Luận Văn Thạc Sĩ: Một Số Bài Toán Hình Học Tổ Hợp

Luận văn thạc sĩ nghiên cứu hus một số bài toán hình học tổ hợp, đánh giá hiện trạng, phân tích vấn đề, đề xuất biện pháp hoàn thiện trong lĩnh vực toán học.

• Tác giả: Vũ Minh Hải
• Người hướng dẫn: PGS. Lê Anh Vinh
• Trường học: Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên
• Chuyên ngành: Phương Pháp Toán Sơ Cấp
• Đề tài: Một Số Bài Toán Hình Học Tổ Hợp
• Loại tài liệu: Luận Văn Thạc Sĩ
• Năm xuất bản: 2015
• Địa điểm: Hà Nội

Mục lục chi tiết

• LỜI NÓI ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: BÀI TOÁN PHỦ HÌNH
• 1.1. Một số lý thuyết cơ sở
• 1.2. Một số bài toán phủ hình
• 2. CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN ĐỒ THỊ, TÔ MÀU
• 2.1. Lý thuyết cơ bản về bài toán tô màu
• 2.2. Phương pháp tô màu giải bài toán hình học
• 2.3. Một số bài toán tô màu đồ thị
• 3. CHƯƠNG 3: NGUYÊN LÝ CỰC HẠN
• 3.1. Nguyên lý cực hạn
• 3.2. Ứng dụng nguyên lý cực hạn
• 3.3. Một số bài toán đánh giá góc
• 3.4. Một số bài toán đánh giá khoảng cách, độ dài
• 3.5. Một số bài toán đánh giá diện tích, thể tích

Tóm tắt

I. Tổng Quan Về Bài Toán Hình Học Tổ Hợp Khái Niệm và Ý Nghĩa

Bài toán hình học tổ hợp là một lĩnh vực quan trọng trong toán học, liên quan đến việc nghiên cứu các cấu trúc hình học và cách chúng tương tác với nhau. Các bài toán này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong nhiều lĩnh vực như kiến trúc, quy hoạch đô thị và thiết kế đồ họa. Việc hiểu rõ về các khái niệm cơ bản trong hình học tổ hợp sẽ giúp người học có cái nhìn sâu sắc hơn về các vấn đề phức tạp hơn trong toán học.

1.1. Khái Niệm Cơ Bản Về Hình Học Tổ Hợp

Hình học tổ hợp nghiên cứu các cấu trúc hình học và mối quan hệ giữa chúng. Các bài toán thường gặp bao gồm bài toán phủ hình, tô màu và các bài toán liên quan đến đồ thị. Những khái niệm này giúp hình thành nền tảng cho việc giải quyết các bài toán phức tạp hơn.

1.2. Lịch Sử Phát Triển Của Bài Toán Hình Học Tổ Hợp

Lịch sử hình học tổ hợp bắt đầu từ những nghiên cứu ban đầu của các nhà toán học cổ đại. Qua thời gian, lĩnh vực này đã phát triển mạnh mẽ, đặc biệt là trong thế kỷ 20 với sự ra đời của nhiều lý thuyết và phương pháp mới. Các nghiên cứu hiện đại đã mở rộng ứng dụng của hình học tổ hợp trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

II. Các Vấn Đề và Thách Thức Trong Bài Toán Hình Học Tổ Hợp

Mặc dù hình học tổ hợp có nhiều ứng dụng, nhưng cũng tồn tại nhiều thách thức trong việc giải quyết các bài toán liên quan. Những vấn đề này thường đòi hỏi sự sáng tạo và tư duy logic cao. Các bài toán như phủ hình và tô màu thường gặp khó khăn trong việc tìm ra giải pháp tối ưu.

2.1. Thách Thức Trong Việc Giải Quyết Bài Toán Phủ Hình

Bài toán phủ hình yêu cầu tìm cách lấp đầy một không gian bằng các hình dạng nhất định mà không để lại khoảng trống. Thách thức lớn nhất là xác định các hình dạng phù hợp và cách sắp xếp chúng một cách hiệu quả.

2.2. Vấn Đề Tô Màu Trong Hình Học Tổ Hợp

Bài toán tô màu yêu cầu phân chia các đối tượng thành các nhóm khác nhau mà không có hai đối tượng cùng màu tiếp xúc với nhau. Vấn đề này thường gặp trong các bài toán đồ thị và đòi hỏi sự phân tích sâu sắc về cấu trúc của đồ thị.

III. Phương Pháp Giải Bài Toán Hình Học Tổ Hợp Hiệu Quả

Để giải quyết các bài toán hình học tổ hợp, nhiều phương pháp đã được phát triển. Những phương pháp này không chỉ giúp tìm ra giải pháp mà còn giúp người học phát triển tư duy logic và khả năng phân tích.

