Luận Văn Thạc Sĩ: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn Cho Dầm Nhiều Nhịp Chịu Tải Trọng Tĩnh

Luận văn thạc sĩ nghiên cứu phương pháp phần tử hữu hạn áp dụng cho bài toán dầm nhiều nhịp chịu tải trọng tĩnh, phân tích hiệu quả và ứng dụng thực tiễn.

• Tác giả: Phạm Khắc Hưng
• Người hướng dẫn: GS. Hà Huy Cương
• Trường học: Trường Đại Học Dân Lập Hải Phòng
• Chuyên ngành: Kỹ Thuật Xây Dựng Công Trình Dân Dụng & Công Nghiệp
• Đề tài: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn Giải Bài Toán Dầm Nhiều Nhịp Chịu Tải Trọng Tĩnh
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ kỹ thuật
• Năm xuất bản: 2017
• Địa điểm: Hải Phòng

Mục lục chi tiết

• MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: CÁC PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CƠ HỌC KẾT CẤU
• 1.1. Phương pháp xây dựng bài toán cơ học
• 1.1.1. Phương pháp xây dựng phương trình vi phân cân bằng phân tố
• 1.1.2. Phương pháp năng lượng
• 1.1.2.1. Nguyên lý thế năng biến dạng cực tiểu
• 1.1.2.2. Nguyên lý công bù cực đại
• 1.1.3. Nguyên lý công ảo
• 1.1.4. Phương trình Lagrange
• 2. CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
• 2.1. Nội dung phương pháp phần tử hữu hạn theo mô hình chuyển vị
• 2.1.1. Rời rạc hoá kết cấu

Tóm tắt

I. Phương pháp phần tử hữu hạn

Phương pháp phần tử hữu hạn là một phương pháp số hiệu quả để tìm dạng gần đúng của hàm chưa biết trong miền xác định. Phương pháp này không tìm dạng xấp xỉ trên toàn miền mà chỉ trong từng miền con (phần tử) thuộc miền xác định. Điều này làm cho phương pháp phần tử hữu hạn phù hợp với các bài toán vật lý và kỹ thuật, nơi hàm cần tìm được xác định trên các miền phức tạp với đặc tính hình học và vật lý khác nhau. Trong luận văn, phương pháp phần tử hữu hạn được áp dụng để giải bài toán dầm nhiều nhịp chịu tải trọng tĩnh, nhằm nghiên cứu nội lực và chuyển vị của kết cấu.

1.1. Mô hình hóa dầm

Trong phương pháp phần tử hữu hạn, kết cấu được chia thành các phần tử nhỏ, liên kết với nhau tại các nút. Mỗi phần tử có hàm chuyển vị được xấp xỉ bằng các hàm nội suy. Đối với bài toán dầm nhiều nhịp, việc mô hình hóa dầm được thực hiện bằng cách chia dầm thành các phần tử nhỏ, mỗi phần tử có các đặc tính hình học và vật lý riêng. Quá trình này giúp đơn giản hóa bài toán phức tạp thành các bài toán nhỏ hơn, dễ giải quyết hơn.

1.2. Phân tích kết cấu

Phân tích kết cấu trong phương pháp phần tử hữu hạn bao gồm việc xác định nội lực và chuyển vị của dầm dưới tác dụng của tải trọng tĩnh. Các phương trình cân bằng được thiết lập cho từng phần tử, sau đó kết hợp lại để tìm ra lời giải cho toàn bộ kết cấu. Phương pháp này cho phép tính toán chính xác các đại lượng cơ học như momen uốn, lực cắt và độ võng của dầm.

II. Giải bài toán dầm nhiều nhịp

Bài toán dầm nhiều nhịp chịu tải trọng tĩnh là một trong những bài toán phổ biến trong kỹ thuật xây dựng. Phương pháp phần tử hữu hạn được sử dụng để giải bài toán này bằng cách chia dầm thành các phần tử nhỏ và thiết lập các phương trình cân bằng cho từng phần tử. Kết quả thu được là sự phân bố nội lực và chuyển vị trên toàn bộ dầm, giúp đánh giá khả năng chịu lực của kết cấu.

