Luận án tiến sĩ về phép biến đổi tích phân kiểu Hartley và ứng dụng trong toán học

Luận án tiến sĩ nghiên cứu toán học phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng hartley và ứng dụng, phát triển phương pháp mới, đánh giá hiệu quả ứng dụng trong lĩnh vực toán

• Tác giả: Hoàng Thị Vân Anh
• Người hướng dẫn: PGS. Nguyễn Xuân Thảo
• Trường học: Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
• Chuyên ngành: Toán giải tích
• Đề tài: Phép Biến Đổi Tích Phân Kiểu Tích Chập Suy Rộng Hartley Và Ứng Dụng
• Loại tài liệu: luận án tiến sĩ toán học
• Năm xuất bản: 2016
• Địa điểm: Hà Nội

Tóm tắt

I. Tổng quan về phép biến đổi tích phân Hartley

Phép biến đổi tích phân Hartley, được phát triển bởi R. Hartley vào năm 1942, đã trở thành một công cụ quan trọng trong nhiều lĩnh vực như xử lý tín hiệu, xử lý ảnh và âm thanh. Phép biến đổi tích phân này có khả năng chuyển đổi từ hàm thực sang hàm thực, điều này mang lại lợi thế so với phép biến đổi Fourier, vốn chuyển đổi hàm thực thành hàm phức. Đặc điểm nổi bật của biến đổi Hartley là tính đối xứng, giúp đơn giản hóa nhiều tính toán trong ứng dụng thực tiễn. Theo nghiên cứu, phép biến đổi Hartley có thể được định nghĩa như sau: Z∞ 1 (H1 f)(y) = √ f(x) cas(xy)dx, trong đó cas(u) = cos(u) + sin(u). Điều này cho thấy mối liên hệ chặt chẽ giữa phép biến đổi Hartley và các phép biến đổi tích phân khác, mở ra hướng nghiên cứu mới cho các ứng dụng trong toán học.

1.1. Tính chất của phép biến đổi Hartley

Các tính chất của phép biến đổi Hartley được nghiên cứu kỹ lưỡng, bao gồm tính chất tuyến tính, tính bị chặn và tính đối xứng. Những tính chất này không chỉ giúp khẳng định vị trí của biến đổi Hartley trong lý thuyết toán học mà còn mở rộng khả năng ứng dụng của nó trong các bài toán thực tiễn. Đặc biệt, tính bị chặn của toán tử vi-tích phân liên quan đến phép biến đổi Hartley đã được chứng minh, cho thấy rằng nó có thể được sử dụng để giải quyết các phương trình vi phân và tích phân phức tạp. Nghiên cứu gần đây cũng chỉ ra rằng phép biến đổi Hartley có thể được áp dụng trong các lĩnh vực như xử lý tín hiệu và hình ảnh, nơi mà việc xử lý dữ liệu thực là rất quan trọng.

II. Ứng dụng của phép biến đổi tích phân Hartley trong toán học

Ứng dụng của phép biến đổi tích phân Hartley trong toán học rất đa dạng, từ việc giải các phương trình vi phân đến các bài toán trong lý thuyết xác suất. Một trong những ứng dụng nổi bật là trong việc giải quyết các bài toán Dirichlet và Cauchy cho các phương trình truyền nhiệt. Các nghiên cứu đã chỉ ra rằng biến đổi Hartley có thể giúp đơn giản hóa quá trình tính toán và nâng cao độ chính xác của các kết quả. Hơn nữa, phép biến đổi Hartley cũng được sử dụng để phát triển các bất đẳng thức tích chập suy rộng, mở ra hướng nghiên cứu mới cho các nhà toán học. Những ứng dụng này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có ý nghĩa thực tiễn trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật.

2.1. Bất đẳng thức tích chập suy rộng Hartley

Bất đẳng thức tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Hartley đã được nghiên cứu và phát triển, với mục tiêu cung cấp các công cụ mạnh mẽ để đánh giá nghiệm của các phương trình vi phân và tích phân. Các bất đẳng thức này không chỉ giúp đơn giản hóa quá trình tính toán mà còn mở rộng khả năng ứng dụng của biến đổi Hartley trong các bài toán thực tiễn. Nghiên cứu gần đây đã chỉ ra rằng các bất đẳng thức kiểu Young và Saitoh có thể được áp dụng cho phép biến đổi Hartley, từ đó tạo ra những kết quả mới trong lý thuyết và ứng dụng. Điều này cho thấy rằng phép biến đổi Hartley không chỉ là một công cụ lý thuyết mà còn là một phần quan trọng trong nghiên cứu ứng dụng toán học.

