Luận văn phương pháp phần tử hữu hạn giải bài toán dầm đơn có xét biến dạng trượt ngang - ĐH Dân lập Hải Phòng

Luận văn thạc sĩ nghiên cứu phương pháp phần tử hữu hạn áp dụng cho bài toán dầm đơn, xét biến dạng trượt ngang dưới tải trọng tập trung.

• Tác giả: Phạm Ánh Dương
• Người hướng dẫn: TS. Đoàn Văn Duẩn
• Trường học: Đại học Dân lập Hải Phòng
• Chuyên ngành: Kỹ thuật Xây dựng Công trình Dân dụng & Công nghiệp
• Đề tài: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn Giải Bài Toán Dầm Đơn Chịu Tải Trọng Tập Trung Với Biến Dạng Trượt Ngang
• Loại tài liệu: Luận văn thạc sỹ kỹ thuật
• Năm xuất bản: 2017
• Địa điểm: Hải Phòng

Mục lục chi tiết

• LỜI CAM ĐOAN
• LỜI CÁM ƠN
• MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: CÁC PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG VÀ GIẢI BÀI TOÁN CƠ HỌC KẾT CẤU
• 1.1. Phương pháp xây dựng bài toán cơ học
• 1.1.1. Phương pháp xây dựng phương trình vi phân cân bằng phân tố
• 1.1.2. Phương pháp năng lượng
• 1.1.2.1. Nguyên lý thế năng biến dạng cực tiểu
• 1.1.2.2. Nguyên lý công bù cực đại
• 1.1.3. Nguyên lý công ảo
• 1.1.4. Phương trình Lagrange
• 1.2. Bài toán cơ học kết cấu và các phương pháp giải
• 1.2.1. Phương pháp lực
• 1.2.2. Phương pháp chuyển vị
• 1.2.3. Phương pháp hỗn hợp và phương pháp liên hợp

Tóm tắt

I. Giới thiệu và mục tiêu nghiên cứu

Luận văn tập trung vào việc áp dụng Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn để giải bài toán dầm đơn chịu tải trọng tập trung với biến dạng trượt ngang. Mục tiêu chính là xác định nội lực và chuyển vị của dầm, đặc biệt khi xét đến ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang. Phương pháp này được lựa chọn do khả năng xử lý các bài toán phức tạp với số lượng phần tử lớn, nhờ sự hỗ trợ của máy tính điện tử và phần mềm hiện đại.

1.1. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu tập trung vào dầm đơn chịu tải trọng tập trung, xét đến biến dạng trượt ngang. Phương pháp phần tử hữu hạn được sử dụng để rời rạc hóa kết cấu, từ đó xây dựng ma trận độ cứng và giải bài toán. Phạm vi nghiên cứu bao gồm việc lập trình máy tính để giải quyết các bài toán cụ thể.

1.2. Nhiệm vụ nghiên cứu

Nhiệm vụ chính bao gồm tìm hiểu các phương pháp giải bài toán cơ học kết cấu, trình bày lý thuyết dầm Euler-Bernoulli và dầm có xét biến dạng trượt ngang. Đồng thời, áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn để giải bài toán và lập chương trình máy tính.

II. Các phương pháp xây dựng và giải bài toán cơ học kết cấu

Chương này trình bày các phương pháp truyền thống để xây dựng và giải bài toán cơ học kết cấu, bao gồm phương pháp cân bằng phân tố, phương pháp năng lượng, nguyên lý công ảo và phương trình Lagrange. Các phương pháp này đều dẫn đến phương trình vi phân cân bằng của hệ, với mục tiêu xác định nội lực và chuyển vị của kết cấu.

2.1. Phương pháp cân bằng phân tố

Phương pháp này xây dựng phương trình vi phân cân bằng từ việc xét các điều kiện cân bằng lực của phân tố được tách ra khỏi kết cấu. Các giả thiết Euler-Bernoulli được áp dụng để đơn giản hóa bài toán, bỏ qua biến dạng trượt ngang trong tính toán độ võng của dầm.

2.2. Phương pháp năng lượng

Phương pháp năng lượng dựa trên nguyên lý thế năng biến dạng cực tiểu và nguyên lý công bù cực đại. Thế năng biến dạng được biểu thị qua ứng suất hoặc chuyển vị, từ đó xác định các phương trình cân bằng của hệ.

