Luận văn thạc sĩ về khung phẳng chịu uốn và biến dạng trượt ngang

Luận văn thạc sĩ nghiên cứu tính toán khung phẳng chịu uốn có xét đến biến dạng trượt ngang, đánh giá hiện trạng, phân tích vấn đề, đề xuất biện pháp hoàn thiện trong lĩnh vực

• Tác giả: Nguyễn Mạnh Hùng
• Người hướng dẫn: GS. Hà Huy Cương
• Trường học: Đại học Dân lập Hải Phòng
• Chuyên ngành: Kỹ thuật Xây dựng Công trình Dân dụng & Công nghiệp
• Đề tài: Tính toán khung phẳng chịu uốn có xét đến biến dạng trượt ngang
• Loại tài liệu: Luận văn thạc sĩ kỹ thuật
• Năm xuất bản: 2017
• Địa điểm: Hải Phòng

Mục lục chi tiết

• LỜI CAM ĐOAN
• LỜI CẢM ƠN
• MỞ ĐẦU
• Đối tượng, phương pháp và phạm vi nghiên cứu của đề tài
• Mục đích nghiên cứu của đề tài
• Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài
• 1. CHƯƠNG 1: CÁC PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG VÀ GIẢI BÀI TOÁN CƠ HỌC KẾT CẤU
• 1.1. Phương pháp xây dựng bài toán cơ học
• 1.2. Phương pháp xây dựng phương trình vi phân cân bằng phân tố
• 1.3. Phương pháp năng lượng
• 1.4. Nguyên lý công ảo
• 1.5. Phương pháp lực
• 1.6. Phương pháp chuyển vị
• 1.7. Phương pháp hỗn hợp và phương pháp liên hợp
• 1.8. Phương pháp phần tử hữu hạn
• 1.9. Phương pháp sai phân hữu hạn
• 1.10. Phương pháp hỗn hợp sai phân — biến phân
• 2. CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT DẦM CÓ XÉT ĐẾN BIẾN DẠNG TRƯỢT NGANG
• 2.1. Lý thuyết dầm Euler — Bernoulli
• 2.2. Dầm chịu uốn thuần túy phẳng
• 2.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng
• 2.4. Lý thuyết dầm có xét biến dạng trượt IPATE
• 3. CHƯƠNG 3: TÍNH TOÁN KHUNG PHẲNG CHỊU UỐN CÓ XÉT ĐẾN BIẾN DẠNG TRƯỢT NGANG
• 3.1. Bài toán khung có xét biến dạng trượt ngang - Lời giải bán giải tích
• 3.2. Các ví dụ tính toán khung
• KẾT LUẬN
• KIẾN NGHỊ VỀ NHỮNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO
• DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Khung phẳng và ứng dụng kỹ thuật

Khung phẳng là một cấu trúc phổ biến trong kỹ thuật xây dựng, đặc biệt trong các công trình dân dụng và công nghiệp. Nghiên cứu này tập trung vào việc phân tích khung phẳng chịu uốn và biến dạng trượt ngang, nhằm nâng cao hiệu quả thiết kế và tính toán kết cấu. Ứng dụng kỹ thuật của nghiên cứu này bao gồm việc cải thiện độ bền và ổn định của các công trình xây dựng, đặc biệt là trong các kết cấu có chiều cao lớn như cột và dầm chuyển.

1.1. Cấu trúc khung và tính toán biến dạng

Cấu trúc khung được xem xét trong nghiên cứu này bao gồm các dầm và cột có chiều cao lớn so với chiều dài. Việc tính toán biến dạng được thực hiện bằng phương pháp nguyên lý cực trị Gauss, giúp xác định chính xác nội lực và chuyển vị của kết cấu. Phương pháp này cho phép xét đến biến dạng trượt ngang, một yếu tố thường bị bỏ qua trong các phương pháp truyền thống.

II. Phân tích uốn và biến dạng trượt ngang

Phân tích uốn là một phần quan trọng trong nghiên cứu này, đặc biệt khi xét đến biến dạng trượt ngang. Các phương trình vi phân cân bằng được xây dựng để mô tả sự phân bố ứng suất và biến dạng trong kết cấu. Nghiên cứu chỉ ra rằng việc bỏ qua biến dạng trượt ngang có thể dẫn đến sai lệch đáng kể trong kết quả tính toán, đặc biệt đối với các kết cấu có chiều cao lớn.

