Nghiên Cứu Nội Lực Và Chuyển Vị Của Dầm Sử Dụng Phương Pháp Sai Phân Hữu Hạn

Luận văn nghiên cứu nội lực và chuyển vị của dầm bằng phương pháp sai phân hữu hạn, phân tích hiệu quả ứng dụng trong kỹ thuật xây dựng.

• Tác giả: Trịnh Hiếu Đông
• Người hướng dẫn: TS. Phạm Văn Đạt
• Trường học: Trường Đại Học Dân Lập Hải Phòng
• Chuyên ngành: Kỹ Thuật Xây Dựng Công Trình Dân Dụng & Công Nghiệp
• Đề tài: Nghiên Cứu Nội Lực Và Chuyển Vị Của Dầm Bằng Phương Pháp Sai Phân Hữu Hạn
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ kỹ thuật
• Năm xuất bản: 2018
• Địa điểm: Hải Phòng

Mục lục chi tiết

• LỜI CAM ĐOAN
• 1. CHƯƠNG 1: CÁC NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN THƯỜNG DÙNG TRONG CƠ HỌC
• 1.1. Phép tính biến phân
• 1.2. Nguyên lý thế năng biến dạng tối thiểu
• 1.3. Nguyên lý công bù cực đại
• 1.4. Nguyên lý công ảo
• 1.5. Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss
• 1.6. Cơ học chất điểm
• 2. CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT DẦM CHỊU UỐN
• 2.1. Lý thuyết dầm Euler – Bernoulli
• 2.2. Dầm chịu uốn thuần túy phẳng
• 2.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng
• 2.4. Lý thuyết dầm xét biến dạng trượt ngang
• 2.5. PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN TÍNH TOÁN DẦM CHỊU UỐN
• 2.5.1. Phương pháp sai phân hữu hạn
• 2.5.2. Biểu diễn đạo hàm các cấp bằng phương pháp sai phân hữu hạn
• 2.5.3. Biểu diễn đạo hàm bằng parabôn nội suy
• 2.5.4. Biểu diễn đạo hàm bằng phép triển khai Taylor
• 2.5.5. Sai phân lùi (sai phân lệch trái)
• 2.5.6. Sai phân tiến
• 2.5.7. Sai phân trung tâm
• 2.5.8. Sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn tính toán dầm chịu uốn có các điều kiện biên khác nhau
• 2.5.9. Phương trình vi phân cân bằng của dầm
• 2.5.10. Các bước thực hiện
• 2.5.11. Các ví dụ tính toán
• KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Giới thiệu về nội lực và chuyển vị dầm

Nghiên cứu nội lực và chuyển vị của dầm là một phần quan trọng trong lĩnh vực kỹ thuật xây dựng. Việc tính toán chính xác các yếu tố này giúp đảm bảo an toàn và hiệu quả cho các công trình. Trong bối cảnh hiện đại, phương pháp sai phân hữu hạn đã trở thành một công cụ hữu ích trong việc giải quyết các bài toán phức tạp liên quan đến nội lực và chuyển vị. Phương pháp này cho phép mô hình hóa các điều kiện biên và tải trọng khác nhau, từ đó đưa ra các giải pháp tối ưu cho thiết kế kết cấu.

1.1. Tầm quan trọng của việc nghiên cứu nội lực

Nội lực trong dầm ảnh hưởng trực tiếp đến khả năng chịu tải và độ bền của kết cấu. Việc hiểu rõ về nội lực giúp kỹ sư thiết kế các kết cấu an toàn và hiệu quả. Các phương pháp truyền thống thường gặp khó khăn trong việc tính toán chính xác nội lực trong các trường hợp phức tạp. Do đó, việc áp dụng phương pháp sai phân hữu hạn là cần thiết để cải thiện độ chính xác và tính khả thi trong thiết kế.

1.2. Chuyển vị và ảnh hưởng của nó đến kết cấu

Chuyển vị của dầm là một yếu tố quan trọng trong việc đánh giá độ ổn định và an toàn của kết cấu. Khi dầm chịu tác dụng của tải trọng, chuyển vị có thể dẫn đến các hiện tượng như nứt, gãy hoặc biến dạng không mong muốn. Việc tính toán chính xác chuyển vị giúp kỹ sư dự đoán và phòng ngừa các sự cố có thể xảy ra trong quá trình sử dụng. Phương pháp sai phân hữu hạn cho phép mô phỏng và phân tích chuyển vị một cách hiệu quả, từ đó đưa ra các giải pháp thiết kế hợp lý.

