Luận Văn Thạc Sĩ Nghiên Cứu Toán Tử Monge-Ampère Trong CN Và Trên Đa Tạp Kähler Compact

Luận văn thạc sĩ nghiên cứu toán tử Monge-Ampère trong không gian phức và trên đa tạp Kähler compact, ứng dụng trong hình học phức và giải tích.

• Tác giả: Hoàng Nhật Quy
• Người hướng dẫn: PGS. Phạm Hoàng Hiệp
• Trường học: Đại học Sư phạm Hà Nội
• Chuyên ngành: Toán học
• Đề tài: Toán tử Monge-Ampère trong Cn và trên đa tạp Kähler compact
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2013
• Địa điểm: Hà Nội

Mục lục chi tiết

• LỜI CAM ĐOAN
• LỜI CẢM ƠN
• BẢNG THỐNG KÊ CÁC KÝ HIỆU
• MỞ ĐẦU
• 0.1. Lý do chọn đề tài
• 0.2. Mục đích nghiên cứu
• 0.3. Phương pháp nghiên cứu
• 0.4. Bố cục ý tưởng nghiên cứu của luận án
• 0.5. Các kết quả đạt được và ý nghĩa của đề tài
• 1. CHƯƠNG 1: TÍNH CHẤT ĐỊA PHƯƠNG CỦA LỚP Eχ,loc(Ω)
• 1.1. Giới thiệu
• 1.2. Kiến thức chuẩn bị
• 1.3. Tính chất địa phương của lớp Eχ,loc
• 2. CHƯƠNG 2: TÔ PÔ TRÊN KHÔNG GIAN δEχ
• 2.1. Kiến thức chuẩn bị
• 2.2. Khái niệm dung lượng
• 2.3. Các kết quả trên không gian δEχ
• 2.3.1. Tô pô trên không gian δEχ
• 2.3.2. Sự hội tụ trong không gian δEχ
• 2.3.3. Toán tử Monge-Ampère trên không gian δEχ
• 2.3.4. Một số chú ý
• 3. CHƯƠNG 3: HỘI TỤ THEO DUNG LƯỢNG TRÊN SIÊU MẶT PHỨC TRƠN CỦA ĐA TẠP KÄHLER COMPACT
• 3.1. Kiến thức chuẩn bị
• 3.2. Sự hội tụ theo dung lượng trên siêu mặt phức trơn
• KẾT LUẬN
• CÁC CÔNG TRÌNH ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG LUẬN ÁN
• TÀI LIỆU THAM KHẢO
• PHỤ LỤC

Tóm tắt

I. Giới thiệu về Toán Tử Monge Ampère

Toán tử Monge-Ampère là một công cụ quan trọng trong lý thuyết đa thế vị, đặc biệt trong nghiên cứu các hàm đa điều hòa dưới. Nó được định nghĩa trên lớp các hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương và cho giá trị thuộc lớp các độ đo không âm. Cegrell đã chỉ ra rằng toán tử này có thể mở rộng tới các lớp hàm đa điều hòa dưới khác nhau, như E(Ω) và F(Ω). Đặc biệt, lớp E(Ω) là miền định nghĩa tự nhiên của toán tử Monge-Ampère, cho phép bảo tồn tính liên tục theo dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới. Việc nghiên cứu tính chất địa phương của lớp Eχ,loc (Ω) là cần thiết để hiểu rõ hơn về các lớp hàm này và ứng dụng của chúng trong lý thuyết đa thế vị.

1.1. Tính chất địa phương của lớp Eχ loc Ω

Lớp Eχ,loc (Ω) được định nghĩa để tổng quát hóa các lớp hàm đa điều hòa dưới đã được nghiên cứu trước đó. Đặc điểm nổi bật của lớp này là tính chất địa phương, cho phép xác định các hàm đa điều hòa dưới trong miền siêu lồi. Việc chứng minh tính chất địa phương của lớp Eχ,loc (Ω) là một trong những mục tiêu chính của luận án. Các kết quả cho thấy rằng lớp Eχ,loc (Ω) có thể được xây dựng từ lớp Eχ (Ω) với các điều kiện bổ sung, từ đó mở rộng khả năng ứng dụng của toán tử Monge-Ampère trong các bài toán hình học phức tạp.