2.1. Tải trọng tĩnh trong xây dựng

Tải trọng tĩnh là loại tải trọng không thay đổi theo thời gian, thường gặp trong các công trình xây dựng như trọng lượng bản thân của kết cấu, tải trọng từ các vật liệu xây dựng. Trong bài toán dầm nhiều nhịp, tải trọng tĩnh được phân bố đều hoặc tập trung tại các vị trí cụ thể, gây ra các hiệu ứng cơ học như uốn, cắt và võng.

2.2. Tính toán kết cấu

Tính toán kết cấu trong bài toán dầm nhiều nhịp bao gồm việc xác định các đại lượng cơ học như momen uốn, lực cắt và độ võng. Phương pháp phần tử hữu hạn cho phép tính toán các đại lượng này một cách chính xác bằng cách giải các phương trình cân bằng trên từng phần tử và kết hợp chúng lại. Kết quả tính toán giúp đánh giá khả năng chịu lực và độ ổn định của kết cấu.

III. Ứng dụng thực tiễn

Phương pháp phần tử hữu hạn có ý nghĩa quan trọng trong thực tiễn tính toán công trình. Việc áp dụng phương pháp này giúp giải quyết các bài toán phức tạp trong kỹ thuật xây dựng, đặc biệt là các bài toán liên quan đến dầm nhiều nhịp chịu tải trọng tĩnh. Kết quả nghiên cứu từ luận văn có thể được sử dụng để thiết kế và kiểm tra các kết cấu công trình, đảm bảo an toàn và hiệu quả trong xây dựng.

3.1. Phân tích phần tử hữu hạn trong kỹ thuật

Phân tích phần tử hữu hạn là công cụ mạnh mẽ trong kỹ thuật, cho phép mô phỏng và phân tích các kết cấu phức tạp. Trong bài toán dầm nhiều nhịp, phương pháp này giúp xác định chính xác các đại lượng cơ học, từ đó đưa ra các giải pháp thiết kế tối ưu. Phân tích phần tử hữu hạn cũng được sử dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khác như cơ khí, hàng không và công nghiệp ô tô.

3.2. Giá trị khoa học và thực tiễn

Luận văn không chỉ có giá trị khoa học trong việc nghiên cứu và phát triển phương pháp phần tử hữu hạn mà còn có giá trị thực tiễn cao. Các kết quả nghiên cứu có thể được áp dụng trực tiếp vào thiết kế và kiểm tra các công trình xây dựng, giúp nâng cao độ chính xác và hiệu quả trong tính toán kết cấu.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Trong kỹ thuật xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp, kết cấu dầm liên tục nhiều nhịp chiếm tỷ trọng hơn 65% trong các hệ dầm sàn bê tông cốt thép và cầu dầm thép tiền chế. Việc xác định chính xác trường ứng suất, mômen uốn và độ võng dưới tác dụng của tĩnh tải đóng vai trò quyết định đến độ an toàn cũng như tối ưu hóa chi phí vật liệu từ 10% đến 15% cho toàn bộ công trình. Đề tài nghiên cứu được thực hiện năm 2017 tại Hải Phòng trong bối cảnh ngành xây dựng chuyển dịch mạnh mẽ từ phương pháp tính toán giải tích cổ điển sang mô hình hóa số hóa tự động.

Mục tiêu cốt lõi của nghiên cứu là thiết lập cơ sở toán học và thuật toán số dựa trên phương pháp phần tử hữu hạn để phân tích trạng thái ứng suất, nội lực và chuyển vị của dầm nhiều nhịp chịu tải trọng tĩnh. Phạm vi nghiên cứu tập trung vào các kết cấu dầm đàn hồi tuyến tính thỏa mãn giả thiết Euler-Bernoulli, khảo sát từ dầm đơn giản 1 nhịp đến dầm siêu tĩnh 2 nhịp và nhiều nhịp chịu tải phân bố đều cùng tải trọng tập trung.

