Cell đơn vị được rời rạc hóa thành các phần tử tam giác. Trong mỗi bước gia tải tổng biến dạng tại mỗi điểm được chi phối bởi phương trình tích phân. Trường biến dạng và trường ứng suất trong vòng lặp cell đơn vị được bao gồm việc sử dụng xấp xỉ chuỗi Fourier.

Các tác giả đã trình bày rằng bài toán có thể được viết bằng cách sử dụng tiếp cận công thức Green, một phương pháp tổng quát vì nó không cần giả thuyết tuần hoàn, và cho điều này thì độ chính xác số hội tụ một cách nhanh chóng. Fotiu và Nemat [17] đã sử dụng xấp xỉ chuỗi Fourier để ước lượng tính chất của vật liệu hỗn hợp tuần hoàn đàn nhớt dẻo trong giả thiết về sự phân bố của nhân. Các nghiên cứu được thực hiện với mô hình không gian ba chiều cũng như các bài toán ứng suất phẳng và biến dạng phẳng. Để tránh sự khó khăn của việc tạo lưới phần tử trong trường hợp cấu trúc vi mô phức tạp khi giải các bài toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn, và để lấy trực tiếp bằng cách sử dụng hình ảnh cấu trúc vi mô của vật liệu không đồng nhất, Moulinec và suquet [6, 18] đã đưa ra trong một phương pháp thay thế dựa trên khai triển chuỗi Fast Fourier Transforms (FFT).

Thuật toán FFT yêu cầu dữ liệu mẫu trong một lưới của không gian đều, mà cho phép sử dụng trực tiếp hình ảnh của cấu trúc vi mô. Phương pháp này có ba điểm thuận lợi. Đầu tiên là hình ảnh của kết cấu vi mô có thể được sử dụng trực tiếp để phân tích, điều này tránh việc mesh lưới cho kết cấu vi mô. Tiếp theo là chương trình vòng lặp không yêu cầu thông tin của một ma trận độ cứng.

Cuối cùng là sự hội tụ nhanh. So sánh kết quả giữa phần tử hữu hạn và phương pháp FFT được thể hiện trong nghiên cứu của Bary [19, 20] với phần tử đại diện ba chiều cho vật liệu bê tông. Bên cạnh đó thì có các điểm giới hạn như sau sự hội tụ có thể không đảm bảo khi xem xét vật liệu có lổ trống hay có cốt hạt. Để có thể áp dụng phương pháp này cho trường hợp các pha vật liệu chênh lệch 3 lớn về ứng xử cơ học, Eyre và Milton [21] phát triển chương trình bởi giới thiệu một thuật gia tốc.

Tốc độ hội tụ được cải thiện với khai triển hàm bậc hai với biến là các thông số đàn hồi của các pha vật liệu nhưng vẫn không áp dụng được cho vật liệu lỗ rỗng. Một phương pháp thay thế dựa trên Lagrangians bổ sung và phép biến đổi Fourier đã được đưa ra sau đó qua bài báo của Michel và các cộng sự [22] đã giải quyết được bài toán cho vật liệu lỗ rỗng. Mở rộng cho kết cấu tấm tuần hoàn được thực hiện bởi [23]. Phương pháp miền phần tử Voronoi (VCFEM) Một trong những phân tích đầu tiên sử dụng tính toán tổng thể và cục bộ được thực hiện bởi Ghosh và các cộng sự [24, 25] với Voronoi Cell Finite Element Method (VCFEM).

Trong phương pháp này, mỗi miền đa giác của một Cell trở thành một phần tử đại diện. Điều này là một phát triển về việc phân chia không gian, miền đa giác được giới hạn bởi tập hợp các điểm, bằng cách đó mà một điểm được hỗ trợ bởi một miền cách biệt giữa các điểm khác. Vùng được chia này được gọi là Voronoi Cell. Những Cell này có thể được xác định với một phần tử cơ bản trong kết cấu vi mô không đồng nhất.

Chúng đại diện vùng của sự ảnh hưởng tức thì cho mỗi sự không đồng nhất và cũng xác định vùng lân cận bởi các mặt của cell. Các điểm hạt nhân được thay thế bằng sự không đồng nhất với hình dạng, kích thước và hướng chính. Việc rời rạc hóa có thể kể đến những đặc tính này và tránh sự giao cắt của biên voronoi với sự không đồng nhất của miền vật liệu. Một kỹ thuật chia lưới với hình dạng đa giác bất kỳ, kích thước và sự phân bố không gian của hạt nhân được giới thiệu bởi Ghosh và Mulkopadhyay [24].

Lưới tổ ong của phần tử vật liệu đại diện cấp độ vi mô rời rạc hóa miền thành tập hợp các đa giác voronoi hoặc cells. Mỗi cell Voronoi bao gồm hai pha vật liệu là vật liệu nền và vật liệu cốt hạt. Hướng tiếp cận này đã được phát triển để xử lý một cách trực tiếp vật liệu hai pha dạng đa giác như phần tử trong mô hình phần tử hữu hạn của Gosh và Mulkopadhyay [24] cho trường hợp đàn hồi tuyến tính. Phương pháp đa tỉ lệ phần tử hữu hạn (FE2 ) Phân tích vật liệu không đồng nhất tuần hoàn với một phần tử thể tích đại diện (RVE) sử dụng phần tử hữu hạn đang thu hút sự chú ý của các nhà nghiên cứu trong thời gian gần đây.

Khối lượng lớn các nghiên cứu về quan hệ cấp độ vi mô và vĩ mô đã được phát triển.