I. Giới thiệu về Toán Tử Monge Ampère
Toán tử Monge-Ampère là một công cụ quan trọng trong lý thuyết đa thế vị, đặc biệt trong nghiên cứu các hàm đa điều hòa dưới. Nó được định nghĩa trên lớp các hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương và cho giá trị thuộc lớp các độ đo không âm. Cegrell đã chỉ ra rằng toán tử này có thể mở rộng tới các lớp hàm đa điều hòa dưới khác nhau, như E(Ω) và F(Ω). Đặc biệt, lớp E(Ω) là miền định nghĩa tự nhiên của toán tử Monge-Ampère, cho phép bảo tồn tính liên tục theo dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới. Việc nghiên cứu tính chất địa phương của lớp Eχ,loc (Ω) là cần thiết để hiểu rõ hơn về các lớp hàm này và ứng dụng của chúng trong lý thuyết đa thế vị.
1.1. Tính chất địa phương của lớp Eχ loc Ω
Lớp Eχ,loc (Ω) được định nghĩa để tổng quát hóa các lớp hàm đa điều hòa dưới đã được nghiên cứu trước đó. Đặc điểm nổi bật của lớp này là tính chất địa phương, cho phép xác định các hàm đa điều hòa dưới trong miền siêu lồi. Việc chứng minh tính chất địa phương của lớp Eχ,loc (Ω) là một trong những mục tiêu chính của luận án. Các kết quả cho thấy rằng lớp Eχ,loc (Ω) có thể được xây dựng từ lớp Eχ (Ω) với các điều kiện bổ sung, từ đó mở rộng khả năng ứng dụng của toán tử Monge-Ampère trong các bài toán hình học phức tạp.
II. Tô pô trên không gian δEχ
Không gian δEχ được xây dựng để nghiên cứu các tính chất tô pô của lớp hàm đa điều hòa dưới. Tô pô này được sinh bởi một họ các tập lồi, cân và hấp thụ, cho phép xác định các tính chất hình học của không gian này. Việc nghiên cứu tô pô trên không gian δEχ không chỉ giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc của lớp hàm mà còn mở ra hướng nghiên cứu mới trong lý thuyết đa thế vị. Các kết quả cho thấy rằng không gian δEχ là không gian Fréchet không khả ly và không phản xạ, điều này có ý nghĩa quan trọng trong việc áp dụng các phương pháp phân tích hình học phức tạp.
2.1. Các tính chất của không gian δEχ
Không gian δEχ có nhiều tính chất đặc biệt, bao gồm tính chất không khả ly và không phản xạ. Điều này có nghĩa là không gian này không thể được phân tách thành các tập con rời nhau mà vẫn giữ nguyên cấu trúc tô pô. Các nghiên cứu cho thấy rằng sự hội tụ trong không gian δEχ mạnh hơn sự hội tụ theo dung lượng, điều này mở ra nhiều khả năng ứng dụng trong các bài toán hình học phức tạp. Việc xác định các điều kiện đủ cho sự hội tụ theo dung lượng trên siêu mặt phức trơn của đa tạp Kähler compact cũng là một trong những kết quả quan trọng của luận án.
III. Hội tụ theo dung lượng trên siêu mặt phức trơn
Hội tụ theo dung lượng là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết đa thế vị, đặc biệt khi nghiên cứu các hàm tựa đa điều hòa dưới. Các nghiên cứu gần đây đã chỉ ra rằng sự hội tụ theo dung lượng có thể được đảm bảo khi các hàm tựa đa điều hòa dưới được thu hẹp trên một siêu mặt trơn của đa tạp Kähler compact. Điều này không chỉ giúp mở rộng hiểu biết về các lớp hàm mà còn cung cấp các điều kiện đủ cho sự hội tụ, từ đó tạo ra các ứng dụng thực tiễn trong hình học phức tạp.
3.1. Các điều kiện đủ cho sự hội tụ
Các điều kiện đủ cho sự hội tụ theo dung lượng được thiết lập dựa trên các tính chất của lớp hàm tựa đa điều hòa dưới. Những điều kiện này không chỉ đảm bảo sự hội tụ mà còn giúp xác định các lớp hàm có thể được áp dụng trong các bài toán hình học phức tạp. Việc nghiên cứu này mở ra hướng đi mới trong việc áp dụng toán tử Monge-Ampère và các lớp hàm đa điều hòa dưới trong lý thuyết đa thế vị, từ đó nâng cao khả năng ứng dụng của chúng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học.