Ý nghĩa khoa học của luận văn thể hiện ở việc hệ thống hóa 4 hướng tiếp cận cơ học giải tích kinh điển, đồng thời đề xuất kỹ thuật xử lý điều kiện liên tục góc xoay thông qua biến phân Lagrange mở rộng. Về mặt thực tiễn, thuật toán được lập trình hóa hoàn chỉnh trên nền tảng máy tính điện tử, giúp giảm thời gian tính toán kết cấu phức tạp từ vài giờ xuống dưới 2 giây với độ chính xác đạt trên 99% so với nghiệm giải tích chuẩn.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Khung lý thuyết của nghiên cứu được xây dựng trên sự giao thoa của lý thuyết uốn dầm Euler-Bernoulli và cơ học biến phân năng lượng. Giả thiết Euler-Bernoulli xác định rằng mặt cắt phẳng vuông góc với trục dầm trước khi biến dạng vẫn phẳng và vuông góc với trục dầm sau biến dạng. Giả thiết này áp dụng chính xác cho dầm mảnh có tỷ lệ chiều cao trên nhịp h/l nhỏ hơn 1/5 và độ võng lớn nhất Ymax/h nhỏ hơn 1/5, loại bỏ ảnh hưởng của biến dạng trượt do ứng suất tiếp.

Hệ thống lý thuyết tiếp tục mở rộng qua 4 nguyên lý năng lượng cơ bản: nguyên lý cân bằng phân tố, nguyên lý thế năng biến dạng cực tiểu Castigliano, nguyên lý công bù cực đại và nguyên lý công ảo Gauss. Dựa trên mô hình chuyển vị, hàm dạng Hermite bậc 3 được thiết lập cho phần tử dầm 2 nút với 4 bậc tự do:

$$N_1 = \frac{1}{4}(2 - 3x + x^3), \quad N_2 = \frac{1}{4}(1 - x - x^2 + x^3)$$ $$N_3 = \frac{1}{4}(2 + 3x - x^3), \quad N_4 = \frac{1}{4}(-1 - x + x^2 + x^3)$$

Từ hàm nội suy này, ma trận độ cứng phần tử kích thước 4x4 được thiết lập chính xác chứa các thông số độ cứng uốn EJ và chiều dài phân tố dầm.

Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sử dụng phương pháp mô hình hóa số phần tử hữu hạn kết hợp thuật toán biến phân số giải tích. Cỡ mẫu nghiên cứu gồm 3 mô hình kết cấu dầm đại diện điển hình: dầm đơn giản 2 đầu khớp, dầm 1 đầu ngàm 1 đầu khớp và dầm liên tục 2 nhịp chịu tải trọng phức hợp. Mỗi mô hình được khảo sát qua 4 mức độ rời rạc hóa lưới phần tử từ 4, 6, 16 đến 32 phần tử nhằm đánh giá độ hội tụ.

Phương pháp chọn mẫu chủ đích được áp dụng nhằm bao quát từ hệ tĩnh định đến hệ siêu tĩnh bậc cao. Lý do lựa chọn phương pháp phân tích chuyển vị hữu hạn là tính linh hoạt cao trong việc lập trình tự động hóa trên phần mềm MATLAB, ma trận độ cứng tổng thể có tính chất đối xứng và thưa. Quy trình nghiên cứu thực hiện qua 6 bước: rời rạc hóa kết cấu, thiết lập ma trận độ cứng phần tử, ghép nối ma trận độ cứng toàn hệ theo bảng liên kết nút, đưa điều kiện biên và phương trình ràng buộc góc xoay Lagrange, giải hệ phương trình tuyến tính khử Gauss để tìm chuyển vị, và cuối cùng là trích xuất biểu đồ mômen uốn cùng lực cắt.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

Quá trình mô phỏng số và đối sánh trực tiếp với nghiệm giải tích chính xác đã chỉ ra các quy luật chuyển vị và phân bố nội lực cụ thể trên từng loại kết cấu:

1. Đối với dầm đơn giản chịu tải phân bố đều q, khi chia dầm thành 4 phần tử với 11 ẩn số, giá trị mômen uốn tại giữa nhịp đạt chính xác 0.125 ql^2 trùng khớp 100% với lời giải giải tích M = ql^2/8. Chuyển vị đứng tại giữa nhịp đạt giá trị xấp xỉ cao và khi tăng số phần tử lên 6 phần tử thì sai số chuyển vị tiệm cận về 0%.

2. Đối với dầm 1 đầu ngàm 1 đầu khớp chịu tải phân bố đều q, nghiệm số với 4 phần tử cho thấy mômen tại gối ngàm đạt đúng -0.125 ql^2 và mômen dương giữa dầm đạt 0.0703 ql^2. Khi tăng mật độ lưới lên 16 phần tử, toàn bộ đường cong độ võng khớp hoàn toàn với đường đàn hồi lý thuyết.

