Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ toán học với đề tài "Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng và bao hàm thức tựa biến phân Pareto" được nghiên cứu sinh Bùi Thế Hùng thực hiện tại Viện Toán học thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, dưới sự hướng dẫn khoa học của GS. Nguyễn Xuân Tấn, thuộc chuyên ngành Toán giải tích (mã số: 62 46 01 02) và bảo vệ năm 2014.

Tính cấp thiết và khoảng trống nghiên cứu

Trong lý thuyết tối ưu tổng quát, bài toán tối ưu vô hướng $(OP)$ đóng vai trò nền tảng và có mối liên hệ mật thiết với nhiều bài toán khác như bài toán điểm cân bằng, bất đẳng thức biến phân, điểm bất động, cân bằng Nash, điểm yên ngựa và bài toán bù. Khi ánh xạ mục tiêu được mở rộng thành ánh xạ vector hoặc ánh xạ đa trị trong không gian tuyến tính có thứ tự sinh bởi nón, lý thuyết tối ưu vector đa trị đã hình thành và phát triển thành một chuyên ngành toán học quan trọng.

Trong lý thuyết tối ưu vector đa trị, hai lớp bài toán giữ vị trí then chốt là bài toán tựa cân bằng (quasi-equilibrium problem) và bài toán bao hàm thức tựa biến phân (quasivariational inclusion problem). Điểm lại các công trình trước đây, tác giả chỉ ra các khoảng trống lý thuyết:

  • Các kết quả tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng loại I chủ yếu tập trung vào nghiệm lý tưởng trên $(U IQEP)_I$ và nghiệm lý tưởng dưới $(LIQEP)_I$; trong khi đó, bài toán tựa cân bằng Pareto trên loại I $(U P QEP)_I$ và bài toán tựa cân bằng yếu trên loại I $(U W QEP)_I$ rất ít được nghiên cứu.
  • Các mô hình tựa cân bằng tổng quát loại I $(GQEP)_I$ trước đó yêu cầu điều kiện tương đối nặng nề lên các ánh xạ ràng buộc (như tính liên tục compắc của ánh xạ thứ nhất và tính liên tục acyclic của ánh xạ thứ hai).
  • Đối với bài toán bao hàm thức tựa biến phân loại I và loại II, hầu hết các công trình trước đây chỉ khảo sát trường hợp nghiệm lý tưởng dưới các giả thiết chặt (nón cực $C^0$ có cơ sở compắc yếu*, ánh xạ mục tiêu có giá trị lồi compắc hoặc chỉ thỏa mãn tính giống như tựa lồi theo nón). Trường hợp bài toán bao hàm thức tựa biến phân theo nghĩa Pareto và trường hợp ánh xạ mục tiêu thỏa mãn tính lồi theo nón chưa được nghiên cứu thỏa đáng.

Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu

Luận án xác định các mục tiêu khoa học cụ thể sau:

  1. Thiết lập các điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng Pareto trên loại I $(U P QEP)_I$ và bài toán tựa cân bằng yếu trên loại I $(U W QEP)_I$.
  2. Thiết lập các điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II $(GQEP)_{II}$, từ đó mở rộng cho hệ bài toán tựa cân bằng, bài toán điểm tựa yên ngựa Pareto và bài toán bất đẳng thức tựa biến phân vector.
  3. Thiết lập các điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I ($(U P QV IP)I$, $(LP QV IP)I$) và loại II ($(U P QV IP){II}$, $(LP QV IP){II}$) cho cả hai trường hợp: ánh xạ mục tiêu lồi theo nón và ánh xạ mục tiêu giống như tựa lồi theo nón.
  4. Nghiên cứu các điều kiện đủ cho tính không rỗng của nón cực chặt $C^{0+}$, làm cơ sở cho phương pháp vô hướng hóa bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

  • Đối tượng nghiên cứu: Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng, bài toán tựa cân bằng tổng quát và bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto; các đặc trưng hình học của nón (nón lồi, nón nhọn, nón cực, nón cực chặt); các lớp ánh xạ đa trị và tính chất liên tục, tính lồi, tính đơn điệu theo nón.
  • Phạm vi nghiên cứu: Không gian tuyến tính, không gian tôpô tuyến tính, không gian lồi địa phương Hausdorff thực và không gian Banach. Thời gian hoàn thành và bảo vệ luận án vào năm 2014 tại Hà Nội.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Lịch sử nghiên cứu và các hướng tiếp cận trước đó

Lý thuyết tối ưu vector bắt nguồn từ các ý tưởng về cân bằng kinh tế và lý thuyết giá trị của Edgeworth (1881) và Pareto (1896), gắn liền với tên tuổi của Hausdorff, Cantor, Borel, Von Neumann, Koopmans. Lĩnh vực này được công nhận rộng rãi sau các công trình của Kuhn - Tucker (1951) về điều kiện tối ưu và Debreu (1954) về giá trị cân bằng và tối ưu Pareto. Khái niệm ánh xạ đa trị xuất hiện từ những năm 1930 và được hệ thống hóa trong sách chuyên khảo của D. T. Luc (1989), mở rộng bài toán $(OP)$ sang bài toán tối ưu vector đa trị.

