Chương 1 Lưới tọa độ và đa giác 1.1 Lưới tọa độ nguyên trên mặt phẳng và các tính chất 1.1 Lưới tọa độ trên mặt phẳng Trên mặt phẳng ta xét một lưới tạo bởi hai họ các đường thẳng song song chia mặt phẳng thành các hình bình hành bằng nhau.1: Lưới tọa độ nguyên Tập hợp tất cả các đỉnh các hình bình hành gọi là lưới tọa độ, bản thân các đỉnh gọi là các nút của lưới. Mọi hình bình hành tạo bởi 2 họ đường thẳng song song gọi là hình bình hành cơ sở của phân hoạch hay hình bình hành sinh ra lưới. Chú ý rằng một lưới có thể nhận được từ các họ đường thẳng khác nhau: Trên Hình 1.1 biểu diễn một lưới tọa độ nguyên, tức là tập hợp LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 4 các điểm có tọa độ Descartes là các số nguyên. Lưới tọa độ nguyên chính là lưới tạo bởi tất cả các đường thẳng song song với hai trục tọa độ, có thể coi là tờ giấy kẻ ô vuông vô hạn (hình bình hành cơ sở là hình vuông cạnh 1).
Lưới tọa độ nguyên có thể nhận được từ các "đường xiên" (khi đó hình bình hành cơ sở là hình bình hành ABCD trên Hình 1.2: Lưới tọa độ trên mặt phẳng Như vậy, khái niệm hình bình hành cơ sở không chỉ gắn với bản thân lưới mà còn gắn với các họ đường thẳng sinh ra lưới. Ta có các tính chất đơn giản của lưới như sau: Hình 1.3: lưới tọa độ nguyên với hbh cơ sở i. Mọi phép tịnh tiến song song biến điểm nút này thành một điểm nút khác sẽ bảo toàn lưới (biến lưới thành chính nó). (Bổ đề về đỉnh thứ tư của hình bình hành) Nếu 3 đỉnh của hình LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 5 bình hành là các điểm nút của lưới thì đỉnh thứ tư cũng là điểm nút của lưới.
Nếu qua 2 điểm Q, R của lưới kẻ một đường thẳng thì đường thẳng này sẽ đi qua vô hạn các điểm nút của lưới. Khi đó tất cả các khoảng cách giữa các nút gần nhau đều bằng nhau. Nếu một hình bình hành với đỉnh là các điểm nút không chứa trong nó một điểm nút nào của lưới thì nó là hình bình hành sinh ra lưới. (Bổ đề về thợ săn và thỏ) Giả sử tia ` đi qua điểm nút A của lưới nào đó.
Khi đó tìm được một nút sao cho khoảng cách từ đó đến ` nhỏ hơn số nhỏ tùy ý cho trước. đều hiển nhiên, ta đi chứng minh bổ đề v. về thợ săn và thỏ: Ký hiệu giao điểm của tia ` và đường thẳng nghiêng của lưới là A0 = A, A1 , A2 ,. Nhấc tất cả các hình bình hành mà có các điểm này nằm trên đường thẳng chứa cạnh về hình bình hành ABCD, khi đó mỗi điểm An chuyển thành điểm An trên cạnh AB.
Với mọi > 0 cho trước tìm được các điểm Am và Am+k như thế sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn . Bây giờ hãy chứng minh khoảng cách từ điểm Ak đến một trong các nút của lưới nhỏ hơn (đặc biệt nếu A0m trùng với A0m+k thì Ak sẽ là nút của lưới). Kết quả sau là hiển nhiên: Giả sử a, b là hai số thực bất kỳ. Chứng minh rằng tập hợp tất cả các điểm với tọa độ (ka, lb) với k, l ∈ Z là một lưới.