III. Kết luận và hướng nghiên cứu tiếp theo

Nghiên cứu về phép biến đổi tích phân Hartley đã mở ra nhiều hướng đi mới trong toán học, đặc biệt là trong lĩnh vực xử lý tín hiệu và hình ảnh. Các ứng dụng của nó trong việc giải quyết các bài toán thực tiễn đã chứng minh giá trị của biến đổi Hartley trong nghiên cứu toán học hiện đại. Hướng nghiên cứu tiếp theo có thể tập trung vào việc phát triển các bất đẳng thức mới và mở rộng ứng dụng của phép biến đổi Hartley trong các lĩnh vực khác nhau. Việc nghiên cứu sâu hơn về tích chập suy rộng và các ứng dụng của nó sẽ giúp làm phong phú thêm lý thuyết và ứng dụng của phép biến đổi Hartley, từ đó đóng góp vào sự phát triển của toán học và các ngành khoa học liên quan.

3.1. Đề xuất hướng nghiên cứu mới

Đề xuất hướng nghiên cứu mới có thể bao gồm việc khám phá các ứng dụng của phép biến đổi Hartley trong các lĩnh vực như học máy và trí tuệ nhân tạo. Việc áp dụng biến đổi Hartley trong các mô hình học sâu có thể mang lại những kết quả thú vị và hữu ích. Hơn nữa, nghiên cứu về các bất đẳng thức tích chập suy rộng có thể mở ra những cơ hội mới trong việc giải quyết các bài toán phức tạp trong toán học. Những nghiên cứu này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có thể tạo ra những ứng dụng thực tiễn trong công nghệ và khoa học.

Trích đoạn nội dung tài liệu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI −−−−−−−−− HOÀNG THỊ VÂN ANH PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP SUY RỘNG HARTLEY VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 62460102 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. NGUYỄN XUÂN THẢO Hà Nội - 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, dưới sự hướng dẫn của PGS. Nguyễn Xuân Thảo. Các kết quả trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trong các công trình của các tác giả khác.

Cán bộ hướng dẫn Tác giả PGS. Nguyễn Xuân Thảo Hoàng Thị Vân Anh LỜI CẢM ƠN Luận án được nghiên cứu và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS. Nguyễn Xuân Thảo, người luôn quan tâm, động viên và chỉ dẫn tác giả trong nghiên cứu khoa học. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và sự quý mến đối với thầy.

Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các giáo sư, các thầy-cô và các đồng nghiệp trong seminar Giải tích - Đại số, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên-ĐHQGHN, seminar Giải tích, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội. Những ý kiến của các giáo sư và các đồng nghiệp tham dự các semina này đã giúp tác giả trưởng thành hơn trong nghiên cứu khoa học. Đặc biệt, những động viên, nhận xét quý báu và ý kiến đóng góp sâu sắc của GS. Nguyễn Văn Mậu, PGS.

Trần Huy Hổ, PGS. Nguyễn Thủy Thanh, PGS. Hà Tiến Ngoạn, TS. Nguyễn Văn Ngọc, PGS.

Trịnh Tuân, TS. Nguyễn Thanh Hồng, TS. Nguyễn Minh Khoa, TS. Nguyễn Hữu Thọ,.

là những kinh nghiệm quý báu để tác giả hoàn thành luận án một cách thuận lợi. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến các thầy cô trong Bộ môn Toán cơ bản, Ban lãnh đạo và các thầy cô, các đồng nghiệp của Viện Toán Ứng dụng và Tin học đã tạo một môi trường học tập và nghiên cứu thuận lợi giúp tác giả hoành thành luận án này. Tác giả xin chân thành cảm ơn sự quan tâm và chỉ dẫn tận tình về các thủ tục hành chính của Lãnh đạo và các anh chị công tác tại viện Sau đại học, trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội. Tác giả xin bày tỏ lòng ngưỡng mộ và biết ơn sâu sắc đến GS.

