Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ toán học với đề tài "Về sự tồn tại toán tử Picard trong một số lớp không gian metric suy rộng" được thực hiện bởi nghiên cứu sinh Đoàn Trọng Hiếu, thuộc chuyên ngành Toán giải tích (mã số: 9 46 01 02) tại Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên, dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. TS Hà Trần Phương và TS. Bùi Thế Hùng (bảo vệ năm 2023).

Tính cấp thiết và khoảng trống nghiên cứu

Lý thuyết điểm bất động metric bắt đầu từ Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922) trên không gian metric đầy đủ. Định lý này cung cấp điều kiện đủ để một ánh xạ có điểm bất động duy nhất và dãy lặp Picard hội tụ về điểm bất động đó. Trải qua các giai đoạn phát triển, nhiều tác giả đã mở rộng nguyên lý theo hai hướng chính: nới lỏng điều kiện co (như các điều kiện của Edelstein, Keeler, Kannan, Suzuki, Górnicki) và mở rộng cấu trúc không gian nền (như không gian $b$-metric, $b$-metric mạnh, không gian metric nón, không gian metric riêng).

Khái niệm toán tử Picard và toán tử Picard yếu được I. A. Rus đưa ra vào các năm 1983, 1991 nhằm mô tả các ánh xạ có dãy lặp hội tụ về điểm bất động. Vấn đề đặt ra là thiết lập các điều kiện đủ mới để một ánh xạ đơn trị hoặc đa trị là toán tử Picard hay Picard yếu trên các không gian metric chuẩn và các không gian metric suy rộng, đồng thời giải quyết các câu hỏi cấu trúc tôpô như sự tồn tại và tính duy nhất của bổ sung đủ (completion) đối với các không gian metric suy rộng.

Mục tiêu nghiên cứu

Luận án xác định 3 mục tiêu nghiên cứu cụ thể:

  1. Mục đích thứ nhất: Thiết lập một số điều kiện đủ để ánh xạ là toán tử Picard yếu (cho cả trường hợp đơn trị và đa trị) trên không gian metric đầy đủ.
  2. Mục đích thứ hai: Thiết lập một số điều kiện đủ để ánh xạ là toán tử Picard và toán tử Picard yếu trên không gian $b$-metric mạnh (bao gồm các lớp ánh xạ kiểu Kannan đối với hàm điều khiển, ánh xạ Kannan-Suzuki, ánh xạ kiểu Kannan-Suzuki và ánh xạ Kannan-Suzuki đa trị).
  3. Mục đích thứ ba: Xây dựng khái niệm không gian $b$-TVS metric nón mạnh và nghiên cứu một số tính chất của không gian này, đặc biệt là thiết lập điều kiện đủ để ánh xạ là toán tử Picard và chứng minh nguyên lý bổ sung đủ trong không gian $b$-TVS metric nón mạnh.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

  • Đối tượng nghiên cứu: Không gian metric, không gian $b$-metric mạnh, không gian $b$-TVS metric nón mạnh; toán tử Picard và toán tử Picard yếu (đơn trị và đa trị).
  • Phạm vi nghiên cứu: Các bài toán thuộc lĩnh vực lý thuyết điểm bất động metric trong Giải tích hàm, tập trung vào các điều kiện co kiểu Suzuki, Kannan, hàm điều khiển và các tính chất tôpô của không gian nón; ứng dụng vào bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường cấp một trên không gian các hàm liên tục $C[0, 1]$.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Luận án điểm lại hệ thống các công trình nghiên cứu nền tảng và phát triển liên quan đến đề tài theo ba nhóm nội dung chính:

Các hướng nghiên cứu trước trong văn bản

  1. Hướng cải tiến điều kiện co Banach:

    • S. Banach (1922) thiết lập nguyên lý co kinh điển $\rho(Ta, Tb) \le r\rho(a, b)$ với $r \in [0, 1)$.
    • M. Edelstein (1962) đưa ra điều kiện $\rho(Ta, Tb) < \rho(a, b)$ với $a \ne b$ trên không gian metric compact.
    • A. Keeler (1969) thiết lập điều kiện co yếu $(\varepsilon, \delta)$ trên không gian metric đầy đủ.
    • S. Ri (2016) thay thế hằng số co bằng hàm tham số $\phi(t) < t$, $\limsup_{s \to t^+} \phi(s) < t$.
    • T. Suzuki (2007, 2008) đưa ra điều kiện co rút gọn chỉ đòi hỏi thỏa mãn khi $\phi(r)\rho(a, Tb) \le \rho(a, b)$.