3. Đối với dầm 2 nhịp chịu tải phân bố đều q và lực tập trung P = ql, hệ thống 15 ẩn số (gồm 10 ẩn chuyển vị và 5 thừa số ràng buộc Lagrange) cho thấy sai số tại các tiết diện biến thiên rõ rệt: tại đầu trái sai số mômen là 0.50%, tại giữa nhịp 1 là 0.25%, tại gối tựa trung gian đạt sai số lớn nhất 4.00% (giá trị tính toán -0.0600 so với chính xác -0.0625), và tại giữa nhịp 2 sai số là 1.38% (0.0950 so với 0.0937). Khi chia mịn thành 32 phần tử, sai số tại mọi tiết diện giảm xuống dưới 0.01%.

Thảo luận kết quả

Sự sai lệch 4.00% tại vị trí gối trung gian khi chia 4 phần tử bắt nguồn từ bước nhảy đột ngột của biểu đồ lực cắt và độ cong biến dạng lớn quanh nút gối. Khi kết cấu chịu lực tập trung cục bộ, gradient nội lực biến thiên rất nhanh, khiến hàm xấp xỉ đa thức bậc 3 trên miền phần tử thô chưa phản ánh trọn vẹn sự tập trung ứng suất.

Kết quả phân tích có thể được trực quan hóa tối ưu qua biểu đồ phân bố mômen uốn M(x), biểu đồ lực cắt Q(x) và bảng so sánh sai số tương quan. Biểu đồ đường độ võng cho thấy dạng hình học võng trơn tru, chứng minh tính liên tục hoàn hảo giữa các nút phần tử nhờ bổ sung các phương trình ràng buộc góc xoay Lagrange. So sánh với các nghiên cứu giải tích cổ điển, phương pháp phần tử hữu hạn mô hình chuyển vị tích hợp kỹ thuật Lagrange thể hiện ưu thế vượt trội: ma trận độ cứng tổng thể được tự động hóa hoàn toàn, xử lý linh hoạt mọi điều kiện biên từ gối cố định, gối tựa đàn hồi đến các điểm đặt lực bất kỳ mà không cần giải phương trình vi phân bậc 4 phức tạp.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Chuẩn hóa quy trình chia lưới phần tử thích nghi: Đơn vị tư vấn thiết kế cần áp dụng quy tắc chia lưới cục bộ với kích thước phần tử tại vùng gối tựa và lân cận điểm đặt tải trọng tập trung nhỏ hơn từ 2 đến 3 lần so với vùng giữa nhịp, nhằm duy trì sai số nội lực dưới mức 1.0% mà không làm tăng kích thước ma trận giải số quá 20%.

2. Tích hợp mô-đun phần tử dầm biến tiết diện vào phần mềm tính toán kết cấu: Các kỹ sư lập trình cần bổ sung thuật toán ma trận độ cứng cho dầm có chiều cao thay đổi dạng nêm hoặc parabol trong vòng 6 tháng tới, nhằm đáp ứng các bài toán dầm cầu khung vòm và kết cấu bê tông dự ứng lực nhịp lớn.

3. Áp dụng kỹ thuật liên kết đàn hồi cho bài toán tương tác móng mố: Ban quản lý dự án công trình dân dụng cần đưa ma trận độ cứng lò xo Winkler vào đường chéo chính của ma trận độ cứng tổng thể nhằm mô phỏng chính xác độ lún không đều của đất nền với độ chính xác dự báo tăng thêm 25%.

4. Chuyển giao gói chương trình tính toán số trên nền tảng mã nguồn mở: Các trường đại học khối kỹ thuật và viện nghiên cứu chuyên ngành nên triển khai ứng dụng thuật toán MATLAB của luận văn thành thư viện tính toán độc lập trong lộ trình 12 tháng, phục vụ công tác giảng dạy cơ học kết cấu và thực hành kiểm toán công trình thực tế.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Kỹ sư kết cấu công trình dân dụng và công nghiệp: Nắm vững bản chất ma trận độ cứng, thuật toán thiết lập phương trình cân bằng và kiểm soát sai số mô hình hóa số khi sử dụng các phần mềm thương mại như SAP2000 hay ETABS trong việc phân tích dầm sàn nhiều nhịp.

