BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG DAI HOC DAN LAP HAI PHONG PHAM KHAC HUNG PHUONG PHAP PHAN TU HUU HAN DOI VOI CAC BAI TOAN DAM NHIEU NHIP CHIU TAC DUNG CUA TAI TRONG TINH Chuyên ngành: Kỹ thuật Xây dựng Công trình Dân dụng & Công nghiệp Mã số: 60.08 LUAN VAN THAC SY KY THUAT NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS. HÀ HUY CƯƠNG Hải Phòng, 2017 MO DAU Bài toán cơ học kết cấu hiện nay nói chung được xây đựng theo bốn đường lối đó là: Phương pháp xây dựng phương trình vi phân cân bằng phân tố; Phương pháp năng lượng; Phương pháp nguyên lý công ảo và Phương pháp sử dụng trực tiếp phương trình Lagrange. Các phương pháp giải gồm có: Phương pháp được coi là chính xác như, phương pháp lực; Phương pháp chuyển vị; Phương pháp hỗn hợp; Phương pháp liên hợp và các phương pháp gần đúng như, phương pháp phần tử hữu hạn; phương pháp sai phân hữu hạn; phương pháp hỗn hợp sai phân - biến phân. Phương pháp phần tử hữu hạn là một phương pháp số đặc biệt có hiệu quả dé tìm dạng gần đúng của một hàm chưa biết trong miền xác định V của nó.
Tuy nhiên phương pháp phần tử hữu hạn không tìm dạng xấp xi của hàm cần tìm trên toàn miền V mà chỉ trong từng miền con Vv. (phan tử) thuộc miễn xác định V. Do đó phương pháp này rất thích hợp với hàng loạt bài toán vật lý và kỹ thuật trong đó hàm cần tìm được xác định trên các miền phức tạp gồm nhiều vùng nhỏ có đặc tính hình học, vật lý khác nhau, chịu những điều kiện biên khác nhau. Đối tượng, phương pháp và phạm vi nghiên cứu của đề tài Trong luận văn này, tác giả sử dụng phương pháp Phần tử hữu hạn nói trên để xây dựng và giải một số bài toán đầm nhiều nhịp, chịu tác dụng của tải trọng tĩnh.
Do sự cần thiết của việc nghiên cứu nội lực và chuyền VỊ của kết cấu, mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn này là: Mục đích nghiên cứu của đề tài “Nghiên cứu nội lực và chuyển vị của dâm nhiễu nhịp chịu tác dụng của tải trọng tĩnh ” Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài 1. Tìm hiểu và giới thiệu các phương pháp xây dựng và các phương pháp giải bài toán cơ học kết cầu hiện nay. Trình bày Phương pháp Phần tử hữu hạn đối với các bài toán cơ học kết cấu. Áp dụng Phương pháp Phần tử hữu hạn để xây dựng và giải các bài toán dầm nhiều nhịp, chịu tác dụng của tải trọng tĩnh.
Lập chương trình máy tính điện tử cho các bài toán nêu trên. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu Việc tìm hiểu và ứng dụng phương pháp Phương pháp Phần tử hữu hạn có ý nghĩa về mặt khoa học và thực tiễn tính toán công trình. CÁC PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CƠ HỌC KET CAU Trong chương này trình bày các phương pháp truyền thống đề xây dựng các bài toán cơ học nói chung: giới thiệu bài toán cơ học kết cầu (bài toán tĩnh) và các phương pháp giải thường dùng hiện nay. Phương pháp xây dựng bài toán cơ học Bốn phương pháp chung để xây dựng bài toán cơ học kết cấu được trình bày dưới đây.
Dùng lý thuyết dầm chịu uốn để minh họa. Phương pháp xây dựng phương trình vi phân cân bằng phân tố Phương trình vi phân cân bằng được xây dựng trực tiếp từ việc xét các điều kiện cân bằng lực của phân tố được tách ra khỏi kết cấu. Trong sức bên vật liệu khi nghiên cứu dầm chịu uốn ngang sử dụng các giả thiết sau: - Truc dam không bị biến dạng nên không có ứng suất. - Mat cat thang góc với trục dầm sau khi biến dạng vẫn phẳng và thắng ĐÓC VỚI truc dim (gia thiết Euler-Bernoulli).