  2. Hướng nghiên cứu điều kiện co kiểu Kannan và hàm điều khiển:

    • R. Kannan (1968) chứng minh định lý điểm bất động cho ánh xạ thỏa mãn $\rho(Ta, Tb) \le r[\rho(a, Ta) + \rho(b, Tb)]$ với $r \in [0, 1/2)$, không yêu cầu ánh xạ liên tục.
    • P. V. Subramanyam (1975) chứng minh không gian metric $(X, \rho)$ là đầy đủ khi và chỉ khi mọi ánh xạ Kannan đều có điểm bất động duy nhất.
    • J. Górnicki (2017, 2018) phát triển định lý Kannan bằng cách sử dụng các lớp hàm điều khiển $S$ và $H$.
    • K. Farshid và cộng sự (2014), Gaba (2014) kết hợp điều kiện co Banach và Kannan để thiết lập điều kiện cho toán tử Picard yếu.
    • S. L. Singh (1988) mở rộng định lý Kannan cho ánh xạ đa trị $T: X \to CB(X)$ với khoảng cách Hausdorff $H(Ta, Tb) \le s[d(a, Ta) + d(b, Tb)]$.

  3. Hướng mở rộng không gian metric và nghiên cứu bổ sung đủ:

    • I. A. Rus (1983, 1991, 2001, 2003, 2008), V. Berinde nghiên cứu cấu trúc tập điểm bất động và định nghĩa toán tử Picard, Picard yếu cho ánh xạ đơn trị và đa trị.
    • L. G. Huang và X. Zhang (2007) giới thiệu không gian metric nón trong không gian Banach. Sh. Hamlbarani (2011) chứng minh lại các kết quả trên metric nón mà không cần tính chuẩn tắc của nón.
    • W. A. Kirk và N. Shahzad (2014) nghiên cứu không gian $b$-metric mạnh và đặt ra câu hỏi mở: "Liệu mọi không gian $b$-metric mạnh $X$ có trù mật trong một không gian $b$-metric mạnh đầy đủ $X'$ hay không?"
    • T. Suzuki (2017) trả lời khẳng định câu hỏi của Kirk và Shahzad bằng việc chứng minh định lý về sự tồn tại và duy nhất của bổ sung đủ cho không gian $b$-metric mạnh.

Khoảng trống nghiên cứu luận án lựa chọn giải quyết

  • Mở rộng điều kiện co kiểu Suzuki kết hợp với kiểu Kannan cho cả ánh xạ đơn trị và đa trị trên không gian metric đầy đủ.
  • Mở rộng các kết quả của Górnicki và Suzuki sang không gian $b$-metric mạnh cho cả ánh xạ đơn trị, ánh xạ đa trị và không gian compact.
  • Đề xuất cấu trúc không gian $b$-TVS metric nón mạnh (tổng quát hóa metric nón lên không gian vectơ tôpô lồi địa phương Hausdorff thực với tham số $K \ge 1$), chứng minh các định lý điểm bất động và giải quyết bài toán bổ sung đủ trong lớp không gian mới này.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Cơ sở lý thuyết và các khái niệm sử dụng

Luận án sử dụng các định nghĩa, khái niệm và cấu trúc toán học chính xác sau:

  1. Toán tử Picard và Picard yếu:

    • Cho $X$ là không gian tôpô. Ánh xạ $T: X \to X$ là toán tử Picard yếu nếu $T$ có điểm bất động và với mỗi $a \in X$, dãy lặp ${T^n a}$ hội tụ đến một điểm bất động của $T$. Nếu điểm bất động là duy nhất thì $T$ là toán tử Picard.
    • Cho $(X, D, K)$ là không gian $b$-metric mạnh, ánh xạ đa trị $T: X \to CB(X)$ là toán tử Picard yếu đa trị nếu tồn tại $\bar{a} \in T\bar{a}$ và với mỗi $a \in X, b \in Ta$, tồn tại dãy ${a_n}$ với $a_0 = a, a_1 = b, a_{n+1} \in Ta_n$ hội tụ đến một điểm bất động của $T$.

  2. Không gian $b$-metric mạnh:

    • Bộ ba $(X, D, K)$ với $X \ne \emptyset$, $K \ge 1$ và $D: X \times X \to [0, +\infty)$ thỏa mãn:
      • (D1) $D(a, b) = 0 \iff a = b$;
      • (D2) $D(a, b) = D(b, a)$;
      • (D3) $D(a, b) \le D(a, c) + K D(c, b)$ với mọi $a, b, c \in X$.