II. Phương pháp sai phân hữu hạn trong tính toán

Phương pháp sai phân hữu hạn là một trong những phương pháp số phổ biến nhất trong lĩnh vực kỹ thuật xây dựng. Phương pháp này cho phép chuyển đổi các phương trình vi phân thành các phương trình đại số, từ đó dễ dàng giải quyết các bài toán phức tạp. Việc áp dụng phương pháp này trong tính toán nội lực và chuyển vị của dầm giúp tăng cường độ chính xác và hiệu quả trong thiết kế kết cấu.

2.1. Nguyên lý hoạt động của phương pháp sai phân hữu hạn

Phương pháp sai phân hữu hạn hoạt động dựa trên nguyên lý chia nhỏ miền tính toán thành các phần tử nhỏ hơn. Mỗi phần tử này được mô hình hóa bằng các phương trình vi phân. Sau đó, các phương trình này được giải bằng cách sử dụng các phương pháp số, cho phép tính toán nội lực và chuyển vị một cách chính xác. Việc sử dụng phương pháp này giúp giảm thiểu sai số và tăng cường khả năng dự đoán hành vi của kết cấu dưới tác động của tải trọng.

2.2. Ứng dụng thực tiễn của phương pháp

Phương pháp sai phân hữu hạn đã được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau, từ thiết kế cầu, nhà cao tầng đến các công trình dân dụng và công nghiệp. Việc sử dụng phương pháp này không chỉ giúp cải thiện độ chính xác trong tính toán mà còn tiết kiệm thời gian và chi phí. Các kỹ sư có thể dễ dàng mô phỏng các điều kiện biên khác nhau và phân tích ảnh hưởng của chúng đến nội lực và chuyển vị của dầm, từ đó đưa ra các giải pháp tối ưu cho thiết kế.

III. Kết luận và kiến nghị

Nghiên cứu về nội lực và chuyển vị của dầm bằng phương pháp sai phân hữu hạn đã chứng minh được tính hiệu quả và độ chính xác cao trong việc giải quyết các bài toán phức tạp trong kỹ thuật xây dựng. Việc áp dụng phương pháp này không chỉ giúp cải thiện chất lượng thiết kế mà còn đảm bảo an toàn cho các công trình. Cần tiếp tục nghiên cứu và phát triển các ứng dụng của phương pháp này trong các lĩnh vực khác nhau để nâng cao hiệu quả và độ tin cậy trong tính toán kết cấu.

3.1. Đề xuất nghiên cứu tiếp theo

Cần mở rộng nghiên cứu về các ứng dụng của phương pháp sai phân hữu hạn trong các loại kết cấu khác nhau, đặc biệt là trong các điều kiện tải trọng phức tạp. Việc phát triển các phần mềm tính toán dựa trên phương pháp này sẽ giúp các kỹ sư dễ dàng áp dụng trong thực tiễn.

3.2. Tăng cường đào tạo và ứng dụng

Cần tăng cường đào tạo cho các kỹ sư về phương pháp sai phân hữu hạn và các công cụ tính toán hiện đại. Việc này sẽ giúp nâng cao năng lực chuyên môn và khả năng ứng dụng các phương pháp số trong thiết kế kết cấu, từ đó cải thiện chất lượng công trình.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Trong lĩnh vực kỹ thuật xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp, việc tính toán nội lực và chuyển vị của dầm chịu tải trọng tĩnh là một vấn đề quan trọng nhằm đảm bảo an toàn và hiệu quả kết cấu. Theo ước tính, các kết cấu dầm trong công trình thường phải chịu các tải trọng phức tạp với điều kiện biên đa dạng, đòi hỏi các phương pháp tính toán chính xác và hiệu quả. Luận văn này tập trung nghiên cứu ứng dụng phương pháp sai phân hữu hạn để tính toán nội lực và chuyển vị của dầm chịu uốn, nhằm giải quyết các bài toán cơ học kết cấu phức tạp mà các phương pháp cổ điển khó áp dụng.

Mục tiêu nghiên cứu cụ thể là xây dựng và phát triển mô hình tính toán nội lực và chuyển vị của dầm bằng phương pháp sai phân hữu hạn, đồng thời thiết lập các phương trình vi phân cân bằng và dao động của dầm dựa trên nguyên lý cực trị Gauss. Phạm vi nghiên cứu tập trung vào dầm chịu tải trọng tĩnh phân bố đều, với các điều kiện biên khác nhau, trong môi trường vật liệu đàn hồi đồng nhất và đẳng hướng. Thời gian nghiên cứu được thực hiện trong giai đoạn năm 2018 tại trường Đại học Dân lập Hải Phòng.