Với mọi số vô tỷ α > 0 và mọi số dương đều tìm được các số tự nhiên m, n sao cho |mα − n| < . Lấy hệ tọa độ Descartes trên mặt phẳng và kẻ đường thẳng y = αx. Vì α là số vô tỷ nên trên đường thẳng này có duy nhất một điểm mang tọa độ nguyên là điểm gốc tọa độ. Đường thẳng y = αx cắt đường x = m tại các điểm (m, mα).
Theo tính chất v, tìm được nút (m, n) của lưới nguyên sao cho khoảng cách (theo chiều thẳng đứng) từ đó đến điểm (m, mα) nhỏ hơn . Đó là điều cần chứng minh. LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 6 Dễ thấy rằng trong tất cả các khả năng thì khoảng các đôi một giữa các nút của lưới bất kỳ sẽ là số nhỏ nhất. Tính chất này cùng với tính chất ii.
của lưới có thể thay cho định nghĩa về lưới. Giả sử tập hợp M trên mặt phẳng có các tính chất sau: (1) Khoảng cách của hai điểm bất kỳ không nhỏ hơn số dương d nào đó; (2) Nếu 3 điểm A,B,C của M là các đỉnh của hình bình hành ABCD thì đỉnh thứ tư D của hình bình hành này cũng thuộc tập hợp M. Khi đó M là một lưới. Hình vẽ b Lấy điểm B tùy ý thuộc M.
Giả sử A là điểm trong M, gần B nhất (Hình vẽ a), điểm này tồn tại vì tất cả các khoảng cách đôi một giữa các điểm của M đều lớn hơn d). Qua A và B kẻ một đường thẳng. Trong các điểm của M không nằm trên đường thẳng này chọn được điểm gần B nhất, gọi điểm đó là C. Ta dựng hình bình hành ABCD.
Theo điều kiện (2) điểm D cũng thuộc tập hợp M. Ta dựng lưới sinh bởi hình bình hành ABCD, ta đi chứng minh tập hợp M trùng với lưới vừa dựng. LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 7 Từ điều kiện (2) suy ra rằng tất cả các nút của lưới này đều thuộc M. Bởi vậy chỉ cần kiểm tra rằng ở biên cũng như ở trong hình bình hành ABCD không có điểm nào của M khác với đỉnh của nó.
Điều này gần như hiển nhiên: Nếu điểm S nằm ở trong hình bình hành (Hình vẽ b.)thì ít nhất một trong các góc ASB, [ BSC,[ CSD,[ ASD [ là góc tù hoặc góc vuông và bởi vậy khoảng cách từ S tới một trong các đỉnh của nó nhỏ hơn cạnh nào đó của nó(nếu S nằm trên biên thì cũng vậy). Chẳng hạn giả sử đó là khoảng cách SC. Ta dựng hình bình hành BCSS0 , (S0 ∈ M). Khi đó BS0 nhỏ hơn BC hoặc BA nhưng điều đó mâu thuẫn với cách chọn hoặc của điểm C hoặc của điểm A.
Các trường hợp còn lại tương tự. Giả sử α là số vô tỷ tùy ý. Chứng minh rằng: với mọi > 0 và mọi số thực β luôn tìm được các số m, n sao cho: |mα + n − β| < . Chứng minh rằng ký hiệu thập phân của số 2n có thể bắt đầu bằng chữ số bất kỳ của tổ hợp các chữ số cho trước.2 Lưới tọa độ nguyên và đa giác đều Lấy một tờ giấy kẻ ô vuông.
Hiển nhiên hình vuông với các đỉnh là các nút của lưới luôn dựng được và bằng vô số cách. Cách làm như thế có thực hiện được đối với tam giác đều hay lục giác đều hay không? Trong phần này ta sẽ tìm câu trả lời thích đáng. Giả sử ta có một lưới nguyên hay còn gọi là lưới Z2. Trên lưới nguyên này hãy xét bài toán về sự tồn tại đa giác đều nội tiếp được trong lưới.