  3. Không gian $b$-TVS metric nón mạnh:

    • Cấu trúc $(X, E, C, K, \rho)$ trong đó $E$ là không gian vectơ tôpô lồi địa phương Hausdorff thực, $C$ là nón trong $E$, $\le_C$ là thứ tự bộ phận sinh bởi nón $C$, $K \ge 1$ và $\rho: X \times X \to E$ thỏa mãn các tiên đề metric suy rộng tương ứng.

  4. Các lớp hàm điều khiển:

    • Lớp $S = \left{f : (0, \infty) \to [0, 1/2) \mid f(t_n) \to 1/2 \implies t_n \to 0 \text{ khi } n \to \infty\right}$.
    • Lớp $H = \left{\phi : (0, \infty) \to [0, 1/3) \mid \phi(t_n) \to 1/3 \implies t_n \to 0 \text{ khi } n \to \infty\right}$.
    • Lớp $F_q = \left{\psi : (0, \infty) \to [0, q) \mid \psi(t_n) \to q \implies t_n \to 0 \text{ khi } n \to \infty\right}$ với $q \in (0, 1/2)$.

Phương pháp nghiên cứu

Luận án sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết giải tích hàm và lý thuyết điểm bất động metric thuần túy:

  • Phương pháp giải tích và dãy lặp Picard: Xây dựng dãy lặp $a_{n+1} = Ta_n$ (hoặc $a_{n+1} \in Ta_n$ đối với ánh xạ đa trị), thiết lập các dãy số thực $c_n \in [0, 1)$ giảm để chứng minh $\lim_{n \to \infty} \rho(a_n, a_{n+1}) = 0$.
  • Kỹ thuật ước lượng bất đẳng thức tam giác suy rộng: Ước lượng khoảng cách giữa các phần tử $a_n, a_m$ với $m > n$ để chứng minh dãy ${a_n}$ là dãy Cauchy trong không gian đầy đủ.
  • Phương pháp phản chứng: Sử dụng tính chất tách đôi điều kiện kiểu Suzuki: chỉ ra rằng trong mỗi bước lặp, luôn có ít nhất một trong hai điều kiện thành phần thỏa mãn đối với vô hạn chỉ số.
  • Phương pháp giải tích hàm trên không gian vectơ tôpô: Sử dụng tính chất lân cận của nón trong không gian vectơ tôpô lồi địa phương để xử lý thứ tự và giới hạn nón.
  • Phương pháp phương trình tích phân: Chuyển bài toán Cauchy của phương trình vi phân cấp một sang phương trình tích phân tương đương để áp dụng định lý điểm bất động.

Nguồn tư liệu nghiên cứu

Luận án kế thừa và phát triển trực tiếp từ các bài báo khoa học chuyên ngành trong nước và quốc tế của Banach, Edelstein, Keeler, Kannan, Górnicki, Suzuki, Kirk & Shahzad, Hamlbarani, Rus, Berinde cùng các báo cáo khoa học tại các hội thảo chuyên ngành Giải tích và Tối ưu.

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: Toán tử Picard yếu trong không gian metric đầy đủ

Chương 1 thiết lập các điều kiện đủ mới để một ánh xạ đơn trị hoặc đa trị là toán tử Picard yếu trong không gian metric đầy đủ $(X, \rho)$.

1. Toán tử Picard yếu đơn trị

  • Định lý 1.1: Cho $(X, \rho)$ là không gian metric đầy đủ và $T: X \to X$. Giả sử tồn tại $\alpha > 0$ sao cho với mọi $a, b \in X$: $$\frac{1}{2}\rho(a, Ta) \le \rho(a, b) \implies \rho(Ta, Tb) \le M(a, b, \alpha)\rho(a, b)$$ trong đó: $$M(a, b, \alpha) = \frac{\rho(a, Tb) + \rho(b, Ta) + \rho(a, b)}{2\rho(a, Ta) + \rho(b, Tb) + \alpha}$$ Khi đó:
    1. $T$ là toán tử Picard yếu.
    2. Nếu $\bar{a}, \bar{b}$ là hai điểm bất động phân biệt của $T$ thì $\rho(\bar{a}, \bar{b}) \ge \frac{\alpha}{2}$.
  • Hệ quả 1.2: Nếu $T$ thỏa mãn giả thiết của Định lý 1.1 và $M(a, b, \alpha) < 1$ với mọi $a, b \in X$ thì $T$ có điểm bất động duy nhất (tức là $T$ là toán tử Picard).
  • Định lý 1.6: Mở rộng điều kiện đơn trị với hàm $N(a, b, \alpha)$: $$N(a, b, \alpha) = \frac{\rho(a, Tb) + \rho(b, Ta) + \rho(a, Ta) + \rho(b, Tb) + \rho(a, b)}{3\rho(a, Ta) + 2\rho(b, Tb) + \alpha}$$ Dưới điều kiện $\frac{1}{2}\rho(a, Ta) \le \rho(a, b) \implies \rho(Ta, Tb) \le N(a, b, \alpha)\rho(a, b)$, ánh xạ $T$ là toán tử Picard yếu.