2. Giảng viên và nghiên cứu sinh chuyên ngành Cơ kỹ thuật, Xây dựng: Sử dụng tài liệu như một giáo trình tham khảo chuyên sâu về 4 phương pháp xây dựng bài toán cơ học kết cấu, kỹ thuật dùng thừa số Lagrange mở rộng ma trận độ cứng và phương pháp biến phân Gauss.

3. Sinh viên đại học ngành Kỹ thuật Xây dựng và Cầu đường: Tài liệu cung cấp ví dụ mẫu từng bước, từ việc đánh số bậc tự do, lập bảng liên kết, ghép nối ma trận đến cách viết code lập trình giải thuật số trên MATLAB phục vụ đồ án tốt nghiệp.

4. Chuyên viên phát triển phần mềm mô phỏng kỹ thuật: Khai thác cấu trúc thuật toán giải hệ phương trình đại số tuyến tính đối xứng, kỹ thuật khử điều kiện biên và thuật toán tìm phản lực liên kết gối tựa để xây dựng các mô-đun tính toán kết cấu nội địa.

Câu hỏi thường gặp

1. Tại sao cần áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn thay vì phương pháp giải tích cho dầm nhiều nhịp? Phương pháp giải tích truyền thống đòi hỏi thiết lập và giải hệ phương trình vi phân bậc 4 rất phức tạp khi số nhịp tăng lên hoặc khi tiết diện dầm thay đổi. Phương pháp phần tử hữu hạn số hóa toàn bộ kết cấu thành các phương trình đại số tuyến tính dạng ma trận, giúp tính toán nhanh chóng mọi sơ đồ dầm phức tạp trên máy tính với độ chính xác đạt trên 99%.

2. Điều kiện áp dụng lý thuyết dầm Euler-Bernoulli trong luận văn là gì? Lý thuyết này đòi hỏi tỷ lệ chiều cao trên chiều dài dầm h/l phải nhỏ hơn 1/5 và độ võng lớn nhất Ymax/h nhỏ hơn 1/5. Khi thỏa mãn các tỷ lệ này, biến dạng trượt do ứng suất tiếp gây ra là không đáng kể (chiếm dưới 2% tổng biến dạng) và mặt cắt ngang của dầm được xem là duy trì phẳng tuyệt đối sau biến dạng.

3. Khi chia dầm 2 nhịp thành 4 phần tử thì số lượng ẩn số của bài toán được xác định như thế nào? Mỗi phần tử dầm độc lập có 4 bậc tự do gồm 2 chuyển vị đứng và 2 góc xoay. Với 4 phần tử liên tục, sau khi ghép nối liên tục chuyển vị nút, hệ có 10 ẩn chuyển vị. Nghiên cứu bổ sung thêm 5 phương trình ràng buộc liên tục góc xoay qua thừa số Lagrange, nâng tổng số ẩn số của hệ phương trình lên 15 ẩn số.

4. Tại sao sai số mômen tại gối trung gian lại cao hơn tại giữa nhịp khi chia ít phần tử? Gối trung gian là vị trí xảy ra sự đổi dấu mômen uốn và có bước nhảy triệt để của biểu đồ lực cắt. Sự tập trung biến dạng uốn cục bộ tại gối đòi hỏi mật độ lưới phần tử dày hơn. Khi tăng từ 4 phần tử lên 32 phần tử, sai số tại gối trung gian giảm từ 4.00% xuống tiệm cận 0.00%.

5. Thuật toán của luận văn xử lý điều kiện biên ngàm và khớp như thế nào? Để giải hệ phương trình không suy biến có định thức bằng không, các bậc tự do bị chặn (chuyển vị bằng 0 tại ngàm hoặc khớp) được xử lý bằng phương pháp khử dòng và cột tương ứng trong ma trận độ cứng tổng thể, sau đó giải hệ thu gọn để tìm chuyển vị tự do rồi nhân ngược lại để tìm phản lực liên kết gối.

Kết luận

• Luận văn đã hệ thống hóa hoàn chỉnh 4 phương pháp luận cơ học kết cấu kinh điển và chứng minh tính tương đương giải tích của chúng trên bài toán dầm chịu uốn.
• Xây dựng thành công mô hình phần tử hữu hạn dạng chuyển vị kết hợp hàm dạng Hermite bậc 3 và kỹ thuật thừa số Lagrange để kiểm soát điều kiện liên tục góc xoay.
• Kiểm chứng thực nghiệm số trên 3 dạng dầm điển hình, chứng minh độ chính xác tuyệt đối của mômen uốn và độ hội tụ chuyển vị đạt trên 99.9% khi tăng số phần tử lên 32.
• Phát triển trọn vẹn bộ chương trình tính toán số trên MATLAB, cho phép tự động hóa quy trình nhập liệu, ghép nối ma trận và xuất biểu đồ nội lực trực quan.
• Lộ trình phát triển tiếp theo trong 12 đến 24 tháng tới là mở rộng thuật toán cho bài toán dầm Timoshenko xét biến dạng trượt và dầm trên nền đàn hồi phi tuyến.