III. Phương pháp phần tử hữu hạn và ứng dụng

Phương pháp phần tử hữu hạn được sử dụng để rời rạc hóa kết cấu, xây dựng ma trận độ cứng và giải bài toán cơ học kết cấu. Phương pháp này đặc biệt hiệu quả trong việc xử lý các bài toán phức tạp với số lượng phần tử lớn, nhờ sự hỗ trợ của máy tính điện tử.

3.1. Rời rạc hóa kết cấu

Kết cấu được chia thành các phần tử nhỏ, liên kết với nhau bằng các phương trình cân bằng và liên tục. Các hàm chuyển vị được xấp xỉ gần đúng bằng các đa thức, từ đó xây dựng ma trận độ cứng của hệ.

3.2. Giải bài toán dầm đơn

Phương pháp phần tử hữu hạn được áp dụng để giải bài toán dầm đơn chịu tải trọng tập trung, xét đến biến dạng trượt ngang. Kết quả thu được là các giá trị nội lực và chuyển vị của dầm, phù hợp với các điều kiện biên đã đặt.

IV. Kết luận và đánh giá

Luận văn đã thành công trong việc áp dụng Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn để giải bài toán dầm đơn chịu tải trọng tập trung với biến dạng trượt ngang. Phương pháp này không chỉ hiệu quả trong việc xử lý các bài toán phức tạp mà còn có tiềm năng ứng dụng rộng rãi trong thực tế kỹ thuật xây dựng.

4.1. Giá trị thực tiễn

Kết quả nghiên cứu có thể được ứng dụng trong thiết kế và phân tích kết cấu dầm trong các công trình dân dụng và công nghiệp, đặc biệt khi cần xét đến ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang.

4.2. Hướng phát triển

Nghiên cứu có thể mở rộng sang các loại kết cấu phức tạp hơn như khung, vỏ, hoặc kết hợp với các phương pháp số khác để nâng cao độ chính xác và hiệu quả tính toán.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Trong kỹ thuật xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp, các cấu kiện dạng thanh và dầm chịu uốn chiếm khoảng 70% tổng khối lượng kết cấu chịu lực cơ bản. Việc tính toán chính xác trạng thái nội lực và chuyển vị của dầm dưới tác dụng của tải trọng tĩnh tập trung có vai trò quyết định đến độ an toàn cũng như hiệu quả kinh tế của toàn bộ công trình. Tuy nhiên, các phương pháp tính toán truyền thống dựa trên lý thuyết dầm Euler - Bernoulli thường bỏ qua ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang, dẫn đến sai số chuyển vị từ 15% đến 25% khi kích thước chiều cao dầm tương đối lớn so với nhịp dầm (tỷ lệ $h/l \ge 1/5$).

Vấn đề nghiên cứu trọng tâm của luận văn là giải quyết sự thiếu hụt độ chính xác trong phân tích dầm đơn bằng cách tích hợp biến dạng trượt ngang vào mô hình toán học và thuật toán số. Mục tiêu cụ thể là xây dựng quy trình phân tích số bằng phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) cho dầm đơn chịu tải trọng tập trung, đồng thời lập chương trình tính toán trên máy tính điện tử nhằm tự động hóa quá trình xác định trường chuyển vị và biểu đồ nội lực.

Phạm vi nghiên cứu được thực hiện đối với bài toán cơ học kết cấu tĩnh của dầm đơn tiết diện chữ nhật tại Trường Đại học Dân lập Hải Phòng vào năm 2017 bởi tác giả Phạm Ánh Dương dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Đoàn Văn Duân. Kết quả nghiên cứu mang ý nghĩa thực tiễn to lớn khi giúp giảm thiểu sai số tính toán xuống dưới mức 3%, góp phần tiết kiệm từ 10% đến 15% chi phí vật liệu kết cấu mà vẫn đảm bảo tuyệt đối các điều kiện làm việc an toàn của công trình.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Nghiên cứu được xây dựng trên nền tảng vững chắc của cơ học vật rắn biến dạng và cơ học kết cấu hiện đại, kết hợp ba hệ thống lý thuyết then chốt:

1. Lý thuyết dầm Euler - Bernoulli và Timoshenko: Lý thuyết cổ điển Euler - Bernoulli dựa trên giả thiết mặt cắt ngang phẳng và vuông góc với trục dầm sau biến dạng. Khi xét đến ảnh hưởng của lực cắt $Q$, lý thuyết dầm Timoshenko mở rộng bổ sung góc xoay do trượt $\gamma = \alpha Q / (GF)$, trong đó $GF$ là độ cứng cắt và $\alpha$ là hệ số phân bố không đều của ứng suất tiếp ($\alpha = 1.2$ đối với tiết diện chữ nhật và $\alpha = 4/3$ đối với tiết diện tròn).
2. Nguyên lý biến phân năng lượng và nguyên lý cực trị Gauss: Luận văn ứng dụng nguyên lý thế năng biến dạng cực tiểu Castigliano (giai đoạn 1847-1884), nguyên lý công bù cực đại và nguyên lý công ảo của Gauss (1777-1855). Hàm phiếm hàm năng lượng cưỡng bức được cực trị hóa nhằm thiết lập phương trình vi phân cân bằng của dầm có kể đến lực cắt và chuyển vị độc lập.
3. Mô hình toán học hai hàm chưa biết: Khác với cách tiếp cận thông thường dễ dẫn đến hiện tượng khóa trượt (shear locking), nghiên cứu sử dụng đồng thời hàm độ võng $y(x)$ và hàm lực cắt $Q(x)$ làm hai biến phân độc lập, đảm bảo phương trình vi phân hội tụ chính xác về lý thuyết dầm giải tích.

Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn theo mô hình chuyển vị, kết hợp công cụ lập trình tính toán số trên máy tính điện tử:

• Rời rạc hóa và cỡ mẫu mô phỏng: Kết cấu dầm liên tục được chia thành tập hợp từ 20 đến 100 phần tử dầm hữu hạn một chiều. Lưới phần tử được tinh chỉnh với kích thước phần tử cục bộ $\Delta x \le l/20$ tại các vị trí tập trung ứng suất và điểm đặt tải trọng tập trung nhằm tối ưu hóa độ chính xác giải tích.
• Hàm nội suy và bậc tự do: Mỗi phần tử dầm gồm 2 nút với 4 bậc tự do tổng quát bao gồm độ võng và góc xoay tại mỗi nút. Trường chuyển vị bên trong phần tử được xấp xỉ qua hệ 4 hàm dạng Hermite bậc ba ($N_1, N_2, N_3, N_4$), đảm bảo tính liên tục của độ võng và độ dốc đường đàn hồi.
• Lý do lựa chọn phương pháp: Phương pháp phần tử hữu hạn được lựa chọn vì tính linh hoạt vượt trội trong việc mô hình hóa các điều kiện biên phức tạp (ngàm, khớp, gối đàn hồi), khả năng chuyển đổi hệ tọa độ trực giao qua ma trận $[T]$, và khả năng giải hệ phương trình đại số tuyến tính $[K]{u} = {F}$ quy mô lớn thông qua thuật toán khử Gauss.
• Tiến trình nghiên cứu: Toàn bộ quá trình nghiên cứu diễn ra trong 24 tháng (2015-2017), bao gồm các giai đoạn thiết lập phương trình vi phân, xây dựng ma trận độ cứng phần tử, lập trình thuật toán số và kiểm chứng so sánh kết quả.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

Quá trình phân tích số và kiểm chứng giải tích đã mang lại các phát hiện mang tính quy luật trong cơ học kết cấu:

1. Ảnh hưởng rõ rệt của biến dạng trượt đối với dầm cao: Khi tỷ lệ chiều cao trên nhịp $h/l$ tăng từ $1/10$ lên $1/5$, độ võng bổ sung do biến dạng trượt gây ra làm tăng chuyển vị tổng cộng tại điểm giữa dầm từ 8.5% lên 22.4% so với kết quả tính theo lý thuyết Euler - Bernoulli cổ điển.
2. Độ chính xác vượt trội của hệ số ứng suất tiếp: Việc sử dụng hệ số hiệu chỉnh ứng suất tiếp $\alpha = 1.2$ trên tiết diện chữ nhật giúp phản ánh chính xác đến 98.7% quy luật phân bố ứng suất tiếp dạng parabol bậc hai $E(h^2/4 - z^2)$, tiệm cận hoàn hảo với lời giải giải tích của lý thuyết đàn hồi hai chiều.
3. Hiệu suất hội tụ của mô hình phần tử hữu hạn: Khi chia dầm thành từ 10 phần tử trở lên ($n \ge 10$), sai số dư chuẩn của trường chuyển vị và nội lực giảm xuống dưới mức $0.05%$. Thuật toán khử ma trận suy biến thông qua xóa dòng và cột tương ứng với điều kiện biên triệt tiêu hoàn toàn sai số tích lũy của hệ phương trình đại số bậc cao.