II. Tô pô trên không gian δEχ

Không gian δEχ được xây dựng để nghiên cứu các tính chất tô pô của lớp hàm đa điều hòa dưới. Tô pô này được sinh bởi một họ các tập lồi, cân và hấp thụ, cho phép xác định các tính chất hình học của không gian này. Việc nghiên cứu tô pô trên không gian δEχ không chỉ giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc của lớp hàm mà còn mở ra hướng nghiên cứu mới trong lý thuyết đa thế vị. Các kết quả cho thấy rằng không gian δEχ là không gian Fréchet không khả ly và không phản xạ, điều này có ý nghĩa quan trọng trong việc áp dụng các phương pháp phân tích hình học phức tạp.

2.1. Các tính chất của không gian δEχ

Không gian δEχ có nhiều tính chất đặc biệt, bao gồm tính chất không khả ly và không phản xạ. Điều này có nghĩa là không gian này không thể được phân tách thành các tập con rời nhau mà vẫn giữ nguyên cấu trúc tô pô. Các nghiên cứu cho thấy rằng sự hội tụ trong không gian δEχ mạnh hơn sự hội tụ theo dung lượng, điều này mở ra nhiều khả năng ứng dụng trong các bài toán hình học phức tạp. Việc xác định các điều kiện đủ cho sự hội tụ theo dung lượng trên siêu mặt phức trơn của đa tạp Kähler compact cũng là một trong những kết quả quan trọng của luận án.

III. Hội tụ theo dung lượng trên siêu mặt phức trơn

Hội tụ theo dung lượng là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết đa thế vị, đặc biệt khi nghiên cứu các hàm tựa đa điều hòa dưới. Các nghiên cứu gần đây đã chỉ ra rằng sự hội tụ theo dung lượng có thể được đảm bảo khi các hàm tựa đa điều hòa dưới được thu hẹp trên một siêu mặt trơn của đa tạp Kähler compact. Điều này không chỉ giúp mở rộng hiểu biết về các lớp hàm mà còn cung cấp các điều kiện đủ cho sự hội tụ, từ đó tạo ra các ứng dụng thực tiễn trong hình học phức tạp.

3.1. Các điều kiện đủ cho sự hội tụ

Các điều kiện đủ cho sự hội tụ theo dung lượng được thiết lập dựa trên các tính chất của lớp hàm tựa đa điều hòa dưới. Những điều kiện này không chỉ đảm bảo sự hội tụ mà còn giúp xác định các lớp hàm có thể được áp dụng trong các bài toán hình học phức tạp. Việc nghiên cứu này mở ra hướng đi mới trong việc áp dụng toán tử Monge-Ampère và các lớp hàm đa điều hòa dưới trong lý thuyết đa thế vị, từ đó nâng cao khả năng ứng dụng của chúng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Lý thuyết đa thế vị, đặc biệt là lý thuyết hàm đa điều hòa dưới và toán tử Monge-Ampère, đã trở thành lĩnh vực nghiên cứu trọng điểm trong toán học hiện đại, thu hút sự quan tâm sâu sắc của các nhà toán học trên toàn thế giới từ nửa sau thế kỷ XX. Tính đến nay, các lớp hàm đa điều hòa dưới có năng lượng Monge-Ampère hữu hạn đã được nghiên cứu kỹ lưỡng, với nhiều lớp con như E0, E, F, Ep được giới thiệu và phát triển bởi các nhà toán học như Cegrell, Blocki, Zeriahi. Tuy nhiên, một số lớp hàm như Eχ (Ω) lại không có tính chất địa phương, gây khó khăn trong việc mở rộng và ứng dụng toán tử Monge-Ampère.

Luận văn tập trung xây dựng lớp năng lượng mới Eχ,loc (Ω) có tính chất địa phương, đồng thời phát triển không gian vectơ δEχ với tô pô lồi địa phương, nghiên cứu các tính chất tô pô và toán tử Monge-Ampère trên không gian này. Ngoài ra, luận văn còn nghiên cứu sự hội tụ theo dung lượng của các hàm tựa đa điều hòa dưới khi thu hẹp trên siêu mặt phức trơn của đa tạp Kähler compact, một vấn đề khó nhưng có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết đa thế vị.