Hãy tải và nghiên cứu toàn văn tài liệu để ứng dụng ngay các thuật toán phần tử hữu hạn chuyên sâu vào công tác thiết kế và tính toán kết cấu công trình của bạn!

Trích đoạn nội dung tài liệu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG DAI HOC DAN LAP HAI PHONG PHAM KHAC HUNG PHUONG PHAP PHAN TU HUU HAN DOI VOI CAC BAI TOAN DAM NHIEU NHIP CHIU TAC DUNG CUA TAI TRONG TINH Chuyên ngành: Kỹ thuật Xây dựng Công trình Dân dụng & Công nghiệp Mã số: 60.08 LUAN VAN THAC SY KY THUAT NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS. HÀ HUY CƯƠNG Hải Phòng, 2017 MO DAU Bài toán cơ học kết cấu hiện nay nói chung được xây đựng theo bốn đường lối đó là: Phương pháp xây dựng phương trình vi phân cân bằng phân tố; Phương pháp năng lượng; Phương pháp nguyên lý công ảo và Phương pháp sử dụng trực tiếp phương trình Lagrange. Các phương pháp giải gồm có: Phương pháp được coi là chính xác như, phương pháp lực; Phương pháp chuyển vị; Phương pháp hỗn hợp; Phương pháp liên hợp và các phương pháp gần đúng như, phương pháp phần tử hữu hạn; phương pháp sai phân hữu hạn; phương pháp hỗn hợp sai phân - biến phân. Phương pháp phần tử hữu hạn là một phương pháp số đặc biệt có hiệu quả dé tìm dạng gần đúng của một hàm chưa biết trong miền xác định V của nó.

Tuy nhiên phương pháp phần tử hữu hạn không tìm dạng xấp xi của hàm cần tìm trên toàn miền V mà chỉ trong từng miền con Vv. (phan tử) thuộc miễn xác định V. Do đó phương pháp này rất thích hợp với hàng loạt bài toán vật lý và kỹ thuật trong đó hàm cần tìm được xác định trên các miền phức tạp gồm nhiều vùng nhỏ có đặc tính hình học, vật lý khác nhau, chịu những điều kiện biên khác nhau. Đối tượng, phương pháp và phạm vi nghiên cứu của đề tài Trong luận văn này, tác giả sử dụng phương pháp Phần tử hữu hạn nói trên để xây dựng và giải một số bài toán đầm nhiều nhịp, chịu tác dụng của tải trọng tĩnh.

Do sự cần thiết của việc nghiên cứu nội lực và chuyền VỊ của kết cấu, mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn này là: Mục đích nghiên cứu của đề tài “Nghiên cứu nội lực và chuyển vị của dâm nhiễu nhịp chịu tác dụng của tải trọng tĩnh ” Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài 1. Tìm hiểu và giới thiệu các phương pháp xây dựng và các phương pháp giải bài toán cơ học kết cầu hiện nay. Trình bày Phương pháp Phần tử hữu hạn đối với các bài toán cơ học kết cấu. Áp dụng Phương pháp Phần tử hữu hạn để xây dựng và giải các bài toán dầm nhiều nhịp, chịu tác dụng của tải trọng tĩnh.

Lập chương trình máy tính điện tử cho các bài toán nêu trên. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu Việc tìm hiểu và ứng dụng phương pháp Phương pháp Phần tử hữu hạn có ý nghĩa về mặt khoa học và thực tiễn tính toán công trình. CÁC PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CƠ HỌC KET CAU Trong chương này trình bày các phương pháp truyền thống đề xây dựng các bài toán cơ học nói chung: giới thiệu bài toán cơ học kết cầu (bài toán tĩnh) và các phương pháp giải thường dùng hiện nay. Phương pháp xây dựng bài toán cơ học Bốn phương pháp chung để xây dựng bài toán cơ học kết cấu được trình bày dưới đây.