Nghiên cứu có ý nghĩa quan trọng trong việc nâng cao độ chính xác và hiệu quả tính toán kết cấu dầm, góp phần phát triển các phần mềm tính toán kỹ thuật xây dựng hiện đại. Kết quả nghiên cứu cũng hỗ trợ trong việc thiết kế và kiểm tra an toàn các công trình dân dụng và công nghiệp, đồng thời mở rộng ứng dụng phương pháp số trong cơ học kết cấu.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn dựa trên các nguyên lý biến phân trong cơ học, bao gồm phép tính biến phân, nguyên lý thế năng biến dạng tối thiểu, nguyên lý công bù cực đại, nguyên lý công ảo và nguyên lý cực trị Gauss. Các nguyên lý này cung cấp cơ sở toán học để thiết lập phương trình vi phân cân bằng và dao động của dầm chịu uốn.

Lý thuyết dầm Euler-Bernoulli được sử dụng làm nền tảng cho việc mô hình hóa dầm chịu uốn thuần túy và uốn ngang phẳng. Ngoài ra, lý thuyết xét biến dạng trượt ngang (lý thuyết dầm Timoshenko) được áp dụng để xem xét ảnh hưởng của biến dạng trượt trong dầm, giúp mô hình hóa chính xác hơn các hiện tượng biến dạng thực tế.

Phương pháp sai phân hữu hạn là công cụ chính để rời rạc hóa các phương trình vi phân liên quan đến chuyển vị và nội lực của dầm. Các khái niệm chính bao gồm: đạo hàm cấp cao được biểu diễn bằng sai phân hữu hạn, các loại sai phân (sai phân tiến, sai phân lùi, sai phân trung tâm), và các biểu thức sai phân với khoảng cách không đều nhau. Phương pháp này cho phép chuyển bài toán liên tục thành hệ phương trình đại số tuyến tính, thuận tiện cho việc giải bằng máy tính.

Phương pháp nghiên cứu

Nguồn dữ liệu nghiên cứu bao gồm các công thức lý thuyết cơ bản về cơ học kết cấu, các nguyên lý biến phân, và các phương trình vi phân cân bằng của dầm chịu uốn. Dữ liệu thực nghiệm và số liệu mô phỏng được lấy từ các ví dụ tính toán trong tài liệu chuyên ngành và các trường hợp thực tế tại một số địa phương.

Phương pháp phân tích chính là phương pháp sai phân hữu hạn, được áp dụng để rời rạc hóa các phương trình vi phân bậc bốn mô tả chuyển vị dầm. Cỡ mẫu được lựa chọn dựa trên độ chính xác mong muốn và khả năng tính toán, với khoảng cách h giữa các điểm lưới được điều chỉnh để giảm sai số. Phương pháp chọn mẫu là chọn các điểm nút đều nhau hoặc không đều nhau tùy theo yêu cầu bài toán.

Timeline nghiên cứu bao gồm: (1) tổng hợp và hệ thống hóa cơ sở lý thuyết, (2) xây dựng mô hình toán học và phương trình vi phân, (3) phát triển các biểu thức sai phân hữu hạn, (4) thực hiện các ví dụ tính toán minh họa, (5) phân tích kết quả và so sánh với các phương pháp khác, (6) đề xuất giải pháp và khuyến nghị ứng dụng.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. Thiết lập phương trình vi phân cân bằng của dầm bằng nguyên lý cực trị Gauss: Phương trình vi phân bậc bốn của dầm chịu uốn được thiết lập chính xác, thể hiện qua biểu thức
   $$ EJ \frac{\partial^4 y}{\partial x^4} = q $$
   với $EJ$ là độ cứng uốn, $q$ là tải trọng phân bố đều. Phương trình này được chứng minh là phù hợp với các điều kiện biên khác nhau và có thể áp dụng cho dầm có liên kết bất kỳ.

2. Phương trình dao động tự do và cưỡng bức của dầm: Phương trình dao động tự do được mô tả bởi
   $$ EJ \frac{\partial^4 y}{\partial x^4} + m \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = 0 $$
   và dao động cưỡng bức bởi
   $$ EJ \frac{\partial^4 y}{\partial x^4} + m \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = q $$
   trong đó $m$ là khối lượng phân bố trên dầm. Kết quả tính toán cho thấy tần số dao động và biên độ chuyển vị phụ thuộc rõ rệt vào các thông số vật liệu và hình học.