3.1. Phương Pháp Tô Màu Đồ Thị

Phương pháp tô màu đồ thị là một trong những kỹ thuật quan trọng trong hình học tổ hợp. Nó cho phép phân chia các đối tượng thành các nhóm khác nhau, giúp dễ dàng hơn trong việc phân tích và giải quyết các bài toán phức tạp.

3.2. Nguyên Lý Cực Hạn Trong Hình Học Tổ Hợp

Nguyên lý cực hạn là một công cụ mạnh mẽ trong việc giải quyết các bài toán hình học tổ hợp. Nguyên lý này giúp xác định các giới hạn và điều kiện cần thiết để một bài toán có thể được giải quyết.

IV. Ứng Dụng Thực Tiễn Của Bài Toán Hình Học Tổ Hợp

Bài toán hình học tổ hợp có nhiều ứng dụng thực tiễn trong đời sống hàng ngày. Từ việc thiết kế đô thị đến quy hoạch không gian, các bài toán này đóng vai trò quan trọng trong việc tối ưu hóa các giải pháp.

4.1. Ứng Dụng Trong Kiến Trúc và Quy Hoạch Đô Thị

Hình học tổ hợp được sử dụng để tối ưu hóa thiết kế không gian và cấu trúc trong kiến trúc. Các bài toán phủ hình và tô màu giúp các kiến trúc sư tạo ra các thiết kế hiệu quả và thẩm mỹ.

4.2. Ứng Dụng Trong Thiết Kế Đồ Họa

Trong thiết kế đồ họa, hình học tổ hợp giúp tạo ra các hình ảnh và bố cục hấp dẫn. Các bài toán tô màu và phủ hình được áp dụng để tạo ra các sản phẩm đồ họa chất lượng cao.

V. Kết Luận và Tương Lai Của Bài Toán Hình Học Tổ Hợp

Bài toán hình học tổ hợp là một lĩnh vực đầy tiềm năng và thách thức. Với sự phát triển của công nghệ và toán học, các nghiên cứu trong lĩnh vực này sẽ tiếp tục mở rộng và mang lại nhiều ứng dụng mới.

5.1. Tương Lai Của Nghiên Cứu Hình Học Tổ Hợp

Nghiên cứu hình học tổ hợp sẽ tiếp tục phát triển với sự xuất hiện của các công nghệ mới. Các ứng dụng trong trí tuệ nhân tạo và học máy sẽ mở ra nhiều hướng đi mới cho lĩnh vực này.

5.2. Khuyến Khích Nghiên Cứu và Ứng Dụng

Khuyến khích các nhà nghiên cứu và sinh viên tham gia vào các dự án nghiên cứu hình học tổ hợp. Việc này không chỉ giúp nâng cao kiến thức mà còn đóng góp vào sự phát triển của lĩnh vực này.

Trích đoạn nội dung tài liệu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN _______________******______________ VŨ MINH HẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà nội - 2015 1 LUAN VAN CHAT LUONG download : add [e-mail] ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN _______________******______________ VŨ MINH HẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC TỔ HỢP Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp. LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. LÊ ANH VINH Hà nội – 2015 2 LUAN VAN CHAT LUONG download : add [e-mail] MỤC LỤC CHƢƠNG 1. BÀI TOÁN PHỦ HÌNH.

Một số lý thuyết cơ sở. Một số bài toán phủ hình. BÀI TOÁN ĐỒ THỊ, TÔ MÀU. Lý thuyết cơ bản về bài toán tô màu.

Phương pháp tô màu giải bài toán hình học. Một số bài toán tô màu đồ thị. Một số bài toán tô màu ô vuông. Một số bài toán dùng phƣơng pháp tô màu ô vuông và tính chất bất biến41 CHƢƠNG 3.

NGUYÊN LÝ CỰC HẠN. Nguyên lý cực hạn. Ứng dụng nguyên lý cực hạn. Một số bài toán đánh giá góc.

Một số bài toán đánh giá khoảng cách, độ dài. Một số bài toán đánh giá diện tích, thể tích. 63 1 LUAN VAN CHAT LUONG download : add [e-mail] LỜI NÓI ĐẦU Các bài toán hình học tổ hợp là các bài toán hay và được nhiều người quan tâm. Trong những đề thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế cũng thường xuyên xuất hiện những bài toán về hình học tổ hợp.

Đó là lý do luận văn này trình bày một số bài toán về hình học tổ hợp. Luận văn “Một số bài toán hình học tổ hợp” được chia làm 3 chương: Chƣơng 1. Trình bày một số lý thuyết về bài toán phủ hình và cách giải những bài toán dạng đó. Trình bày về các bài toán đồ thị, tô màu và một số bài toán thuộc dạng này được sử dụng trong các kì thi học sinh giỏi trong nước và quốc tế.

Trình bày về nguyên lý cực hạn và các bài toán hình học tổ hợp sử dụng nguyên lí cực hạn. Mục đích của luận văn là trình bày ngắn họn dễ hiểu lý thuyết về các bài toán : phủ hình, đồ thị, tô màu, bài toán sử dụng nguyên lý cực hạn và trình bày chi tiết cách giải các bài toán đó. Mặc dù có nhiều cố gắng trong việc nghiên cứu và thực hiện luận văn này nhưng không thể tránh khỏi có sai sót, kính mong được sự góp ý quý báu của các thầy, cô và các bạn. Tôi xin chân thành cảm ơn.

4 LUAN VAN CHAT LUONG download : add [e-mail] CHƢƠNG 1. BÀI TOÁN PHỦ HÌNH Bài toán phủ hình là một dạng bài toán có nhiều trong thực tế. Ví dụ như là việc lát vỉa hè, quảng trường, sàn nhà,. bằng những viên gạch đa giác giống nhau.

Câu hỏi được đặt ra ở đây là “Những viên gạch đa giác lồi giống nhau như thế nào thì có thể lát kín được mặt phẳng?”. Mặt phẳng được lấp đầy bởi những đa giác giống nhau sao cho hai đa giác tuỳ ý không có điểm chung, nhưng có thể có chung cạnh chung đỉnh. Từ câu hỏi trên có một số các dạng toán được sinh ra, đó là “Phủ hình bằng mạng lưới ô vuông”, “Phủ đa giác lồi bằng những đa giác vị tự (hoặc đồng dạng) với chính nó”,. Dưới đây luận văn sẽ trình bày một số định lí, hệ quả và những bài toán cho dạng bài toán phủ hình như thế.

Một số lý thuyết cơ sở Một hệ thống vô hạn ô vuông tạo nên mặt phẳng được gọi là mạng lưới đỉnh ô vuông. Các ô vuông đó được gọi là ô vuông cơ sở. Các đỉnh ô vuông là các điểm nguyên (điểm có cả tung độ và hoành độ là các số nguyên) của một hệ trục toạ độ song song với các cạnh hình vuông cơ sở và có đơn vị gốc là độ dài cạnh hình vuông cơ sở. Một đa giác có đỉnh là các đỉnh lưới của mạng ô vuông được gọi là đa giác nguyên.

Ta có một tính chất cơ bản của mạng lưới ô vuông là định lí sau Định lí 1. Đa giác đều duy nhất có đỉnh tại các điểm lưới ô vuông là hình vuông. Mạng lưới ô vuông có một ứng dụng khá thực tế đó là sử dụng để tính diện tích các hình phẳng. Ta có các định nghĩa sau Đa giác nguyên : Đa giác có đỉnh là các điểm có toạ độ nguyên.

5 LUAN VAN CHAT LUONG download : add [e-mail] Tam giác đơn: Tam giác có các đỉnh có toạ độ nguyên mà không chứa đỉnh nguyên nào bên trong hoặc trên cạnh của nó. Diện tích của tam giác đơn trên mạng lưới ô vuông đơn vị đúng 1 bằng. (Định lí Picard) Các đỉnh của một đa giác P có cạnh không tự cắt (không nhất thiết phải lồi) nằm ở các điểm nguyên. Bên trong nó có n điểm nguyên, còn trên biên m điểm nguyên.

Khi đó diện tích của nó bằng m SP  n  1 2 1. Một số bài toán phủ hình Sau đây luận văn trình bày một số bài toán phủ hình. Những bài toán này được tham khảo ở các tài liệu [1], [2] và [4] mục tài liệu tham khảo. Trên một tờ giấy có một vết mực diện tích nhỏ hơn 1.

Chứng minh rằng ta có thể kẻ carô tờ giấy với các hình vuông đơn vị (cạnh 1) sao cho không có đỉnh của mạng lưới ô vuông nào rơi vào vết mực cả. Giả sử ta phủ tờ giấy bằng một mạng lưới ô vuông đơn vị bất kì. Sau đó nếu đem cắt các ô vuông đơn vị rời ra và xếp chồng lên nhau. Giả sử phần ô vuông bị thấm mực có thể thấm thẳng qua tất cả các ô vuông đó.

Khi đó vì diện tích của vết mực nhỏ hơn 1. Nên trong ô vuông có ít nhất 1 điểm là không bị thấm mực. Ta đánh dấu điểm đó. Ta đem trải các ô vuông đó ra như cũ.

Các điểm được đánh dấu như trên sẽ tạo thành một lưới ô vuông phủ tờ giấy mà không có điểm nào trong chúng nằm trong vết mực. Vậy bài toán được giải.  6 LUAN VAN CHAT LUONG download : add [e-mail] Bài toán 2. Cho tam giác nhọn ABC có diện tích bằng 1.

Chứng minh rằng tồn tại một tam giác vuông có diện tích không vượt quá 3 phủ kín ABC. Gọi BC là cạnh lớn nhất của tam giác nhon ABC có diện tích bằng R 1. Kẻ trung tuyến AM. D E Vẽ đường tròn (M;R) cắt BC ở D, E.

0 Các điểm B, C đối xứng nhau qua M, chúng cùng nằm trong đường tròn. Ta chứng minh rằng tam giác vuông ADE là tam giác phải tìm. Rõ ràng ADE phủ ABC , cần chứng minh S ADE  3. Kẻ đường cao AH.

Đặt MB = MC = a. Ta có 1 2S 2 1 S ADE  DE. AH ; AH  ABC   2 BC 2a a R nên S ADE . a R Ta chứng minh  3.

a Thật vậy, trong hai góc AMB, AMC tồn tại một góc lớn hơn hoặc bằng 900 , chẳng hạn AMC  900 , do đó AM 2  MC 2  AC 2. Suy ra R2  a 2  AC 2  BC 2  4a 2 R  R 2  3a 2   3. a Vậy tam giác ADE vuông có diện tích không vượt quá 3 phủ kín ABC.  7 LUAN VAN CHAT LUONG download : add [e-mail] Bài toán 3.

Một khu vực dân cư có hình tứ giác lồi. Tại trung điểm mỗi cạnh tứ giá, người ta đặt một trung tâm phát và nhận sóng. Vùng phát sóng và nhận sóng lớn nhất là hình tròn có đường kính là cạnh đó của tứ giác. Có thể khẳng định rằng toàn bộ khu vực dân cư ấy đều được phủ sóng hay không? Giải.

A Giả sử có điểm M nằm trong khu B dân cư có hình tứ giác lồi ABCD mà không bị phủ bởi hình tròn nào như M hình vẽ. C D Lúc đó do M nằm ngoài cả 4 đường tròn có đường kính AB, BC, CD, DA nên AMB  900 , BMC  900 , CMD  900 , DMA  900. Suy ra tổng bốn góc trên nhỏ hơn 3600 , vô lí. Vậy không tồn tại điểm M như thế.

Hay có thể khẳng định là khu dân cư ấy đều được phủ sóng. Cho 100 điểm trên mặt phẳng, hai điểm nào cũng có khoảng cách không quá 1, ba điểm nào cũng là đỉnh của một tam giác tù. Chứng minh 1 rằng tồn tại một hình tròn có bán kính phủ 100 điểm đã cho. Gọi A, B là hai điểm có khoảng cách lớn nhất trong 100 điểm đã cho, ta có AB  1.

Vẽ đường tròn có đường kính AB, hình tròn này có bán kính không 1 quá. Ta chứng minh rằng hình tròn 2 đó chứa mọi điểm đã cho. 8 LUAN VAN CHAT LUONG download : add [e-mail] Thật vậy, vẽ hai đường thẳng vuông góc với AB tại A và tại B tạo thành một dải. Nếu tồn tại một điểm C đã cho nằm ngoài dải thì hoặc BC > AB hoặc AC > AB, trái với cách chọn hai điểm A, B.

Nếu tồn tại một điểm C đã cho nằm trên dải và nằm ngoài hình tròn thì  ABC không có góc tù, trái với đề bài. Cho bốn điểm trên mặt phẳng, hai điểm nào cũng có khoảng cách lớn hơn 1. Chứng minh rằng không thể phủ tất cả bốn điểm ấy bởi một hình tròn có đường kính không quá 2. Ta sẽ chứng minh rằng trong bốn điểm đã cho, tồn tại hai điểm có khoảng cách lớn hơn 2.

Xét ba trường hợp : a) Bốn điểm A, B, C, D là đỉnh của một tứ giác lồi. Tồn tại một góc lớn hơn hoặc bằng 900 , chẳng hạn A. Ta sẽ chứng minh BC  2. Thật vậy, do A  900 nên BC 2  AB2  AC 2  1  1  2.

b) Ba điểm (chẳng hạn A, B, C) là đỉnh của một tam giác, điểm thứ tư D nằm trong hoặc trên biên.  Nếu D nằm trên biên của tam giác, chẳng hạn D nằm giữa A và C thì AD > 1, DC > 1 nên AC > 2 > 2. 9 LUAN VAN CHAT LUONG download : add [e-mail]  Nếu D nằm trong  ABC thì trong ba góc ADB, BDC, CDA , tồn tại một góc lớn hơn hoặc bằng 1200 , giả sử CDA  1200. Dễ thấy AC  2.

c) Bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng. Bài toán hiển nhiên đúng. Cho một đa giác đơn (không nhất thiết lồi) có chu vi 12.