Ta nói đa giác nội tiếp được trong lưới π nếu tồn tại một đa giác đồng dạng với nó mà các đỉnh là nút của lưới. Bài toán nội tiếp một tam giác đều trên lưới nguyên là bài toán đơn giản nhất trong các bài toán nội tiếp một đa giác đều trên lưới nguyên. Vậy mà kết quả "không dựng được tam giác đều nội tiếp trên lưới Z2 " được đưa ra vào năm 1878 do nhà toán học E. Lukacy công bố.
Ở đây chúng tôi đưa ra 5 cách chứng minh kết quả này: cách thứ nhất (của Lukacy) sử dụng lý thuyết chia hết các số nguyên; cách thứ hai dựa trên LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 8 2π tính vô tỷ của số tan , cách thứ ba dùng lượng giác, cách thứ tư dùng n phương pháp diện tích, cách thứ năm dùng phương pháp cực hạn. Bài toán này cũng đã là một trong những bài toán hay trong kỳ thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế trong những năm gần đây. Tam giác đều ABC không thể nội tiếp được trong lưới nguyên. Khi đó bốn số nguyên a, b, c, d không có ước chung khác ±1 (tức chúng nguyên tố cùng nhau).
Trong trườnghợp ngược lại sẽ dẫn tới tam giác với tọa độ các đỉnh là a b c d (0, 0), , , , với k là ước chung của bốn số a, b, c, d. Ta viết k k k k đẳng thức các cạnh tam giác vuông ở dạng tọa độ: a2 + b2 = c2 + d2 = (a − c)2 + (b − d)2. Nghĩa là tổng bình phương bốn số nguyên chia hết cho 4. Mặt khác bình phương của số nguyên khi chia cho 4 chỉ cho dư là 0 hoặc 1.
Bởi vậy, hoặc tất cả 4 số a, b, c, d là chẵn hoặc tất cả đều lẻ. Khả năng thứ nhất không xảy ra vì các số này theo cách chọn ở trên là nguyên tố cùng nhau. Khả năng thứ hai cũng không xảy ra vì lúc đó không thể có a2 + b2 = (a − c)2 + (b − d)2. Mâu thuẫn này suy ra điều phải chứng minh.
tan β db ac + bd 1+ ca LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 9 Như vậy, nếu dựng được tam giác đều trên lưới Z2 thì hai tia với gốc √ là ◦ ◦ một trong các đỉnh tam giác sẽ tạo thành góc 60 mà tan 60 = 3 là số vô tỷ, trái với vế phải là số hữu tỷ. (Phương pháp diện tích) Ta tính diện tích tam giác ABC theo √ AB.AC AB2 3 2 cách: Một mặt, S∆ABC = · sin A = sin 60◦ = AB2. 2 2 4 Nhưng AB2 = số nguyên (AB2 = AC2 + CB2 ), nghĩa là S∆ABC là số vô tỷ. Mặt khác, “ngoại tiếp” xung quanh tam giác ABC là hình chữ nhật CB’C’A’ ta nhận được: S∆ABC = SCB0 CA0 − S∆AB0 C − S∆AC0 B − S∆A0 BC0 là số hữu tỷ vì tất cả các diện tích ở vế phải đều là các số hữu tỷ.
Ta nhận được S∆ABC vừa là số hữu tỷ vừa là số vô tỷ. (Phương pháp tọa độ) Giả sử A(a1 , a2 ), B(b1 , b2 ), C(c1 , c2 ) là 1 1 1 các điểm nguyên. Khi đó diện tích 2S = a1 b1 c1 là một số nguyên. a2 b2 c2 √ AB2 3 Mặt khác do ABC là tam giác đều nên 2S = là số vô tỷ.
Mâu 2 thuẫn đó chứng minh bài toán. Từ đây ta sẽ viết k−giác thay cho đa giác k cạnh, các cách nói sau đây được sử dụng thường xuyên: 5-giác hay ngũ giác; 8-giác hay bát giác; 10-giác hay thập giác; 12-giác hay thập nhị giác,.