3. Ứng dụng phương pháp sai phân hữu hạn trong tính toán đạo hàm cấp cao: Các biểu thức sai phân hữu hạn cho đạo hàm cấp hai và cấp ba được xây dựng với sai số tiến dần về 0 khi khoảng cách lưới h giảm. Ví dụ, đạo hàm cấp hai gần đúng tại điểm i được tính bằng
   $$ y_i'' \approx \frac{y_{i-1} - 2 y_i + y_{i+1}}{h^2} $$
   với sai số bậc hai. Các biểu thức này được áp dụng thành công trong việc giải phương trình vi phân của dầm.

4. Lý thuyết xét biến dạng trượt trong dầm: Phương trình cân bằng và liên hệ giữa mômen uốn và lực cắt được mở rộng để xét biến dạng trượt, với các phương trình
   $$ \begin{cases} \frac{d^2 M}{dx^2} + q = 0 \ M = -EJ \frac{d\theta}{dx} = -EJ \left( \frac{d^2 y}{dx^2} + \frac{\alpha}{GF} \frac{dQ}{dx} \right) \end{cases} $$
   và điều kiện biên phù hợp. Hệ số tập trung ứng suất cắt α được xác định là khoảng 1.2 cho tiết diện chữ nhật, giúp mô hình hóa chính xác hơn các hiện tượng thực tế.

Thảo luận kết quả

Nguyên lý cực trị Gauss được vận dụng hiệu quả để thiết lập các phương trình vi phân cân bằng và dao động của dầm, cho phép mô hình hóa toàn diện các trạng thái biến dạng và chuyển vị. So với các phương pháp cổ điển, phương pháp này có ưu điểm là tính khái quát cao và khả năng mở rộng cho các bài toán phức tạp.

Phương pháp sai phân hữu hạn chứng tỏ là công cụ mạnh mẽ trong việc rời rạc hóa các phương trình vi phân bậc cao, với sai số có thể kiểm soát và giảm thiểu bằng cách điều chỉnh kích thước lưới. Kết quả tính toán cho thấy sự phù hợp với lý thuyết và các nghiên cứu trước đây trong ngành cơ học kết cấu.

Lý thuyết xét biến dạng trượt cung cấp cái nhìn sâu sắc về ảnh hưởng của lực cắt và biến dạng trượt trong dầm, điều mà lý thuyết dầm Euler-Bernoulli không xét đến. Việc bổ sung hệ số α và các điều kiện biên liên quan giúp mô hình phản ánh chính xác hơn thực tế biến dạng của dầm chịu tải.

Các dữ liệu có thể được trình bày qua biểu đồ phân bố ứng suất, đồ thị chuyển vị theo chiều dài dầm, và bảng so sánh sai số giữa các phương pháp tính toán, giúp minh họa rõ ràng hiệu quả và độ chính xác của phương pháp nghiên cứu.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Áp dụng phương pháp sai phân hữu hạn trong phần mềm tính toán kết cấu: Phát triển các module tính toán nội lực và chuyển vị dầm dựa trên phương pháp sai phân hữu hạn, nhằm nâng cao độ chính xác và khả năng xử lý các bài toán phức tạp. Thời gian thực hiện trong vòng 12 tháng, chủ thể là các nhóm nghiên cứu và doanh nghiệp phần mềm kỹ thuật.

2. Mở rộng nghiên cứu lý thuyết xét biến dạng trượt cho các kết cấu phức tạp hơn: Nghiên cứu áp dụng lý thuyết này cho khung, tấm và vỏ công trình, nhằm cải thiện mô hình biến dạng và ứng suất. Thời gian 18 tháng, do các viện nghiên cứu và trường đại học thực hiện.

3. Đào tạo và nâng cao năng lực chuyên môn cho kỹ sư thiết kế kết cấu: Tổ chức các khóa học, hội thảo về phương pháp số trong cơ học kết cấu, đặc biệt là phương pháp sai phân hữu hạn và nguyên lý cực trị Gauss. Thời gian liên tục, chủ thể là các trường đại học và trung tâm đào tạo kỹ thuật.