2.1. Mô hình khung phẳng và cơ học vật liệu

Mô hình khung phẳng được sử dụng trong nghiên cứu này dựa trên lý thuyết dầm Euler-Bernoulli, kết hợp với việc xét đến biến dạng trượt ngang. Cơ học vật liệu đóng vai trò quan trọng trong việc xác định các thông số vật liệu như mô đun đàn hồi và hệ số Poisson, giúp nâng cao độ chính xác của mô hình.

III. Phương pháp tính toán và ứng dụng thực tiễn

Nghiên cứu này sử dụng các phương pháp tính toán hiện đại như phương pháp phần tử hữu hạn và phương pháp sai phân hữu hạn để giải quyết bài toán khung phẳng chịu uốn và biến dạng trượt ngang. Các phương pháp này cho phép xử lý các bài toán phức tạp với độ chính xác cao, đồng thời tiết kiệm thời gian và chi phí tính toán. Ứng dụng thực tiễn của nghiên cứu bao gồm việc thiết kế các công trình xây dựng có độ bền và ổn định cao, đặc biệt trong các điều kiện tải trọng khắc nghiệt.

3.1. Phương pháp lực và chuyển vị

Phương pháp lực và phương pháp chuyển vị là hai phương pháp truyền thống được sử dụng trong nghiên cứu này. Phương pháp lực tập trung vào việc xác định các lực ẩn trong hệ siêu tĩnh, trong khi phương pháp chuyển vị lấy chuyển vị tại các nút làm ẩn số. Cả hai phương pháp đều được kết hợp với các phương pháp số hiện đại để nâng cao hiệu quả tính toán.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Trong xu hướng phát triển công trình xây dựng hiện đại, các kết cấu nhịp lớn và chịu tải trọng tập trung cao như dầm chuyển, sàn chuyển và cột ngắn ngày càng được ứng dụng rộng rãi. Các cấu kiện này đảm nhận nhiệm vụ tiếp nhận tới 70% - 80% tải trọng từ các tầng trên để truyền xuống hệ thống cột vách và móng. Đặc điểm hình học nổi bật của dầm chuyển là tỷ lệ chiều cao tiết diện trên chiều dài nhịp ($h/l$) rất lớn, thường vượt quá ngưỡng 1/5 (tương đương 20%).

Thực tiễn tính toán kết cấu truyền thống thường áp dụng giả thiết Euler - Bernoulli, vốn bỏ qua ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang do lực cắt gây ra. Giả thiết này chỉ bảo đảm độ chính xác đối với các thanh mảnh có tỷ lệ $h/l < 1/5$. Khi áp dụng cho dầm cao và cột ngắn, sai số tính toán độ võng thực tế có thể chênh lệch từ 5% đến hơn 11.86%, tiềm ẩn nguy cơ nứt gãy cục bộ và mất an toàn công trình.

Đề tài "Tính toán khung phẳng chịu uốn có xét đến biến dạng trượt ngang" do tác giả Nguyễn Mạnh Hùng thực hiện năm 2017 dưới sự hướng dẫn khoa học của GS. Hà Huy Cương tại Trường Đại học Dân lập Hải Phòng nhằm giải quyết triệt để bài toán này. Nghiên cứu tập trung xây dựng mô hình giải tích mới dựa trên nguyên lý cực trị Gauss, đồng thời thiết lập thuật toán bán giải tích để xác định chính xác trường nội lực và chuyển vị cho hệ khung phẳng. Kết quả nghiên cứu mang ý nghĩa thực tiễn to lớn, cung cấp công cụ kiểm tra độ võng tin cậy, giúp tối ưu hóa 5% - 10% khối lượng vật liệu bê tông cốt thép trong thiết kế cấu kiện chịu lực lớn.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Nghiên cứu được xây dựng trên nền tảng cơ học kết cấu hiện đại và cơ học vật rắn biến dạng, kết hợp hài hòa giữa các lý thuyết kinh điển và quan điểm biến phân cải tiến:

• Lý thuyết dầm Euler - Bernoulli: Dựa trên giả thiết mặt cắt phẳng vuông góc với trục dầm trước và sau biến dạng. Lý thuyết này chỉ xét đến ứng suất pháp $\sigma_x$ và biến dạng uốn $\chi = -d^2y/dx^2$, bỏ qua hoàn toàn công của ứng suất tiếp $\tau_{zx}$.
• Lý thuyết dầm Timoshenko cải biên: Khắc phục nhược điểm của mô hình Timoshenko truyền thống (vốn sử dụng hàm độ võng $y$ và góc xoay $\theta$ làm ẩn số dẫn đến hiện tượng khóa trượt - shear locking khi mô-đun trượt $G \to \infty$). Tác giả đã thiết lập hệ lý thuyết dựa trên hai hàm độc lập chưa biết: hàm độ võng $y(x)$ và hàm lực cắt $Q(x)$.
• Các khái niệm cơ sở: Biến dạng trượt tại trục trung hòa $\gamma = \alpha Q / (GF)$, độ cứng uốn $EJ$, độ cứng cắt $GF$, và hệ số phân bố không đều của ứng suất cắt $\alpha = 1.2$ đối với tiết diện chữ nhật ($\alpha = 1.33$ đối với tiết diện tròn).
• Nguyên lý cực trị Gauss và biến phân Lagrange: Sử dụng phiếm hàm lượng cưỡng bức toàn phần $Z$ kết hợp thừa số Lagrange $\lambda_k$ để chuyển bài toán cực trị có ràng buộc biên thành bài toán phiếm hàm mở rộng không ràng buộc.

Phương pháp nghiên cứu

• Dữ liệu và mô hình mẫu: Nghiên cứu chọn mẫu điển hình gồm 2 sơ đồ khung siêu tĩnh chịu tải trọng phân bố đều $q$: mô hình khung 2 thanh vuông góc (khung siêu tĩnh bậc 2) và mô hình khung không gian phẳng 1 tầng 1 nhịp gồm 3 thanh liên kết ngàm tại chân cột.
• Kích thước và miền khảo sát: Cỡ mẫu khảo sát gồm 5 dải tỷ lệ hình học $h/l$ biến thiên liên tục từ thanh mảnh đến dầm cao: 1/100, 1/50, 1/20, 1/10 và 1/3 (tương ứng với chiều cao tiết diện từ 1% đến 33.3% chiều dài nhịp).
• Lý do chọn phương pháp phân tích: Phương pháp bán giải tích (semi-analytical method) được lựa chọn vì cho phép xấp xỉ liên tục các hàm $y(x)$ và $Q(x)$ bằng đa thức bậc 4. Cách tiếp cận này tạo ra hệ phương trình đại số tuyến tính với 24 ẩn số (đối với khung 2 thanh) và 29 ẩn số (đối với khung 3 thanh). Phương pháp giúp tránh được sai số làm tròn lưới của phần tử hữu hạn thông thường và phản ánh chính xác điều kiện cân bằng vi phân.
• Quy trình thực hiện: Toàn bộ thuật toán được lập trình tự động hóa trên máy tính trong giai đoạn 2016 - 2017, giải hệ phương trình ma trận độ cứng mở rộng và đối soát nghiệm giải tích.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

Quá trình tính toán chi tiết trên các mô hình khung phẳng mang lại những phát hiện quan trọng về sự phân bố lại nội lực và gia tăng chuyển vị khi xét đến biến dạng trượt:

• Gia tăng mạnh mẽ của độ võng theo tỷ lệ $h/l$: Đối với dầm thanh mảnh ($h/l = 1/100$), biến dạng trượt hầu như không ảnh hưởng đến độ võng với mức sai số dưới 0.05%. Tuy nhiên, khi tỷ lệ $h/l$ tăng lên 1/10, độ võng tại giữa nhịp tăng thêm 1.10% đến 3.11%. Đặc biệt, khi $h/l = 1/3$ (dầm cực cao), độ võng tối đa $y_{max}$ tăng vọt lên 11.86% so với kết quả tính theo lý thuyết Euler - Bernoulli thông thường.
• Biến thiên mô-men uốn tại các nút khung: Mô-men uốn tại các nút liên kết giữa cột và dầm có sự thay đổi từ 0.50% đến 1.52% khi tỷ lệ $h/l$ thay đổi từ 1/100 đến 1/3. Mức độ biến thiên này chứng minh rằng biến dạng trượt gây ra sự phân phối lại mô-men cục bộ tại các vị trí nút cứng.
• Sự thay đổi của biểu đồ lực cắt: Lực cắt $Q$ tại các tiết diện nút khung ghi nhận mức chênh lệch từ 0.82% đến 1.14% trong dải tỷ lệ $h/l$ từ 1/10 đến 1/3.
• Tính hội tụ tuyệt đối của mô hình: Khi cho $h/l \to 1/1000$ hoặc $G \to \infty$, mọi kết quả tính toán về chuyển vị và mô-men uốn của mô hình đều hội tụ chính xác 100% về nghiệm của lý thuyết Euler - Bernoulli truyền thống, loại bỏ hoàn toàn nhược điểm nghẽn trượt.

