I. Kiến thức chuẩn bị
Chương này nhắc lại một số kiến thức cơ bản về môđun đối đồng điều địa phương, biểu diễn thứ cấp của môđun Artin, kiểu đa thức, môđun Cohen-Macaulay, môđun Cohen-Macaulay suy rộng, môđun Cohen-Macaulay dãy và môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy. Những kiến thức này là nền tảng cho việc trình bày nội dung chính của luận án. Đặc biệt, môđun Cohen-Macaulay đóng vai trò quan trọng trong Đại số giao hoán và xuất hiện trong nhiều lĩnh vực nghiên cứu khác nhau của Toán học như Hình học đại số và Lý thuyết Tổ hợp. Môđun Cohen-Macaulay được định nghĩa khi depth M = dim M, và lớp môđun này có nhiều ứng dụng trong việc phân loại và nghiên cứu cấu trúc của các môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương. Chương này cũng đề cập đến các khái niệm như đối ngẫu Matlis và tính triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương, giúp làm rõ các tính chất cơ bản cần thiết cho các chương tiếp theo.
1.1 Môđun đối đồng điều địa phương
Môđun đối đồng điều địa phương là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết môđun. Nó có tính triệt tiêu và có thể được sử dụng để nghiên cứu các môđun Artin. Định lý về môđun đối đồng điều địa phương cho thấy rằng nếu (R, m) là vành địa phương và M là R-môđun hữu hạn sinh, thì các môđun Hmi(M) và HId(M) đều là R-môđun Artin. Điều này chứng tỏ rằng môđun đối đồng điều địa phương có nhiều ứng dụng trong việc phân tích cấu trúc của các môđun khác. Các kết quả này sẽ được sử dụng trong các chương tiếp theo để chứng minh các định lý quan trọng về kiểu đa thức dãy và chỉ số khả quy.
II. Kiểu đa thức dãy của môđun
Chương này tập trung vào khái niệm kiểu đa thức dãy của môđun M, ký hiệu là sp(M). Khái niệm này được định nghĩa như một độ đo cho thấy môđun M gần với tính Cohen-Macaulay dãy như thế nào. Chúng tôi nghiên cứu sự thay đổi của kiểu đa thức dãy của M qua địa phương hóa và đầy đủ hóa. Đặc biệt, chúng tôi chỉ ra rằng sp(M) có thể tính toán thông qua chiều và kiểu đa thức của các môđun khuyết thiếu của M. Khi R là thương của vành Cohen-Macaulay địa phương, sp(M) đo tính không Cohen-Macaulay dãy của môđun M. Kết quả này có ý nghĩa quan trọng trong việc phân loại các môđun và nghiên cứu cấu trúc của chúng. Chúng tôi cũng nghiên cứu mối quan hệ giữa sp(M) và sp(M/xM) khi x là phần tử tham số, từ đó đưa ra các kết luận về tính chất đồng điều của kiểu đa thức dãy.
2.1 Lọc chiều và dãy lọc chính quy
Lọc chiều của môđun M là một công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu kiểu đa thức dãy. Chúng tôi định nghĩa lọc chiều Hm0(M) = Dt ⊂ ... ⊂ D1 ⊂ D0 = M, trong đó Di là môđun con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn dim Di−1 với mọi i. Kiểu đa thức dãy sp(M) được tính toán thông qua các môđun thương trong lọc chiều. Kết quả cho thấy rằng sp(M) = max{p(Di−1 /Di) | i = 1, ...}. Điều này cho phép chúng tôi xác định rõ ràng tính không Cohen-Macaulay dãy của môđun M và mở rộng các kết quả đã biết về môđun Cohen-Macaulay.
III. Chỉ số khả quy của môđun
Chương này nghiên cứu chỉ số khả quy của các môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương. Chỉ số khả quy được định nghĩa là số lượng môđun con bất khả quy trong một phân tích bất khả quy thu gọn. Chúng tôi đưa ra công thức chặn đều cho chỉ số khả quy của các iđêan tham số tốt khi kiểu đa thức dãy của môđun Noether M là nhỏ. Kết quả này có ý nghĩa quan trọng trong việc phân tích cấu trúc của các môđun và giúp hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các môđun con và môđun thương. Chúng tôi cũng so sánh chỉ số khả quy của môđun con của M với chỉ số khả quy của đối ngẫu Matlis của môđun thương tương ứng của M, từ đó đưa ra các kết luận về tính chất đồng điều của chỉ số khả quy.
3.1 Chỉ số khả quy của môđun Noether
Chỉ số khả quy của môđun Noether được nghiên cứu thông qua các iđêan tham số tốt. Chúng tôi chỉ ra rằng nếu sp(M) ≤ 1, thì tồn tại một hằng số c sao cho irM(qM) ≤ c với mọi iđêan tham số tốt q của M. Kết quả này mở rộng các nghiên cứu trước đây về chỉ số khả quy và cung cấp một cái nhìn sâu sắc hơn về cấu trúc của các môđun Noether. Điều này có thể áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học, đặc biệt là trong nghiên cứu về môđun Artin và các môđun liên quan.