4. Xây dựng cơ sở dữ liệu số liệu thực nghiệm và mô phỏng: Thu thập và chuẩn hóa dữ liệu về nội lực, chuyển vị và ứng suất của dầm trong các điều kiện tải trọng và liên kết khác nhau để phục vụ cho việc kiểm chứng và phát triển mô hình. Thời gian 24 tháng, do các tổ chức nghiên cứu và cơ quan quản lý xây dựng phối hợp thực hiện.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Sinh viên và nghiên cứu sinh ngành kỹ thuật xây dựng: Luận văn cung cấp kiến thức nền tảng và phương pháp nghiên cứu hiện đại về cơ học kết cấu, giúp nâng cao năng lực nghiên cứu và ứng dụng thực tế.

2. Kỹ sư thiết kế kết cấu công trình: Các kỹ sư có thể áp dụng phương pháp sai phân hữu hạn và lý thuyết xét biến dạng trượt để cải thiện độ chính xác trong thiết kế và kiểm tra an toàn kết cấu dầm.

3. Giảng viên và nhà nghiên cứu trong lĩnh vực cơ học kết cấu: Tài liệu cung cấp cơ sở lý thuyết và phương pháp luận mới, hỗ trợ phát triển các đề tài nghiên cứu sâu hơn về tính toán kết cấu.

4. Doanh nghiệp phát triển phần mềm kỹ thuật: Các công ty phần mềm có thể tích hợp các phương pháp tính toán trong luận văn vào sản phẩm, nâng cao tính cạnh tranh và đáp ứng nhu cầu thị trường.

Câu hỏi thường gặp

1. Phương pháp sai phân hữu hạn có ưu điểm gì so với phương pháp phần tử hữu hạn?
   Phương pháp sai phân hữu hạn đơn giản trong việc triển khai và tính toán, đặc biệt hiệu quả với các bài toán có hình học đơn giản và điều kiện biên rõ ràng. Ví dụ, trong tính toán dầm thẳng chịu uốn, sai phân hữu hạn cho phép rời rạc hóa trực tiếp phương trình vi phân với sai số kiểm soát được.

2. Nguyên lý cực trị Gauss khác gì so với nguyên lý công ảo?
   Nguyên lý cực trị Gauss là nguyên lý tổng quát hơn, bao gồm cả liên kết giữ và không giữ, trong khi nguyên lý công ảo thường áp dụng cho liên kết giữ. Nguyên lý Gauss cho phép xây dựng phương trình chuyển động và cân bằng trong các hệ phức tạp hơn.

3. Lý thuyết xét biến dạng trượt có ứng dụng thực tế như thế nào?
   Lý thuyết này giúp mô hình hóa chính xác hơn các biến dạng thực tế của dầm, đặc biệt khi biến dạng trượt không thể bỏ qua, như trong các kết cấu có tiết diện lớn hoặc vật liệu có mô đun trượt thấp. Ví dụ, trong thiết kế cầu dầm thép, xét biến dạng trượt giúp dự đoán chính xác ứng suất và chuyển vị.

4. Sai số của phương pháp sai phân hữu hạn được kiểm soát ra sao?
   Sai số phụ thuộc vào kích thước lưới h và loại biểu thức sai phân sử dụng. Khi giảm h, sai số giảm theo bậc của biểu thức sai phân (thường là bậc hai hoặc bậc bốn). Việc lựa chọn khoảng cách lưới và loại sai phân phù hợp giúp cân bằng giữa độ chính xác và chi phí tính toán.

5. Phương pháp nghiên cứu này có thể áp dụng cho các kết cấu phức tạp hơn không?
   Có thể, tuy nhiên cần mở rộng mô hình và phương pháp tính toán để xử lý hình học phức tạp và điều kiện biên đa dạng. Việc kết hợp với phương pháp phần tử hữu hạn hoặc các kỹ thuật số khác sẽ giúp giải quyết các bài toán lớn và phức tạp hơn.

Kết luận

• Luận văn đã thành công trong việc áp dụng phương pháp sai phân hữu hạn và nguyên lý cực trị Gauss để thiết lập và giải các phương trình vi phân cân bằng và dao động của dầm chịu uốn.
• Các biểu thức sai phân hữu hạn được xây dựng với sai số có thể kiểm soát, phù hợp cho việc tính toán nội lực và chuyển vị trong thực tế.
• Lý thuyết xét biến dạng trượt được phát triển giúp mô hình hóa chính xác hơn các hiện tượng biến dạng trong dầm, mở rộng phạm vi ứng dụng của lý thuyết dầm truyền thống.
• Kết quả nghiên cứu có giá trị thực tiễn cao, hỗ trợ thiết kế và kiểm tra an toàn kết cấu trong xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp.
• Đề xuất các hướng nghiên cứu tiếp theo bao gồm phát triển phần mềm tính toán, mở rộng mô hình cho kết cấu phức tạp và đào tạo chuyên môn cho kỹ sư thiết kế.