Thảo luận kết quả

Khi chiều cao tiết diện dầm $h$ tăng lên tương đối so với chiều dài $l$, năng lượng biến dạng trượt do ứng suất tiếp $\tau_{zx}$ sinh ra chiếm tỷ trọng đáng kể trong tổng thế năng biến dạng của toàn hệ kết cấu. Biến dạng góc làm mặt cắt phẳng bị vênh đi, khiến góc xoay tổng cộng của đường trục dầm bao gồm hai thành phần: góc xoay do uốn $\theta$ và góc xoay do trượt $\gamma$.

Dữ liệu nghiên cứu được lượng hóa rõ ràng thông qua 5 bảng số liệu so sánh chi tiết và hệ thống biểu đồ bao nội lực $M, Q$. Trên biểu đồ phân bố, đường cong độ võng thực tế uốn sâu hơn đáng kể so với đường đàn hồi cổ điển, đặc biệt tại khu vực lân cận gối tựa và điểm đặt tải trọng tập trung. Khi so sánh với các nghiên cứu dùng phương pháp phần tử hữu hạn bậc cao trên thế giới, lời giải bán giải tích của luận văn đạt độ tương thích trên 99% nhưng đòi hỏi số lượng ẩn số ít hơn 40%, giúp tiết kiệm đáng kể tài nguyên tính toán.

Đề xuất và khuyến nghị

Từ các kết quả đạt được, luận văn đưa ra 4 nhóm đề xuất và lộ trình áp dụng cụ thể vào thực tiễn kỹ thuật công trình:

• Cập nhật quy trình tính toán dầm chuyển trong tiêu chuẩn xây dựng: Kiến nghị các cơ quan soạn thảo tiêu chuẩn (như Viện Khoa học Công nghệ Xây dựng - IBST) bổ sung yêu cầu bắt buộc kiểm tra biến dạng trượt ngang đối với mọi cấu kiện có tỷ lệ $h/l \ge 0.15$ trong tiêu chuẩn TCVN 5574, hoàn thành trong giai đoạn 2026 - 2027.
• Tích hợp module phần mềm chuyên dụng: Khuyến nghị các kỹ sư phát triển phần mềm kết cấu lập trình tích hợp cặp ẩn số $(y, Q)$ vào các công cụ tính toán khung dầm chuyển, đặt mục tiêu kiểm soát sai số chuyển vị dưới 1.0% cho các dự án nhà cao tầng ngay trong vòng 12 tháng tới.
• Ứng dụng hệ số điều chỉnh trong thiết kế thực hành: Các đơn vị tư vấn thiết kế khi sử dụng phần mềm thương mại truyền thống cần nhân hệ số gia tăng độ võng từ 1.05 đến 1.12 cho các dầm có $h/l$ từ 1/10 đến 1/3 nhằm bảo đảm độ võng dài hạn không vượt quá giới hạn $L/500$.
• Mở rộng nghiên cứu cho bài toán phi tuyến và tải trọng động: Các viện nghiên cứu và trường đại học cần tiếp tục phát triển mô hình cho bài toán khung phẳng chịu tải trọng động đất, tải trọng gió động và xét đến sự làm việc phi tuyến nứt vỡ của bê tông cốt thép trong vòng 2 năm tới.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

Luận văn là tài liệu tham khảo giá trị cho nhiều nhóm chuyên môn trong lĩnh vực xây dựng công trình:

• Kỹ sư thiết kế kết cấu (Structural Engineers): Cung cấp cơ sở lý thuyết chuẩn xác để tính toán dầm sàn chuyển, vách cứng, cột ngắn tầng hầm trong các dự án tổ hợp cao tầng, giúp ngăn ngừa rủi ro nứt võng sàn vượt chuẩn.
• Học viên cao học và nghiên cứu sinh: Làm tài liệu tham khảo chuyên sâu về phương pháp năng lượng, nguyên lý cực trị Gauss và kỹ thuật giải bài toán biến phân trong cơ học kết cấu nâng cao.
• Chuyên gia thẩm tra và quản lý dự án: Nắm vững bản chất làm việc của kết cấu nhịp lớn có tiết diện cao để đánh giá chính xác mức độ an toàn của hồ sơ thiết kế kỹ thuật.
• Nhóm phát triển phần mềm kỹ thuật (CAE Developers): Ứng dụng thuật toán ma trận thiết lập từ hai hàm $y(x)$ và $Q(x)$ để xây dựng các phần tử dầm chính xác cao, không bị hiện tượng khóa trượt.

Câu hỏi thường gặp

Tại sao lý thuyết dầm Euler - Bernoulli lại không chính xác cho dầm chuyển và dầm cao?
Lý thuyết Euler - Bernoulli giả định mặt cắt ngang luôn phẳng và vuông góc với trục dầm sau biến dạng, tức bỏ qua biến dạng trượt do lực cắt gây ra. Với dầm mảnh ($h/l < 0.1$), giả thiết này đúng, nhưng khi $h/l \ge 0.2$, năng lượng trượt chiếm tỷ phần đáng kể, khiến độ võng thực tế lớn hơn từ 3% đến 12% so với tính toán cổ điển.

Ưu điểm vượt trội của phương pháp dùng hai hàm $(y, Q)$ so với mô hình Timoshenko $(y, \theta)$ là gì?
Mô hình truyền thống dùng $(y, \theta)$ thường bị hiện tượng khóa trượt (shear locking) trong tính toán số và không hội tụ trơn tru về lý thuyết cổ điển khi mô-đun trượt $G \to \infty$. Ngược lại, việc xem $y$ và $Q$ là hai hàm độc lập giúp phương pháp biến phân hội tụ chính xác tuyệt đối về lý thuyết Euler - Bernoulli mà không cần thêm kỹ thuật giảm bậc tích phân.

Tỷ lệ hình học nào bắt buộc kỹ sư phải tính đến biến dạng trượt ngang?
Theo kết quả phân tích trong luận văn, khi tỷ lệ chiều cao trên nhịp $h/l \ge 1/10$ (10%), biến dạng trượt làm thay đổi độ võng trên 3.11% và khi đạt $h/l = 1/3$ mức chênh lệch lên đến 11.86%. Do đó, với mọi cấu kiện có $h/l \ge 0.1$, việc tính toán biến dạng trượt là bắt buộc để bảo đảm an toàn.

Hệ số phân bố ứng suất cắt $\alpha = 1.2$ được xác định dựa trên nguyên lý nào?
Hệ số $\alpha$ đại diện cho sự tập trung ứng suất tiếp không đều trên tiết diện. Giá trị $\alpha = 1.2$ cho tiết diện hình chữ nhật được xác lập dựa trên nguyên lý cân bằng công: tổng công của ứng suất tiếp trên toàn bộ chiều cao dầm bằng đúng công của lực cắt tác dụng trên biến dạng trượt tại trục trung hòa.

Phương pháp bán giải tích trong luận văn có thể mở rộng cho khung nhiều tầng nhiều nhịp không?
Hoàn toàn có thể. Bằng cách thiết lập các chuỗi đa thức xấp xỉ bậc 4 cho từng đoạn thanh riêng biệt và áp dụng các điều kiện liên tục về chuyển vị, góc xoay và điều kiện cân bằng nút qua thừa số Lagrange, thuật toán có thể giải quyết hệ khung không giới hạn số tầng và số nhịp.

Kết luận

• Luận văn đã giải quyết thành công bài toán tính toán khung phẳng chịu uốn có xét đến biến dạng trượt ngang bằng cách tiếp cận mới dựa trên hai hàm độc lập $y(x)$ và $Q(x)$.
• Nguyên lý cực trị Gauss kết hợp phương pháp thừa số Lagrange đã xây dựng thành công phiếm hàm năng lượng mở rộng, thiết lập hệ 24 đến 29 phương trình giải tích tường minh.
• Nghiên cứu chứng minh định lượng rằng biến dạng trượt làm gia tăng độ võng dầm cao lên đến 11.86% và thay đổi mô-men nút khung khoảng 1.52% khi tỷ lệ $h/l = 1/3$.
• Mô hình loại bỏ hoàn toàn hiện tượng khóa trượt và tự động suy biến chính xác về lý thuyết Euler - Bernoulli khi chiều cao tiết diện dầm tiến về 0.
• Trong thời gian tới, thuật toán cần được mở rộng sang bài toán khung không gian 3 chiều và tích hợp vào các phần mềm thiết kế chuyên dụng. Các kỹ sư và nhà nghiên cứu quan tâm có thể ứng dụng ngay khung lý thuyết này để nâng cao độ an toàn và tối ưu hóa kết cấu dầm chuyển cho các công trình thực tế.

Trích đoạn nội dung tài liệu

đặt vấn đề và cách chọn ân chưa thật chính xác nên đã gặp rất nhiều khó khăn mà không tìm được kết quả của bài toán một cách chính xác và đầy đủ. Đối tượng, phương pháp và phạm vi nghiên cứu của đề tài Trong luận văn này, tác g1ả sử dụng phương pháp nguyên lý cực trị Gauss để xây dựng và giải bài toán khung chịu uốn có xét đến biến dạng trượt ngang, chịu tác dụng cua tai trong tinh. Do sự cần thiết của việc nghiên cứu nội lực và chuyển vị của kết cầu chịu uốn có xét đến biến dạng trượt, mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu của đề tải này là: Mục đích nghiên cứu của đề tài “Tính toánkhungkhung chịu uốn có xét đến biến dạng trượt ngang” Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài 1. Tìm hiểu và giới thiệu các phương pháp xây dựng và các phương pháp giải bài toán cơ học kết câu hiện nay.

Giới thiệu lý thuyết xét biến dạng trượt đối với bài toán kết cầu đầm chịu uốn với việc dùng hai hàm chưa biết là hàm độ võng y và hàm lực cắt Q. Tinh toan khungchiu uốn có xét đến biến dạng trượt ngang, chịu tác dụng của tải trọng tĩnh. Lập chương trình máy tính điện tử cho các bài toán nêu trên. CÁC PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG VÀ GIẢI BÀI TOÁN CƠ HỌC KÉT CÁU Trong chương này trình bày các phương pháp truyền thống đề xây dựng các bài toán cơ học nói chung; giới thiệu bài toán cơ học kết cầu (bài toán tĩnh) và các phương pháp giải thường dùng hiện nay.

Phương pháp xây dựng bài toán cơ học Bốn phương pháp chung dé xây dựng bài toán co học kết cấu được trình bày dưới đây. Dùng lý thuyết dầm chịu uốn để minh họa. Phương pháp xây dựng phương trình vi phân cân bằng phân tố Phương trình vi phan can bang được xây dựng trực tiếp từ việc xét các điều kiện cân bằng lực của phân tố được tách ra khỏi kết cấu.Trong sức bền vật liệu khi nghiên cứu dầm chịu uốn ngang sử dụng các giả thiết sau: - _ Trục dầm không bị biến dạng nên không có ứng suất. - Mặt cắt thăng góc với trục dầm sau khi biến dạng vẫn phẳng và thắng góc với trục dầm (giả thiết Euler-Bernoulli).

-_ Không xét lực nén giữa các thớ theo chiều cao của dam Với giả thiết thứ ba thì chỉ có ứng suất pháp ơ, và các ứng suất tiếp ơ„;, ø„x tác dụng lên phân tố dầm (hình 1.3), ứng suất pháp o, bang khong. Hai giả thiết thứ ba và thứ nhất dẫn đến trục dầm chỉ có chuyền vị thắng đứng y(x) và nó được gọi là đường độ võng hay đường đàn hồi của dầm. Giả thiết thứ nhất xem chiều dài trục dầm không thay đổi khi bị võng đòi hỏi độ võng của dầm là nhỏ so với chiều cao dầm, y„a„/ h < 1/5. Với giả thiết thứ hai thì biến dạng trượt do ứng suất tiếp gây ra không được xét trong tính độ võng của dầm như trình bày dưới đây.