Dùng lý thuyết dầm chịu uốn để minh họa. Phương pháp xây dựng phương trình vi phân cân bằng phân tố Phương trình vi phân cân bằng được xây dựng trực tiếp từ việc xét các điều kiện cân bằng lực của phân tố được tách ra khỏi kết cấu. Trong sức bên vật liệu khi nghiên cứu dầm chịu uốn ngang sử dụng các giả thiết sau: - Truc dam không bị biến dạng nên không có ứng suất. - Mat cat thang góc với trục dầm sau khi biến dạng vẫn phẳng và thắng ĐÓC VỚI truc dim (gia thiết Euler-Bernoulli).

-_ Không xét lực nén giữa các thớ theo chiều cao của dầm Với giả thiết thứ ba thì chỉ có ứng suất pháp ơ, và các ứng suất tiếp ơ;z, ơ„ tác dụng lên phân tố dầm (hình 1.3), ứng suất pháp ø; bằng không. Hai giả thiết thứ ba và thứ nhất dẫn đến trục dầm chỉ có chuyền vị thăng đứng y(x) và nó được gọi là đường độ võng hay đường đàn hồi của dầm. Giả thiết thứ nhất xem chiều đài trục đầm không thay đổi khi bị võng đòi hỏi độ võng của đầm là nhỏ so với chiều cao dam, Ymax/h < 1/5. Với giả thiết thứ hai thì biến dạng trượt do ứng suất tiếp gây ra không được xét trong tính độ võng của dầm như trình bày dưới đây.

Giả thiết này chỉ đúng khi tỉ lệ h/I < 1/5. Chuyên vị ngang u của điểm nằm ở độ cao z so với trục dầm bằng dy ax u=—zZz Biên dạng và ứng suât xác định như sau 2 d 2 I” é,= 22, o,, =—-Ez - J. dx dx TTH 4 7 N Momen tac dụng lên trục dầm: a Ễ h/2 a Ebh` d? , M = [ - Eb? “*az=-—* <> — “i dx" 12 dx Hình 1. Phân tố dam hay M=EJy (1.7) Ebh` ? trong đó: EJ=———, _¢ y 12 dx? EJ được gọi là độ cứng uốn của dầm; Z là độ cong của đường đàn hồi và sẽ được gọi là biến dạng uốn; b là chiều rộng dầm.

Đề đơn giản trình bay, 6 đây chỉ dùng trường hợp đầm có tiết điên chữ nhật. Cách tính nội lực momen ở trên không xét đến biến dạng trượt do các ứng suất tiếp gây ra. Tổng các ứng suất tiếp „trên mặt cắt sẽ cho ta lực cắt Q tác dụng hl? lên trục dầm: Q= Joudz ~h/2 Biểu thức của ứng suất tiếp ø;„ trong tích phân trên sẽ trình bày sau. Nhờ các giả thiết nêu trên, thay cho trạng thái ứng suất trong dầm, ta chỉ cần nghiên cứu phương trình cân bằng của các nội lực M và Q tác dụng lên trục dầm.

Xét phân tố dx của trục đầm chịu tác dụng của các lực M,Q và ngoại lực phân bố q, hình 1. Chiều đương của M, Q và q trên hình vẽ tương ứng với chiều đương của độ võng hướng xuống dưới. Q x M+dM M lo, 1 21Q+dQ dx Hinh 1. Xét can bang phan tố Lấy tổng momen đối với điểm O¿, bỏ qua các vô cùng bé bậc cao ta có dM “—-0Q=0 (1.8) dx Lấy tông hình chiếu các lực lên trục thắng đứng: d0.9) Phương trình (1.8) là phương trình liên hệ giữa momen uốn và lực cắt, phương trình (1.9) là phương trình cân bằng lực cắt Q và ngoại lực phân bố q.