Để tiếp tục phát triển nghiên cứu, các nhà khoa học và kỹ sư được khuyến khích áp dụng và mở rộng các phương pháp đã trình bày, đồng thời phối hợp với các công nghệ tính toán hiện đại nhằm nâng cao hiệu quả và độ chính xác trong thiết kế kết cấu. Hãy bắt đầu áp dụng phương pháp sai phân hữu hạn và nguyên lý cực trị Gauss trong các dự án thực tế để nâng cao chất lượng công trình của bạn!

Trích đoạn nội dung tài liệu

đặt vấn đề tại sao ngay từ đầu lại không xét liên kết không giữ. Dựa trên các nhận xét trên Gauss đưa ra nguyên lý mới và chung của mình như sau: “Chuyên động của hệ chất điểm giữa chúng có liên kết tùy ý, chịu tác dụng bất kỳ, ở mỗi thời điểm, tring hoan toan nếu như có thể, với chuyển động của hệ đó khi hoàn toàn tự do, tức là chuyển động xảy ra với lượng cưỡng bức tối thiểu nếu như số đo lượng cưỡng bức lấy bằng tổng tích của khối lượng mỗi chất điểm với bình phương độ lệch vị trí khả dĩ của chất điểm khi có liên kết với vị trí chuyên động của chất điểm khi hoàn toàn tự đo sau một thời đoạn vô cùng nhỏ”. Giả sử ở thời điểm ¢ chat điểm m có vị trí A. Nếu như ở thời điểm này ta giải phóng các liên kêt thì đo có vận tốc ban đầu và tác dụng của lực, sau thời đoạn vô cùng nho dt chất điểm có vị tri B.

Chất điểm khi có lực tác dụng và chịu ảnh hưởng của liên kết sau thới đoạn đ sẽ có vị trí C có thể nào đó. Chuyên động thực xảy ra khi lượng cưỡng bức Z của chất diễm viết đối với hệ nhiều chất điểm là tối thiểu : Z=Yim BC? > min (1.27) Dựa vào bất đăng thức (2.4) là bất đẳng thức cũng do ông đưa ra, Gauss trình bày các luận cứ chứng minh cho nguyên lý của mình. Biểu thức giải tích của nguyên lý Gauss Trong cơ hệ chất điểm nguyên lý được giải thích như sau [1]. Xét hệ chất điểm có tọa độ r và vận tốc ? ở thời điểm t.

Sau thời đoạn vô cùng nhỏ dt chất điểm chịu tác dụng của lực F và của vận tốc sẽ có vị trí r(tedt) = r+¢de + t¥d¢? (a) Nếu như tại thời điêm t ta giải phóng các liên kết nhưng vẫn giữ lực tác dụng, thì sau thời đoạn dt vị trí của chat diém sé 1a r(tedt) = r+¢dt +42 ae? (b) Hiệu của (b) và (a) là độ lệch vị tri chất điểm khi hoàn toàn tự do và khi có liên kết. Lượng cưỡng bức chuyển động theo của hệ chất điểm theo (1.1) bằng dt? Fị “ Z= a Limi — 7)? Nguyên lý Gauss đúng cho mỗi thời điểm cho nên có thể xem dt là hằng và ta có biểu thức sau Fi „2 .28) Hay: Z= din Fi- mr)? > min (1.28b) Trong hệ tọa độ vuông góc x, y, z biểu thức (1.28) có các dạng Z= Xm(CO—#)? +mị (TC — wm) +m; (Z- 4 )?} > min (1.29) Mj Mj Mj Trong (1.29) cac dai luong X,Y,Z lần lượt là hình chiếu trên các trục tọa độ x,y,z của lực F tac dụng lên chất điểm.29) là các biểu thức giải tích của nguyên lý (1. Khối lượng chất điểm cũng như lực tác dụng lên nó đã biết cho nên trong (1.29) gia téc 1a dai lượng chưa biết. Khảo sát với các điều kiên liên kết khác nhau, các nhà nghiên cứu cho rằng đại lượng biến phân trong các biểu thức giải tích (1.29) chỉ có thể là gia tốc (1, 2, 3].

Các tài liệu cơ học hiện nay khi bản về nguyên lý cực trị Gauss, ví dụ xem [1, 2, 3, 4],đều giới thiệu biểu thức (1.29), nhưng cần lưu ý rằng các biểu thức này không phải do Gauss mà do những nhà nghiên cứu nguyên lý Gauss đưa ra. Ngoài ra, trong [2] còn nêu nhận định rằng nguyên lý Gauss là một dạng đặc biệt của nguyên lý D°Alambert. Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss Như Gauss đã viết, nguyên lý của ông là nguyên lý chung của cơ học, nghĩa là có tính khái quát cao, nhưng với kết luận và nhận định trình bày ở trên, nguyên lý này hầu như không được sử dụng trong cơ học. Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss trình bày ở đây là phương pháp sử dụng trực tiếp nguyên lý Gauss để xây dựng các phương trình chuyển động và phương trình cân bằng của cơ hệ nhằm khẳng định phần nào tính khái quát của nguyên lý.

Cơ học chất điểm Các biểu thức (1.29) trình bày ở trên là các biểu thức của lượng cưỡng bức viết cho hệ chất điểm khi có liên kết bất kỳ (liên kết giữ và liên kết không giữ). Trong trường hợp liên kết giữ, xem gia tốc là đại lượng biến phân, từ (1.28) ta nhận được phương trình cân bằng: Lig, (Fi — mịf; )ðï; =0 (130) Chú ý rằng thành phần trong ngoặc đơn của (1.30) biểu thị điều kiện cân bằng lưc tác dụng lên chất điểm, cho nên có thê xem ? là gia tốc ảo. Về mặt toán học , các đại lượng ảo là bất kỳ, nghĩa là có thể xem không chỉ gia tốc, mà cả vận tốc và chuyển vị cũng là các đại lượng ảo.30), có thể viết thêm Digg (Fi — mihi OF, =0 (1.31) di 5 Fi — mF, )67; =0 (1.32) Phương trình (1.5) xem vận tốc là đại lượng biến phân, phương trình (1.32) xem chuyển vị là đại lượng biến phân. Như vậy, các đại lượng biến phân của nguyên lý cực trị Gauss (1.27) trong trường hợp liên kết giữ có thé là gia tốc, vận tốc hoặc chuyển VỊ Tương tư, trong trường hợp liên kết giữ, từ biểu thức lượng bức (1.29) sẽ nhận được các phương trình Xi + + Yi + + Zi .- im 3) 6%, + (TT 7) 69, + CT 2)84) =0 (133) L Xi + : Yi + ` Zi .35) Đại lượng biến phân trong (1.33) là gia tốc, trong (1.34) la van tốc, trong (1.35) là chuyên vị.

Như vậy, trong trường hợp liên kết giữ, nguyên lý Gauss (1.27) được dẫn về nguyên lý công ảo (1. Viết phương trình chuyển động của chất điểm có khối lượng m chuyển động không ma sát dưới tác dụng của lực trọng trường trên đường cong phẳng y = bzx? (hình 2). Ví dụ này lấy từ [ 4]. Bài làm: Trong ví dụ này lực tác dụng lên chất điểm chiều x là X=0, chiều y là Y=mg.

Các phương trình (1.35) với chú ý rằng lực quán tính mang dấu âm và chuyên động xảy ra trong mặt phẳng (x„y), được viết lại như sau m(# )ô# +m(” +ÿ )ðÿ = 0 (a) m(x dx +m +9 dy = 0 (b) m(# )ồx + mức +ÿ )ổy = 0 (c) Hinh 2. Minh hoa cho vi du 1 Bây giờ ta tính các vận tốc và gia tốc của y theo vận tốc và gia tốc của y = bx?, ÿ = 2bx3 ,ÿ = 2b#? + 2bx# Ta tính các biến phân ổy, ổÿ,ÿ qua các biến phân dx, 5x , dx ổÿ = ô¿(2b#Ÿ + 2bx#) = 2bxö3 (d) Oy = 6, (2bxx) = 2bxdx (e) Oy = ô„(2bx?) = 2bxôx (f) Đưa lần lượt các các bién phan (d),(e),(f) vao cdc phuong trinh (a),(b),(c) ta sẽ nhận được cùng một phương trình sau # +(g + 2b#? + 2bx#)2bx = 0 Sắp xếp lại, ta có (1+ 4b2x?)# + 4b”x#? + 2bgx = 0 Phương trình vừa nhận được là phương trình chuyển đông cần tìm của ví dụ trên. Những trình bày trên chỉ ra rằng đối với cơ học chất điểm trong trường hợp liên kết giữ, đại lượng biến phân của nguyên lý Gauss có thể là gia tốc, vận tốc hoặc chuyển VỊ. Cơ học môi trường liên tục a.

Các phương trình Navier Sử dụng trực tiếp nguyên lý Gauss (1.1) để xây dựng các phương trình chuyên động của môi trường liên tục là nội dung của phần trình bày dưới đây. Để trình bày được rõ ràng, ta xét môi trường đàn hồi đồng nhất đẳng hướng. Tách một phân tố khối dx.dz ra khỏi môi trường. Các lực tác dụng đặt ở trọng tâm phân tố là các lực khối by, by, bz va cac luc quan tinh f,, fy, f; , con ở trên các bề mặt của phân tố có các ứng suất pháp øx, Oy, Oz Vắ các Ứng suất tiếp Txy, Txz, ry;(hình 2).

Do có lực tác dụng, trọng tâm phân tố có các chuyên vị u theo chiều x, v theo chiều y và w theo chiều z. Sự Xa; Hình 1.2 Trạng thái ứng suất phân tố Các biến dạng của phân tố do các chuyên vị gây ra, khi xem các chuyển vị là bé, theo lý thuyết đàn hồi, ví dụ xem [ ], được xác theo các biểu thức s= ou = ov s= ow *X ax? Vo ay ? “2 az Ou , Ov Ou , Ow Ow. Exy 3y + 2x) Exz & + 2x) )Z dy + 2z) (1.36) Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng sẽ là ơy = 26(£y +9) „0y = 26(£y +——6) , 0, = 2G(e, + 6), 1—2v Tyy =#yy, — Tyy = GExz Tyz = Gey, E 0=ey+ey+e,, Œ= 2+ (1.37) Trong các biểu thức trên Ø là biến dạng thể tích, Œ là mođun trượt của vật liệu, E là mođun đàn hồi va v là hệ số Poisson. Khi giải phóng liên kết, phân tố không có liên hệ nào với môi trường , chỉ chịu tác dụng của các lực khối by, by, b„ và các lực quan tính ƒc, ƒ„, ƒ; và có các chuyển vi tạ, Vo,Wo nhu cua vat cing, Vi Ug > ©, Vg 7 ©, Wy > oo, | wm Hinh 1.3 Để cho các chuyền vị tạ, ?ọ,wọ được xác định, đặt thêm các lo-xo theo các chiều x, y, z (hinh 1.3) Độ cứng các lo-xo.

—b„+ƒ; ky = lim ~~ , k, = lim k, = lim ———^ Up70 ttọ Uọ>œ Uọ Wo—o Wọ Ta cũng đặt các lo-xo vào phân tố có liên kết. Rõ ràng là các lo-xo được đưa thêm vào không làm thay đổi các chuyển vị 1,1z,w của phân tổ có liên kêt và chuyển vị trọ, Vo,Wo cua phân tố tự đo. Phân tố có liên kết có các biến dạng (chuyển động) sau : Các biến dạng £x,ey,s¿ có độcứng 2G, 20v (1-2v) Biến dạng thể tích Ø có độ cứng › Các biên dạng trượt £yy,£x;,£y; có các độ cứng G. Phân tố tự do (không có liên kết với môi trường) không có các biến dang nay.

Theo nguyên lý Gauss (1.1) ta viết lưỡng bức chuyển động 20w Z= /{ze (sử + ey? + &,? ) + n9? + € ứ” + Si 3) dự Eyz + f{ky(u — ug)? + ky(v — v9)? + k,(w — Wo)*} dV > min (1.38) V la thé tich vat thé can tinh. Trước tiên ta tìm cực trị ba tích phân cuối của biểu thức trên với chú ý rằng các đại lượng u,v và w là các hàm tọa độ cho nên phải dùng phép tính biến phân. Ta nhận được : min ƒ ky(u — ug)? dV = min ƒ lim fx (u — ug)? dV = Ugo 0 — [2Œ — by) du adv min f ky(v —v9)*dV = min f lim = (0— tạ)? dV = ọ—>œ 0 ~ ƒ 2Œ, — by)ãu dV min f k,(w —wo)?dV = min ƒ lim 5% (w — Wo)? dV = W900 Wo — Ƒ2Œ ~ b;)öw dV (1.39) Bây giờ viết lại lượng cưỡng bức Z.