đặt vấn đề và cách chọn ân chưa thật chính xác nên đã gặp rất nhiều khó khăn mà không tìm được kết quả của bài toán một cách chính xác và đầy đủ. Đối tượng, phương pháp và phạm vi nghiên cứu của đề tài Trong luận văn này, tác g1ả sử dụng phương pháp nguyên lý cực trị Gauss để xây dựng và giải bài toán khung chịu uốn có xét đến biến dạng trượt ngang, chịu tác dụng cua tai trong tinh. Do sự cần thiết của việc nghiên cứu nội lực và chuyển vị của kết cầu chịu uốn có xét đến biến dạng trượt, mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu của đề tải này là: Mục đích nghiên cứu của đề tài “Tính toánkhungkhung chịu uốn có xét đến biến dạng trượt ngang” Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài 1. Tìm hiểu và giới thiệu các phương pháp xây dựng và các phương pháp giải bài toán cơ học kết câu hiện nay.
Giới thiệu lý thuyết xét biến dạng trượt đối với bài toán kết cầu đầm chịu uốn với việc dùng hai hàm chưa biết là hàm độ võng y và hàm lực cắt Q. Tinh toan khungchiu uốn có xét đến biến dạng trượt ngang, chịu tác dụng của tải trọng tĩnh. Lập chương trình máy tính điện tử cho các bài toán nêu trên. CÁC PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG VÀ GIẢI BÀI TOÁN CƠ HỌC KÉT CÁU Trong chương này trình bày các phương pháp truyền thống đề xây dựng các bài toán cơ học nói chung; giới thiệu bài toán cơ học kết cầu (bài toán tĩnh) và các phương pháp giải thường dùng hiện nay.
Phương pháp xây dựng bài toán cơ học Bốn phương pháp chung dé xây dựng bài toán co học kết cấu được trình bày dưới đây. Dùng lý thuyết dầm chịu uốn để minh họa. Phương pháp xây dựng phương trình vi phân cân bằng phân tố Phương trình vi phan can bang được xây dựng trực tiếp từ việc xét các điều kiện cân bằng lực của phân tố được tách ra khỏi kết cấu.Trong sức bền vật liệu khi nghiên cứu dầm chịu uốn ngang sử dụng các giả thiết sau: - _ Trục dầm không bị biến dạng nên không có ứng suất. - Mặt cắt thăng góc với trục dầm sau khi biến dạng vẫn phẳng và thắng góc với trục dầm (giả thiết Euler-Bernoulli).
-_ Không xét lực nén giữa các thớ theo chiều cao của dam Với giả thiết thứ ba thì chỉ có ứng suất pháp ơ, và các ứng suất tiếp ơ„;, ø„x tác dụng lên phân tố dầm (hình 1.3), ứng suất pháp o, bang khong. Hai giả thiết thứ ba và thứ nhất dẫn đến trục dầm chỉ có chuyền vị thắng đứng y(x) và nó được gọi là đường độ võng hay đường đàn hồi của dầm. Giả thiết thứ nhất xem chiều dài trục dầm không thay đổi khi bị võng đòi hỏi độ võng của dầm là nhỏ so với chiều cao dầm, y„a„/ h < 1/5. Với giả thiết thứ hai thì biến dạng trượt do ứng suất tiếp gây ra không được xét trong tính độ võng của dầm như trình bày dưới đây.
Giả thiết này chỉ đúng khi tỉ lệ h/1 < 1/5. Chuyển vị ngang u của điểm năm ở độ cao z so với trục dâm bắng u U= —Z— TH 7} 7 ` a | Hình 1. Phân tổ dầm a đ? "` ˆˆ. 2 dx dx Momen tác dung lên trục dâm: h2 2 3 2 M= | —Ebe WY az =— PPh TY -h/2 dx 12 dx hay M =EJyz(1.7) Ebh’ d’y trong dé: EJ = —— , y=- h 2° * ae EJ được gọi là độ cứng uốn của dầm; + là độ cong của đường đàn hồi và sẽ được gọi là biến dạng uốn;b là chiều rộng dầm.