-_ Không xét lực nén giữa các thớ theo chiều cao của dầm Với giả thiết thứ ba thì chỉ có ứng suất pháp ơ, và các ứng suất tiếp ơ;z, ơ„ tác dụng lên phân tố dầm (hình 1.3), ứng suất pháp ø; bằng không. Hai giả thiết thứ ba và thứ nhất dẫn đến trục dầm chỉ có chuyền vị thăng đứng y(x) và nó được gọi là đường độ võng hay đường đàn hồi của dầm. Giả thiết thứ nhất xem chiều đài trục đầm không thay đổi khi bị võng đòi hỏi độ võng của đầm là nhỏ so với chiều cao dam, Ymax/h < 1/5. Với giả thiết thứ hai thì biến dạng trượt do ứng suất tiếp gây ra không được xét trong tính độ võng của dầm như trình bày dưới đây.
Giả thiết này chỉ đúng khi tỉ lệ h/I < 1/5. Chuyên vị ngang u của điểm nằm ở độ cao z so với trục dầm bằng dy ax u=—zZz Biên dạng và ứng suât xác định như sau 2 d 2 I” é,= 22, o,, =—-Ez - J. dx dx TTH 4 7 N Momen tac dụng lên trục dầm: a Ễ h/2 a Ebh` d? , M = [ - Eb? “*az=-—* <> — “i dx" 12 dx Hình 1. Phân tố dam hay M=EJy (1.7) Ebh` ? trong đó: EJ=———, _¢ y 12 dx? EJ được gọi là độ cứng uốn của dầm; Z là độ cong của đường đàn hồi và sẽ được gọi là biến dạng uốn; b là chiều rộng dầm.
Đề đơn giản trình bay, 6 đây chỉ dùng trường hợp đầm có tiết điên chữ nhật. Cách tính nội lực momen ở trên không xét đến biến dạng trượt do các ứng suất tiếp gây ra. Tổng các ứng suất tiếp „trên mặt cắt sẽ cho ta lực cắt Q tác dụng hl? lên trục dầm: Q= Joudz ~h/2 Biểu thức của ứng suất tiếp ø;„ trong tích phân trên sẽ trình bày sau. Nhờ các giả thiết nêu trên, thay cho trạng thái ứng suất trong dầm, ta chỉ cần nghiên cứu phương trình cân bằng của các nội lực M và Q tác dụng lên trục dầm.
Xét phân tố dx của trục đầm chịu tác dụng của các lực M,Q và ngoại lực phân bố q, hình 1. Chiều đương của M, Q và q trên hình vẽ tương ứng với chiều đương của độ võng hướng xuống dưới. Q x M+dM M lo, 1 21Q+dQ dx Hinh 1. Xét can bang phan tố Lấy tổng momen đối với điểm O¿, bỏ qua các vô cùng bé bậc cao ta có dM “—-0Q=0 (1.8) dx Lấy tông hình chiếu các lực lên trục thắng đứng: d0.9) Phương trình (1.8) là phương trình liên hệ giữa momen uốn và lực cắt, phương trình (1.9) là phương trình cân bằng lực cắt Q và ngoại lực phân bố q.
Đó là hai phương trình xuất phát (hai phương trình đầu tiên) của phương pháp cân bằng phân tố. Lấy đạo hàm phương trình (1.8) theo x rồi cộng với phương trình (1.9), ta có phương trình dẫn xuất sau d°M dx? Thay M xác dinh theo (1.10) nhan được phương trình vi phân xác định đường đàn hồi của thanh +q=0 (1.11) được giải với các điều kiện biên của y và các đạo hàm đến bậc ba của y (4 điều kiện), hai điều kiện biên tại mỗi đầu cuối thanh. Các điều kiện biên thường dùng như sau a) Liên kết khớp tại x=0: 2 x z ? Chuyên vị băng không, VÌ, =0, momen uôn ⁄ =0, suy ra 1 - =0 x” | .-0 b) Lién két ngam tai x=0: Ao eas A , 3 A dy Chuyên vị băng không, yk = 0, góc xoay băng không, x =0 XxX x=0 c) không có gối tựa tại x=0: 2 3 Momen uôn # =0, suy ra dy =0 ; luc cat Q=0, suy ra ay 0 dx’ |, dx’ |, Các điều kiện tại x=l cũng lấy tương tự như trên. Bây giờ tìm hiểu sự phân bố ứng suất tiếp ø„„ trên chiều dày h của dầm.