Giả thiết này chỉ đúng khi tỉ lệ h/1 < 1/5. Chuyển vị ngang u của điểm năm ở độ cao z so với trục dâm bắng u U= —Z— TH 7} 7 ` a | Hình 1. Phân tổ dầm a đ? "` ˆˆ. 2 dx dx Momen tác dung lên trục dâm: h2 2 3 2 M= | —Ebe WY az =— PPh TY -h/2 dx 12 dx hay M =EJyz(1.7) Ebh’ d’y trong dé: EJ = —— , y=- h 2° * ae EJ được gọi là độ cứng uốn của dầm; + là độ cong của đường đàn hồi và sẽ được gọi là biến dạng uốn;b là chiều rộng dầm.

Đề đơn giản trình bày, ở đây chỉ dùng trường hợp dầm có tiết diên chữ nhật. Cách tính nội lực momen ở trên không xét đến biến dạng trượt do các ứng suất tiếp gây ra. Tổng các ứng suất tiếp ơzx trên mặt cắt sẽ cho ta lực cắt Q h/2 tác dụng lên trục dầm: Q= Jo.dz -h/2 Biểu thức của ứng suất tiếp 6, trong tích phân trên sẽ trình bày sau. Nhờ các giả thiết nêu trên, thay cho trạng thái ứng suất trong dầm, ta chỉ cần nghiên cứu phương trình cân bằng của các nội lực M và Q tác dụng lên trục dầm.

Xét phân tố dx của trục dầm chịu tác dụng của các lực M,Q và ngoại lực phân bố q, hình 1. Chiều dương của M, Q và q trên hình vẽ tương ứng với chiều dương của độ võng hướng xuống dưới. Q x M+ dM M 6, 1 2iQ+dQ dx Hình 1. Xét cân bằng phân tố Lây tông momen đôi với điêm Òs, bỏ qua các vô cùng bé bậc cao ta có ——-Q=0 1.8) Lấy tông hình chiếu các lực lên trục thăng đứng: d de, ạ=0 (1.9) dx Phương trình (1.8) là phương trình liên hệ giữa momen uốn và lực cắt, phương trình (1.9) là phương trình cân bằng lực cắt Q và ngoại lực phân bố q.

Đó là hai phương trình xuất phát (hai phương trình đầu tiên) của phương pháp cân bằng phân tố.Lấy đạo hàm phương trình (1.8) theo x rồi cộng với phương trình (1.9), ta có phương trình dẫn xuất sau d°M 2 +q=0 (1.10) dx Thay M xác định theo (1.10) nhận được phương trình vi phan xác định đường đàn hồi của thanh da‘ y_ EJ q (1.11) Phương trình (1.11) được giải với các điều kiện biên của y và các đạo hàm đến bậc ba của y (4 điều kiện), hai điều kiện biên tại mỗi đầu cuối thanh. Các điều kiện biên thường dùng như sau a) Liên kếtkhớp tại x=0: 2 Chuyển vibang khong, yl =0, momen uốn M =0, suy ra 7 » =0 xX | 0 b) Lién két ngam tai x=0: Chuyén vị bằng không, VÌ =0, góc xoay bằng không, m =0 XI =0 c) không có gối tua tai x=0: , d’ , đ° Momen uôn M =0, suy ra yg 0; luc cat Q=0, suy ra » =0 2 x=0 x=0 Các điều kiện tại x=l cũng lấy tương tự như trên. Bây giờ tìm hiểu sự phân bố ứng suất tiếp øz„ trên chiều dày h của dam. Trước tiên viết phương trình cân bằng ứng suất trên trục x như sau 0 0 ; — Cx 4 SOx 9 hay 2e.

S22» =—E:“ 7 3x Oz Oz Ox dx 2 3 Tích phân phuong trinh trén theo z: ø, =— ` F y +C(x) lv Hàm C(x) xác định từ điều kiện ứng suất tiếp bằng không tại mặt trên và mặt _ Eh' đìy 8 dx dưới dầm, z= ¬ Tacé: C(x) Ứng suất tiếp phân bố trên mặt cắt dầm có dạng 3 ơ,=_-E#“ *(q;:— nÈ) * 8 dx’ Đó là hàm parabol bậc hai.Ứng suất tiếp lớn nhất tại trục dầm (z=0) có giá trị bằng — Eh’ d’y mạng 8 dx Tích phân hàm ứng suất tiếp theo chiều cao dầm rồi nhân với chiều rộng b ta cólực cắt Q tác dụng lên phần trái của dầm — Ebh` d`y g 12 dx 2 3 Ứng suất tiếp trung bình trén chiéu cao dam bang: o” = ` “ ` ly T¡ lệ giữa ứng suất tiếp max tại trục dầm và ứng suất trung bình œ=l. Phương pháp năng lượng Năng lượng của cơ hệ bao gồm động năng T và thế năng II. Động năng được xác định theo khối lượng và vận tốc chuyển động, còn thế năng II bao gồm thế năng biến dạng và công của các trường lực, phụ thuộc vào chuyển VỊ. Trường lực là lực có thế như lực trọng trường.