Đề đơn giản trình bày, ở đây chỉ dùng trường hợp dầm có tiết diên chữ nhật. Cách tính nội lực momen ở trên không xét đến biến dạng trượt do các ứng suất tiếp gây ra. Tổng các ứng suất tiếp ơzx trên mặt cắt sẽ cho ta lực cắt Q h/2 tác dụng lên trục dầm: Q= Jo.dz -h/2 Biểu thức của ứng suất tiếp 6, trong tích phân trên sẽ trình bày sau. Nhờ các giả thiết nêu trên, thay cho trạng thái ứng suất trong dầm, ta chỉ cần nghiên cứu phương trình cân bằng của các nội lực M và Q tác dụng lên trục dầm.
Xét phân tố dx của trục dầm chịu tác dụng của các lực M,Q và ngoại lực phân bố q, hình 1. Chiều dương của M, Q và q trên hình vẽ tương ứng với chiều dương của độ võng hướng xuống dưới. Q x M+ dM M 6, 1 2iQ+dQ dx Hình 1. Xét cân bằng phân tố Lây tông momen đôi với điêm Òs, bỏ qua các vô cùng bé bậc cao ta có ——-Q=0 1.8) Lấy tông hình chiếu các lực lên trục thăng đứng: d de, ạ=0 (1.9) dx Phương trình (1.8) là phương trình liên hệ giữa momen uốn và lực cắt, phương trình (1.9) là phương trình cân bằng lực cắt Q và ngoại lực phân bố q.
Đó là hai phương trình xuất phát (hai phương trình đầu tiên) của phương pháp cân bằng phân tố.Lấy đạo hàm phương trình (1.8) theo x rồi cộng với phương trình (1.9), ta có phương trình dẫn xuất sau d°M 2 +q=0 (1.10) dx Thay M xác định theo (1.10) nhận được phương trình vi phan xác định đường đàn hồi của thanh da‘ y_ EJ q (1.11) Phương trình (1.11) được giải với các điều kiện biên của y và các đạo hàm đến bậc ba của y (4 điều kiện), hai điều kiện biên tại mỗi đầu cuối thanh. Các điều kiện biên thường dùng như sau a) Liên kếtkhớp tại x=0: 2 Chuyển vibang khong, yl =0, momen uốn M =0, suy ra 7 » =0 xX | 0 b) Lién két ngam tai x=0: Chuyén vị bằng không, VÌ =0, góc xoay bằng không, m =0 XI =0 c) không có gối tua tai x=0: , d’ , đ° Momen uôn M =0, suy ra yg 0; luc cat Q=0, suy ra » =0 2 x=0 x=0 Các điều kiện tại x=l cũng lấy tương tự như trên. Bây giờ tìm hiểu sự phân bố ứng suất tiếp øz„ trên chiều dày h của dam. Trước tiên viết phương trình cân bằng ứng suất trên trục x như sau 0 0 ; — Cx 4 SOx 9 hay 2e.
S22» =—E:“ 7 3x Oz Oz Ox dx 2 3 Tích phân phuong trinh trén theo z: ø, =— ` F y +C(x) lv Hàm C(x) xác định từ điều kiện ứng suất tiếp bằng không tại mặt trên và mặt _ Eh' đìy 8 dx dưới dầm, z= ¬ Tacé: C(x) Ứng suất tiếp phân bố trên mặt cắt dầm có dạng 3 ơ,=_-E#“ *(q;:— nÈ) * 8 dx’ Đó là hàm parabol bậc hai.Ứng suất tiếp lớn nhất tại trục dầm (z=0) có giá trị bằng — Eh’ d’y mạng 8 dx Tích phân hàm ứng suất tiếp theo chiều cao dầm rồi nhân với chiều rộng b ta cólực cắt Q tác dụng lên phần trái của dầm — Ebh` d`y g 12 dx 2 3 Ứng suất tiếp trung bình trén chiéu cao dam bang: o” = ` “ ` ly T¡ lệ giữa ứng suất tiếp max tại trục dầm và ứng suất trung bình œ=l. Phương pháp năng lượng Năng lượng của cơ hệ bao gồm động năng T và thế năng II. Động năng được xác định theo khối lượng và vận tốc chuyển động, còn thế năng II bao gồm thế năng biến dạng và công của các trường lực, phụ thuộc vào chuyển VỊ. Trường lực là lực có thế như lực trọng trường.