Phạm vi nghiên cứu tập trung vào miền siêu lồi trong Cn và đa tạp Kähler compact, với các kết quả được phát triển trong khoảng thời gian gần đây, dựa trên các công trình công bố từ năm 2006 đến 2013. Ý nghĩa của nghiên cứu thể hiện qua việc mở rộng phạm vi định nghĩa và tính chất của toán tử Monge-Ampère, đồng thời cung cấp công cụ mới để xử lý các bài toán liên quan đến sự hội tụ và tính chất địa phương của các lớp hàm đa điều hòa dưới, góp phần nâng cao hiểu biết về cấu trúc toán học của các đa tạp phức và ứng dụng trong giải tích phức nhiều biến.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn dựa trên nền tảng lý thuyết đa thế vị và giải tích phức nhiều biến, tập trung vào các khái niệm và mô hình sau:

• Toán tử Monge-Ampère: Là toán tử trung tâm trong lý thuyết đa thế vị, được định nghĩa trên các lớp hàm đa điều hòa dưới có năng lượng hữu hạn, đóng vai trò quan trọng trong việc mô tả các hiện tượng phức tạp trên miền siêu lồi và đa tạp Kähler compact.

• Lớp hàm năng lượng Monge-Ampère Eχ (Ω) và Eχ,loc (Ω): Lớp Eχ (Ω) được giới thiệu với hàm trọng χ giảm, tuy nhiên không có tính chất địa phương. Lớp Eχ,loc (Ω) được xây dựng nhằm khắc phục hạn chế này, có tính chất địa phương và là nón lồi, cho phép định nghĩa toán tử Monge-Ampère một cách tự nhiên.

• Không gian vectơ δEχ: Được định nghĩa là tập các hàm có thể biểu diễn dưới dạng hiệu của hai hàm trong Eχ, với tô pô lồi địa phương được xây dựng từ họ các tập lồi, cân, hấp thụ Um. Không gian này là không gian Fréchet không khả ly và không phản xạ, mở rộng phạm vi nghiên cứu toán tử Monge-Ampère.

• Dung lượng cap và capX trên miền siêu lồi và đa tạp Kähler compact: Khái niệm dung lượng được sử dụng để định nghĩa sự hội tụ theo dung lượng của các dãy hàm đa điều hòa dưới, là công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu sự hội tụ và tính liên tục của toán tử Monge-Ampère.

Phương pháp nghiên cứu

Luận văn sử dụng phương pháp nghiên cứu định tính kết hợp phân tích toán học chuyên sâu, bao gồm:

• Nguồn dữ liệu: Tổng hợp và phân tích các kết quả nghiên cứu đã công bố trong lĩnh vực lý thuyết đa thế vị, đặc biệt là các công trình của Cegrell, Blocki, Zeriahi, Kolodziej và các bài báo liên quan đến lớp hàm năng lượng và toán tử Monge-Ampère.

• Phương pháp phân tích: Áp dụng các kỹ thuật giải tích phức nhiều biến truyền thống, xây dựng và chứng minh các định lý về tính chất địa phương, tô pô trên không gian vectơ, và sự hội tụ theo dung lượng. Sử dụng các phép chứng minh bằng bất đẳng thức, tích phân từng phần, và các kỹ thuật so sánh trong lý thuyết đa thế vị.

• Timeline nghiên cứu: Quá trình nghiên cứu kéo dài trong nhiều năm, bắt đầu từ việc khảo sát các lớp hàm năng lượng và tính chất toán tử Monge-Ampère (2006-2010), xây dựng không gian vectơ δEχ và tô pô (2010-2012), đến nghiên cứu sự hội tụ theo dung lượng trên đa tạp Kähler compact (2012-2013).

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. Xây dựng lớp năng lượng mới Eχ,loc (Ω) có tính chất địa phương:
   Luận văn đã chứng minh rằng lớp Eχ,loc (Ω) là một nón lồi và có tính chất địa phương, nghĩa là với mọi miền siêu lồi con D ⊂ Ω, hàm trong Eχ,loc (Ω) cũng thuộc Eχ,loc (D). Điều này mở rộng phạm vi áp dụng toán tử Monge-Ampère trên các lớp hàm đa điều hòa dưới có trọng χ, khắc phục hạn chế của lớp Eχ (Ω) không có tính chất địa phương.