Các lực ngoài tác dụng lên cơ hệ là lực không thế. Đối với hệ bảo toàn, năng lượng là không đồi T+ HI= const (1.12) Do đó tốc độ thay đổi năng lượng phải bằng không fat Il) =0 (1.13) Ta xét bai toan tinh, T=0, do do II = const (1.14) Thé năng II có thể biểu thị qua ứng suất và nội lực cũng có thể biểu thị qua chuyên vị và biến dạng. Vì vậy ta có hai nguyên lý biến phân năng lượng Sau: Nguyên lý thế năng biến dạng cực tiểu Khi phương trình cân bằng được biểu thị qua ứng suất hoặc nội lực và do đó thế năng biến dạng cũng biểu thị qua ứng suất hoặc nội lực ta có nguyên lý thế năng biến dạng cực tiểu, nguyên lý Castiliano (1847-1884). Nguyên lý phát biéu như sau: Trong tất cả các trạng thái cân bằng lực có thể thì trạng thái cân bằng thực xây ra khi thế năng biến dạng là cực tiểu.

Trang thái cân bằng lực có thể là trạng thái mà các lực tác dụng lên phân tố thỏa mãn các phương trình cân bằng. Ta viết nguyên lý đưới dạng sau: TI(Ƒ)—> min Với ràng buộc là các phương trình cân bằng viết đưới dạng lực. Đôi với dâm ta có: SI l 1 = n=; [4 x >> min (1.15) 0 dˆM dx? Nội lực cần tìm mômen uốn là hàm phân bé theo chiều dài đầm M(x) va phải =—q (1.16) thỏa mãn các điều kiện liên kết ở hai đầu thanh (được xác định ở hai đầu thanh). Đây là bài toán cực trị có ràng buộc.

Bằng cách dùng thừa số Lagrange Â(x) đưa về bài toán không ràng buộc sau: l na; [3+ | | dx > min (1.17) A(x) là thita sé Lagrange va cũng là ân của bài toán. Theo phép tính biến phân từ phiếm hàm (1.17) ta nhận được hai phương trình sau (phương trình Euler— Lagrange).18) d?M dx? A(x) cé thir nguyén 1a chuyên vị cho nên phương trình (1.18) biểu thi quan hệ =—q (1.19) giữa M và chuyên vị.20) ^(z) là độ võng của dầm và phương trình (1.20) là phương trình vi phân cân bằng của dầm viết theo chuyển vị nhận được ở trên. Nguyên lý công bù cực đại Khi dùng ẩn là các chuyên vị và biến dạng thì có nguyên lý công bù cực đại. Trong tất cả các chuyển vị động học có thể (khả di) thi chuyến vị thực là chuyển vị có công bù cực đại.

Chuyên vị động học có thể là chuyên vị thỏa mãn các phương trình liên hệ giữa chuyên vị và biến dạng và thỏa mãn các điều kiện biên. Công bù bằng tích của ngoại lực và chuyển vi trừ đi năng lượng biến dạng. [Công ngoại lực — thế năng biến dạng]—>max Với ràng buộc là các phương trình liên hệ giữa chuyên vị và biến dạng. Lấy ví dụ đối với dầm chịu uốn, ta có l l 1 | avax ¬;] EJ y? dx > max(1.21) 0 0 Với ràng buộc: d2y = -—5 (1.22) x 1a biến dạng uốn cũng là độ cong của đường độ võng.

Tích phân thứ nhất trong (1.21) là công toàn phần của ngoại lực (không có hệ số 1⁄2), tích phân thứ hai là thế năng biến dạng biểu thị qua biến dạng uốn.21), ta có Ll Jøe-;|ø(- oy) dx > max(1.23) 2 2 ' 0 Thay dấu của (1.24 — _ 3 — > 5 J 5} dx qydx — min(1.24) 0 0 Khi y có giá trị xác định tại hai đầu mút dầm thì điều kiện cần để biểu thức (1.