Vũ Kim Tuấn, trường Đại học West Georgia, Carrollton, GA 30118, USA, người đã luôn có những chỉ dẫn, góp ý chân thành và sâu sắc trong quá trình nghiên cứu khoa học và hoàn thành luận án của tác giả. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Ban giám hiệu, các phòng ban và các đồng nghiệp của Trường Cao đẳng Công nghiệp Thực phẩm đã khuyến khích, động viên và tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập, nghiên cứu, công tác và hoàn thành luận án. Gia đình luôn là động lực to lớn đối với tác giả. Công sức và sự động viên của đại gia đình là những đóng góp thiêng liêng đã gián tiếp giúp tác giả vượt 3 qua nhiều thử thách để hoàn thành luận án.

Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến bố mẹ, chồng, hai con trai và anh em hai bên nội - ngoại. Tác giả −4− MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN. 5 CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 24 1.1 Tích chập và tích chập suy rộng .1 Một số tích chập đã biết .2 Tích chập suy rộng .3 Một số định lý quan trọng .2 Bất đẳng thức tích chập .1 Các bất đẳng thức tích phân trong không gian .2 Bất đẳng thức tích chập .3 Một số hàm đặc biệt.

TÍCH CHẬP SUY RỘNG HARTLEY 37 2.1 Tích chập suy rộng Hartley-Fourier sine .1 Định nghĩa và các tính chất .2 Tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Hartley 45 2.2 Tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine .1 Định nghĩa và các tính chất .2 Phương trình và hệ phương trình Toeplitz-Hankel. BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH CHẬP SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG 72 3.1 Bất đẳng thức kiểu Hausdorff - Young .2 Bất đẳng thức tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine .3 Bất đẳng thức tích chập suy rộng Hartley-Fourier sine .1 Phương trình tích phân kiểu Toeplitz-Hankel .2 Phương trình vi phân .3 Bài toán Dirichlet trên nửa mặt phẳng .4 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt. PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP SUY RỘNG HARTLEY 95 4.1 Các tính chất toán tử .1 Định lý kiểu Watson .2 Định lý kiểu Plancherel .3 Tính bị chặn của toán tử vi-tích phân .1 Phương trình vi-tích phân .2 Phương trình parabolic tuyến tính .3 Hệ phương trình vi-tích phân. 117 KIẾN NGHỊ HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO.

118 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN. 119 TÀI LIỆU THAM KHẢO. 120 −6− CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN a. Kí hiệu tích chập, tích chập suy rộng và phép biến đổi tích phân Các tích chập, tích chập suy rộng • (· ∗ ·) là tích chập đối với phép biến đổi Fourier.

F • (· ∗ ·) là tích chập đối với phép biến đổi Laplace. L • (· ∗ ·) là tích chập đối với phép biến đổi Fourier cosine. Fc • (· ∗ ·) là tích chập đối với phép biến đổi Fourier sine. Fs • (· ∗ ·), (· ∗ ·), (· ∗ ·) là tích chập, các tích chập suy rộng đối với các phép H H11 H12 biến đổi tích Hartley.

• (· ∗ ·) là tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi Fourier sine và Fs Fc Fourier cosine. γ • (· ∗ ·) là tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = sin y đối với các phép Fc Fc biến đổi Fourier sine và Fourier cosine. • (· ∗ ·) là tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi Fourier cosine và Fs Fs sine. • (· ∗ ·) là tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi Hartley, Fourier.

HF • (· ∗ ·) là tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi Hartley, Fourier sine. 1 • (·∗ ·) là tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi Hartley, Fourier cosine. 2 Các phép biến đổi tích phân • Phép biến đổi cosine, phép biến đổi sine Z∞ 1 (Tc f )(y) := √ f (x) cos(xy) dx, y ∈ R, 2π −∞ Z∞ 1 (Ts f )(y) := √ f (x) sin(xy) dx, y ∈ R. 2π −∞ 7 • Phép biến đổi Hartley Z∞ 1 (H1 f )(y) = √ f (x) cas(xy)dx, 2π −∞ ∞ 1 Z (H2 f )(y) = √ f (x) cas(−xy)dx, 2π −∞ trong đó cas u := cos u + sin u là nhân của phép biến đổi tích phân Hartley.