2. Toán tử Picard yếu đa trị

  • Bổ đề 1.3: Cho $(X, \rho)$ là không gian metric, $A, B \in CB(X)$ và $q > 1$. Khi đó với mỗi $a \in A$, tồn tại $b \in B$ sao cho $\rho(a, b) < q H(A, B)$.
  • Định lý 1.4: Cho $(X, \rho)$ là không gian metric đầy đủ và $T: X \to CB(X)$. Giả sử tồn tại $\alpha > 0$ sao cho: $$\frac{1}{2}d(a, Ta) \le \rho(a, b) \implies H(Ta, Tb) \le P(a, b, \alpha)\rho(a, b)$$ với: $$P(a, b, \alpha) = \frac{d(a, Tb) + d(b, Ta) + \rho(a, b)}{2d(a, Ta) + d(b, Tb) + \alpha}$$ Khi đó $T$ là toán tử Picard yếu đa trị. Nếu $\bar{a}, \bar{b} \in X$ là hai điểm bất động khác nhau thì $\rho^2(\bar{a}, \bar{b}) \ge \frac{\alpha}{2} H(T\bar{a}, T\bar{b})$.
  • Hệ quả 1.5: Nếu $P(a, b, \alpha) < 1$ với mọi $a, b \in X$ thì $T$ có điểm bất động duy nhất.
  • Định lý 1.7: Mở rộng kết quả đa trị cho hàm $Q(a, b, \alpha)$: $$Q(a, b, \alpha) = \frac{d(a, Tb) + d(b, Ta) + d(a, Ta) + d(b, Tb) + \rho(a, b)}{3d(a, Ta) + 2d(b, Tb) + \alpha}$$

Chương 2: Toán tử Picard và Picard yếu trong không gian b−metric mạnh

Chương 2 nghiên cứu các lớp toán tử Picard trong không gian $b$-metric mạnh đầy đủ $(X, D, K)$ với $K \ge 1$.

1. Toán tử Picard cho lớp ánh xạ kiểu Kannan đối với hàm điều khiển

  • Định lý 2.4: Cho $(X, D, K)$ là không gian $b$-metric mạnh đầy đủ và $T: X \to X$. Giả sử tồn tại hàm $f \in S$ sao cho với mọi $a, b \in X, a \ne b$: $$D(Ta, Tb) \le f(D(a, b)) [D(a, Ta) + D(b, Tb)]$$ Khi đó, $T$ là toán tử Picard. Khi $K = 1$, định lý thu lại Định lý 4 của J. Górnicki (2018).
  • Định lý 2.6: Cho $(X, D, K)$ là không gian $b$-metric mạnh đầy đủ và $T: X \to X$. Giả sử tồn tại hàm $\phi \in H$ sao cho với mọi $a, b \in X, a \ne b$: $$D(Ta, Tb) \le \phi(D(a, b)) [D(a, Ta) + D(b, Tb) + D(a, b)]$$ Khi đó, $T$ là toán tử Picard. Khi $K = 1$, định lý thu lại Định lý 5 của J. Górnicki (2018).

2. Toán tử Picard cho ánh xạ Kannan-Suzuki

  • Định nghĩa 3: Cho $(X, D, K)$ là không gian $b$-metric mạnh. Ánh xạ $T: X \to X$ được gọi là ánh xạ Kannan-Suzuki nếu tồn tại $s \in [0, 1/2)$ sao cho: $$\frac{1}{K+1}D(a, Ta) \le D(a, b) \implies D(Ta, Tb) \le s [D(a, Ta) + D(b, Tb)]$$
  • Định lý 2.8: Nếu $(X, D, K)$ là không gian $b$-metric mạnh đầy đủ và $T$ là ánh xạ Kannan-Suzuki thì $T$ là toán tử Picard.
  • Hệ quả 2.9 (trong không gian metric đầy đủ khi $K=1$): Cho $(X, \rho)$ là không gian metric đầy đủ. Nếu tồn tại $s \in [0, 1/2)$ sao cho $\frac{1}{2}\rho(a, Ta) \le \rho(a, b) \implies \rho(Ta, Tb) \le s[\rho(a, Ta) + \rho(b, Tb)]$ thì $T$ là toán tử Picard.
  • Định lý 2.12 (với hàm điều khiển tham số $F_q$): Cho $(X, D, K)$ là không gian $b$-metric mạnh đầy đủ, $\psi \in F_q$ ($q \in (0, 1/2)$). Nếu $\frac{1}{K+1}D(a, Ta) \le D(a, b) \implies D(Ta, Tb) \le \psi(D(a, b))[D(a, Ta) + D(b, Tb)]$ thì $T$ là toán tử Picard.