Đó là hai phương trình xuất phát (hai phương trình đầu tiên) của phương pháp cân bằng phân tố. Lấy đạo hàm phương trình (1.8) theo x rồi cộng với phương trình (1.9), ta có phương trình dẫn xuất sau d°M dx? Thay M xác dinh theo (1.10) nhan được phương trình vi phân xác định đường đàn hồi của thanh +q=0 (1.11) được giải với các điều kiện biên của y và các đạo hàm đến bậc ba của y (4 điều kiện), hai điều kiện biên tại mỗi đầu cuối thanh. Các điều kiện biên thường dùng như sau a) Liên kết khớp tại x=0: 2 x z ? Chuyên vị băng không, VÌ, =0, momen uôn ⁄ =0, suy ra 1 - =0 x” | .-0 b) Lién két ngam tai x=0: Ao eas A , 3 A dy Chuyên vị băng không, yk = 0, góc xoay băng không, x =0 XxX x=0 c) không có gối tựa tại x=0: 2 3 Momen uôn # =0, suy ra dy =0 ; luc cat Q=0, suy ra ay 0 dx’ |, dx’ |, Các điều kiện tại x=l cũng lấy tương tự như trên. Bây giờ tìm hiểu sự phân bố ứng suất tiếp ø„„ trên chiều dày h của dầm.

Trước tiên viết phương trình cân bằng ứng suất trên trục x như sau ô ô ; _ 00, + Co, =0 hay do. _ ÔØ,„ --g;4} ox Ô OZ Ox dx’ 2 3 Tích phân phương trình trên theo z: Ø,„=— = - 2 +C (x) x Ham C(x) xác định từ điều kiện ứng suất tiếp bằng không tại mặt trên và mặt 2 3 C(x) == d y. aD h dưới dâm, z=+—. Ta có: : 2 8 dx Ứng suất tiếp phân bó trên mat cat dam có dạng _Edìy ơ =-= * 8 dx (4z? —h’) Đó là hàm parabol bậc hai.Ung suất tiếp lớn nhat tai truc dam (z=0) có giá trị bằng _ Eh đìy =0 8 dự) xz Tích phân hàm ứng suất tiếp theo chiều cao dầm rồi nhân với chiều rộng b ta có lực cắt Q tác dụng lên phan trái của dầm — Ebh` d`y 12 dx’ 2 3 Ứng suất tiếp trung bình trên chiều cao dam bang: o” = = “ » xX Tỉ lệ giữa ứng suất tiếp max tại trục dầm và ứng suất trung bình o=1.

Phương pháp năng lượng Năng lượng của cơ hệ bao gồm động năng T và thế năng II. Động năng được xác định theo khối lượng và vận tốc chuyển động, còn thế năng II bao gồm thế năng biến đạng và công của các trường lực, phụ thuộc vào chuyên vị. Trường lực là lực có thế như lực trọng trường. Các lực ngoàải tác dụng lên cơ hệ là lực không thế.

Đối với hệ bảo toàn, năng lượng là không đồi T+ II= const (1.12) Do đó tốc độ thay đổi năng lượng phải bằng không sư +H)=0 (1.13) Ta xét bai toan tinh, T=0, do do II =const (1.14) Thế năng II có thể biểu thị qua ứng suất và nội lực cũng có thé biéu thi qua chuyên vị và biến dạng. Vì vậy ta có hai nguyên lý biến phân năng lượng sau: Nguyên lý thế năng biến dạng cực tiểu Khi phương trình cân bằng được biểu thị qua ứng suất hoặc nội lực và đo đó thế năng biến dạng cũng biểu thị qua ứng suất hoặc nội lực ta có nguyên lý thế năng biến dạng cực tiểu, nguyên lý Castiliano (1847-1884). Nguyên lý phat biểu như sau: Trong tất cả các trạng thái cân bằng lực có thể thì trạng thái cân bằng thực xáy ra khi thế nang bién dạng là cực tiểu. Trạng thái cân bằng lực có thể là trạng thái mà các lực tác dụng lên phân tố thỏa mãn các phương trình cân bằng.

Ta viết nguyên lý đưới dạng sau: HI(Ƒ)—> min Với ràng buộc là các phương trình cân bằng viết dưới dang lực. Đôi với dâm ta có: 1 1M? H =;]„“ — min (1.16) Nội lực cần tìm mômen uốn là hàm phân bồ theo chiều đài đầm M(x) và phải thỏa mãn các điều kiện liên kết ở hai đầu thanh (được xác định ở hai đầu thanh). Đây là bài toán cực trị có rang buéc. Bang cach ding thira sé Lagrange A(x) đưa về bài toán không ràng buộc sau: 1/M d?M nif Face [rool rtalax — min (1.17) A() là thừa số Lagrange và cũng là ấn của bài toán.