Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ chuyên ngành Toán ứng dụng (mã số 9 46 01 12) của nghiên cứu sinh Nguyễn Phương Đông, thực hiện tại Học viện Khoa học và Công nghệ thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. Hoàng Việt Long và PGS. Nguyễn Long Giang, tập trung vào việc mô hình hóa toán học quá trình lan truyền các phần mềm độc hại (mã độc) trong mạng cảm biến không dây (Wireless Sensor Network - WSN).

Mạng cảm biến không dây bao gồm tập hợp các thiết bị cảm biến có năng lượng giới hạn, kết nối qua liên kết không dây để thu thập dữ liệu phân tán. Do tài nguyên hạn chế và môi trường vận hành đặc thù, hệ thống này thường xuyên phải đối mặt với nguy cơ tấn công từ virus, sâu mạng và phần mềm gián điệp. Các mô hình lan truyền cổ điển thường giả định mạng đồng nhất với tỷ lệ tiếp xúc đồng đều giữa các nút, sử dụng đạo hàm bậc nguyên và bỏ qua tính chất nhớ cũng như tính không chắc chắn của dữ liệu truyền dẫn. Thực tế cho thấy mạng cảm biến có cấu trúc phức hợp không đồng nhất, quá trình truyền dẫn chịu tác động của môi trường và các tham số đo đạc thường có độ bất định cao. Khoảng trống nghiên cứu được luận án xác định là sự thiếu vắng các khung phân tích toán học tích hợp đồng thời ba yếu tố: cấu trúc topo không đồng nhất của mạng, hiệu ứng nhớ của môi trường thông qua đạo hàm phân thứ, và tính bất định của thông tin được mô hình hóa bằng lý thuyết tập mờ và logic mờ.

Mục tiêu nghiên cứu của luận án được xác định gồm ba nội dung:

  1. Thiết lập được một số mô hình toán học mô tả sự lan truyền mã độc trên mạng cảm biến không dây.
  2. Xác định được chỉ số ngưỡng lan truyền $R_0$ - giá trị ngưỡng đặc trưng của các mô hình lan truyền mã độc.
  3. Khảo sát các tính chất định tính như: sự tồn tại duy nhất và tính dương của nghiệm đối với bài toán Cauchy cho các mô hình lan truyền mã độc, sự tồn tại các điểm cân bằng, tính ổn định tiệm cận, sự rẽ nhánh và bài toán điều khiển ổn định hóa.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của luận án bao gồm:

  • Đối tượng nghiên cứu: Các mô hình toán học của sự lan truyền mã độc trên một lớp mạng phức hợp không đồng nhất biểu diễn bởi các lớp hệ phương trình vi phân phân thứ với tham số mờ hoặc thiết lập bởi logic mờ; các tính chất định tính như tính dương, chỉ số ngưỡng lan truyền, sự ổn định tiệm cận và bài toán điều khiển cho mô hình đề xuất.
  • Phạm vi nghiên cứu: Mạng cảm biến không dây mô hình hóa dưới dạng mạng quy mô tự do (mạng Barabási-Albert chuẩn và mạng Barabási-Albert giới hạn năng lượng), hệ phương trình vi phân phân thứ với bậc $\beta \in (0, 1)$, dữ liệu ban đầu nhận giá trị số mờ và hệ suy luận mờ Takagi-Sugeno.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Luận án điểm lại hệ thống các công trình nghiên cứu làm nền tảng lý thuyết và định vị đóng góp học thuật:

  • Khởi đầu từ mô hình dịch tễ học ngăn SIR do Kermack và McKendrick thiết lập năm 1927, hướng tiếp cận mô hình hóa lây nhiễm sinh học đã được ứng dụng sang mô hình hóa phát tán mã độc trên mạng máy tính (Mishra và Keshri, 2007, 2010; Khanh, 2017).
  • Về mô hình dịch tễ trên mạng phức hợp: Công trình của Pastor-Satorras và Vespignani (2001) đã thiết lập mô hình dịch SIS trên mạng phức hợp không đồng nhất, loại bỏ giả định các nút có vai trò như nhau. Huo và cộng sự (2014) đề xuất mô hình ba ngăn trên mạng quy mô tự do và xác định hệ số lây nhiễm cơ bản $R_0$. Li và Yousef nghiên cứu mô hình SIRS với hàm xử lý mã độc bão hòa, phát hiện hiện tượng rẽ nhánh lùi tại $R_0 = 1$.
  • Về ứng dụng lý thuyết mờ trong dịch tễ và truyền thông: Zan và cộng sự (2014) xây dựng mô hình SICR truyền tin đồn trên mạng xã hội với tham số mờ. Hosseini và Zandvakili (2020) đề xuất mô hình SEIRS-C dựa trên mạng và cơ sở luật mờ để xác định tốc độ truyền. Massad và cộng sự, Mondal và cộng sự, Nandi và cộng sự khảo sát các mô hình phương trình vi phân mờ bậc nguyên.
  • Về hệ động lực phân thứ trên mạng: Các nghiên cứu của Chen và cộng sự (2014), Huo và Zhao (2016), El Saka và cộng sự (2019), Lu và cộng sự (2020), Fu và Wang (2022) phân tích các mô hình phân thứ SIR, SIRS, SEIQR trên mạng phức hợp, khảo sát tính ổn định và bài toán điều khiển tối ưu.
  • Về giải tích phân thứ và giải tích mờ: Agarwal và cộng sự (2010) đưa ra khái niệm phương trình vi phân phân thứ mờ. Caputo và Fabrizio (2015) đề xuất đạo hàm với nhân hàm mũ. Atangana và Baleanu (2016) giới thiệu đạo hàm phân thứ với nhân hàm Mittag-Leffler nhằm mô tả bộ nhớ phi địa phương. Sơn và cộng sự (2020) nghiên cứu giải tích phân thứ mờ theo nghĩa Caputo-Fabrizio.
Nhóm hướng nghiên cứu Tác giả tiêu biểu Giới hạn tồn tại trong tài liệu Vị trí luận án lựa chọn giải quyết
Lan truyền trên mạng phức hợp Pastor-Satorras và Vespignani (2001); Huo và CS (2014); Li và Yousef Chủ yếu dùng đạo hàm bậc nguyên, chưa xét tính nhớ của môi trường truyền dẫn Kết hợp hệ vi phân phân thứ với cấu trúc mạng quy mô tự do Barabási-Albert
Mô hình dịch tễ mờ Massad và CS; Mondal và CS; Zan và CS (2014); Hosseini và Zandvakili (2020) Mới dừng lại ở bậc nguyên hoặc giới thiệu mô hình tổng quát, thiếu phân tích giải tích sâu Xây dựng lý thuyết đạo hàm Atangana-Baleanu mờ và hệ luật mờ suy luận tốc độ lan truyền
Hệ động lực phân thứ trên mạng Chen và CS (2014); Huo và Zhao (2016); Fu và Wang (2022) Chưa tích hợp đồng thời yếu tố dữ liệu mờ và hàm xử lý bão hòa có điều khiển Thiết lập hệ mờ Takagi-Sugeno phân thứ liên kết để ổn định hóa hệ thống với hàm xử lý bão hòa

Khoảng trống mà luận án giải quyết là xây dựng cơ sở lý thuyết cho phép tích hợp cấu trúc mạng không đồng nhất, toán tử phân thứ có nhân Mittag-Leffler, hàm lan truyền suy luận mờ và bài toán điều khiển ổn định hóa qua hệ bất đẳng thức ma trận tuyến tính.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Luận án sử dụng các hệ thống lý thuyết và công cụ phân tích sau:

  • Khung lý thuyết giải tích phân thứ: Luận án sử dụng đạo hàm Caputo phân thứ bậc $\beta \in (0, 1)$ cho các hàm thực $f(t)$: $$^C_a D^\beta_t f(t) = \frac{1}{\Gamma(1 - \beta)} \int_a^t (t - \tau)^{-\beta} f'(\tau) d\tau$$ và đạo hàm Caputo Atangana-Baleanu với nhân hàm Mittag-Leffler $E_\beta$: $$^{abc}D^\beta_+ f(t) = \frac{\Phi(\beta)}{1 - \beta} \int_0^t E_\beta\left(-\frac{\beta}{1 - \beta}(t - \tau)^\beta\right) f'(\tau) d\tau$$ trong đó $\Phi(\beta)$ là hàm chuẩn hóa thỏa mãn $\Phi(0) = \Phi(1) = 1$.
  • Lý thuyết tập mờ và giải tích mờ: Luận án áp dụng không gian số mờ $\mathcal{E}$, biểu diễn tham số qua tập mức $\alpha$-cắt $[u]\alpha = [u^-\alpha, u^+\alpha]$ với $\alpha \in [0, 1]$, khoảng cách metric supremum $d\infty(u, v) = \sup_{\alpha \in [0, 1]} \max{|u^-\alpha - v^-\alpha|, |u^+\alpha - v^+\alpha|}$, chuẩn $|u|* = d\infty(u, \hat{0})$, metric trên $\mathcal{E}^n$ là $D_n(u, v)$, hiệu Hukuhara suy rộng ($gH$-difference) và tính vi phân Hukuhara suy rộng ($gH$-khả vi).
  • Lý thuyết mạng phức hợp không đồng nhất: Luận án khảo sát mạng quy mô tự do Barabási-Albert với phân phối bậc lũy thừa $P(k) \sim k^{-3}$ và mạng Barabási-Albert giới hạn năng lượng, trong đó xác suất kết nối ưu tiên phụ thuộc cả vào bậc $p_i$ và năng lượng dư $E_i = E_0 - p_i \Delta E$: $$P(i) = \lambda_d \frac{p_i}{\sum_j p_j} + \lambda_e \frac{E_i}{\sum_j E_j}, \quad \lambda_d + \lambda_e = 1$$
  • Hệ suy luận mờ Takagi-Sugeno (TS) và hệ TS phân thứ liên kết: Ứng dụng phương pháp tuyến tính hóa hoặc phương pháp phi tuyến đoạn để biểu diễn hệ phi tuyến trên mạng thành tổ hợp lồi của các hệ con tuyến tính địa phương.
  • Phương pháp phân tích định tính hệ động lực:
    • Phương pháp ma trận thế hệ mới (Next-generation matrix method) của van den Driessche và Watmough để tính chỉ số ngưỡng lan truyền $R_0 = \rho(FV^{-1})$.
    • Phương pháp hàm Lyapunov dạng toàn phương và hàm Lyapunov kiểu Volterra: $V(x) = x - x^* - x^* \ln(x/x^*)$ kết hợp bất đẳng thức đánh giá đạo hàm phân thứ: $$\frac{1}{2} ^C_0 D^\beta_t x^\top(t) P x(t) \le x^\top(t) P ^C_0 D^\beta_t x(t), \quad P \in \mathbb{S}^n_{++}$$
    • Nguyên lý ánh xạ co tổng quát trên không gian hàm metric có trọng $H_\lambda(\phi, \psi) = \sup_{t \in [0, T]} D_n(\phi(t), \psi(t))e^{-\lambda t}$.
    • Kỹ thuật bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMI) để giải bài toán điều khiển phản hồi trạng thái.

Nguồn dữ liệu của luận án là dữ liệu tham số tính toán giả lập theo kịch bản lý thuyết về mạng cảm biến không dây với cấu trúc mạng gồm $N_0 = 5$ nút ban đầu và mở rộng quy mô đến 100 nút ($m = 2$).

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 1 hệ thống hóa các khái niệm, định nghĩa và bổ đề toán học làm công cụ cho các chương sau:

  1. Trình bày định nghĩa tích phân Riemann-Liouville, đạo hàm Caputo, đạo hàm và tích phân Caputo Atangana-Baleanu, hàm Mittag-Leffler hai tham số $E_{\beta_1, \beta_2}(x)$. Thiết lập các định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình vi phân phân thứ Lipschitz, định lý ổn định tiệm cận của hệ tuyến tính dựa trên đối số giá trị riêng $|\arg(\lambda_i)| > \beta\pi/2$, và tiêu chuẩn ổn định Lyapunov cho hệ phân thứ.
  2. Trình bày cấu trúc không gian số mờ $\mathcal{E}$, các dạng số mờ tam giác, hình thang, hàm mũ, chuẩn tắc; định nghĩa $\alpha$-cắt, hiệu Hukuhara suy rộng ($gH$), tính $gH$-khả vi của hàm mờ, tích phân Lebesgue của hàm mờ, tích phân Riemann-Liouville phân thứ mờ và biến đổi Laplace mờ $\tilde{\mathcal{L}}$.
  3. Giới thiệu hệ mờ Takagi-Sugeno, phân tích hai kỹ thuật xấp xỉ hệ phi tuyến gồm phương pháp phi tuyến đoạn và phương pháp tuyến tính hóa; mở rộng cấu trúc sang hệ mờ Takagi-Sugeno phân thứ liên kết gồm $N$ hệ con có tương tác liên kết.
  4. Giới thiệu mô hình mạng quy mô tự do Barabási-Albert và phân tích cơ chế tăng trưởng, kết nối ưu tiên. Luận án xây dựng bảng so sánh chi tiết giữa mạng Barabási-Albert chuẩn và mạng Barabási-Albert giới hạn năng lượng:
Tiêu chí Mạng Barabási-Albert Mạng Barabási-Albert giới hạn năng lượng
Khởi tạo Tập cô lập $N_0$ nút; kết nối tùy ý sao cho mỗi nút nối ít nhất 1 nút khác Tập cô lập $N_0$ nút; mỗi nút nối ít nhất 1 nút khác
Tăng trưởng Mỗi bước thời gian thêm 1 nút mới với $m$ liên kết; sau thời gian $t$ có $N = t + N_0$ nút và $N_0 + mt$ kết nối Mỗi bước thời gian thêm 1 nút mới với $m$ liên kết; sau thời gian $t$ có $N = t + N_0$ nút và $N_0 + mt$ kết nối
Cơ chế gán ưu tiên Xác suất liên kết tỷ lệ thuận với bậc: $P(i) = p_i / \sum_j p_j$ Xác suất liên kết phụ thuộc cả bậc và năng lượng dư: $P(i) = \lambda_d \frac{p_i}{\sum_j p_j} + \lambda_e \frac{E_i}{\sum_j E_j}$
Chi phối cấu trúc Cấu trúc topo chỉ phụ thuộc vào số liên kết tích lũy Cấu trúc phụ thuộc $\lambda_d, \lambda_e$; nếu $\lambda_e = 1$, năng lượng dư cân bằng tuổi thọ mạng

Chương 2: Mô hình lan truyền mã độc SIQR phân thứ với dữ liệu mờ

Chương 2 thiết lập mô hình lan truyền mã độc bốn ngăn gồm Mẫn cảm ($S$), Lan truyền mã độc ($I$), Cách ly ($Q$), Hồi phục ($R$) với dữ liệu đầu vào và các trạng thái nhận giá trị mờ trong không gian $\mathcal{E}$. Mô hình toán học (FDE1) được xác định bởi hệ phương trình vi phân phân thứ: $$\begin{cases} ^{abc}D^\beta_+ S(t) = A - \lambda S(t)I(t) + \omega Q(t) + \sigma R(t) - \mu S(t) \ ^{abc}D^\beta_+ I(t) = \lambda S(t)I(t) - (\nu + \gamma + \mu)I(t) \ ^{abc}D^\beta_+ Q(t) = \gamma I(t) - (\eta + \mu + \omega)Q(t) \ ^{abc}D^\beta_+ R(t) = \nu I(t) + \eta Q(t) - (\sigma + \mu)R(t) \end{cases}$$ với điều kiện ban đầu $(S(0), I(0), Q(0), R(0)) = (S_0, I_0, Q_0, R_0) \in \mathcal{E}^4$, toán tử đạo hàm Caputo Atangana-Baleanu phân thứ mờ bậc $\beta \in (0, 1)$, các tham số $A, \lambda, \omega, \sigma, \mu, \nu, \gamma, \eta$ không âm.

Luận án xây dựng cơ sở lý thuyết giải tích:

  • Thiết lập định nghĩa đạo hàm Caputo Atangana-Baleanu và tích phân Riemann-Liouville Atangana-Baleanu cho hàm nhận giá trị mờ.
  • Áp dụng biến đổi Laplace mờ để đưa bài toán Cauchy về phương trình tích phân mờ tương đương.
  • Chứng minh Định lý 2.4: Khẳng định sự tồn tại và duy nhất nghiệm tích phân mờ trên đoạn $[0, T]$ dưới tính $gH$-khả vi nhờ nguyên lý ánh xạ co Banach trên không gian metric có trọng $H_\lambda$.
  • Tiến hành mô phỏng số kiểm chứng cho hai trường hợp tham số (a) và (b) với các bậc phân thứ $\beta \in {0.5, 0.7, 0.9}$, phân tích bán kính phổ của các ma trận $\Phi(\beta)M_0$ và $\Phi(\beta)M_1$, minh họa độ mở rộng của các khoảng $\alpha$-cắt theo thời gian phản ánh mức độ bất định của mật độ mã độc.

Chương 3: Mô hình lan truyền mã độc SE1E2IQR phân thứ dựa trên mạng với hàm lan truyền xác định bởi logic mờ

Chương 3 mở rộng nghiên cứu sang mô hình mạng phức hợp gồm $n$ nhóm nút phân theo bậc kết nối $k$ ($k = 1, \dots, n$). Quá trình lây nhiễm được phân tách thành 6 ngăn: Mẫn cảm ($S_k$), Mang mã độc loại 1 ($E_{1,k}$ - mật độ tiếp xúc thấp), Mang mã độc loại 2 ($E_{2,k}$ - mật độ tiếp xúc trung bình), Lan truyền mã độc ($I_k$ - mật độ tiếp xúc cao), Cách ly ($Q_k$), Hồi phục ($R_k$). Mô hình (FDE2) gồm $6n$ phương trình vi phân phân thứ Caputo bậc $\beta \in (0, 1)$: $$\begin{cases} ^C_0 D^\beta_t S_k(t) = \Lambda(k) - (\sigma_1(k) + \sigma_2(k))S_k(t)\Theta(t) - \mu S_k(t) + \theta R_k(t) \ ^C_0 D^\beta_t E_{1,k}(t) = \sigma_1(k)S_k(t)\Theta(t) - (\eta + \omega_1 + \mu)E_{1,k}(t) \ ^C_0 D^\beta_t E_{2,k}(t) = \sigma_2(k)S_k(t)\Theta(t) - (\mu + \omega_2 + \omega_3)E_{2,k}(t) + \eta E_{1,k}(t) \ ^C_0 D^\beta_t I_k(t) = \omega_3 E_{2,k}(t) - (\mu + c + r_1)I_k(t) \ ^C_0 D^\beta_t Q_k(t) = \omega_1 E_{1,k}(t) + \omega_2 E_{2,k}(t) + c I_k(t) - (r_2 + \mu)Q_k(t) \ ^C_0 D^\beta_t R_k(t) = r_1 I_k(t) + r_2 Q_k(t) - (\mu + \theta)R_k(t) \end{cases}$$ trong đó $\Theta(t) = \frac{1}{\langle k \rangle} \sum_{k=1}^n k P(k) I_k(t)$ là xác suất để một liên kết kết nối tới nút phát tán mã độc. Tốc độ lan truyền $\sigma_1(k), \sigma_2(k)$ được ước lượng thông qua hệ suy luận mờ đa đầu vào một đầu ra (MISO) với các biến ngôn ngữ "Thấp", "Trung bình", "Cao".

Các kết quả định tính đạt được trong chương:

  • Chứng minh tính không âm của nghiệm và sự tồn tại của tập bất biến dương $\Omega$.
  • Sử dụng phương pháp ma trận thế hệ mới tính toán chỉ số ngưỡng lan truyền $R_0$.
  • Chứng minh Định lý 3.4: Điểm cân bằng không có mã độc $P_0$ ổn định tiệm cận địa phương và toàn cục khi $R_0 < 1$.
  • Chứng minh Định lý 3.5: Mô hình xuất hiện hiện tượng rẽ nhánh tiến (forward bifurcation) tại ngưỡng $R_0 = 1$; tồn tại duy nhất điểm cân bằng đặc hữu $P^*$ khi $R_0 > 1$.
  • Thực hiện phân tích độ nhạy tham số của $R_0$ qua các chỉ số độ nhạy đối với các tham số cách ly $c, \omega_1, \omega_2$; mô phỏng số trên không gian pha và biểu đồ thời gian chứng minh bậc phân thứ $\beta$ làm thay đổi tốc độ hội tụ về trạng thái cân bằng nhưng không làm thay đổi giá trị của $R_0$.

Chương 4: Bài toán ổn định hóa cho mô hình lan truyền mã độc SIRS phân thứ dựa trên mạng có điều khiển

Chương 4 khảo sát hiện tượng bùng phát mã độc vượt quá khả năng xử lý của mạng cảm biến thông qua mô hình SIRS phân thứ dựa trên mạng có hàm xử lý mã độc bão hòa và tín hiệu điều khiển cách ly $u_k(t)$. Hệ phương trình (FDE3) với $k = 1, \dots, n$: $$\begin{cases} ^C_0 D^\beta_t S_k(t) = \Lambda - \sigma_k \Theta(t)S_k(t) - (\mu + u_k(t))S_k(t) + \omega R_k(t) \ ^C_0 D^\beta_t I_k(t) = \sigma_k \Theta(t)S_k(t) - \mu I_k(t) - \frac{r I_k(t)}{1 + \gamma \Theta(t)} \ ^C_0 D^\beta_t R_k(t) = u_k(t)S_k(t) + \frac{r I_k(t)}{1 + \gamma \Theta(t)} - (\mu + \omega)R_k(t) \end{cases}$$ trong đó $\frac{r I_k(t)}{1 + \gamma \Theta(t)}$ biểu diễn năng lực diệt mã độc có giới hạn bão hòa (với $\gamma > 0$ là hệ số bão hòa), $u_k(t)$ là điều khiển cách ly nút mẫn cảm.

Nội dung định tính và điều khiển của chương gồm:

  • Chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm không âm và xác định tập bất biến dương.
  • Tính toán chỉ số ngưỡng lan truyền $R_0$ theo công thức (4.4); chứng minh tính ổn định tiệm cận của điểm cân bằng không mã độc $P_0$ (Định lý 4.4).
  • Chứng minh Định lý 4.5: Do ảnh hưởng của hàm xử lý bão hòa, mô hình xuất hiện hiện tượng rẽ nhánh lùi (backward bifurcation) tại $R_0 = 1$, dẫn tới tình trạng cùng tồn tại hai điểm cân bằng ổn định (điểm không mã độc và điểm cân bằng dịch) ngay cả khi $R_0 < 1$.
  • Thiết lập bài toán ổn định hóa: Luận án đưa mô hình về dạng hệ mờ Takagi-Sugeno phân thứ liên kết gồm $n$ hệ con: $$^C_0 D^\beta_t e_i(t) = \sum_{p=1}^{r_i} w_i^p(z_i(t)) \left[ A_i^p e_i(t) + B_i^p u_i(t) + \sum_{j=1, j \neq i}^n \alpha_{ij}^p e_j(t) \right]$$
  • Thiết kế luật điều khiển phản hồi trạng thái $u(t)$ và chứng minh Định lý 4.6: Đưa ra các điều kiện đủ dưới dạng hệ bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMI) dựa trên phương pháp hàm Lyapunov để đảm bảo tính ổn định tiệm cận của trạng thái cân bằng không có mã độc $P_0$.

Kết quả và những đóng góp mới

Luận án tự nêu các đóng góp học thuật về mặt lý luận và thực tiễn:

  • Đóng góp về lý luận:
    • Xây dựng cơ sở giải tích phân thứ Atangana-Baleanu cho hàm nhận giá trị mờ; thiết lập các khái niệm vi tích phân tương ứng và chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm mờ của bài toán Cauchy cho mô hình SIQR mờ phân thứ dưới tính $gH$-khả vi.
    • Thiết lập mô hình lan truyền 6 ngăn $SE_1E_2IQR$ phân thứ trên mạng quy mô tự do với tốc độ truyền mờ hóa; chứng minh các điều kiện toán học về sự tồn tại tập bất biến dương, tính ổn định tiệm cận của điểm cân bằng không mã độc, và đặc tính rẽ nhánh tiến tại $R_0 = 1$.
    • Thiết lập mô hình SIRS phân thứ trên mạng có hàm xử lý bão hòa; phát hiện và chứng minh hiện tượng rẽ nhánh lùi tại $R_0 = 1$; đề xuất cấu trúc hệ mờ Takagi-Sugeno phân thứ liên kết và thiết lập các điều kiện ổn định hóa hệ thống ở dạng bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMI).
  • Đóng góp về thực tiễn và kiến nghị:
    • Cung cấp công cụ mô phỏng dự báo định lượng mật độ lây lan của mã độc trên mạng cảm biến không dây trong các điều kiện môi trường bất định và năng lượng nút hạn chế.
    • Đề xuất giải pháp kiểm soát dịch mã độc dựa trên độ nhạy của $R_0$: tăng cường tỷ lệ cách ly sớm tại các trạng thái ủ bệnh ($E_1, E_2$), điều tiết lưu lượng qua các nút có bậc kết nối lớn, và áp dụng cơ chế phản hồi trạng thái tự động để ổn định hóa hệ thống khi tải xử lý mã độc đạt ngưỡng bão hòa.

Các kết quả chính được công bố trong 03 bài báo thuộc danh mục ISI và 01 bản thảo gửi đăng:

  1. P1: Fuzzy Sets and Systems, Tập 429, 2022 (về mô hình SIQR phân thứ mờ Atangana-Baleanu).
  2. P2: Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, Tập 111, 2022 (về mô hình $SE_1E_2IQR$ phân thứ trên mạng).
  3. P3: Iranian Journal of Fuzzy Systems, Tập 20(1), 2023 (về mô hình dịch trên mạng có hàm xử lý bão hòa và truyền dẫn mờ).
  4. P4: Bản thảo gửi đăng năm 2023 (về hệ mờ Takagi-Sugeno liên kết và ổn định hóa mô hình SIRS trên WSN).

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Dựa trên phạm vi nghiên cứu được văn bản công bố, các hạn chế và hướng phát triển được xác định:

  • Hạn chế:
    • Khảo sát giải tích phân thứ mờ trong Chương 2 phụ thuộc vào giả thiết tính $gH$-khả vi, đòi hỏi độ dài của các khoảng $\alpha$-cắt có tính đơn điệu không đổi trên miền thời gian xem xét.
    • Cấu trúc mạng phức hợp khảo sát dừng lại ở mạng quy mô tự do Barabási-Albert và biến thể giới hạn năng lượng; cấu trúc liên kết topo giả định cố định trong suốt quá trình phân tích tiệm cận.
    • Bậc phân thứ khảo sát cố định trên khoảng $\beta \in (0, 1)$, chưa xét trường hợp bậc phân thứ biến thiên theo thời gian (variable-order fractional systems).
    • Chưa tính đến các yếu tố trễ thời gian (time delay) trong quá trình phát hiện và phản ứng cách ly của mạng.
  • Hướng nghiên cứu tiếp:
    • Mở rộng các mô hình phân thứ mờ trên các dạng mạng phức hợp có topo thay đổi theo thời gian (time-varying complex networks).
    • Khảo sát các hệ động lực phân thứ mờ có trễ hoặc có xung tác động.
    • Ứng dụng các thuật toán tối ưu hóa bầy đàn để nhận dạng tham số mờ từ dữ liệu đo đạc thực tế của mạng cảm biến.

Giá trị tham khảo

Nội dung luận án có giá trị tham khảo chuyên môn cho các đối tượng:

  • Nghiên cứu sinh, học viên cao học và giảng viên ngành Toán ứng dụng: Tham khảo kỹ thuật giải tích phân thứ mờ Atangana-Baleanu (Chương 2), kỹ thuật hàm Lyapunov cho hệ phân thứ và phương pháp ma trận thế hệ mới trên mạng phức hợp (Chương 3 và 4).
  • Các nhà nghiên cứu về Lý thuyết điều khiển: Tham khảo phương pháp chuyển đổi hệ vi phân phi tuyến trên mạng sang hệ mờ Takagi-Sugeno phân thứ liên kết và kỹ thuật giải hệ LMI để thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái (Chương 4).
  • Kỹ sư an toàn thông tin và người thiết kế hệ thống mạng cảm biến không dây: Tham khảo kết quả phân tích độ nhạy của ngưỡng $R_0$ để định lượng tài nguyên năng lượng cần thiết cho việc cách ly và diệt mã độc, tránh hiện tượng bão hòa xử lý dẫn đến rẽ nhánh lùi.

Câu hỏi thường gặp

  1. Đạo hàm Caputo Atangana-Baleanu phân thứ khác đạo hàm Caputo cổ điển ở điểm nào và vì sao được dùng trong luận án?
    Đạo hàm Caputo cổ điển sử dụng nhân dạng lũy thừa $(t - \tau)^{-\beta}$, trong khi đạo hàm Caputo Atangana-Baleanu sử dụng nhân chính quy là hàm Mittag-Leffler $E_\beta\left(-\frac{\beta}{1 - \beta}(t - \tau)^\beta\right)$. Nhân Mittag-Leffler không có điểm kỳ dị tại $t = \tau$, cho phép mô tả chính xác hơn các quá trình phân rã và hiệu ứng nhớ phi địa phương phức tạp trong môi trường truyền dẫn vật lý của mạng cảm biến.

  2. Mạng Barabási-Albert giới hạn năng lượng được thiết lập như thế nào so với mạng Barabási-Albert chuẩn?
    Mạng Barabási-Albert chuẩn gán xác suất kết nối ưu tiên thuần túy theo bậc của nút: $P(i) = p_i / \sum_j p_j$. Mạng Barabási-Albert giới hạn năng lượng điều chỉnh xác suất này kết hợp với năng lượng còn lại của nút: $P(i) = \lambda_d (p_i / \sum_j p_j) + \lambda_e (E_i / \sum_j E_j)$ với $\lambda_d + \lambda_e = 1$. Năng lượng dư của nút thứ $i$ giảm dần theo số liên kết thiết lập: $E_i = E_0 - p_i \Delta E$.

  3. Hiện tượng rẽ nhánh lùi (backward bifurcation) trong Chương 4 có ý nghĩa gì đối với việc kiểm soát mã độc?
    Trong rẽ nhánh tiến thông thường, điều kiện $R_0 < 1$ đảm bảo mã độc chắc chắn bị dập tắt hoàn toàn. Khi xảy ra rẽ nhánh lùi (gây ra bởi hàm xử lý bão hòa $\frac{r I}{1 + \gamma \Theta}$), một điểm cân bằng đặc hữu ổn định cùng tồn tại song song với điểm cân bằng không mã độc ngay cả khi $R_0 < 1$. Do đó, việc hạ $R_0$ xuống dưới 1 không đủ để triệt tiêu mã độc nếu mật độ lây nhiễm ban đầu vượt qua một ngưỡng giới hạn.

  4. Vai trò của việc chia ngăn $E_{1,k}$ và $E_{2,k}$ trong mô hình $SE_1E_2IQR$ là gì?
    Ngăn $E_{1,k}$ biểu thị các nút mang mã độc loại 1 tương ứng với mật độ tiếp xúc thấp, trong khi $E_{2,k}$ biểu thị các nút mang mã độc loại 2 với mật độ tiếp xúc trung bình, trước khi chuyển hóa thành nút phát tán mã độc $I_k$. Việc phân chia này kết hợp với hệ luật mờ MISO phản ánh sự biến thiên của tốc độ lây nhiễm theo mật độ thực tế của các nút lân cận thay vì coi tốc độ lây nhiễm là một hằng số.

  5. Hệ mờ Takagi-Sugeno phân thứ liên kết giải quyết bài toán điều khiển như thế nào?
    Hệ mờ Takagi-Sugeno phân thứ liên kết xấp xỉ hệ phi tuyến gồm $n$ phương trình trên mạng thành $n$ hệ con tuyến tính mờ cục bộ liên kết với nhau qua các ma trận $\alpha_{ij}^p$. Dựa trên hàm Lyapunov toàn phương, bài toán tìm bộ điều khiển phản hồi trạng thái $u(t)$ được đưa về bài toán tìm nghiệm của hệ các bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMI), giúp quá trình tính toán và kiểm tra tính ổn định tiệm cận của hệ thống trở nên khả thi về mặt thuật toán.

Kết luận

Luận án của nghiên cứu sinh Nguyễn Phương Đông là công trình chuyên khảo thuộc chuyên ngành Toán ứng dụng, giải quyết bài toán mô hình hóa và kiểm soát sự lan truyền mã độc trên mạng cảm biến không dây. Bằng việc kết hợp giải tích phân thứ (Caputo và Atangana-Baleanu), lý thuyết tập mờ và mạng phức hợp không đồng nhất, luận án đã thiết lập thành công ba lớp mô hình toán học (SIQR mờ, $SE_1E_2IQR$ trên mạng với hàm truyền mờ, và SIRS trên mạng có hàm xử lý bão hòa). Toàn bộ các kết quả về sự tồn tại duy nhất nghiệm, chỉ số ngưỡng lan truyền $R_0$, tính ổn định tiệm cận, phân tích rẽ nhánh và các điều kiện ổn định hóa dạng LMI được chứng minh chặt chẽ và kiểm chứng bằng mô phỏng số, đóng góp thiết thực cho cả lý thuyết hệ động lực và kỹ thuật bảo mật mạng thông tin.