3. Toán tử Picard cho ánh xạ kiểu Kannan-Suzuki trên không gian compact

  • Định nghĩa ánh xạ kiểu Kannan-Suzuki: Tồn tại điều kiện nghiêm ngặt: $$\frac{1}{K+1}D(a, Ta) < D(a, b) \implies D(Ta, Tb) < \frac{1}{2}[D(a, Ta) + D(b, Tb)]$$
  • Định lý 2.13: Cho $(X, D, K)$ là không gian $b$-metric mạnh compact và $T$ là ánh xạ kiểu Kannan-Suzuki. Khi đó $T$ có điểm bất động duy nhất. Hơn thế, nếu $T$ liên tục thì $T$ là toán tử Picard (tính liên tục không thể bỏ qua theo Ví dụ 2.16 trong luận án).

4. Toán tử Picard yếu cho ánh xạ Kannan-Suzuki đa trị

  • Định lý 2.2: Cho $(X, D, K)$ là không gian $b$-metric mạnh đầy đủ và $T: X \to CB(X)$ là ánh xạ Kannan-Suzuki đa trị thỏa mãn với $s \in [0, 1/2)$: $$\frac{1}{K+1}d(a, Ta) \le D(a, b) \implies H(Ta, Tb) \le s[d(a, Ta) + d(b, Tb)]$$ Khi đó $T$ là toán tử Picard yếu đa trị. Đây là sự mở rộng trực tiếp Định lý 7 của L. S. Singh (1988).

5. Ứng dụng giải phương trình vi phân

  • Luận án ứng dụng Hệ quả 2.9 để xét bài toán Cauchy cho phương trình vi phân cấp một: $$\begin{cases} \frac{da}{dt} = f(t, a) \ a(0) = a_0 \end{cases}$$ trên tập đóng $X := {a \in C[0, 1] : |a(t) - a_0| \le k, \forall t \in [0, 1]}$ với $k \in (0, 1/3)$ của không gian metric đầy đủ $(C[0, 1], |\cdot|_\infty)$. Định lý 2.11 chứng minh rằng toán tử tích phân tương đương $Ta(t) = a_0 + \int_0^t f(s, a)ds$ thỏa mãn điều kiện của Hệ quả 2.9, từ đó suy ra bài toán Cauchy có nghiệm duy nhất trên $X$.

Chương 3: Toán tử Picard và bổ sung đủ đối với không gian b-TVS metric nón mạnh

Chương 3 xây dựng cấu trúc không gian mới và khảo sát tính đầy đủ tôpô cùng sự tồn tại toán tử Picard.

1. Cấu trúc không gian b-TVS metric nón mạnh

  • Cho $E$ là không gian vectơ tôpô lồi địa phương Hausdorff thực với vectơ gốc $\theta$, $C$ là nón trong $E$ có phần trong $\operatorname{int} C \ne \emptyset$, và $\le_C$ là thứ tự bộ phận cảm sinh bởi $C$. Nón $C$ thỏa mãn tính chất lân cận nếu tồn tại cơ sở lân cận của $\theta$ tương thích với thứ tự nón.
  • Không gian $b$-TVS metric nón mạnh $(X, E, C, K, \rho)$ với $K \ge 1$ thỏa mãn:
    • $\rho(a, b) = \theta \iff a = b$;
    • $\rho(a, b) = \rho(b, a)$;
    • $\rho(a, b) \le_C \rho(a, c) + K \rho(c, b)$ với mọi $a, b, c \in X$.