Năm 1994, Blum và Oettli đã nghiên cứu bài toán cân bằng vô hướng $(EP)$: tìm $\bar{x} \in D$ sao cho $f(\bar{x}, x) \ge 0$ với mọi $x \in D$. Bài toán này bao hàm bài toán tối ưu, bất đẳng thức biến phân, bài toán bù, cân bằng Nash, điểm yên ngựa và điểm bất động, được nhiều tác giả phát triển như Ky Fan, Browder, Minty, Bianchi. Sau đó, $(EP)$ được mở rộng cho ánh xạ vector đơn trị (Ansari, Giannessi, Yang) và ánh xạ đa trị (Chen, Luc, Tan, Yang).

Hướng nghiên cứu / Bài toán Tác giả tiêu biểu và công trình Đặc điểm và giả thiết của các nghiên cứu trước
Bài toán tựa cân bằng đa trị loại I N. X. Tan (2004) [44]; Chen (1998) [19]; Luc (1989) [41] Đưa ra phân loại 6 dạng bài toán; chủ yếu giải quyết bài toán lý tưởng $(U IQEP)_I, (LIQEP)_I$. Rất ít kết quả cho bài toán Pareto $(U P QEP)_I$ và bài toán yếu $(U W QEP)_I$.
Bài toán tựa cân bằng tổng quát $(GQEP)_I$ D. T. Luc, N. X. Tan (2004) [17] Đưa nhiều bài toán về mô hình chung độc lập với nón, sử dụng định lý điểm bất động Himmelberg; đòi hỏi ràng buộc $S$ liên tục compắc, $T$ liên tục acyclic.
Bài toán tựa tối ưu $(QOP)_I$ và bao hàm thức tựa biến phân loại I N. X. Tan (1987) [28], (2000) [55], (2004) [44] Đưa ra $(U IQV IP)_I, (LIQV IP)_I$; dùng vô hướng hóa với cơ sở compắc yếu* của $C^0$; yêu cầu $F$ có giá trị lồi compắc và có tính chất $C$-giống như tựa lồi.
Bài toán tựa tối ưu $(QOP)_{II}$ và bao hàm thức tựa biến phân loại II D. S. Kim, N. X. Tan (2004) [48]; P. Q. Khanh (2008) [30] Đưa ra $(U IQV IP){II}, (LIQV IP){II}$; dùng vô hướng hóa qua tập bị chặn $\Gamma \subseteq Y^*$ hoặc Bổ đề Fan-KKM; đòi hỏi $F$ là $(Q,C)$-giống như tựa lồi theo đường chéo.

Vị trí và đóng góp của luận án

Luận án của Bùi Thế Hùng chọn giải quyết các khoảng trống còn tồn tại:

  1. Đưa ra các điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng Pareto $(U P QEP)_I$ và yếu $(U W QEP)_I$ bằng cách tiếp cận tính giả đơn điệu mạnh theo nón và tính lồi/giống như tựa lồi dưới theo đường chéo.
  2. Thiết lập mô hình bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II $(GQEP)_{II}$ liên kết lớp lớn các bài toán loại II thông qua công cụ Bổ đề Fan-KKM, giảm nhẹ các ràng buộc cấu trúc.
  3. Giải quyết bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I và loại II bằng phương pháp vô hướng hóa thông qua phần tử của nón cực chặt $C^{0+}$, áp dụng đồng thời cho cả hai trường hợp ánh xạ mục tiêu lồi theo nón và giống như tựa lồi theo nón.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết và các khái niệm sử dụng

Luận án vận dụng hệ thống khái niệm của giải tích đa trị và giải tích lồi:

  • Ánh xạ đa trị: Cho $F: X \to 2^Y$, miền xác định $\text{dom} F := {x \in X : F(x) \neq \emptyset}$, đồ thị $\text{gph} F := {(x, y) \in X \times Y : y \in F(x)}$, ảnh ngược $F^{-1}(y) := {x \in X : y \in F(x)}$.
  • Nón và nón cực: Nón $C \subseteq Y$ có đỉnh tại gốc; quan hệ thứ tự bộ phận $x \ge_C y \iff x - y \in C$; nón cực $C^0 := {\xi \in Y^* : \langle \xi, c \rangle \ge 0, \forall c \in C}$; nón cực chặt $C^{0+} := {\xi \in Y^* : \langle \xi, c \rangle > 0, \forall c \in C \setminus {0}}$.
  • Khái niệm nghiệm hữu hiệu: Điểm hữu hiệu lý tưởng ($\text{IMin}(A|C)$), điểm hữu hiệu Pareto ($\text{PMin}(A|C)$), điểm hữu hiệu yếu ($\text{WMin}(A|C)$), điểm hữu hiệu thực sự ($\text{PrMin}(A|C)$).
  • Tính liên tục theo nón: Tính nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới theo nghĩa Berge; tính $C$-liên tục trên, $C$-liên tục dưới, $C$-liên tục của ánh xạ đa trị; tính $C$-hemi liên tục trên và $C$-hemi liên tục dưới.
  • Tính lồi và giả đơn điệu theo nón: Tính $C$-lồi trên/dưới theo đường chéo, tính $C$-giống như tựa lồi trên/dưới theo đường chéo, tính $C$-giả đơn điệu mạnh và $C$-giả đơn điệu.

Phương pháp nghiên cứu

Luận án sử dụng các phương pháp phân tích toán học thuần túy:

  1. Phương pháp điểm bất động: Sử dụng Định lý điểm bất động Ky Fan (áp dụng cho ánh xạ đa trị nửa liên tục trên có giá trị lồi đóng compắc) và Định lý điểm bất động Fan - Browder (áp dụng cho ánh xạ đa trị có ảnh ngược mở tại mỗi điểm).
  2. Phương pháp bao hàm KKM: Sử dụng Bổ đề Fan - KKM để chứng minh sự tồn tại giao khác rỗng của họ các tập đóng compắc, từ đó suy ra sự tồn tại nghiệm.
  3. Phương pháp chọn lát cắt liên tục: Áp dụng Định lý lát cắt liên tục Michael/Yannelis-Prabhakar cho ánh xạ đa trị có giá trị lồi và ảnh ngược mở.
  4. Phương pháp vô hướng hóa: Sử dụng các phiếm hàm tuyến tính liên tục $\xi \in C^{0+}$ để chuyển bài toán vector đa trị sang bài toán vô hướng tương đương, kết hợp với các định lý tách tập lồi.

Nguồn tư liệu nghiên cứu

Luận án kế thừa và phát triển trực tiếp các kết quả từ các tài liệu chuyên khảo và bài báo quốc tế của N. X. Tan, D. T. Luc, P. Q. Khanh, E. Blum, W. Oettli, Ky Fan, F. E. Browder, J. P. Aubin, I. Ekeland, C. Berge.

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày các khái niệm cơ sở của giải tích đa trị, lý thuyết nón trong không gian tuyến tính và các định lý điểm bất động nền tảng, đồng thời chứng minh một số kết quả mới về điều kiện không rỗng của nón cực chặt.

1. Khái niệm và tính chất của ánh xạ đa trị

  • Trình bày định nghĩa ánh xạ có giá trị lồi, giá trị đóng, giá trị compắc; ánh xạ lồi, ánh xạ đóng, ánh xạ mở.
  • Khẳng định mối liên hệ: ánh xạ đóng (mở, lồi) thì có giá trị đóng (mở, lồi). Đưa ra phản ví dụ chứng minh chiều ngược lại không đúng:
    • Ánh xạ $F: \mathbb{N}^* \to 2^{\mathbb{R}}$ xác định bởi $F(n) = \text{co}{1, 2, \dots, n}$ có giá trị lồi nhưng không là ánh xạ lồi.
    • Ánh xạ $F: \mathbb{R} \to 2^{\mathbb{R}}$ xác định bởi $F(0) = [0, 1]$ và $F(x) = \mathbb{R}$ khi $x \neq 0$ có giá trị đóng nhưng đồ thị không đóng trong $\mathbb{R}^2$.
  • Mệnh đề 1.5: Cho $X, Y$ là các không gian tôpô tuyến tính. Nếu ánh xạ đa trị $F: X \to 2^Y$ có ảnh ngược $F^{-1}(y)$ là tập mở trong $X$ với mọi $y \in Y$, thì ánh xạ bao lồi $\text{co} F$ cũng có ảnh ngược mở tại mỗi điểm.

2. Tính không rỗng của nón cực chặt

  • Định nghĩa nón cực $C^0$ và nón cực chặt $C^{0+}$.
  • Mệnh đề 1.7: Giả sử $Y$ là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương và $C$ là nón lồi không tầm thường trong $Y$. Nếu $C^{0+} \neq \emptyset$ thì $\text{cl} C \cap (-C) = {0}$. Khi $\dim Y < +\infty$, khẳng định đảo cũng đúng: mọi nón lồi đóng nhọn trong không gian hữu hạn chiều đều có $C^{0+} \neq \emptyset$.
  • Mệnh đề 1.8: Giả sử $Y$ là không gian lồi địa phương Hausdorff và $C$ là nón lồi không tầm thường trong $Y$. Khi đó $C$ có cơ sở lồi $B$ thỏa mãn $0 \notin \text{cl} B$ khi và chỉ khi $C^{0+} \neq \emptyset$.
  • Khái niệm tính chất góc (angle property): Nón lồi $C$ trong không gian Banach $Y$ có tính chất góc nếu tồn tại $\epsilon \in (0, 1]$ và $\xi \in Y^* \setminus {0}$ sao cho $C \subseteq {x \in Y : \langle \xi, x \rangle \ge \epsilon |x|}$.
    • Nón $C = \mathbb{R}^n_+$ trong $\mathbb{R}^n$ có tính chất góc.
    • Nón $C = l_{0+}$ trong không gian $l_0$ (các dãy hội tụ về 0) không có tính chất góc.
    • Mệnh đề 1.9: Nếu nón lồi $C$ trong không gian Banach có tính chất góc thì $C^{0+} \neq \emptyset$.

3. Tính liên tục và tính lồi theo nón

  • Định nghĩa tính $C$-liên tục trên và $C$-liên tục dưới theo nghĩa mở rộng từ Berge.
  • Mệnh đề 1.10: Thiết lập điều kiện cần và đủ cho tính $C$-liên tục trên và dưới khi $F(x_0)$ là tập compắc.
  • Định nghĩa và tính chất của lớp ánh xạ $C$-hemi liên tục trên và $C$-hemi liên tục dưới (Mệnh đề 1.11, Mệnh đề 1.12, Mệnh đề 1.13).
  • Định nghĩa tính $C$-lồi trên/dưới theo đường chéo và $C$-giống như tựa lồi trên/dưới theo đường chéo đối với từng biến.

4. Các định lý điểm bất động

  • Bổ đề Fan - KKM (1961): Cho $F: D \to 2^X$ là ánh xạ KKM với giá trị đóng, tồn tại $x_0 \in D$ sao cho $F(x_0)$ compắc thì $\bigcap_{x \in D} F(x) \neq \emptyset$.
  • Định lý điểm bất động Fan - Browder (1968): Cho $D$ là tập con lồi compắc khác rỗng của không gian lồi địa phương Hausdorff $X$, $F: D \to 2^D$ có giá trị lồi khác rỗng và ảnh ngược $F^{-1}(x)$ mở thì tồn tại $\bar{x} \in F(\bar{x})$.
  • Định lý điểm bất động Ky Fan (1952): Cho $D$ lồi compắc khác rỗng trong không gian lồi địa phương Hausdorff $X$, $F: D \to 2^D$ nửa liên tục trên với giá trị lồi đóng khác rỗng thì tồn tại $\bar{x} \in F(\bar{x})$.
  • Định lý lát cắt liên tục (1983): Ánh xạ đa trị từ tập compắc $D$ vào $K$ có giá trị lồi khác rỗng và ảnh ngược mở thì có lát cắt liên tục $f: D \to K$.

Chương 2: Bài toán tựa cân bằng

Chương này tập trung nghiên cứu điều kiện tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng Pareto trên loại I, bài toán tựa cân bằng yếu trên loại I và bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II.

1. Bài toán tựa cân bằng Pareto và yếu loại I

Cho $X, Y, Z$ là các không gian tôpô tuyến tính, $D \subseteq X, K \subseteq Z$ là các tập con khác rỗng, $C \subseteq Y$ là nón nhọn. Cho các ánh xạ đa trị $S: D \times K \to 2^D$, $T: D \times K \to 2^K$, $F: K \times D \times D \to 2^Y$.

  • Bài toán $(U P QEP)_I$: Tìm $(\bar{x}, \bar{y}) \in D \times K$ sao cho: $$\bar{x} \in S(\bar{x}, \bar{y}), \quad \bar{y} \in T(\bar{x}, \bar{y}) \quad \text{và} \quad F(\bar{y}, \bar{x}, x) \not\subseteq -C \setminus {0}, \quad \forall x \in S(\bar{x}, \bar{y})$$
  • Bài toán $(U W QEP)_I$: Tìm $(\bar{x}, \bar{y}) \in D \times K$ sao cho: $$\bar{x} \in S(\bar{x}, \bar{y}), \quad \bar{y} \in T(\bar{x}, \bar{y}) \quad \text{và} \quad F(\bar{y}, \bar{x}, x) \not\subseteq -\text{int} C, \quad \forall x \in S(\bar{x}, \bar{y})$$

Để chứng minh sự tồn tại nghiệm, tác giả thiết lập hai bổ đề cơ sở:

  • Bổ đề 2.5: Cho $F: D \times D \to 2^Y$ thỏa mãn $F(x, x) \cap C(x) \neq \emptyset$. Nếu $F(\cdot, x)$ là $C$-hemi liên tục trên, $F$ là $C$-giả đơn điệu mạnh và $F$ là $C$-lồi dưới theo đường chéo (hoặc $C$-giống như tựa lồi dưới theo đường chéo) đối với biến thứ hai, thì với mỗi $y \in D$, hai khẳng định sau tương đương:
    1. $F(y, x) \not\subseteq -C(y) \setminus {0}, \forall x \in D$.
    2. $F(x, y) \subseteq -C(x), \forall x \in D$.
  • Bổ đề 2.6: Thiết lập tương đương tương tự giữa $F(y, x) \not\subseteq -\text{int} C(y)$ và $F(x, y) \subseteq -C(x)$ cho bài toán dạng yếu, dựa trên tính $C$-hemi liên tục dưới và tính $C$-giả đơn điệu.

Các định lý tồn tại nghiệm chính:

  • Định lý 2.8 (Tồn tại nghiệm của $(U P QEP)_I$): Giả sử $D, K$ là các tập con lồi compắc khác rỗng trong không gian lồi địa phương Hausdorff $X, Z$; $C$ là nón lồi đóng nhọn trong $Y$; $F(y, x, x) \cap C \neq \emptyset$. Nếu:
    1. $S$ liên tục với giá trị lồi đóng khác rỗng;
    2. $T$ nửa liên tục trên với giá trị lồi đóng khác rỗng;
    3. $F(y, \cdot, x)$ là $C$-hemi liên tục trên;
    4. $F(y, \cdot)$ là $C$-giả đơn điệu mạnh;
    5. $F(y, x, \cdot)$ là $C$-lồi dưới (hoặc $C$-giống như tựa lồi dưới);
    6. $F$ là $C$-liên tục dưới; thì bài toán $(U P QEP)_I$ có nghiệm $(\bar{x}, \bar{y}) \in D \times K$.
  • Định lý 2.12 (Tồn tại nghiệm của $(U W QEP)_I$): Thiết lập kết quả tương tự cho bài toán tựa cân bằng yếu trên loại I dưới giả thiết $F(y, \cdot, x)$ là $C$-hemi liên tục dưới, $F(y, \cdot)$ là $C$-giả đơn điệu và $F(y, x, \cdot)$ là $C$-lồi dưới.

2. Mở rộng cho hệ bài toán, điểm tựa yên ngựa và bất đẳng thức biến phân

  • Hệ bài toán tựa cân bằng Pareto (SPQEP) và yếu (SWQEP): Luận án chứng minh Định lý 2.14 và Định lý 2.15 khẳng định sự tồn tại nghiệm đồng thời cho cặp ánh xạ $(G, H)$ trên tích $D \times K$.
  • Bài toán điểm tựa yên ngựa Pareto: Cho ánh xạ $f: D \times K \to Y$, tìm $(\bar{x}, \bar{y})$ sao cho $f(x, \bar{y}) \notin f(\bar{x}, \bar{y}) - C \setminus {0}$ với mọi $x \in S(\bar{x}, \bar{y})$ và $f(\bar{x}, \bar{y}) \notin f(\bar{x}, y) - C \setminus {0}$ với mọi $y \in T(\bar{x}, \bar{y})$.
    • Hệ quả 2.16 chứng minh sự tồn tại nghiệm bằng cách quy về hệ bài toán tựa cân bằng với $G(y, x, z) = f(z, y) - f(x, y)$ và $H(x, y, t) = f(x, y) - f(x, t)$.
    • Hệ quả 2.17 thu được định lý minimax cho trường hợp vô hướng: $\max_{x} \min_{y} f(x, y) = \min_{y} \max_{x} f(x, y)$, tổng quát hóa kết quả của Kneser (1952), Lin - Tsai (1988) và Von Neumann (1928).
  • Bài toán bất đẳng thức tựa biến phân vector Pareto và yếu: Tìm $(\bar{x}, \bar{y})$ sao cho $G(\bar{x}, \bar{y})(x - \bar{x}) + \phi(x) - \phi(\bar{x}) \not\subseteq -C \setminus {0}$ với mọi $x \in S(\bar{x}, \bar{y})$ (Hệ quả 2.18 và Hệ quả 2.19).

3. Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II $(GQEP)_{II}$

  • Phát biểu bài toán: Cho $P_1, P_2: D \to 2^D$, $Q: D \times D \to 2^K$, $F: K \times D \times D \to 2^Y$. Tìm $\bar{x} \in D$ sao cho: $$\bar{x} \in P_1(\bar{x}) \quad \text{và} \quad 0 \in F(y, \bar{x}, t), \quad \forall t \in P_2(\bar{x}), \forall y \in Q(\bar{x}, t)$$
  • Mối liên hệ mô hình: Luận án chỉ ra $(GQEP)_{II}$ bao hàm bài toán tựa cân bằng lý tưởng loại II và bài toán bao hàm thức tựa biến phân lý tưởng loại II khi đặt $M(y, x) = {t \in D : G(y, x, t) \cap C \neq \emptyset}$ hoặc $M(y, x) = {t \in D : G(y, x, t) \subseteq G(y, x, x) + C}$ và $F(y, x, t) = t - M(y, x)$.
  • Định lý 2.6: Sử dụng Bổ đề Fan-KKM chứng minh sự tồn tại nghiệm của $(GQEP)_{II}$, từ đó rút ra các hệ quả về nghiệm Pareto (Hệ quả 2.8) và nghiệm yếu (Hệ quả 2.9, Hệ quả 2.11).

Chương 3: Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto

Chương này trình bày các kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I và loại II, cùng các bài toán tựa tối ưu Pareto và tựa cân bằng Pareto liên quan.

1. Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I

Cho $D \subseteq X, K \subseteq Z$, $C \subseteq Y$ là nón lồi nhọn; $S: D \to 2^D, T: D \to 2^K, F: K \times D \times D \to 2^Y$.

  • Bài toán trên $(U P QV IP)_I$: Tìm $(\bar{x}, \bar{y}) \in D \times K$ sao cho $\bar{x} \in S(\bar{x}), \bar{y} \in T(\bar{x})$ và: $$F(\bar{y}, \bar{x}, x) \not\subseteq F(\bar{y}, \bar{x}, \bar{x}) - C \setminus {0}, \quad \forall x \in S(\bar{x})$$
  • Bài toán dưới $(LP QV IP)_I$: Tìm $(\bar{x}, \bar{y}) \in D \times K$ sao cho $\bar{x} \in S(\bar{x}), \bar{y} \in T(\bar{x})$ và: $$F(\bar{y}, \bar{x}, \bar{x}) \not\subseteq F(\bar{y}, \bar{x}, x) + C \setminus {0}, \quad \forall x \in S(\bar{x})$$

Phương pháp giải quyết của luận án dựa trên việc chọn phiếm hàm $\xi_0 \in C^{0+}$ để chuyển bài toán về dạng vô hướng, kết hợp định lý lát cắt liên tục và định lý điểm bất động:

  • Định lý 3.11: Thiết lập điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của $(U P QV IP)_I$ và $(LP QV IP)_I$. Kết quả được chứng minh cho cả hai trường hợp:
    1. Ánh xạ $F(y, x, \cdot)$ là $C$-lồi;
    2. Ánh xạ $F(y, x, \cdot)$ là $C$-giống như tựa lồi.

2. Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại II

Cho $P_1, P_2: D \to 2^D, Q: D \times D \to 2^K, F: K \times D \times D \to 2^Y$.

  • Bài toán trên $(U P QV IP)_{II}$: Tìm $\bar{x} \in D$ sao cho $\bar{x} \in P_1(\bar{x})$ và: $$F(y, x, \bar{x}) \not\subseteq F(y, \bar{x}, \bar{x}) - C \setminus {0}, \quad \forall x \in P_2(\bar{x}), \forall y \in Q(\bar{x}, x)$$
  • Bài toán dưới $(LP QV IP)_{II}$: Tìm $\bar{x} \in D$ sao cho $\bar{x} \in P_1(\bar{x})$ và: $$F(y, \bar{x}, \bar{x}) \not\subseteq F(y, x, \bar{x}) + C \setminus {0}, \quad \forall x \in P_2(\bar{x}), \forall y \in Q(\bar{x}, x)$$

Định lý 3.x thiết lập sự tồn tại nghiệm của $(U P QV IP){II}$ và $(LP QV IP){II}$ bằng kỹ thuật vô hướng hóa qua $C^{0+}$, mở rộng đáng kể các kết quả của D. S. Kim, N. X. Tan (2004) và P. Q. Khanh (2008) khi không đòi hỏi cấu trúc $(Q,C)$-giống như tựa lồi theo đường chéo.

3. Các bài toán liên quan

Từ kết quả của Chương 3, luận án rút ra các điều kiện tồn tại nghiệm cho:

  • Bài toán tựa cân bằng Pareto loại I và loại II (khi $F(y, \bar{x}, \bar{x}) = {0}$).
  • Bài toán tựa tối ưu Pareto loại I và loại II (khi ánh xạ mục tiêu $F$ chỉ phụ thuộc vào hai biến hoặc có cấu trúc tối ưu hóa nón).

Kết quả và những đóng góp mới

Luận án đạt được các kết quả lý thuyết toán học mới:

  1. Về hình học nón và nón cực chặt:

    • Chứng minh điều kiện cần và đủ để nón cực chặt $C^{0+} \neq \emptyset$ trong không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương hữu hạn chiều là $\text{cl} C \cap (-C) = {0}$.
    • Thiết lập mối liên hệ tương đương giữa tính không rỗng của $C^{0+}$ và sự tồn tại cơ sở lồi $B$ có bao đóng không chứa gốc tọa độ trong không gian lồi địa phương Hausdorff.
    • Chứng minh nón lồi có tính chất góc trong không gian Banach thì có nón cực chặt khác rỗng.

  2. Về bài toán tựa cân bằng loại I:

    • Thiết lập điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng Pareto trên loại I $(U P QEP)_I$ (Định lý 2.8) và bài toán tựa cân bằng yếu trên loại I $(U W QEP)_I$ (Định lý 2.12) thông qua tính giả đơn điệu mạnh/giả đơn điệu theo nón, áp dụng cho cả hai trường hợp ánh xạ $C$-lồi dưới và $C$-giống như tựa lồi dưới.
    • Xây dựng ví dụ minh họa chứng minh tính độc lập và sự cần thiết của giả thiết giả đơn điệu mạnh.
    • Mở rộng thành công sang hệ bài toán tựa cân bằng, bài toán điểm tựa yên ngựa Pareto và bài toán bất đẳng thức tựa biến phân vector.

  3. Về bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II:

    • Đề xuất mô hình thống nhất $(GQEP)_{II}$ và chứng minh định lý tồn tại nghiệm (Định lý 2.6) bằng Bổ đề Fan-KKM, từ đó suy ra nghiệm Pareto và nghiệm yếu loại II.

  4. Về bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto:

    • Thiết lập các định lý tồn tại nghiệm cho bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I ($(U P QV IP)I$, $(LP QV IP)I$) và loại II ($(U P QV IP){II}$, $(LP QV IP){II}$) bằng phương pháp vô hướng hóa qua $C^{0+}$.
    • Khắc phục hạn chế của các nghiên cứu trước đây khi chứng minh kết quả cho cả trường hợp ánh xạ lồi theo nón và giống như tựa lồi theo nón, không đòi hỏi nón cực $C^0$ phải có cơ sở compắc yếu*.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Hạn chế

  • Các kết quả tồn tại nghiệm trong luận án hầu hết đều giả thiết tập xác định $D, K$ là các tập con lồi compắc trong không gian lồi địa phương Hausdorff, chưa bao quát hoàn toàn các bài toán trên tập không compắc.
  • Phương pháp vô hướng hóa ở Chương 3 phụ thuộc vào điều kiện nón cực chặt khác rỗng ($C^{0+} \neq \emptyset$), điều này đòi hỏi nón $C$ phải có cơ sở lồi hoặc thỏa mãn tính chất góc, chưa áp dụng được cho nón không nhọn hoặc nón có phần trong rỗng trong một số không gian vô hạn chiều đặc thù.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Theo phần định hướng của luận án, các vấn đề mở cần tiếp tục nghiên cứu gồm:

  1. Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các bài toán tựa cân bằng và bao hàm thức tựa biến phân Pareto khi tập ràng buộc không compắc, thay thế bằng các điều kiện bức (coercivity conditions) suy rộng.
  2. Mở rộng bài toán bao hàm thức tựa biến phân cho các lớp nón tổng quát hơn trong không gian vô hạn chiều mà không đòi hỏi điều kiện $C^{0+} \neq \emptyset$.
  3. Khảo sát tính ổn định nghiệm, tính nửa liên tục và tính liên tục của ánh xạ tập nghiệm đối với các bài toán tựa cân bằng và bao hàm thức tựa biến phân Pareto khi các ánh xạ mục tiêu và ánh xạ ràng buộc bị nhiễu.

Giá trị tham khảo

Luận án là tài liệu chuyên khảo có giá trị lý thuyết đối với:

  • Nghiên cứu sinh và học viên cao học chuyên ngành Toán giải tích, Toán ứng dụng, Lý thuyết Tối ưu và Giải tích phi tuyến: Cung cấp tài liệu tham khảo về kỹ thuật giải tích đa trị, phương pháp sử dụng định lý điểm bất động và bổ đề KKM.
  • Giảng viên và nhà nghiên cứu: Cung cấp khung phương pháp luận xử lý các bài toán tối ưu vector đa trị, bài toán tựa cân bằng và bài toán biến phân dạng Pareto.
  • Nhà nghiên cứu kinh tế toán và lý thuyết trò chơi: Cung cấp công cụ toán học để chứng minh sự tồn tại của trạng thái cân bằng trong các mô hình cạnh tranh kinh tế đa mục tiêu và trò chơi tựa cân bằng.

Câu hỏi thường gặp

1. Nón cực chặt $C^{0+}$ được định nghĩa thế nào và điều kiện để nó khác rỗng trong không gian hữu hạn chiều là gì?

Nón cực chặt của nón nhọn $C \subseteq Y$ được định nghĩa là $C^{0+} := {\xi \in Y^* : \langle \xi, c \rangle > 0, \forall c \in C \setminus {0}}$, trong đó $Y^*$ là không gian đối ngẫu tôpô của $Y$. Theo Mệnh đề 1.7 trong luận án, trong không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương hữu hạn chiều, điều kiện cần và đủ để $C^{0+} \neq \emptyset$ là $\text{cl} C \cap (-C) = {0}$. Do đó, mọi nón lồi đóng nhọn trong không gian hữu hạn chiều đều có nón cực chặt khác rỗng.

2. Bài toán tựa cân bằng Pareto trên loại I $(U P QEP)_I$ khác bài toán tựa cân bằng lý tưởng trên loại I $(U IQEP)_I$ ở điểm nào?

Bài toán $(U IQEP)_I$ tìm $(\bar{x}, \bar{y})$ sao cho $F(\bar{y}, \bar{x}, x) \subseteq C$ với mọi $x \in S(\bar{x}, \bar{y})$ (tất cả các giá trị đều thuộc nón thứ tự $C$). Trong khi đó, bài toán $(U P QEP)_I$ tìm $(\bar{x}, \bar{y})$ sao cho $F(\bar{y}, \bar{x}, x) \not\subseteq -C \setminus {0}$ với mọi $x \in S(\bar{x}, \bar{y})$. Điều kiện Pareto mang tính tổng quát và bao hàm thực tế hơn vì không đòi hỏi mọi phần tử của ánh xạ mục tiêu phải vượt trội hoàn toàn theo nón $C$.

3. Hai công cụ Định lý điểm bất động Fan - Browder và Định lý điểm bất động Ky Fan được áp dụng cho các lớp ánh xạ nào trong luận án?

  • Định lý điểm bất động Fan - Browder áp dụng cho lớp ánh xạ đa trị có giá trị lồi khác rỗng và có ảnh ngược tại mỗi điểm là tập mở (lớp ánh xạ này có tính chất nửa liên tục dưới).
  • Định lý điểm bất động Ky Fan áp dụng cho lớp ánh xạ đa trị nửa liên tục trên với giá trị lồi, đóng, khác rỗng. Luận án chỉ ra hai định lý này độc lập và không thể thay thế lẫn nhau thông qua các ví dụ giải tích cụ thể trong Chương 1.

4. Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II $(GQEP)_{II}$ có cấu trúc toán học như thế nào?

Bài toán $(GQEP)_{II}$ tìm $\bar{x} \in D$ sao cho $\bar{x} \in P_1(\bar{x})$ và $0 \in F(y, \bar{x}, t)$ với mọi $t \in P_2(\bar{x})$ và mọi $y \in Q(\bar{x}, t)$, trong đó $P_1, P_2: D \to 2^D$, $Q: D \times D \to 2^K$ và $F: K \times D \times D \to 2^Y$. Mô hình này bao hàm bài toán tựa cân bằng lý tưởng loại II và bài toán bao hàm thức tựa biến phân lý tưởng loại II khi đặt $F(y, x, t) = t - M(y, x)$.

5. Phương pháp chủ đạo được tác giả sử dụng ở Chương 3 để giải quyết bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto là gì?

Tác giả sử dụng phương pháp vô hướng hóa bài toán vector đa trị thông qua một phiếm hàm tuyến tính liên tục $\xi_0$ thuộc nón cực chặt $C^{0+}$. Kỹ thuật này chuyển điều kiện bao hàm thức vector Pareto thành bất đẳng thức vô hướng tương ứng, kết hợp định lý lát cắt liên tục để chọn lát cắt đơn trị liên tục và áp dụng các định lý điểm bất động để chứng minh sự tồn tại nghiệm cho cả trường hợp ánh xạ lồi theo nón và giống như tựa lồi theo nón.

Kết luận

Luận án tiến sĩ của tác giả Bùi Thế Hùng đã giải quyết có hệ thống vấn đề tồn tại nghiệm của các lớp bài toán tựa cân bằng và bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I và loại II trong giải tích đa trị phi tuyến. Bằng việc phối hợp các công cụ định lý điểm bất động Ky Fan, Fan - Browder, Bổ đề Fan - KKM và phương pháp vô hướng hóa qua nón cực chặt, luận án đã mở rộng nhiều kết quả kinh điển của các tác giả đi trước cho trường hợp nghiệm Pareto và làm giảm nhẹ các điều kiện ràng buộc lồi của ánh xạ mục tiêu. Các kết quả đạt được đóng góp hoàn thiện cơ sở lý thuyết cho giải tích biến phân và tối ưu hóa vector đa trị.