Các lực ngoài tác dụng lên cơ hệ là lực không thế. Đối với hệ bảo toàn, năng lượng là không đồi T+ HI= const (1.12) Do đó tốc độ thay đổi năng lượng phải bằng không fat Il) =0 (1.13) Ta xét bai toan tinh, T=0, do do II = const (1.14) Thé năng II có thể biểu thị qua ứng suất và nội lực cũng có thể biểu thị qua chuyên vị và biến dạng. Vì vậy ta có hai nguyên lý biến phân năng lượng Sau: Nguyên lý thế năng biến dạng cực tiểu Khi phương trình cân bằng được biểu thị qua ứng suất hoặc nội lực và do đó thế năng biến dạng cũng biểu thị qua ứng suất hoặc nội lực ta có nguyên lý thế năng biến dạng cực tiểu, nguyên lý Castiliano (1847-1884). Nguyên lý phát biéu như sau: Trong tất cả các trạng thái cân bằng lực có thể thì trạng thái cân bằng thực xây ra khi thế năng biến dạng là cực tiểu.
Trang thái cân bằng lực có thể là trạng thái mà các lực tác dụng lên phân tố thỏa mãn các phương trình cân bằng. Ta viết nguyên lý đưới dạng sau: TI(Ƒ)—> min Với ràng buộc là các phương trình cân bằng viết đưới dạng lực. Đôi với dâm ta có: SI l 1 = n=; [4 x >> min (1.15) 0 dˆM dx? Nội lực cần tìm mômen uốn là hàm phân bé theo chiều dài đầm M(x) va phải =—q (1.16) thỏa mãn các điều kiện liên kết ở hai đầu thanh (được xác định ở hai đầu thanh). Đây là bài toán cực trị có ràng buộc.
Bằng cách dùng thừa số Lagrange Â(x) đưa về bài toán không ràng buộc sau: l na; [3+ | | dx > min (1.17) A(x) là thita sé Lagrange va cũng là ân của bài toán. Theo phép tính biến phân từ phiếm hàm (1.17) ta nhận được hai phương trình sau (phương trình Euler— Lagrange).18) d?M dx? A(x) cé thir nguyén 1a chuyên vị cho nên phương trình (1.18) biểu thi quan hệ =—q (1.19) giữa M và chuyên vị.20) ^(z) là độ võng của dầm và phương trình (1.20) là phương trình vi phân cân bằng của dầm viết theo chuyển vị nhận được ở trên. Nguyên lý công bù cực đại Khi dùng ẩn là các chuyên vị và biến dạng thì có nguyên lý công bù cực đại. Trong tất cả các chuyển vị động học có thể (khả di) thi chuyến vị thực là chuyển vị có công bù cực đại.
Chuyên vị động học có thể là chuyên vị thỏa mãn các phương trình liên hệ giữa chuyên vị và biến dạng và thỏa mãn các điều kiện biên. Công bù bằng tích của ngoại lực và chuyển vi trừ đi năng lượng biến dạng. [Công ngoại lực — thế năng biến dạng]—>max Với ràng buộc là các phương trình liên hệ giữa chuyên vị và biến dạng. Lấy ví dụ đối với dầm chịu uốn, ta có l l 1 | avax ¬;] EJ y? dx > max(1.21) 0 0 Với ràng buộc: d2y = -—5 (1.22) x 1a biến dạng uốn cũng là độ cong của đường độ võng.
Tích phân thứ nhất trong (1.21) là công toàn phần của ngoại lực (không có hệ số 1⁄2), tích phân thứ hai là thế năng biến dạng biểu thị qua biến dạng uốn.21), ta có Ll Jøe-;|ø(- oy) dx > max(1.23) 2 2 ' 0 Thay dấu của (1.24 — _ 3 — > 5 J 5} dx qydx — min(1.24) 0 0 Khi y có giá trị xác định tại hai đầu mút dầm thì điều kiện cần để biểu thức (1.