2. Các định lý toán tử Picard trong không gian b-TVS metric nón mạnh

  • Định lý 3.1 (Co kiểu Banach nón): Cho $(X, E, C, K, \rho)$ là không gian $b$-TVS metric nón mạnh đầy đủ và $T: X \to X$. Giả sử tồn tại $s \in [0, 1)$ sao cho: $$\rho(Ta, Tb) \le_C s\rho(a, b), \quad \forall a, b \in X$$ Khi đó, $T$ là toán tử Picard.
  • Định lý 3.3 (Co kiểu Kannan nón): Cho $(X, E, C, K, \rho)$ là không gian $b$-TVS metric nón mạnh đầy đủ và $T: X \to X$. Giả sử tồn tại $s \in [0, 1/2)$ sao cho: $$\rho(Ta, Tb) \le_C s[\rho(a, Ta) + \rho(b, Tb)], \quad \forall a, b \in X$$ Khi đó, $T$ là toán tử Picard. Định lý này mở rộng kết quả của Sh. Hamlbarani (2011).

3. Bổ sung đủ của không gian b-TVS metric nón mạnh

  • Định lý 3.7 (Nguyên lý bổ sung đủ): Cho $(X, E, C, K, \rho)$ là một không gian $b$-TVS metric nón mạnh và nón $C$ thỏa mãn tính chất lân cận trong không gian vectơ tôpô lồi địa phương Hausdorff thực đầy đủ $E$. Khi đó:
    1. $(X, E, C, K, \rho)$ có bổ sung đủ $(X^, E, C, K, \rho^)$.
    2. Bổ sung đủ là duy nhất theo nghĩa: nếu $(X_1^, E, C, K_1, \rho_1^)$ và $(X_2^, E, C, K_2, \rho_2^)$ là hai bổ sung đủ của $X$ thì tồn tại một song ánh đẳng cự $\varphi: X_1^* \to X_2^*$ đồng nhất trên $X$.

Kết quả này giải quyết trọn vẹn câu hỏi mở kiểu Kirk – Shahzad (2014) trong bối cảnh không gian $b$-TVS metric nón mạnh.

Bảng tổng hợp các kết quả chính của luận án

Chương Đối tượng không gian Lớp ánh xạ / Điều kiện co Loại toán tử đạt được Kết quả mở rộng từ
Chương 1 Metric đầy đủ $(X, \rho)$ Điều kiện kiểu Suzuki với hàm $M(a, b, \alpha)$ Picard yếu đơn trị (Định lý 1.1) S. Banach (1922), T. Suzuki (2007)
Chương 1 Metric đầy đủ $(X, \rho)$ Điều kiện đa trị với hàm $P(a, b, \alpha)$ trên $CB(X)$ Picard yếu đa trị (Định lý 1.4) I. A. Rus (1991), L. S. Singh (1988)
Chương 2 $b$-metric mạnh đầy đủ $(X, D, K)$ Hàm điều khiển $f \in S$ và $\phi \in H$ kiểu Kannan Toán tử Picard (Định lý 2.4, 2.6) J. Górnicki (2018)
Chương 2 $b$-metric mạnh đầy đủ $(X, D, K)$ Ánh xạ Kannan-Suzuki ($\frac{1}{K+1}D(a, Ta) \le D(a, b)$) Toán tử Picard (Định lý 2.8) R. Kannan (1968), T. Suzuki (2007)
Chương 2 $b$-metric mạnh compact Ánh xạ kiểu Kannan-Suzuki liên tục Toán tử Picard (Định lý 2.13) J. Górnicki (2017), T. Suzuki (2008)
Chương 2 $b$-metric mạnh đầy đủ $(X, D, K)$ Ánh xạ Kannan-Suzuki đa trị trên $CB(X)$ Picard yếu đa trị (Định lý 2.2) L. S. Singh (1988)
Chương 3 $b$-TVS metric nón mạnh đầy đủ Co Banach nón và Kannan nón với thứ tự $\le_C$ Toán tử Picard (Định lý 3.1, 3.3) Sh. Hamlbarani (2011)
Chương 3 $b$-TVS metric nón mạnh $(X, E, C, K, \rho)$ Nón $C$ thỏa tính chất lân cận trong TVS đầy đủ Nguyên lý bổ sung đủ duy nhất (Định lý 3.7) Kirk & Shahzad (2014), Suzuki (2017)