Trước tiên viết phương trình cân bằng ứng suất trên trục x như sau ô ô ; _ 00, + Co, =0 hay do. _ ÔØ,„ --g;4} ox Ô OZ Ox dx’ 2 3 Tích phân phương trình trên theo z: Ø,„=— = - 2 +C (x) x Ham C(x) xác định từ điều kiện ứng suất tiếp bằng không tại mặt trên và mặt 2 3 C(x) == d y. aD h dưới dâm, z=+—. Ta có: : 2 8 dx Ứng suất tiếp phân bó trên mat cat dam có dạng _Edìy ơ =-= * 8 dx (4z? —h’) Đó là hàm parabol bậc hai.Ung suất tiếp lớn nhat tai truc dam (z=0) có giá trị bằng _ Eh đìy =0 8 dự) xz Tích phân hàm ứng suất tiếp theo chiều cao dầm rồi nhân với chiều rộng b ta có lực cắt Q tác dụng lên phan trái của dầm — Ebh` d`y 12 dx’ 2 3 Ứng suất tiếp trung bình trên chiều cao dam bang: o” = = “ » xX Tỉ lệ giữa ứng suất tiếp max tại trục dầm và ứng suất trung bình o=1.
Phương pháp năng lượng Năng lượng của cơ hệ bao gồm động năng T và thế năng II. Động năng được xác định theo khối lượng và vận tốc chuyển động, còn thế năng II bao gồm thế năng biến đạng và công của các trường lực, phụ thuộc vào chuyên vị. Trường lực là lực có thế như lực trọng trường. Các lực ngoàải tác dụng lên cơ hệ là lực không thế.
Đối với hệ bảo toàn, năng lượng là không đồi T+ II= const (1.12) Do đó tốc độ thay đổi năng lượng phải bằng không sư +H)=0 (1.13) Ta xét bai toan tinh, T=0, do do II =const (1.14) Thế năng II có thể biểu thị qua ứng suất và nội lực cũng có thé biéu thi qua chuyên vị và biến dạng. Vì vậy ta có hai nguyên lý biến phân năng lượng sau: Nguyên lý thế năng biến dạng cực tiểu Khi phương trình cân bằng được biểu thị qua ứng suất hoặc nội lực và đo đó thế năng biến dạng cũng biểu thị qua ứng suất hoặc nội lực ta có nguyên lý thế năng biến dạng cực tiểu, nguyên lý Castiliano (1847-1884). Nguyên lý phat biểu như sau: Trong tất cả các trạng thái cân bằng lực có thể thì trạng thái cân bằng thực xáy ra khi thế nang bién dạng là cực tiểu. Trạng thái cân bằng lực có thể là trạng thái mà các lực tác dụng lên phân tố thỏa mãn các phương trình cân bằng.
Ta viết nguyên lý đưới dạng sau: HI(Ƒ)—> min Với ràng buộc là các phương trình cân bằng viết dưới dang lực. Đôi với dâm ta có: 1 1M? H =;]„“ — min (1.16) Nội lực cần tìm mômen uốn là hàm phân bồ theo chiều đài đầm M(x) và phải thỏa mãn các điều kiện liên kết ở hai đầu thanh (được xác định ở hai đầu thanh). Đây là bài toán cực trị có rang buéc. Bang cach ding thira sé Lagrange A(x) đưa về bài toán không ràng buộc sau: 1/M d?M nif Face [rool rtalax — min (1.17) A() là thừa số Lagrange và cũng là ấn của bài toán.