• Phép biến đổi Fourier Z∞ 1 (F f )(x) = √ e−ixy f (y)dy, y ∈ R. 2π −∞ • Phép biến đổi Fourier ngược Z∞ 1 (F −1 g)(x) = √ eixy g(y)dy, y ∈ R. 2π −∞ • Phép biến đổi Fourier cosine r Z∞ 2 (Fc f )(y) = f (x) cos(xy) dx, y ∈ R+. π 0 • Phép biến đổi Fourier cosine ngược r Z∞ 2 (Fc−1 g)(x) = g(y) cos(xy) dy, y ∈ R+.

π 0 • Phép biến đổi Fourier sine r Z∞ 2 (Fs f )(y) = f (x) sin(xy) dx, y ∈ R+. π 0 −8− • Phép biến đổi Fourier sine ngược r Z∞ 2 (Fs−1 g)(x) = g(y) sin(xy) dy, y ∈ R+. π 0 • Th , Th−1 là phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine và phép biến đổi ngược của nó  d2  (Th f )(x) := 1 − 2 (h ∗ f )(x), dx 2  −1   d2  f (x) = Th g (x) := 1 − 2 (h ∗ g)(x). dx 2 • Tk , Tk−1 là phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley-Fourier sine và phép biến đổi ngược của nó  d2  (Tk f )(x) := 1 − 2 (k ∗ f )(x), dx 1  −1   d2  f (x) = Tk g (x) := 1 − 2 (k ∗ g)(x).

Các không gian hàm • R+ = {x ∈ R, x > 0}. 0 • kf kLp (R+ ) là chuẩn của hàm f trong không gian Lp (R+ ), xác định bởi  Z∞  p1 p kf kLp (R+ ) := |f (x)| dx. 0 • kf kLp (R) là chuẩn của hàm f trong không gian Lp (R), xác định bởi  Z∞  p1 p kf kLp (R) := |f (x)| dx. R • Lp (R+ , ρ), 1 6 p < ∞ là tập hợp các hàm số f (x) xác định trên R+ sao cho Z∞ |f (x)|p ρ(x)dx < ∞, 0 trong đó ρ là một hàm trọng dương.

• kf kLp (R+ ,ρ) là chuẩn của hàm f trong không gian Lp (R+ , ρ), xác định bởi  Z∞  p1 p kf kLp (R+ ,ρ) := |f (x)| ρ(x)dx. α,β,γ • kf kLα,β,γ p (R) là chuẩn của hàm f trong không gian Lp (R), xác định bởi  ∞ 1/p Z γ kf kLα,β,γ p (R) :=  |f (x)|p |x|α e−β|x| dx. Các hàm đặc biệt • Erf(z), Erfi(z) tương ứng là hàm sai số (error function) và hàm sai số ảo (imaginary error function). • Γ(z) là hàm Gamma.

• Gm,np,q (·) là hàm Meijer G. • Jα (x), Yα (x) tương ứng là hàm Bessel loại một, hàm Bessel loại hai. • Iα (z), Kα (z) là các hàm Bessel suy biến. • pF q(a; b; z) là hàm siêu bội suy rộng.

Tổng quan về hướng nghiên cứu và lí do chọn đề tài Phép biến đổi tích phân Phép biến đổi tích phân ra đời rất sớm và có vai trò quan trọng trong lý thuyết cũng như trong ứng dụng đối với nhiều ngành khoa học, đặc biệt là các ngành Vật lý như: quang học, điện, cơ học lượng tử, xử lý âm thanh, xử lý ảnh,. Phép biến đổi tích phân đầu tiên được nghiên cứu xuất phát từ bài toán thực tế, khi Fourier J. nghiên cứu về quá trình truyền nhiệt, phép biến đổi này có dạng (xem [46]) Z∞ 1 (F f )(x) = √ e−ixy f (y)dy, y ∈ R, f ∈ L1 (R).1) 2π −∞ Nếu như phép biến đổi tích phân Fourier ra đời nhằm mục đích giải quyết vấn đề về bài toán truyền nhiệt, thì các phép biến đổi tích phân như Laplace, Mellin, Hankel,. ra đời với mục đích nghiên cứu và giải quyết lớp phương trình vi tích phân hay phương trình đạo hàm riêng, các phương trình này xuất phát từ những bài toán thực tiễn trong vật lý, cơ học, địa lý hay trong hải dương học.

Năm 1942, phép biến đổi tích phân Hartley đã được đề xuất như một thay thế cho phép biến đổi Fourier bởi tác giả Hartley R.