Kết quả và những đóng góp mới

Đóng góp về mặt lý luận

  1. Mở rộng lý thuyết toán tử Picard yếu trên không gian metric đầy đủ: Thiết lập các định lý mới về điều kiện đủ cho ánh xạ đơn trị (Định lý 1.1, Định lý 1.6) và ánh xạ đa trị (Định lý 1.4, Định lý 1.7) là toán tử Picard yếu dựa trên kỹ thuật kết hợp điều kiện co Banach, Kannan và kiểu Suzuki, đồng thời xác định chặn dưới cho khoảng cách giữa các điểm bất động phân biệt qua tham số $\alpha$.
  2. Phát triển lý thuyết điểm bất động trên không gian $b$-metric mạnh:
    • Mở rộng thành công các định lý của Górnicki (2018) từ không gian metric sang không gian $b$-metric mạnh sử dụng hai lớp hàm điều khiển $S$ và $H$.
    • Đề xuất khái niệm mới "ánh xạ Kannan-Suzuki" và "ánh xạ kiểu Kannan-Suzuki" cho cả ánh xạ đơn trị và đa trị trong không gian $b$-metric mạnh; chứng minh các định lý tồn tại duy nhất điểm bất động và tính chất toán tử Picard.
  3. Xây dựng cấu trúc và giải quyết bài toán tôpô trên không gian $b$-TVS metric nón mạnh:
    • Đưa ra khái niệm không gian $b$-TVS metric nón mạnh $(X, E, C, K, \rho)$, tổng quát hóa không gian metric nón trong không gian vectơ tôpô lồi địa phương Hausdorff thực với hệ số $K \ge 1$.
    • Chứng minh các định lý điểm bất động kiểu Banach và kiểu Kannan trong không gian mới này mà không cần tính chuẩn tắc của nón.
    • Thiết lập Nguyên lý bổ sung đủ: chứng minh mọi không gian $b$-TVS metric nón mạnh thỏa mãn tính chất lân cận đều có bổ sung đủ duy nhất sai khác một đẳng cự, mở rộng trọn vẹn kết quả của T. Suzuki (2017) và trả lời câu hỏi mở của Kirk - Shahzad (2014) trong bối cảnh nón vectơ tôpô.

Đóng góp về mặt thực tiễn và ứng dụng

  • Ứng dụng trực tiếp Hệ quả 2.9 vào việc thiết lập định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường cấp một $\frac{da}{dt} = f(t, a), a(0) = a_0$ trên tập đóng của không gian các hàm liên tục $C[0, 1]$.
  • Các kết quả của luận án đã được công bố trong 5 bài báo khoa học ([A1] đến [A5]) và được báo cáo tại Hội thảo Tối ưu và tính toán khoa học lần thứ 19 (Ba Vì, 2021).

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Hạn chế của luận án

  • Các kết quả về sự tồn tại toán tử Picard trong luận án tập trung vào ba lớp cấu trúc không gian cụ thể: không gian metric đầy đủ, không gian $b$-metric mạnh và không gian $b$-TVS metric nón mạnh.
  • Các điều kiện co được xây dựng tập trung chủ yếu vào các dạng mở rộng từ điều kiện co Banach, Kannan, Suzuki và các lớp hàm điều khiển $S, H, F_q$.
  • Phần ứng dụng giải tích mới dừng lại ở bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường cấp một trên không gian $C[0, 1]$.

Hướng nghiên cứu tiếp

  • Nghiên cứu mở rộng các điều kiện co dạng khác (như điều kiện co Chatterjea, Ćirić, Hardy-Rogers hoặc điều kiện co kiểu phân số) sang không gian $b$-TVS metric nón mạnh.
  • Khảo sát sự tồn tại điểm bất động chung cho các họ ánh xạ giao hoán hoặc không giao hoán trên không gian $b$-TVS metric nón mạnh.
  • Mở rộng ứng dụng của các định lý điểm bất động đã thiết lập vào các bài toán biên, phương trình tích phân phi tuyến và hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên.

Giá trị tham khảo

Luận án là tài liệu tham khảo chuyên khảo trong lĩnh vực Toán giải tích và Giải tích hàm:

  • Đối tượng thụ hưởng:
    • Nghiên cứu sinh, học viên cao học và giảng viên chuyên ngành Toán giải tích, Giải tích phi tuyến và Lý thuyết điểm bất động.
    • Các nhà nghiên cứu quan tâm đến phương pháp giải phương trình vi phân và phương trình tích phân bằng lý thuyết điểm bất động.
  • Các phần có giá trị tham khảo chuyên sâu:
    • Chương 1: Kỹ thuật chứng minh dãy Cauchy và kỹ thuật tách đôi điều kiện kiểu Suzuki đối với ánh xạ đơn trị và đa trị có sử dụng tham số điều khiển $\alpha$.
    • Chương 2: Kỹ thuật xử lý bất đẳng thức tam giác có tham số $K \ge 1$ trong không gian $b$-metric mạnh khi kết hợp với các lớp hàm điều khiển $S, H, F_q$.
    • Chương 3: Phương pháp xây dựng không gian bổ sung đủ sử dụng tính chất lân cận của nón trong không gian vectơ tôpô lồi địa phương Hausdorff thực.