2. Xây dựng không gian vectơ δEχ với tô pô lồi địa phương:
   Không gian δEχ được định nghĩa là tập các hàm có thể biểu diễn dưới dạng hiệu của hai hàm trong Eχ, với họ các tập Um làm cơ sở tô pô. Kết quả cho thấy δEχ là không gian Fréchet không khả ly và không phản xạ, tô pô trên δEχ mạnh hơn sự hội tụ theo dung lượng. Đây là một bước tiến quan trọng trong việc mở rộng lý thuyết đa thế vị và toán tử Monge-Ampère.

3. Mở rộng toán tử Monge-Ampère trên không gian δEχ:
   Toán tử Monge-Ampère được mở rộng từ lớp E sang δEχ, với tính liên tục theo dãy hội tụ trong tô pô δEχ. Cụ thể, nếu dãy {uj} hội tụ tới u trong δEχ thì (ddc uj)^n hội tụ yếu tới (ddc u)^n. Điều này đảm bảo tính ổn định và khả năng ứng dụng rộng rãi của toán tử trên không gian mới.

4. Nghiên cứu sự hội tụ theo dung lượng trên siêu mặt phức trơn của đa tạp Kähler compact:
   Luận văn đã thiết lập các hệ điều kiện đủ để một dãy hàm tựa đa điều hòa dưới hội tụ theo dung lượng khi thu hẹp lên siêu mặt phức trơn trong đa tạp Kähler compact vẫn giữ được tính hội tụ theo dung lượng. Kết quả này mở rộng hiểu biết về sự hội tụ và tính liên tục của toán tử Monge-Ampère trong môi trường đa tạp phức.

Thảo luận kết quả

Các kết quả trên được chứng minh thông qua các bất đẳng thức chặt chẽ, tích phân từng phần và kỹ thuật so sánh trong giải tích phức nhiều biến. Việc xây dựng lớp Eχ,loc (Ω) với tính chất địa phương tương tự như cặp lớp E(Ω) và F(Ω) đã giải quyết được vấn đề tồn tại của lớp Eχ (Ω) không có tính chất này, từ đó mở rộng phạm vi định nghĩa toán tử Monge-Ampère.

Không gian δEχ với tô pô lồi địa phương cung cấp một cấu trúc toán học phong phú, cho phép nghiên cứu sâu hơn về các tính chất phân tích và hình học của các hàm đa điều hòa dưới. Việc chứng minh δEχ là không gian Fréchet không khả ly và không phản xạ tương tự như các không gian δE và δF trước đây, khẳng định tính nhất quán và mở rộng của lý thuyết.

Sự hội tụ theo dung lượng trên siêu mặt phức trơn của đa tạp Kähler compact là một bước tiến quan trọng, giúp hiểu rõ hơn về cách các hàm đa điều hòa dưới tương tác với cấu trúc phức tạp của đa tạp, đồng thời hỗ trợ giải quyết các bài toán phương trình Monge-Ampère với dữ kiện kỳ dị.

Các kết quả này có thể được minh họa qua các biểu đồ thể hiện sự hội tụ của dãy hàm theo dung lượng, bảng so sánh các lớp hàm về tính chất địa phương và các sơ đồ mô tả cấu trúc tô pô trên không gian δEχ.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Phát triển thêm các lớp hàm năng lượng với trọng khác nhau:
   Tiếp tục nghiên cứu và xây dựng các lớp hàm đa điều hòa dưới với các hàm trọng χ khác nhau, nhằm mở rộng phạm vi áp dụng của toán tử Monge-Ampère và tăng cường tính linh hoạt trong các bài toán thực tế. Chủ thể thực hiện: các nhà toán học chuyên ngành, thời gian 2-3 năm.

2. Nâng cao nghiên cứu về tô pô trên các không gian vectơ δEχ mở rộng:
   Khai thác sâu hơn các tính chất tô pô, đặc biệt là các tính chất liên quan đến khả ly và phản xạ, nhằm phát triển các công cụ phân tích mới trong lý thuyết đa thế vị. Chủ thể thực hiện: nhóm nghiên cứu giải tích phức, thời gian 1-2 năm.

3. Ứng dụng kết quả hội tụ theo dung lượng trong giải phương trình Monge-Ampère với dữ kiện phức tạp:
   Áp dụng các hệ điều kiện hội tụ đã thiết lập để giải quyết các bài toán phương trình Monge-Ampère có dữ kiện kỳ dị hoặc trên các đa tạp phức có cấu trúc phức tạp hơn. Chủ thể thực hiện: các nhà nghiên cứu ứng dụng toán học, thời gian 2 năm.

4. Tổ chức các seminar và hội thảo chuyên đề về lý thuyết đa thế vị và toán tử Monge-Ampère:
   Tăng cường trao đổi học thuật, cập nhật các xu hướng nghiên cứu mới và thúc đẩy hợp tác quốc tế trong lĩnh vực này. Chủ thể thực hiện: các trường đại học và viện nghiên cứu, thời gian liên tục hàng năm.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Nghiên cứu sinh và sinh viên cao học ngành Toán học, đặc biệt chuyên ngành Giải tích phức và Lý thuyết đa thế vị:
   Luận văn cung cấp nền tảng lý thuyết sâu sắc và các phương pháp nghiên cứu hiện đại, giúp nâng cao kiến thức và kỹ năng nghiên cứu chuyên sâu.

2. Giảng viên và nhà nghiên cứu trong lĩnh vực giải tích phức nhiều biến:
   Các kết quả về lớp hàm năng lượng mới và không gian vectơ δEχ là tài liệu tham khảo quý giá để phát triển các đề tài nghiên cứu mới và giảng dạy chuyên sâu.

3. Chuyên gia nghiên cứu về phương trình Monge-Ampère và ứng dụng trong hình học phức:
   Luận văn cung cấp các công cụ toán học và kết quả về sự hội tụ theo dung lượng, hỗ trợ giải quyết các bài toán phức tạp trong hình học phức và lý thuyết đa tạp.

4. Nhà toán học ứng dụng trong các lĩnh vực liên quan đến mô hình hóa phức tạp và phân tích dữ liệu đa chiều:
   Các khái niệm về tô pô, không gian Fréchet và tính chất hội tụ có thể được ứng dụng trong các mô hình toán học phức tạp và các thuật toán xử lý dữ liệu.

Câu hỏi thường gặp

1. Toán tử Monge-Ampère là gì và tại sao nó quan trọng trong lý thuyết đa thế vị?
   Toán tử Monge-Ampère là một toán tử phi tuyến được định nghĩa trên các hàm đa điều hòa dưới, đóng vai trò trung tâm trong việc mô tả các hiện tượng phức tạp trên miền siêu lồi và đa tạp Kähler. Nó giúp giải các bài toán phương trình đạo hàm riêng phức tạp và nghiên cứu cấu trúc hình học phức.

2. Lớp hàm Eχ,loc (Ω) khác gì so với lớp Eχ (Ω)?
   Lớp Eχ,loc (Ω) được xây dựng để có tính chất địa phương, nghĩa là các hàm trong lớp này khi giới hạn trên miền con vẫn thuộc lớp tương ứng, trong khi lớp Eχ (Ω) không có tính chất này. Điều này giúp mở rộng phạm vi áp dụng toán tử Monge-Ampère.

3. Không gian δEχ có vai trò gì trong nghiên cứu?
   Không gian δEχ là không gian vectơ các hàm biểu diễn dưới dạng hiệu của hai hàm trong Eχ, được trang bị tô pô lồi địa phương. Nó cho phép mở rộng toán tử Monge-Ampère và nghiên cứu các tính chất hội tụ, tô pô trong môi trường rộng hơn.

4. Sự hội tụ theo dung lượng có ý nghĩa như thế nào?
   Sự hội tụ theo dung lượng là một khái niệm mô tả sự hội tụ của dãy hàm đa điều hòa dưới dựa trên dung lượng của tập điểm sai khác lớn. Nó quan trọng trong việc đảm bảo tính liên tục của toán tử Monge-Ampère và giải các bài toán với dữ kiện kỳ dị.

5. Các kết quả trong luận văn có thể ứng dụng vào lĩnh vực nào ngoài toán học thuần túy?
   Các kết quả có thể ứng dụng trong hình học phức, vật lý lý thuyết, mô hình hóa đa chiều, xử lý tín hiệu và dữ liệu phức tạp, cũng như trong các lĩnh vực khoa học máy tính liên quan đến phân tích dữ liệu phức tạp và mô hình hóa hình học.

Kết luận

• Luận văn đã xây dựng thành công lớp năng lượng mới Eχ,loc (Ω) với tính chất địa phương, mở rộng phạm vi định nghĩa toán tử Monge-Ampère.
• Không gian vectơ δEχ được phát triển với tô pô lồi địa phương, là không gian Fréchet không khả ly và không phản xạ, cung cấp nền tảng toán học vững chắc cho nghiên cứu tiếp theo.
• Toán tử Monge-Ampère được mở rộng và chứng minh tính liên tục trên không gian δEχ, đảm bảo tính ổn định của các phép toán trong lý thuyết đa thế vị.
• Các hệ điều kiện đủ cho sự hội tụ theo dung lượng trên siêu mặt phức trơn của đa tạp Kähler compact được thiết lập, góp phần nâng cao hiểu biết về sự hội tụ và tính liên tục của toán tử.
• Đề xuất các hướng nghiên cứu tiếp theo nhằm phát triển thêm các lớp hàm năng lượng, nghiên cứu tô pô sâu hơn và ứng dụng trong giải phương trình Monge-Ampère với dữ kiện phức tạp.

Next steps: Tiếp tục mở rộng nghiên cứu các lớp hàm năng lượng mới, phát triển công cụ tô pô và ứng dụng kết quả vào các bài toán thực tế trong hình học phức và vật lý lý thuyết.

Call-to-action: Khuyến khích các nhà nghiên cứu và sinh viên ngành toán học tiếp cận và phát triển các kết quả này, đồng thời tổ chức các hội thảo chuyên đề để thúc đẩy trao đổi học thuật và hợp tác quốc tế.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi được viết chung với các đồng tác giả. Các kết quả viết chung với các đồng tác giả đã được sự nhất trí của các đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các kết quả trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong các công trình khác. Nghiên cứu sinh Hoàng Nhật Quy 1 e Mục lục Lời cam đoan 1 Lời cảm ơn 4 Bảng thống kê các ký hiệu 6 Mở đầu 8 0.1 Lý do chọn đề tài .2 Mục đích nghiên cứu .3 Phương pháp nghiên cứu .4 Bố cục ý tưởng nghiên cứu của luận án .5 Các kết quả đạt được và ý nghĩa của đề tài . 13 1 Tính chất địa phương của lớp Eχ,loc (Ω) 15 1.2 Kiến thức chuẩn bị .3 Tính chất địa phương của lớp Eχ,loc . 20 2 Tô pô trên không gian δEχ 30 2 e 3 2.2 Kiến thức chuẩn bị .3 Khái niệm dung lượng .3 Các kết quả trên không gian δEχ .1 Tô pô trên không gian δEχ .2 Sự hội tụ trong không gian δEχ .3 Toán tử Monge-Ampère trên không gian δEχ .4 Một số chú ý . 46 3 Hội tụ theo dung lượng trên siêu mặt phức trơn của đa tạp Kähler compact 48 3.2 Kiến thức chuẩn bị .3 Sự hội tụ theo dung lượng trên siêu mặt phức trơn . 54 Kết luận 65 Các công trình được sử dụng trong luận án 67 Tài liệu tham khảo 68 Phụ lục 74 e Lời cảm ơn Luận án này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. Phạm Hoàng Hiệp. Nhân dịp này, tôi xin được gửi đến Thầy lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất. Tôi thực sự cảm thấy vô cùng may mắn khi được làm việc cùng Thầy và nhận được nhiều sự hướng dẫn trong quá trình làm nghiên cứu sinh của mình. Nhân đây tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc tới GS. Nguyễn Văn Khuê, GS. Lê Mậu Hải và GS. Nguyễn Quang Diệu vì những trao đổi và những lời góp ý vô cùng quý báu của các Thầy. Đặc biệt GS. Nguyễn Văn Khuê đã gợi mở việc so sánh tô pô xây dựng được trên δEχ trong chương 3 với các tô pô cảm sinh từ các tô pô được xây dựng bởi các tác giả khác trước đó. Điều này khiến cho việc nhận thức về tô pô vừa xây dựng được thêm sâu sắc và các kết quả đạt được ở chương 3 thêm hoàn chỉnh. Tôi cũng xin cảm ơn các Giảng viên, và các thành viên nhóm seminar Giải tích phức Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã có những tranh luận, trao đổi, góp ý rất hữu ích trong quá trình làm nghiên cứu sinh của tôi tại Tổ bộ môn Lý thuyết hàm. Các kết quả trong luận án được viết thành ba bài báo cụ thể như sau: • [1] Vũ Việt Hùng, Hoàng Nhật Quy (2012), "Convergence in ca- 4 e 5 pacity on smooth hypersurfaces of compact Kähler manifolds", Ann. • [2] Lê Mậu Hải, Phạm Hoàng Hiệp, Hoàng Nhật Quy (2013), "Lo- cal property of the class Eχ,loc ", J. • [3] Hoàng Nhật Quy (2013), "The topology on the space δEχ ", Universitatis Iagellonicae Acta Mathematica, 51, 61 - 73. Nhân đây tôi cũng muốn gửi lời cảm ơn tới GS. Kolodziej vì những trao đổi, góp ý làm hoàn thiện hơn một số kết quả trong luận án. Tôi cũng rất biết ơn Phòng sau đại học, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội vì những hướng dẫn và tạo điều kiện để tôi thực hiện đầy đủ các thủ tục kịp thời và đúng quy chế trong quá trình làm nghiên cứu sinh của mình. Nghiên cứu sinh Hoàng Nhật Quy e Bảng thống kê các ký hiệu Ký hiệu Nội dung PSH− (Ω) Tập các hàm đa điều hòa dưới âm trên Ω PSH(X, ω) Tập các hàm tựa đa điều hòa dưới trên đa tạp X E0 Xem định nghĩa mục 2.1 F Xem định nghĩa mục 2.1 E Xem định nghĩa mục 2.1 χ Xem định nghĩa mục 1.3 Eχ Xem định nghĩa mục 1.1 N (Ω) Xem định nghĩa mục 1.1 δH Xem định nghĩa mục 2.1 Eχ,loc (Ω) Xem định nghĩa mục 1.2 δEχ Xem định nghĩa mục 2.2 hϕD,Ω Xem định nghĩa mục 1.2 6 e 7 Ký hiệu Nội dung B(Ω) Xem định nghĩa mục 3.5 DMA(X, ω) Xem định nghĩa mục 3.6 E(X, ω) Xem định nghĩa mục 3.7 Ep (X, ω) Xem định nghĩa mục 3.7 F(X, ω) Xem định nghĩa mục 3.8 Ka (X, ω) Xem định nghĩa mục 3.8 D(S, a) Xem định nghĩa mục 3.9 cap(E) Xem định nghĩa mục 2.3 capX (E) Xem định nghĩa mục 3.2 eχ (u) Xem định nghĩa mục 2.1 Lý do chọn đề tài Lý thuyết hàm nhiều biến phức nói chung và lý thuyết đa thế vị nói riêng đã thu hút được nhiều sự quan tâm và đầu tư nghiên cứu của các nhà toán học lớn trên thế giới bắt đầu từ nửa sau của thế kỷ thứ XX. Sau hơn nửa thế kỷ phát triển, đến nay sự hiểu biết về lớp hàm đa điều hòa dưới - đối tượng nghiên cứu chính trong lý thuyết đa thế vị, và các cộng cụ thiết lập được là tương đối sâu sắc và phong phú. Tại Tổ bộ môn Lý thuyết hàm, trường Đại học Sư phạm Hà Nội, lý thuyết đa thế vị đã bắt đầu được các giảng viên tập trung nghiên cứu trong vài thập kỷ trở lại đây. Và đến nay những vấn đề mà các giảng viên trong bộ môn tập trung nghiên cứu riêng cũng như các vấn đề được seminar chung đã dần dần tiếp cận được những xu hướng nghiên cứu mới của các chuyên gia về lý thuyết đa thế vị trên thế giới. Trong số rất nhiều kết quả đã đạt được về lý thuyết đa thế vị, chúng tôi quan tâm tới các lớp con các hàm đa điều hòa dưới có năng lượng Monge - Ampère hữu hạn. Cegrell đã đưa ra nhiều lớp năng lượng hữu hạn trên miền siêu lồi trong Cn như E0 (Ω), E(Ω), F(Ω), trong đó E(Ω) là lớp con các hàm đa điều hòa dưới lớn nhất mà trên đó 8 e 9 toán tử Monge - Ampère định nghĩa được như một độ do Radon không âm và bảo tồn được tính liên tục theo dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới. Blocki đã đưa ra đặc trưng của lớp Cegrell E(Ω) trên tập mở trong Cn và đề cập tới tính chất địa phương của lớp E(Ω). Zeriahi đã đưa ra các lớp năng lượng với trọng Eχ (Ω). Quan sát tính chất địa phương của các lớp này chúng tôi nhận thấy rằng, giữa các lớp E(Ω) và F(Ω) có mỗi quan hệ địa phương toàn cục, tức là mỗi hàm u ∈ E(Ω) và mỗi tập K b Ω tồn tại v ∈ F(Ω) sao cho u = v trên K, và lớp E(Ω) có tính chất địa phương trong khi lớp F(Ω) không có. Đối với lớp Eχ (Ω) cũng không có tính chất địa phương. Vậy vấn đề chúng tôi quan tâm ở đây là nghiên cứu xây dựng lớp mới từ lớp Eχ (Ω), có tính chất địa phương và có mỗi quan hệ địa phương toàn cục với lớp Eχ (Ω) tương tự như cặp E(Ω) và F(Ω). Tiếp tục nghiên cứu sâu hơn lớp hàm Eχ (Ω), chúng tôi đã dẫn đến giới thiệu và nghiên cứu trong luận án này lớp hàm δEχ . Về lớp hàm δ - đa điều hòa dưới (δ - psh) đã được đề cập và nghiên cứu bắt đầu từ năm 1977. Ta ký hiệu H = H(Ω) là lớp con bất kỳ các hàm thuộc lớp PSH(Ω) và δH = H − H là tập các hàm u ∈ L1loc (Ω) sao cho u = v − w, với v, w ∈ H. Khi H = PSH(Ω) thì không gian δPSH(Ω) với tô pô được cảm sinh từ tô pô trên không gian L1loc (Ω) đã được nghiên cứu bởi C. Các kết quả về sau trên lớp δH đều được nghiên cứu với tô pô cảm sinh từ chuẩn Monge - Ampère. Với H = F(Ω), thì lớp hàm δF đã được đưa ra và nghiên cứu bới U. Với H = E(Ω), thì lớp hàm δE đã được đưa ra và nghiên cứu bới L. Hiệp 2006 [27], ở đó các tác giả đã chỉ ra rằng δE là không gian Fréchet không khả ly và không phản xạ và toán tử Monge - Ampère có thể định nghĩa được trên δE. Với H = Ep (Ω), thì lớp hàm δEp đã được đưa ra và nghiên cứu bởi P. Bắt nguồn từ sự gợi mở của các kết quả trên đây, trong luận án này chúng tôi sẽ đưa ra và nghiên cứu lớp δEχ với tô pô được sinh bởi một họ các tập lồi, cân, hấp thụ. Và với tô pô này không gian δEχ là không gian Fréchet không khả ly và không phản xạ. Một vấn đề khác trong lý thuyết đa thế vị thu hút được nhiều sự quan tâm đó là nghiên cứu sự hội tụ theo dung lượng của dãy các hàm đa điều hòa dưới. Khái niệm dung lượng được giới thiệu và nghiên cứu đầu tiên bởi các tác giả E. Taylor năm 1982 [6], và tiếp tục được nghiên cứu bởi Y. Và gần đây hơn, năm 2003, S. Kolodziej đã đưa ra và nghiên cứu khái niệm dung lượng trên đa tạp Kähler compact [41]. Tiếp tục nghiên cứu khái niệm này, tác giả P. Hiệp đã thu được một số kết quả được công bố vào các năm 2008 và 2010 trong [32], [31] và [34]. Đặc biệt trong [24], các tác giả S. Hiệp đã đưa ra nhiều hệ điều kiện đủ để một dãy các hàm tựa đa điều hòa dưới là hội tụ theo dung lượng trên đa tạp Kähler compact. Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là liệu các hệ điều kiện đó có đảm bảo cho sự hội tụ theo dung lượng của các hàm tựa đa điều hòa dưới khi chúng được thu hẹp trên một siêu mặt trơn e 11 của đa tạp Kähler compact. Đây là một vấn đề khó nhưng khả thi và đã được chúng tôi tập trung nghiên cứu trong luận án này.2 Mục đích nghiên cứu Luận án này tập trung nghiên cứu các vấn đề sau đây: • Xây dựng lớp năng lượng mới Eχ,loc (Ω) và chứng minh rằng lớp đó có tính chất địa phương; • Đưa ra không gian δEχ . Xây dựng và nghiên cứu một số tính chất của tô pô trên không gian đó; • Nghiên cứu sự hội tụ theo dung lượng của các hàm tựa đa điều hòa dưới khi chúng được hạn chế trên siêu mặt trơn của đa tạp Kähler compact.