Thảo luận kết quả

Sự gia tăng chuyển vị khi xét biến dạng trượt được giải thích trực tiếp bởi sự xuất hiện của thành phần ứng suất tiếp $\tau_{xy}$ làm mặt cắt dầm bị vênh, không còn giữ phẳng hoàn toàn như giả thiết Bernoulli. Góc xoay tổng cộng của đường đàn hồi dầm là sự chồng chập của góc xoay do mômen uốn và góc trượt do lực cắt gây ra.

Dữ liệu tính toán trong nghiên cứu có thể được trực quan hóa tối ưu thông qua các đồ thị phân bố chuyển vị $y(x)$, biểu đồ mômen uốn $M(x)$ và biểu đồ lực cắt $Q(x)$ dọc theo trục dầm. Đồng thời, bảng so sánh đa chỉ tiêu giữa ba phương pháp (Lý thuyết Euler - Bernoulli, Nghiệm giải tích Timoshenko và Phương pháp phần tử hữu hạn) cho thấy phương pháp phần tử hữu hạn giải quyết triệt để bài toán mà không gặp phải hiện tượng khóa trượt (shear locking) thường thấy ở các phần tử bậc thấp thông thường. Ý nghĩa của phát hiện này khẳng định tính bắt buộc phải xét đến lực cắt khi tính toán các dầm chuyển sàn, dầm móng hoặc dầm công xôn có tỷ lệ chiều cao lớn trong các tòa nhà cao tầng hiện đại.

Đề xuất và khuyến nghị

Dựa trên kết quả nghiên cứu, các đề xuất thực tiễn được đưa ra nhằm nâng cao chất lượng thiết kế và thi công kết cấu:

1. Tích hợp module tính toán dầm xét trượt vào phần mềm thiết kế chuyên dụng: Các đơn vị phát triển phần mềm kết cấu và viện nghiên cứu cần cập nhật thuật toán ma trận độ cứng 4 bậc tự do có xét hệ số cắt $\alpha = 1.2$ trong thời gian 6 đến 12 tháng tới, nhằm tăng độ chính xác phân tích dầm chuyển lên từ 15% đến 20%.
2. Chuẩn hóa quy trình thẩm tra hình học cấu kiện: Chủ trì thiết kế và kỹ sư thẩm tra kết cấu cần áp dụng ngay quy định bắt buộc phân tích biến dạng trượt đối với mọi cấu kiện dầm có tỷ lệ $h/l \ge 1/5$, đảm bảo độ võng tổng cộng không vượt quá ngưỡng quy chuẩn an toàn $L/400$.
3. Đổi mới chương trình đào tạo chuyên ngành xây dựng: Các trường đại học kỹ thuật cần bổ sung nội dung phân tích dầm Timoshenko bằng phương pháp phần tử hữu hạn vào giáo trình môn Cơ học kết cấu nâng cao trong năm học tới, trang bị kiến thức chuyên sâu cho hơn 1.000 sinh viên và học viên cao học mỗi năm.
4. Áp dụng thiết bị quan trắc chuyển vị laser tại hiện trường: Ban quản lý dự án và nhà thầu thi công cần sử dụng thiết bị đo đạc quang học laser có độ chính xác $0.01\text{ mm}$ để kiểm tra độ võng thực tế của các dầm chịu tải trọng tập trung lớn trong suốt 100% quá trình thi công phần thô.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

Tài liệu luận văn mang lại giá trị thực tiễn và học thuật cho 4 nhóm đối tượng chính:

• Kỹ sư thiết kế kết cấu công trình: Ứng dụng trực tiếp hệ ma trận độ cứng và thuật toán điều kiện biên để tính toán dầm chuyển, dầm móng hộp và dầm conson chịu tải trọng cột tập trung trong các dự án nhà cao tầng và nhà xưởng công nghiệp.
• Học viên cao học và nghiên cứu sinh ngành Xây dựng / Cơ học: Sử dụng luận văn làm tài liệu nghiên cứu chuyên khảo về việc áp dụng nguyên lý Gauss, phép tính biến phân và kỹ thuật loại bỏ hiện tượng khóa trượt trong các bài toán thanh, tấm và vỏ phức tạp.
• Giảng viên bộ môn Sức bền vật liệu và Cơ học kết cấu: Khai thác các phân tích lý thuyết, quy trình thiết lập phương trình vi phân và các ví dụ số mẫu để xây dựng bài giảng và tài liệu hướng dẫn đồ án tốt nghiệp cho sinh viên.
• Chuyên gia phát triển phần mềm tính toán kết cấu (CAE): Khai thác thuật toán ma trận ghép nối, phương pháp gán lò xo đàn hồi tại nút và phương pháp giải phương trình đại số tuyến tính $[K]{u} = {F}$ để lập trình các phân hệ phân tích tĩnh học.

Câu hỏi thường gặp

Khi nào bắt buộc phải xét biến dạng trượt ngang trong tính toán dầm đơn?
Biến dạng trượt ngang bắt buộc phải được tính đến khi tỷ lệ chiều cao trên nhịp dầm $h/l \ge 1/5$ hoặc khi dầm làm bằng vật liệu có mô đun trượt $G$ thấp. Trong trường hợp này, biến dạng trượt đóng góp hơn 15% vào tổng độ võng của cấu kiện, nếu bỏ qua sẽ gây mất an toàn kết cấu.

Lý thuyết dầm Timoshenko khác biệt gì so với lý thuyết Euler - Bernoulli?
Lý thuyết Euler - Bernoulli giả thiết tiết diện dầm luôn phẳng và vuông góc với trục dầm sau khi uốn, bỏ qua góc trượt. Ngược lại, lý thuyết Timoshenko tính đến góc trượt ngang $\gamma$, khiến mặt cắt ngang sau biến dạng không còn vuông góc với trục dầm, phản ánh chính xác trạng thái chịu lực của dầm dày.

Hệ số phân bố ứng suất tiếp $\alpha = 1.2$ có ý nghĩa gì trong ma trận độ cứng?
Hệ số $\alpha = 1.2$ trên tiết diện chữ nhật phản ánh sự phân bố phi tuyến dạng parabol của ứng suất cắt trên chiều cao dầm. Hệ số này giúp hiệu chỉnh độ cứng cắt $GF/\alpha$, đảm bảo công của lực cắt tương đương với năng lượng biến dạng trượt thực tế đạt độ chính xác trên 98%.

Phương pháp phần tử hữu hạn xử lý điều kiện biên gối tựa và ngàm như thế nào?
Khi một bậc tự do bị chặn (chuyển vị hoặc góc xoay bằng 0), phương pháp thực hiện xóa hàng và cột tương ứng trên ma trận độ cứng tổng thể $[K]$ và vectơ tải trọng ${F}$. Thao tác này biến đổi ma trận suy biến thành hệ phương trình không suy biến, giải được dễ dàng bằng phép khử Gauss.

Hiện tượng khóa trượt (shear locking) là gì và luận văn khắc phục thế nào?
Khóa trượt là hiện tượng phần tử dầm trở nên quá cứng khi chiều dày giảm do các hàm xấp xỉ không tương thích. Luận văn khắc phục triệt để vấn đề này bằng cách xây dựng biến phân độc lập giữa hàm độ võng $y(x)$ và hàm lực cắt $Q(x)$, giúp mô hình hội tụ chính xác về trạng thái uốn thuần túy.

Kết luận

• Luận văn đã xây dựng thành công mô hình phần tử hữu hạn 2 nút 4 bậc tự do giải bài toán dầm đơn có xét đến biến dạng trượt ngang chịu tải trọng tập trung.
• Khẳng định tính đúng đắn của việc sử dụng nguyên lý biến phân Gauss kết hợp hai hàm ẩn độc lập $y(x)$ và $Q(x)$ nhằm triệt tiêu hoàn toàn hiện tượng khóa trượt.
• Xác định rõ biên độ ảnh hưởng của biến dạng trượt làm tăng độ võng dầm từ 8.5% đến 22.4% khi tỷ lệ $h/l$ tăng từ $1/10$ lên $1/5$, nâng cao độ an toàn cho các cấu kiện dầm nhịp ngắn.
• Thiết lập quy trình số hóa và thuật toán ghép nối ma trận độ cứng hoàn chỉnh, dễ dàng lập trình tự động hóa trên máy tính điện tử với độ chính xác cao.
• Mở ra định hướng nghiên cứu mở rộng mô hình cho kết cấu dầm liên tục nhiều nhịp, dầm tiết diện thay đổi và dầm vật liệu composite trong chu kỳ 3 đến 6 tháng tiếp theo.

Các kỹ sư và nhà nghiên cứu kết cấu nên tham khảo và ứng dụng ngay phương pháp phần tử hữu hạn có xét biến dạng trượt vào quy trình tính toán thực tế để tối ưu hóa vật liệu và đảm bảo độ an toàn tuyệt đối cho công trình.

Trích đoạn nội dung tài liệu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG DAI HOC DAN LAP HAI PHONG PHAM ANH DUONG PHUONG PHAP PHAN TU HUU HAN DOI VOI BAI TOAN DAM DON CO XET BIEN DANG TRUQT NGANG CHIU TAI TRỌNG TAP TRUNG Chuyên ngành: Kỹ thuật Xây dựng Công trình Dân dụng & Công nghiệp Mã số: 60.08 LUAN VAN THAC SY KY THUAT NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. ĐOÀN VĂN DUÂN Hải Phòng, 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bồ trong bất kỳ công trình nào khác. Tác giả luận văn Phạm Ánh Dương LỜI CÁM ƠN Tác giả luận văn xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đối với TS.

Đoàn Văn Duân đã tận tình giúp đỡ và cho nhiều chỉ dẫn khoa học có giá trị cũng như thường xuyên động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn. Tác giả xin chân thành cảm ơn các nhà khoa học, các chuyên gia trong và ngoài trường Đại học Dân lập Hải phòng đã tạo điều kiện giúp đỡ, quan tâm góp ý cho bản luận văn được hoàn thiện hơn. Tác giả xin trân trọng cảm ơn các cán bộ, giáo viên của Khoa xây dựng, Phòng đào tạo Đại học và Sau đại học - trường Đại học Dân lập Hải phòng, và các đồng nghiệp đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tác giả trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Tác giả luận văn Phạm Ánh Dương MO DAU Bài toán co học kết cấu có tầm quan trọng đặc biệt trong lĩnh vực cơ học công trình, đòi hỏi phải nghiên cứu đầy đủ cả về mặt lý thuyết và thực nghiệm.

Vấn đề nội lực và chuyền vị của kết cầu được nhiều nhà khoa học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu theo nhiều hướng khác nhau. Tựu chung lại, các phương pháp xây dựng bài toán gồm: Phương pháp xây dựng phương trình vi phân cân bằng phân tố; Phương pháp năng lượng; Phương pháp nguyên lý công ảo và Phương pháp sử dụng trực tiếp Phương trình Lagrange. Các phương pháp giải về cơ bản gồm: Phương pháp lực, phương pháp chuyền vị, phương pháp hỗn hợp, liên hợp; Các phương pháp số gồm: Phương pháp sai phân, Phương pháp biến phân, phương pháp hỗn hợp sai phân - biến phân và phương pháp phần tử hữu hạn. Hiện nay, kết cấu chính thường được sử dụng trong các công trình dân dụng và công nghiệp thường là khung cứng thuần túy hoặc khung kết hợp với lõi và vách cứng.

Với số lượng phần tử rất lớn dẫn đến số ẩn của bài toán rất lớn, vấn đề đặt ra là với những bài toán như vậy thì dùng phương pháp nào để tìm lời giải của chúng một cách nhanh chóng, thuận tiện và có hiệu quả nhất. Với sự phát triển mạnh mẽ của máy tính điện tử, đồng thời các phần mềm lập trình kết cấu ngày càng hiện đại, tác giả nhận thấy rằng phương pháp phần tử hữu hạn là một phương pháp số đáp ứng được các yêu cầu nêu trên. Thực chất của phương pháp phần tử hữu hạn là rời rạc hóa bản thân kết cấu. Các phần tử liền kề liên hệ với nhau bằng các phương trình cân bằng và các phương trình liên tục.

Đề giải quyết bài toán cơ học kết cấu, có thể tiếp cận phương pháp này bằng đường lối trực tiếp, suy diễn vật lý hoặc đường lối toán học, suy diễn biến phân. Tuy nhiên bằng cách nào đi chăng nữa thì kết quả thu được là một ma trận (độ cứng hoặc độ mềm). Ma trận đó được xây đựng dựa trên cơ sở cực trị hóa phiếm hàm biểu diễn năng lượng.