Câu hỏi thường gặp

1. Toán tử Picard và toán tử Picard yếu khác nhau ở điểm cốt lõi nào?

Theo định nghĩa trong luận án, ánh xạ $T: X \to X$ trên không gian tôpô $X$ là toán tử Picard yếu nếu $T$ có điểm bất động và với mọi $a \in X$, dãy lặp ${T^n a}$ hội tụ về một điểm bất động của $T$ (có thể có nhiều điểm bất động). Nếu $T$ là toán tử Picard yếu và điểm bất động là duy nhất, thì $T$ được gọi là toán tử Picard.

2. Điểm khác biệt giữa ánh xạ Kannan-Suzuki và ánh xạ Kannan thông thường là gì?

Ánh xạ Kannan cổ điển đòi hỏi bất đẳng thức $D(Ta, Tb) \le s[D(a, Ta) + D(b, Tb)]$ phải thỏa mãn với mọi cặp phần tử $a, b \in X$. Trong khi đó, ánh xạ Kannan-Suzuki (Định nghĩa 3) chỉ yêu cầu bất đẳng thức co xảy ra đối với các cặp $a, b \in X$ thỏa mãn điều kiện ràng buộc $\frac{1}{K+1}D(a, Ta) \le D(a, b)$. Do đó, lớp ánh xạ Kannan-Suzuki rộng hơn lớp ánh xạ Kannan cổ điển.

3. Các lớp hàm điều khiển $S$ và $H$ đóng vai trò gì trong việc mở rộng định lý Kannan?

Lớp hàm $S$ (với miền giá trị trong $[0, 1/2)$) và lớp $H$ (với miền giá trị trong $[0, 1/3)$) được sử dụng để thay thế các hằng số co cố định trong điều kiện Kannan bằng một hàm phụ thuộc khoảng cách giữa hai điểm $D(a, b)$. Tính chất đặc trưng $f(t_n) \to 1/2 \implies t_n \to 0$ và $\phi(t_n) \to 1/3 \implies t_n \to 0$ đảm bảo rằng dãy số $D(a_n, a_{n+1})$ phải hội tụ về 0, qua đó chứng minh được tính hội tụ của dãy lặp mà không cần hằng số co bị chặn nghiêm ngặt cách xa $1/2$ hay $1/3$.

4. Định lý bổ sung đủ (Định lý 3.7) trong Chương 3 giải quyết vấn đề gì?

Năm 2014, W. A. Kirk và N. Shahzad đặt câu hỏi mở về tính trù mật của một không gian $b$-metric mạnh trong một không gian đầy đủ. Luận án đã tổng quát hóa và trả lời câu hỏi này trên cấu trúc rộng hơn là không gian $b$-TVS metric nón mạnh $(X, E, C, K, \rho)$: chứng minh rằng nếu nón $C$ thỏa mãn tính chất lân cận trong không gian TVS lồi địa phương Hausdorff thực đầy đủ $E$, thì luôn tồn tại bổ sung đủ của không gian và bổ sung đủ này là duy nhất sai khác một song ánh đẳng cự.

5. Kết quả lý thuyết của luận án được ứng dụng cụ thể vào bài toán nào?

Hệ quả 2.9 (toán tử Picard kiểu Kannan-Suzuki trong không gian metric đầy đủ) được áp dụng để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường cấp một $\frac{da}{dt} = f(t, a), a(0) = a_0$ trên tập hàm liên tục bị chặn $X \subset C[0, 1]$ bằng cách chứng minh toán tử tích phân tương đương là một toán tử Picard.

Kết luận

Luận án "Về sự tồn tại toán tử Picard trong một số lớp không gian metric suy rộng" của tác giả Đoàn Trọng Hiếu đã giải quyết có hệ thống các bài toán về điều kiện đủ để ánh xạ đơn trị và đa trị là toán tử Picard hoặc Picard yếu trên ba lớp cấu trúc không gian: không gian metric đầy đủ, không gian $b$-metric mạnh và không gian $b$-TVS metric nón mạnh. Luận án đã mở rộng các nguyên lý điểm bất động của Banach, Kannan, Suzuki và Górnicki, đồng thời giải quyết bài toán mở về sự tồn tại và duy nhất của bổ sung đủ cho không gian $b$-TVS metric nón mạnh. Các kết quả lý thuyết đạt được có độ chính xác cao về mặt toán học và được minh chứng hiệu quả qua ứng dụng giải bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường.